teğet - Tangent

Bir eğriye teğet. Kırmızı çizgi, kırmızı nokta ile işaretlenen noktada eğriye teğettir.
Bir küreye teğet düzlem

İn geometrisi , teğet çizgi (veya basitçe teğet bir düzleme göre) eğrisi , belirli bir en alanına olan düz bir çizgi bu noktada eğrisi "sadece temas" o. Leibniz bunu eğri üzerindeki bir çift sonsuz yakın noktadan geçen çizgi olarak tanımladı . Daha kesin olarak, doğru, eğri üzerindeki ( c , f ( c ) noktasından geçiyorsa ve eğimi f ' ise, x = c noktasında y = f ( x ) eğrisinin bir tanjantı olduğu söylenir. ( c ) , f ' bir türevi arasında f . Benzer bir tanım , n -boyutlu Öklid uzayındaki uzay eğrileri ve eğriler için de geçerlidir .

Teğet doğru ile eğrinin birleştiği , teğet noktası olarak adlandırılan noktadan geçerken, teğet doğru, eğri ile "aynı yönde ilerler " ve bu nedenle, o noktada eğriye en iyi düz çizgi yaklaşımıdır. puan.

Türevlenebilir bir eğri üzerindeki bir noktaya teğet çizgi , verilen noktada orijinal fonksiyona en iyi yaklaşan afin fonksiyonun grafiği olarak da düşünülebilir .

Benzer şekilde, belirli bir noktada bir yüzeye teğet düzlem , o noktada yüzeye "sadece dokunan" düzlemdir . Tanjant kavramı, diferansiyel geometrideki en temel kavramlardan biridir ve kapsamlı bir şekilde genelleştirilmiştir; bkz. Teğet uzayı .

"Teğet" kelimesi Latince tangere "dokunmak" kelimesinden gelir .

Tarih

Öklid , Elementlerin III. kitabında (MÖ 300) bir dairenin tanjantına ( ἐφαπτομένη ephaptoménē ) birkaç gönderme yapar . Gelen Apollonius'un çalışmalarının konikler (c. 225 BC) o olarak bir teğet tanımlayan başka bir düz çizgi olabilir, öyle ki bir çizgi o ve eğri arasında kalır .

Arşimet (c. 287 – c. 212 BC) , eğri boyunca hareket eden bir noktanın yolunu dikkate alarak bir Arşimet spiralinin teğetini buldu .

1630'larda Fermat , tanjantları ve analizdeki diğer sorunları hesaplamak için yeterlilik tekniğini geliştirdi ve bunu parabolün teğetlerini hesaplamak için kullandı. Yeterlilik tekniği, ve arasındaki farkı almak ve bir kuvveti ile bölmeye benzer . Descartes bağımsız olarak , bir dairenin yarıçapının her zaman dairenin kendisine normal olduğu gözlemine dayanan normaller yöntemini kullandı .

Bu yöntemler , 17. yüzyılda diferansiyel hesabın gelişmesine yol açtı . Birçok kişi katkıda bulundu. Roberval , hareketi birkaç basit hareketin sonucu olan hareket eden bir nokta tarafından tanımlanan bir eğriyi göz önünde bulundurarak, teğet çizmenin genel bir yöntemini keşfetti. René-François de Sluse ve Johannes Hudde, tanjantları bulmak için cebirsel algoritmalar buldular. Diğer gelişmeler arasında John Wallis ve Isaac Barrow'unkiler yer aldı ve bu da Isaac Newton ve Gottfried Leibniz'in teorisine yol açtı .

1828'de tanjant tanımı "bir eğriye dokunan, ancak üretildiğinde onu kesmeyen bir doğru çizgi" idi. Bu eski tanım, büküm noktalarının teğet olmasını engeller . Reddedildi ve modern tanımlar , teğet çizgiyi eğri üzerindeki bir çift sonsuz yakın noktadan geçen çizgi olarak tanımlayan Leibniz'in tanımlarına eşdeğerdir .

Bir eğriye teğet çizgi

Bir teğet bir akor ve sekant bir çevreye

Bir teğet çizginin bir eğriye "dokunduğu" sezgisel fikri , fonksiyon eğrisi üzerinde bulunan A ve B noktasından geçen düz çizgilerin ( kesik çizgilerin ) sırası dikkate alınarak daha açık hale getirilebilir . A'daki tanjant, B noktasının A'ya yaklaştığı veya eğiliminde olduğu limittir . Teğet çizginin varlığı ve benzersizliği, "farklılaştırılabilirlik" olarak bilinen belirli bir matematiksel düzgünlük türüne bağlıdır. Örneğin, iki dairesel yay keskin bir noktada (bir tepe noktasında) buluşursa, o zaman tepe noktasında benzersiz olarak tanımlanmış bir teğet yoktur çünkü kesen çizgilerin ilerlemesinin sınırı " B noktasının " tepe noktasına yaklaştığı yöne bağlıdır .

Çoğu noktada, teğet eğriyi geçmeden eğriye dokunur (ancak devam edildiğinde eğriyi teğet noktasından uzaktaki başka yerlerde geçebilir). Teğetin (bu noktada) eğriyi kestiği noktaya bükülme noktası denir . Daireler , paraboller , hiperboller ve elipsler herhangi bir bükülme noktasına sahip değildir, ancak daha karmaşık eğriler , tam olarak bir bükülme noktasına sahip bir kübik fonksiyonun grafiği veya her bir periyot başına iki bükülme noktası olan bir sinüzoid gibi, daha karmaşık eğrilere sahiptir . sinüs .

Tersine, eğri, üzerindeki bir noktadan geçen düz bir çizginin tamamıyla bir tarafında yer alabilir ve yine de bu düz çizgi bir teğet çizgi değildir. Bu, örneğin, bir üçgenin tepe noktasından geçen ve onu başka türlü kesmeyen bir doğru için geçerlidir - teğet doğru yukarıda açıklanan nedenlerle mevcut değildir. Olarak dışbükey geometrisi , bu tip nesiller olarak adlandırılır hatları destekler .

Her noktada, hareketli çizgi her zaman eğriye teğettir . Eğimi türevidir ; yeşil, pozitif türevi, kırmızı, negatif türevi ve siyah, sıfır türevi işaretler. Teğetin eğriyi kestiği nokta (x,y) = (0,1), max veya min değil, bir bükülme noktasıdır .

Analitik yaklaşım

Kesen çizgilerin sınırı olarak teğet çizginin geometrik fikri, teğet çizgileri açıkça bulmak için kullanılan analitik yöntemler için motivasyon görevi görür. Bir grafiğin teğet doğrusunu bulma sorunu veya teğet doğru sorunu, 17. yüzyılda matematiğin gelişmesine yol açan temel sorulardan biriydi . Onun ikinci kitabında Geometri , René Descartes söyledi , bir eğriye teğet inşa sorununun "Ve ben bu ben bile biliyorum ki geometride en faydalı ve en genel sorun sadece, ama bu söylemek cesaret hiç bilmek istedim".

Sezgisel açıklama

Bir fonksiyonun grafiği olarak bir eğri verildiğini varsayalım , y = f ( x ). p = ( a , f ( a ) ) noktasındaki teğet doğruyu bulmak için , eğri üzerinde yakındaki başka bir q = ( a + h , f ( a + h )) noktasını düşünün . Eğim arasında kesen geçen p ve q eşittir fark bölüm

q noktası , h'yi daha da küçültmeye karşılık gelen p'ye yaklaştıkça , fark bölümü, p noktasındaki teğet doğrunun eğimi olan belirli bir k sınırlayıcı değerine yaklaşmalıdır . Eğer k biliniyorsa, teğet doğrunun denklemi nokta-eğim formunda bulunabilir:

Daha titiz açıklama

Önceki akıl yürütmeyi kesinleştirmek için, belirli bir sınır değerine yaklaşan fark katsayısı ile ne kastedildiğini açıklamak gerekir k . Kesin matematiksel formülasyon 19. yüzyılda Cauchy tarafından verilmiştir ve limit kavramına dayanmaktadır . Grafik ara ya da keskin bir kenara sahip olmasına gerek yoktur varsayalım p ve ne çekül ne de çok kıvrımlı yakın s . Daha sonra özgün bir değeri vardır k gibi olduğu, s farkı katsayısı daha yakın ve daha yakın olur yaklaşır, 0 k ve aralarındaki mesafe boyutu ile karşılaştırıldığında ihmal edilebilir h ise, H , küçük yeterlidir. Bu, f fonksiyonu için fark bölümlerinin sınırı olarak grafiğe teğet doğrunun eğiminin tanımlanmasına yol açar . Bu sınır olan türev fonksiyonu f de X = bir , gösterilen f  '( a ). Türevler kullanılarak, teğet doğrunun denklemi aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

Matematik, güç fonksiyonu , trigonometrik fonksiyonlar , üstel fonksiyon , logaritma ve bunların çeşitli kombinasyonları gibi formüllerle verilen fonksiyonların türevlerini hesaplamak için kurallar sağlar . Böylece, tüm bu fonksiyonların grafiklerine teğet denklemleri ve diğer birçokları hesap yöntemleriyle bulunabilir.

Yöntem nasıl başarısız olabilir

Matematik ayrıca, grafiklerinde teğet doğrunun eğimini belirleyen sınırın bulunmadığı fonksiyonların ve noktaların olduğunu da gösterir. Bu nokta için fonksiyon f olan olmayan türevlenebilir . Limitlere ve türevlere dayalı tanjant bulma yönteminin başarısız olmasının iki olası nedeni vardır: ya geometrik tanjant vardır, ancak dikey bir çizgidir, nokta eğimi olmadığı için nokta-eğim biçiminde verilemez. eğim veya grafik, geometrik bir teğeti engelleyen üç davranıştan birini sergiler.

y = x 1/3 grafiği ilk olasılığı göstermektedir: burada a = 0'daki fark bölümü h 1/3 / h = h -2 / 3'e eşittir , bu h 0'a yaklaştıkça çok büyür. dikey olan orijindeki teğet çizgi.

y = x 2/3 grafiği başka bir olasılığı göstermektedir: bu grafiğin orijinde bir tepe noktası vardır. Bu, h 0'a yaklaştığında , a = 0'daki fark bölümünün x'in işaretine bağlı olarak artı veya eksi sonsuza yaklaştığı anlamına gelir . Böylece eğrinin her iki dalı, y = 0 olan yarı dikey çizgiye yakındır, ancak hiçbiri bu çizginin negatif kısmına yakın değildir. Temel olarak, bu durumda orijinde teğet yoktur, ancak bazı bağlamlarda bu çizgi bir teğet olarak ve hatta cebirsel geometride çift ​​teğet olarak düşünülebilir .

Grafik y = | x | bir mutlak değeri fonksiyonu kökenli birleştirilen farklı eğim ile iki düz çizgiden oluşur. Bir nokta olarak q, sağdan kökeni yaklaşan bir nokta olarak, kesen her eğimi 1. sahip q soldan kökeni yaklaşımlar, kesen her bir eğime sahiptir -1. Bu nedenle, orijinde grafiğin benzersiz bir teğeti yoktur. İki farklı (ancak sonlu) eğime sahip olmak köşe olarak adlandırılır .

Son olarak, türevlenebilirlik sürekliliği ima ettiğinden , çelişkili durumlar süreksizliği , türevlenemezliği ima eder. Bu tür herhangi bir sıçrama veya nokta süreksizliğinin teğet çizgisi olmayacaktır. Bu, bir eğimin pozitif sonsuza yaklaşırken diğerinin negatif sonsuza yaklaştığı ve sonsuz sıçrama süreksizliğine yol açtığı durumları içerir.

denklemler

Eğri y = f ( x ) ile verildiğinde , nokta-eğim formülüne göre teğetin eğimi öyledir ( XY )' deki teğet doğrusunun denklemi

burada ( xy ) teğet doğru üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarıdır ve türev burada değerlendirilir .

Eğrisi tarafından verilen zaman y = f ( x ), teğet çizginin denklem kullanılarak bulunabilir polinom bölme bölmek için ile ; kalan ile gösterilirse , teğet çizginin denklemi ile verilir

Eğrinin denklemi f ( xy ) = 0 şeklinde verildiğinde eğimin değeri örtük türev alarak bulunabilir .

f ( X , Y ) = 0 olacak şekilde bir ( X , Y ) noktasındaki teğet doğrunun denklemi o zaman

Bu denklem, ancak (bu durumda teğetin eğimi sonsuzdur) ise doğru kalır . Eğer teğet çizgi tanımlanır değildir ve noktası ( X , Y ) olduğu söylenir tekil .

İçin cebirsel eğriler , hesaplamalar dönüştürerek bir şekilde basitleştirilebilmektedir homojen koordinatlarla . Spesifik olarak, eğrinin homojen denklemi g ( xyz ) = 0 olsun, burada g n derecesinin homojen bir fonksiyonudur . O zaman, eğer ( XYZ ) eğri üzerinde bulunuyorsa , Euler teoremi şu anlama gelir:

Teğet çizginin homojen denklemi şu şekildedir:

Kartezyen koordinatlardaki teğet doğrunun denklemi bu denklemde z =1 yapılarak bulunabilir .

Bunu cebirsel eğrilere uygulamak için f ( xy ) yazın

burada her u r , r derecesinin tüm terimlerinin toplamıdır . Eğrinin homojen denklemi daha sonra

Yukarıdaki denklemi uygulamak ve z =1 ayarlamak

teğet doğrunun denklemi olarak. Bu formdaki denklem, uygulandıktan sonra daha fazla basitleştirmeye gerek olmadığı için pratikte kullanımı genellikle daha basittir.

Eğrisi verilirse parametrik tarafından

o zaman teğetin eğimi

teğet çizgi için denklemi verir olarak

Eğer teğet çizgi tanımlı değil. Bununla birlikte, teğet doğrunun var olduğu ve eğrinin örtük bir denkleminden hesaplanabileceği ortaya çıkabilir.

Bir eğriye normal çizgi

Bir eğriye teğet noktasında teğet olan doğruya dik olan doğruya, o noktadaki eğrinin normal doğrusu denir . Dik doğruların eğimlerinin çarpımı -1'dir, dolayısıyla eğrinin denklemi y = f ( x ) ise normal doğrunun eğimi

ve (X, Y) noktasındaki normal doğrunun denklemi şu şekildedir:

Benzer şekilde, eğer eğrinin denklemi f ( xy ) = 0 şeklindeyse, normal doğrunun denklemi şu şekilde verilir:

Eğri parametrik olarak verilirse

o zaman normal çizginin denklemi

Eğriler arasındaki açı

İki eğrinin kesiştiği bir noktada arasındaki açı, o noktadaki teğet çizgileri arasındaki açı olarak tanımlanır. Daha spesifik olarak, bir noktada aynı tanjanta sahiplerse iki eğrinin bir noktada teğet ve teğet çizgileri dik ise ortogonal olduğu söylenir.

Bir noktada birden çok teğet

Limacon trisectrix: orijinde iki teğet olan bir eğri.

Nokta tekil bir nokta olduğunda yukarıdaki formüller başarısız olur . Bu durumda, noktadan geçen eğrinin iki veya daha fazla dalı olabilir, her dalın kendi teğet çizgisi vardır. Nokta orijin olduğunda, bu doğruların denklemleri cebirsel eğriler için orijinal denklemden en düşük dereceli terimler hariç tüm terimlerin çıkarılmasıyla oluşturulan denklemi çarpanlarına ayırarak bulunabilir. Herhangi bir nokta, değişkenlerin değiştirilmesiyle (veya eğrinin çevrilmesiyle ) orijin yapılabileceğinden, bu, herhangi bir tekil noktada teğet doğruları bulmak için bir yöntem verir.

Örneğin, sağda gösterilen limaçon trisektrisinin denklemi

Bunu genişletmek ve 2. derece dışındaki tüm terimleri ortadan kaldırmak,

hangi, çarpanlara ayrıldığında, olur

Yani bunlar orijinden geçen iki teğet doğrunun denklemleri.

Eğri kendinden geçmediği zaman, bir referans noktasındaki tanjant, başka bir yerde türevlenebilir olmasına rağmen, eğri o noktada türevlenebilir olmadığı için yine de benzersiz olarak tanımlanmayabilir. Bu durumda , değerlendirildiği nokta referans noktasına sırasıyla soldan (düşük değerler) veya sağdan (yüksek değerler) yaklaştığından , sol ve sağ türevler türevin limitleri olarak tanımlanır. Örneğin, y = | x | x = 0'da türevlenebilir değildir : sol ve sağ türevleri -1 ve 1 eğimlerine sahiptir; bu eğimlerin olduğu noktadaki teğetlere sol ve sağ teğetler denir.

Bazen sol ve sağ teğet çizgilerinin eğimleri eşittir, bu nedenle teğet çizgileri çakışır. Bu eğri için, örneğin, doğru y = x 2/3 olan sol ve sağ türevleri, her ikisi de x = 0 sonsuz; hem sol hem de sağ teğet çizgileri x = 0 denklemine sahiptir .

teğet daireler

İki çift teğet daire. Üstte içte ve altta dıştan teğet

Her ikisi de aynı düzlemde bulunan eşit olmayan yarıçaplı iki daire, yalnızca bir noktada buluşuyorlarsa birbirlerine teğet oldukları söylenir. Aynı şekilde, iki daire ile yarıçaplarının arasında r i ve en merkezleri ( x i , y i için), i  = 1, 2, eğer birbirine teğet olduğu söylenir

  • İki daire olan dıştan teğet halinde mesafe kendi merkezleri arasında kendi yarı çaplarının toplamına eşittir.
  • İki çevreler vardır içten teğet eğer mesafe kendi merkezleri arasında kendi yarıçapları arasındaki farka eşittir.

yüzeyler

Teğet düzlem a yüzeyi , belirli bir noktasında p eğrileri olması durumunda tanjant çizgisine benzer bir şekilde tanımlanır. Bu bir düzlemde yüzeye en iyi yaklaşım bir p ve yüzey yakın 3 farklı noktalardan geçen düzlemler arasında, sınırlama konumunda olarak elde edilebilir , p Bu noktalar yakınsama olarak p .

Daha yüksek boyutlu manifoldlar

Daha genel olarak, bir orada k boyutlu teğet alan bir her noktasında k boyutlu manifoldu içinde n- boyutlu Öklid alanı .

Ayrıca bakınız

Referanslar

Kaynaklar

Dış bağlantılar