Kıllı top teoremi - Hairy ball theorem

Her kutupta bir tutam bırakarak tüylü bir 3 top (2 küre) taramaya yönelik başarısız bir girişim

Öte yandan tüylü bir çörek (2-torus) oldukça kolay taranabilir.

Sadece bir kutuplu 2 küre üzerinde sürekli bir teğet vektör alanı, bu durumda indeks 2'ye sahip bir dipol alanı . Bu grafiğin hareketli bir versiyonuna da bakın .

Bir saç fahişesi

Kıllı top teoremi ait cebirsel topoloji (bazen kirpi teoremi Avrupa'da) hiçbir nonvanishing bulunmadığını bildiren sürekli teğet vektör alanı bile boyutlu üzerinde n -spheres . Eğer sıradan küre ya da 2-küre için, ön sürekli bir fonksiyonudur atar bir o vektör içinde R ³ , her bir nokta için , p bir küre gibi bu konuda f ( s ) her zaman olduğu teğet olarak küre p , o zaman en azından orada bir kutup, alanın kaybolduğu bir nokta (a p öyle ki f ( p ) = 0 ).

Teorem ilk olarak 1885'te 2 küre için Henri Poincaré tarafından kanıtlandı ve 1912'de Luitzen Egbertus Jan Brouwer tarafından daha yüksek boyutlara genişletildi .

Teorem, halk dilinde "kıllı bir topu düz bir şekilde tarak yapamazsınız" veya "bir hindistancevizi üzerinde saçı tarayamazsınız " şeklinde ifade edilmiştir.

sıfırları sayma

Bir vektör alanının her sıfırının (sıfır olmayan) bir " dizini " vardır ve tüm sıfırlardaki tüm indislerin toplamının iki olması gerektiği gösterilebilir, çünkü 2-kürenin Euler özelliği ikidir. . Bu nedenle, en az bir sıfır olmalıdır. Bu, Poincare–Hopf teoreminin bir sonucudur . Torus durumunda , Euler karakteristiği 0'dır; ve "tüylü bir çörek düzünü taramak" mümkündür. Bu bağlamda, sıfır olmayan Euler karakteristiğine sahip herhangi bir kompakt düzenli 2 boyutlu manifold için, herhangi bir sürekli teğet vektör alanının en az bir sıfıra sahip olduğu sonucu çıkar.

Bilgisayar grafiklerine uygulama

Bilgisayar grafik ortak bir sorun, sıfır olmayan bir vektör oluşturmak için R ³ , belirli bir sıfır olmayan bir ortogonaldir. Tüm sıfır olmayan vektör girdileri için bunu yapabilen tek bir sürekli fonksiyon yoktur. Bu, tüylü top teoreminin bir sonucudur. Bunu görmek için, verilen vektörü bir kürenin yarıçapı olarak düşünün ve verilene ortogonal sıfır olmayan bir vektör bulmanın, kürenin yüzeye değdiği yüzeye teğet olan sıfır olmayan bir vektör bulmaya eşdeğer olduğuna dikkat edin. yarıçap. Bununla birlikte, tüylü top teoremi, bunu küre üzerindeki her nokta için (eşdeğer olarak, verilen her vektör için) yapabilen sürekli bir fonksiyon olmadığını söyler.

Lefschetz bağlantısı

Cebirsel topolojiden Lefschetz sabit nokta teoremini kullanan yakından ilişkili bir argüman var . Yana Betti sayıları 2 küresinin 0, 0, 1, 0, 1, ... Lefschetz numarası (toplam iz homoloji ait) kimlik haritalama bir entegre ederek 2. olan vektör alanını az a biz olsun ( az bir bölümü), bir tek parametre grubu ve diffeomorphisms küre; ve içindeki tüm eşlemeler kimliğe homotopiktir . Bu nedenle, hepsinde ayrıca 2 numaralı Lefschetz var. Bu nedenle sabit noktaları vardır (çünkü Lefschetz sayısı sıfır değildir). Bunun aslında vektör alanında bir sıfır olması gerektiğini ima ettiğini göstermek için biraz daha çalışmaya ihtiyaç duyulacaktır. Daha genel Poincaré-Hopf indeks teoreminin doğru ifadesini önerir .

sonucu

Tüylü top teoreminin bir sonucu, çift ​​boyutlu bir küreyi kendi içine eşleyen herhangi bir sürekli fonksiyonun ya sabit bir noktasına ya da kendi karşıt noktasıyla eşlenen bir noktaya sahip olmasıdır . Bu, fonksiyonun aşağıdaki gibi bir teğet vektör alanına dönüştürülmesiyle görülebilir.

Let s kendi küre eşleme fonksiyonu ve izin v inşa edilecek teğet vektör fonksiyonu. Her bir nokta için, p , yapı stereografik çıkıntı arasında s ( s ) ile p teğet noktası olarak. O halde v ( p ), bu öngörülen noktanın p'ye göre yer değiştirme vektörüdür . Tüylü top teoremine göre, bir orada s şekilde v ( p ) = 0 , böylece s ( p ) = s .

Bir nokta da mevcuttur sadece aşağı Bu argüman sonları p olan s ( p ) arasında antipot nokta p böyle bir noktaya stereographically tanjant düzlemi üzerine izdüşümleri edilemez yalnızca biri olduğu, p .

Daha yüksek boyutlar

Euler karakteristiği χ ile bağlantı , doğru genellemeyi önerir: 2 n- küresi , n ≥ 1 için kaybolmayan vektör alanına sahip değildir . Çift ve tek boyutlar arasındaki fark , m -küresinin sıfır olmayan tek Betti sayıları b ₀ ve b _{m olduğundan} , bunların alternatif toplamı χ m çift için 2 ve m tek için 0 olmasıdır .

Aslında, tek boyutlu bir kürenin, çevredeki çift boyutlu Öklid uzayının koordinatlarını çiftler halinde ele almanın basit bir süreci yoluyla, kaybolmayan bir teğet vektör alanını kabul ettiğini görmek kolaydır . Yani, tarafından verilen bir vektör alanı belirtilerek bir teğet vektör alanı tanımlanabilir. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\ Displaystyle S^{2n-1}}$${\displaystyle v:\mathbb {R} ^{2n}\to \mathbb {R} ^{2n}}$

${\displaystyle v(x_{1},\dots ,x_{2n})=(x_{2},-x_{1},\dots ,x_{2n},-x_{2n-1}).}$

Bu vektör alanının birim küreye teğet bir vektör alanıyla sınırlandırılması için , form tatmin edici bir birim vektöre sahip nokta çarpımının yok olduğunu doğrulamak yeterlidir . Koordinatların eşleşmesi nedeniyle, biri görür ${\displaystyle S^{2n-1}\subset \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{2n})}$${\displaystyle \|x\|=1}$

${\displaystyle v(x_{1},\dots ,x_{2n})\bullet (x_{1},\dots ,x_{2n})=(x_{2}x_{1}-x_{1}x_ {2})+\cdots +(x_{2n}x_{2n-1}-x_{2n-1}x_{2n})=0.}$

2 n- küresi için, ortam Öklid uzayı tek boyutludur ve bu nedenle bu basit eşleme koordinatları mümkün değildir. Bu, çift boyutlu küreye kaybolmayan bir teğet vektör alanının hala var olma olasılığını dışlamazken, tüylü top teoremi, aslında böyle bir vektör alanı oluşturmanın hiçbir yolu olmadığını gösterir. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}$

Ayrıca bakınız

• Sabit nokta teoremi
• ara değer teoremi
• Küreler üzerinde vektör alanları

Notlar

Referanslar

• Eisenberg, Murray; Guy, Robert (1979), "A Proof of the Hairy Ball Teoremi", The American Mathematical Monthly , 86 (7): 571–574, doi : 10.2307/2320587 , JSTOR  2320587

daha fazla okuma

• Jarvis, Tyler; Tanton, James (2004), "Sperner's Lemma ile Tüylü Top Teoremi", American Mathematical Monthly , 111 (7): 599-603, doi : 10.1080/00029890.2004.11920120 , JSTOR  4145162 , S2CID  29784803
• Richeson, David S. (2008), "Bir Hindistan Cevizi Üzerinde Saç Taraması ", Euler'in Mücevheri: Çokyüzlü Formül ve Topolojinin Doğuşu , Princeton University Press, s. 202–218, ISBN 978-0-691-12677-7

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Kıllı Top Teoremi" . Matematik Dünyası .