Stereografik izdüşüm - Stereographic projection

Kuzey kutbundan kürenin altındaki bir düzleme stereografik projeksiyonun 3 boyutlu çizimi

Bir serinin parçası
grafik projeksiyon
Düzlemsel paralel izdüşüm Ortografik projeksiyon izometrik projeksiyon eğik projeksiyon perspektif projeksiyonu eğrisel perspektif Ters perspektif
Görüntüleme Kuşbakışı Enine kesit Kesit çizimi Patlatılmış görünüm çizimi Balıkgözü lens çoklu görünümler Panorama Solucan bakışı Yakınlaştırma objektifi
Konular 3D projeksiyon anamorfoz aksonometri Bilgisayar grafikleri Bilgisayar destekli tasarım tanımlayıcı geometri Teknik çizim Harita projeksiyonu resim düzlemi Planlar (çizimler) Projeksiyon (doğrusal cebir) projeksiyon düzlemi projektif geometri stereoskopi Teknik çizim Gerçek uzunluk Ufuk Noktası video oyunu grafikleri frustum'u izlemek
v T e

İn geometrisi , stereografik çıkıntı belirli bir eşleme (bir işlevi bir çıkıntı) bir küre , bir üzerine düzlem . İzdüşüm, bir nokta dışında tüm küre üzerinde tanımlanır: projeksiyon noktası. Tanımlandığı yerde, eşleme düzgün ve bijektiftir . Öyle konformal o korur, yani açılar eğriler karşılamak hangi. Ne izometrik ne de alan koruyucudur: yani ne mesafeleri ne de şekillerin alanlarını korur.

Sezgisel olarak, stereografik izdüşüm, küreyi bazı kaçınılmaz tavizlerle düzlem olarak hayal etmenin bir yoludur. Küre ve düzlem matematiğin ve uygulamalarının birçok alanında göründüğü için , stereografik izdüşüm de öyle; karmaşık analiz , haritacılık , jeoloji ve fotoğrafçılık gibi çeşitli alanlarda kullanım alanı bulur . Uygulamada, projeksiyon bilgisayar veya elle , stereografik ağ adı verilen , stereonet olarak kısaltılmış veya Wulff ağı adı verilen özel bir grafik kağıdı kullanılarak gerçekleştirilir .

Tarih

Tarafından İllüstrasyon Rubens için tarafından, "Opticorum libri seks Juxta ac mathematicis UTILES philosophis" François d'Aguilon . Stereografik projeksiyonun özel bir durumu olduğu genel bir perspektif projeksiyon ilkesini gösterir.

Stereografik projeksiyon Hipparchus , Ptolemy ve muhtemelen daha önce Mısırlılar tarafından biliniyordu . Başlangıçta planisfer izdüşümü olarak biliniyordu. Ptolemy'nin Planisphaerium'u , onu tanımlayan hayatta kalan en eski belgedir. En önemli kullanımlarından biri, gök haritalarının temsiliydi . Terimi planisphere hala bu tür grafikler başvurmak için kullanılır.

16. ve 17. yüzyılda, stereografik projeksiyonun ekvator yönü, Doğu ve Batı Yarımküre haritaları için yaygın olarak kullanıldı . Daha sonra Jean Roze (1542), Rumold Mercator (1595) ve diğerlerinin haritaları gibi, 1507'de Gualterius Lud tarafından oluşturulan haritanın da stereografik projeksiyonda olduğuna inanılıyor . Yıldız haritalarında, bu ekvator yönü bile Ptolemy gibi eski astronomlar tarafından zaten kullanılmıştı .

François d'Aguilon , 1613 tarihli Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles (Filozoflar ve matematikçiler için aynı şekilde faydalı olan Altı Optik Kitap ) adlı çalışmasında stereografik izdüşüme şu anki adını vermiştir .

1695'te Edmond Halley , yıldız haritalarına olan ilgisinden hareketle , bu haritanın uyumlu olduğuna dair ilk matematiksel kanıtı yayınladı . Arkadaşı Isaac Newton tarafından icat edilen yeni kurulan kalkülüs araçlarını kullandı .

Tanım

İlk formülasyon

Birim kürenin kuzey kutbundan z = 0 düzlemine stereografik izdüşümü, burada enine kesitte gösterilmiştir

Birim küre S ² içinde üç boyutlu bir alan R, ³ noktaları kümesi olan ( x , y , z ) , örneğin x ² + y ² + z ² = 1 . Let , N = (0, 0, 1) "kuzey kutbu" olabilir ve izin M kürenin geri kalanında. z = 0 düzlemi kürenin merkezinden geçer; "ekvator", kürenin bu düzlemle kesişimidir.

M üzerindeki herhangi bir P noktası için , N ve P boyunca benzersiz bir doğru vardır ve bu doğru z = 0 düzlemini tam olarak bir P' noktasında keser . Tanımlama stereografik çıkıntı arasında P bu noktada olması için P ' düzlemde.

Olarak kartezyen koordinatları ( x , y , z ) küre ve ilgili ( X , Y ) düzleminde, çıkıntı ve ters formülleri ile verilen

${\displaystyle {\begin{hizalı}(X,Y)&=\left({\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\sağ),\\ (x,y,z)&=\left({\frac {2X}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {2Y}{1+X^{2}+ Y^{2}}},{\frac {-1+X^{2}+Y^{2}}{1+X^{2}+Y^{2}}}\sağ).\end{ hizalı}}}$

Olarak küresel koordinatlar ( cp , θ ) (kürenin üzerinde cp zenit açısı , 0 ≤ cp ≤ tt ve İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin azimut , 0 ≤ θ ≤ de 2Ï € ) ve kutup koordinatları ( R , Θ ) düzlemi, çıkıntı ve üzerinde onun tersi

${\displaystyle {\begin{aligned}(R,\Theta )&=\left({\frac {\sin \varphi }},\theta \right)=\left(\cot {\frac {\varphi }{2}},\theta \sağ),\\(\varphi ,\theta )&=\left(2\arctan {\frac {1}{R}},\Theta \right ).\end{hizalanmış}}}$

Burada, φ değeri sahip olduğu anlaşılır TT zaman R ' 0 Ayrıca kullanarak bu formüller yeniden bir çok yolu vardır = trigonometrik kimlikleri . Olarak silindirik koordinat ( R , θ , z ) küre ve kutupsal koordinatlarda ( R , Θ ) düzleminde, çıkıntı ve tersi olan

${\displaystyle {\begin{hizalı}(R,\Theta )&=\left({\frac {r}{1-z}},\theta \sağ),\\(r,\theta ,z)& =\left({\frac {2R}{1+R^{2}}},\Theta ,{\frac {R^{2}-1}{R^{2}+1}}\sağ). \end{hizalanmış}}}$

Diğer sözleşmeler

Birim kürenin kuzey kutbundan z = -1 düzlemine stereografik izdüşümü, burada enine kesitte gösterilmiştir

Bazı yazarlar, kuzey kutbundan (0, 0, 1) , güney kutbundaki (0, 0, -1) birim küreye teğet olan z = -1 düzlemine stereografik izdüşümü tanımlar . Bu izdüşüm tarafından üretilen X ve Y değerleri , önceki bölümde açıklanan ekvator izdüşümünün ürettiği değerlerin tam olarak iki katıdır. Örneğin, bu izdüşüm ekvatoru orijinde merkezlenmiş yarıçapı 2 olan daireye gönderir. Ekvator izdüşümü ekvator boyunca sonsuz küçük alan distorsiyonu üretmezken, bu kutup teğet izdüşüm bunun yerine güney kutbunda sonsuz küçük alan distorsiyonu üretmez.

Diğer yazarlar bir yarıçap küresi kullanır 1/2ve düzlem z = -1/2. Bu durumda formüller

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}(x,y,z)\rightarrow (\xi ,\eta )&=\left({\frac {x}{{\frac {1}{2}}-z} },{\frac {y}{{\frac {1}{2}}-z}}\sağ),\\(\xi ,\eta )\rightarrow (x,y,z)&=\left( {\frac {\xi } {1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {\eta }} {1+\xi ^{2}+\eta ^{2}} },{\frac {-1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}{2+2\xi ^{2}+2\eta ^{2}}}\sağ).\end{ hizalı}}}$

Bir kürenin bir Q noktasından E düzlemine stereografik izdüşümü, burada enine kesitte gösterilmiştir

Genel olarak, küre üzerindeki herhangi bir Q noktasından herhangi bir E düzlemi üzerine bir stereografik izdüşüm tanımlanabilir .

• E , Q boyunca çapa diktirve
• E , Q içermez.

Sürece e herhangi bir nokta için, daha sonra, bu şartları yerine P dışında Q aracılığıyla hat , P ve Q uygun E tam olarak bir nokta olarak P ' stereografik çıkıntısı olarak tanımlanır, P üzerine E .

genellemeler

Daha genel olarak, stereografik projeksiyon birimi uygulanabilir n -sphere S ^{, n} (içinde , n  + 1) boyutlu Öklid alan E ^{n + 1} . Eğer S bir nokta S ^{, n} ve D , bir hiper içinde E ^{, n + 1} , daha sonra bir noktaya stereografik projeksiyon P ∈ S ^N - { S } nokta P ' hattı kesişme QP ile E . Gelen Kartezyen koordinatlarında ( x _i , i 0 ila n üzerine) S ^{, n} (ve X _i , i , 1 ila n üzerine) E , çıkıntının Q = (1, 0, 0, ..., 0) ∈ S ⁿ tarafından verilir

${\displaystyle X_{i}={\frac {x_{i}}{1-x_{0}}}\quad (i{\text{ }}1{\text{ ile }}n)}$.

tanımlama

${\displaystyle s^{2}=\sum _{j=1}^{n}X_{j}^{2}={\frac {1+x_{0}}{1-x_{0}}} }$,

tersi ile verilir

${\displaystyle x_{0}={\frac {s^{2}-1}{s^{2}+1}}\quad {\text{and}}\quad x_{i}={\frac { 2X_{i}}{s^{2}+1}}\quad (i{\text{ }}1{\text{ ile }}n)}$.

Daha da genel olarak, bu varsayalım S bir (tekil olmayan) bir kuadratik hiperyüzey olarak yansıtmalı alan P ^{, n + 1} . Diğer bir deyişle, S olmayan tekil karesel bir şekilde sıfırlarının lokustur f ( x ₀ , ..., x _{, n + 1} ), içinde homojen koordinatlar x _i . Herhangi bir nokta saptamak Q üzerindeki S ve hiper E olarak P ^{, n + 1} ihtiva etmeyen Q . O zaman S - { Q } içindeki bir P noktasının stereografik izdüşümü , QP'nin E ile kesiştiği benzersiz noktadır . Daha önce olduğu gibi, stereografik izdüşüm uyumlu ve "küçük" bir kümenin dışında ters çevrilebilir. Stereografik izdüşüm, kuadrik hiperyüzeyi rasyonel bir hiperyüzey olarak sunar . Bu yapı cebirsel geometride ve konformal geometride rol oynar .

Özellikler

Önceki bölümde tanımlanan ilk stereografik izdüşüm, birim kürenin "güney kutbunu" (0, 0, -1) (0, 0)'a, ekvatoru birim çembere , güney yarım küreyi çemberin içindeki bölgeye gönderir. , ve kuzey yarımküre çemberin dışındaki bölgeye.

Projeksiyon, N = (0, 0, 1) projeksiyon noktasında tanımlı değil . Bu noktanın küçük komşulukları, (0, 0) noktasından çok uzaktaki düzlemin alt kümelerine gönderilir. P (0, 0, 1)'e ne kadar yakınsa , görüntüsü düzlemde (0, 0)'dan o kadar uzaktır. Bu nedenle, (0, 0, 1)'den düzlemde "sonsuz"a eşleme olarak ve küreden de sonsuzda bir nokta ekleyerek düzlemi tamamlama olarak bahsetmek yaygındır . Bu kavram, projektif geometride ve karmaşık analizde fayda sağlar . Yalnızca topolojik düzeyde, kürenin, düzlemin tek noktalı kompaktlaşmasına nasıl homeomorfik olduğunu gösterir .

Olarak kartezyen koordinatları , bir nokta P ( x , y , z ) küre ve görüntü ile ilgili P ' ( X , Y ), uçağa ya da her ikisi de rasyonel noktalar ya da bunların hiçbiri:

${\displaystyle P\in \mathbb {Q} ^{3}\iff P'\in \mathbb {Q} ^{2}}$

Düzlemdeki bir Kartezyen ızgara, küre üzerinde çarpık görünüyor. Izgara çizgileri hala diktir, ancak ızgara karelerin alanları kuzey kutbuna yaklaştıkça küçülür.

Düzlemdeki bir kutupsal ızgara, küre üzerinde çarpık görünüyor. Izgara eğrileri hala diktir, ancak ızgara sektörlerinin alanları kuzey kutbuna yaklaştıkça küçülür.

Stereografik izdüşüm konformaldir, yani eğrilerin birbiriyle kesiştiği açıları korur (şekillere bakın). Öte yandan, stereografik projeksiyon alanı korumaz; genel olarak, kürenin bir bölgesinin alanı, onun düzleme izdüşümü alanına eşit değildir. Alan öğesi ( X , Y ) koordinatlarında şu şekilde verilir :

${\displaystyle dA={\frac {4}{(1+X^{2}+Y^{2})^{2}}}\;dX\;dY.}$

X ² + Y ² = 1 olduğu birim çember boyunca, limitte alan şişmesi yoktur, bu da 1 ölçek faktörü verir. keyfi olarak küçük faktörler tarafından şişirilir.

Metrik ( X , Y ) koordinatlarında şu şekilde verilir :

${\displaystyle {\frac {4}{(1+X^{2}+Y^{2})^{2}}}\;(dX^{2}+dY^{2}),}$

ve bulunan eşsiz bir formül Bernhard Riemann sitesindeki Habilitationsschrift 1854 Göttingen teslim geometri temelleri üzerinde ve başlıklı Über die Hypothesen welche der Geometri zu Grunde liegen .

Küreden düzleme giden hiçbir harita hem uyumlu hem de alan koruyucu olamaz. Öyle olsaydı, yerel bir izometri olurdu ve Gauss eğriliğini korurdu . Küre ve düzlem farklı Gauss eğrilerine sahiptir, dolayısıyla bu imkansızdır.

Küre üzerinde Çemberleri do not projeksiyon noktasından geçtikleri uçağa çevrelere tahmin edilmektedir. Küre Daireler yok çıkıntının alanına geçmesine düzlemde düz çizgiler tahmin edilmektedir. Bu çizgiler bazen sonsuzdaki noktadan geçen daireler veya sonsuz yarıçaplı daireler olarak düşünülür.

Düzlemdeki tüm çizgiler, stereografik izdüşümün tersi ile küre üzerinde daireye dönüştürüldüğünde, izdüşüm noktasında buluşur. Düzlemde kesişmeyen paralel doğrular, izdüşüm noktasında teğet çemberlere dönüştürülür. Kesişen çizgiler , biri izdüşüm noktası olan küredeki iki noktada çapraz olarak kesişen dairelere dönüştürülür . (Benzer açıklamalar gerçek yansıtmalı düzlem için geçerlidir , ancak burada kesişme ilişkileri farklıdır.)

Farklı renklerde gösterilen çeşitli loxodromları olan küre

Loxodromes küre formunda düzleminde eğrilerine harita

${\displaystyle R=e^{\Theta /a},\,}$

burada a parametresi loksodromun "sıkılığını" ölçer. Böylece loxodromlar logaritmik spirallere karşılık gelir . Bu spiraller, düzlemdeki radyal çizgileri eşit açılarda keser, tıpkı loxodromların küre üzerindeki meridyenleri eşit açılarla kesmesi gibi.

Stereografik izdüşüm, düzlemin ters çevrilmesiyle basit bir şekilde ilgilidir. P ve Q , düzlemde P' ve Q' çıkıntıları olan küre üzerinde iki nokta olsun . O halde P' ve Q' , ancak ve ancak P' ve Q'nun ekvator düzleminde birbirlerinin yansımaları olması durumunda, ekvator çemberinin görüntüsünde birbirlerinin ters çevrilmiş görüntüleridir .

Başka bir deyişle, eğer:

• P küre üzerinde bir noktadır, ancak bir 'kuzey kutbu'değildir N ve onun antipodu , 'güney kutbu' S değildir ,
• P' , P'nin projeksiyon noktası N olan bir stereografik izdüşümdekigörüntüsüdürve
• P″ ,projeksiyon noktası S olan bir stereografik projeksiyonda P'nin görüntüsüdür,

Daha sonra P ' ve P " birim çember içinde birbirinin tersinir görüntülerdir.

${\displaystyle \triangle NOP^{\prime }\sim \triangle P^{\prime \prime }OS\ OP^{\prime } anlamına gelir:ON=OS:OP^{\prime \prime }\OP^{ anlamına gelir \prime }\cdot OP^{\prime \prime }=r^{2}}$

Wulff ağı

Wulff ağı veya stereonet, stereografik projeksiyonun çizimlerini elle yapmak için kullanılır

Merkezi C ve projeksiyon düzlemi olan bir stereografik projeksiyon ile bir Wulff ağının (kırmızı daire içinde dairesel ağ) oluşturulması${\görüntüleme stili\pi }$

Stereografik izdüşüm çizimleri, yukarıda verilen açık formüller kullanılarak bir bilgisayar tarafından gerçekleştirilebilir. Bununla birlikte, elle grafik çizmek için bu formüller hantaldır. Bunun yerine, özellikle görev için tasarlanmış grafik kağıdı kullanmak yaygındır. Bu özel grafik kağıdına Rus mineralog George (Yuri Viktorovich) Wulff'tan sonra stereonet veya Wulff ağı denir .

Burada gösterilen Wulff ağı , ekvator üzerindeki bir noktada (örneğin bir gezegenin Doğu veya Batı yarım küresi) merkezlenmiş bir yarımkürenin paralel ve meridyen ızgarasının stereografik izdüşümüdür .

Şekilde, stereografik projeksiyonun alan-bozma özelliği, ağın merkezine yakın bir ızgara sektörü ile en sağdaki veya soldaki bir ızgara sektörü karşılaştırılarak görülebilir. İki sektör küre üzerinde eşit alanlara sahiptir. Diskte, ikincisi öncekinin yaklaşık dört katı alana sahiptir. Izgara daha ince yapılırsa bu oran tam olarak 4'e yaklaşır.

Wulff ağında, paralellerin ve meridyenlerin görüntüleri dik açılarda kesişir. Bu ortogonallik özelliği, stereoskopik projeksiyonun açı koruma özelliğinin bir sonucudur. (Ancak, açıyı koruma özelliği bu özellikten daha güçlüdür. Paralellerin ve meridyenlerin dikliğini koruyan tüm izdüşümler açı koruyucu değildir.)

Bir Wulff ağında bir nokta çizmek için 1-4 arasındaki adımların çizimi

Wulff ağının kullanımına bir örnek olarak, ince kağıt üzerinde, biri diğerinin üzerinde, hizalanmış ve karşılıklı merkezlerinde zımbalanmış iki kopyasını hayal edin. Alt birim yarımkürede, küresel koordinatları (140°, 60°) ve Kartezyen koordinatları (0,321, 0,557, -0,766) olan nokta P olsun . Bu nokta, pozitif x ekseninden saat yönünün tersine 60° (veya pozitif y ekseninden saat yönünde 30° ) ve yatay düzlem z = 0'ın 50° altına yönlendirilmiş bir çizgi üzerinde yer alır . Bu açılar bilindikten sonra, P ' yi çizmek için dört adım vardır :

1. Buradaki şekillerde 10° aralıklı ızgara çizgilerini kullanarak, ağın kenarında (1, 0) noktasından saat yönünün tersine 60° (veya (0, 1 noktasından saat yönünde 30°) olan noktayı işaretleyin. )).
2. Bu nokta alt ağda (1, 0) ile hizalanana kadar üst ağı döndürün.
3. Alt ağdaki ızgara çizgilerini kullanarak, o noktadan merkeze doğru 50° olan noktayı işaretleyin.
4. Alt ağ ile aynı hizaya getirmek için üst ağı daha önce yönlendirildiği yönün tersine döndürün. 3. adımda işaretlenen nokta, istediğimiz izdüşümdür.

Açıları 60° ve 50° gibi yuvarlak sayılar olmayan diğer noktaları çizmek için, en yakın ızgara çizgileri arasında görsel olarak enterpolasyon yapılmalıdır. 10°'den daha ince aralıklı bir ağa sahip olmak yararlıdır. 2°'lik aralıklar yaygındır.

Küre üzerindeki iki nokta arasındaki merkezi açıyı stereografik çizimlerine göre bulmak için , grafiği bir Wulff ağı üzerine yerleştirin ve grafiği, iki nokta bir meridyen üzerinde veya yakınında bulunana kadar merkez etrafında döndürün. Ardından, o meridyen boyunca ızgara çizgilerini sayarak aralarındaki açıyı ölçün.

• 

  İki nokta P ₁ ve P ₂ , bir Wulff ağının orijininde zımbalanmış şeffaf bir kağıda çizilir.

• 

  Saydam tabaka döndürülmüş ve merkezi açısı, her iki nokta için ortak meridyen boyunca okunur P ₁ ve P ₂ .

Matematik içindeki uygulamalar

Karmaşık analiz

Karmaşık düzlem ve üstündeki Riemann küresi

Herhangi bir stereografik izdüşüm, küre üzerindeki bir noktayı (izdüşüm noktası) kaçırsa da, tüm küre, farklı izdüşüm noktalarından iki izdüşüm kullanılarak haritalanabilir. Başka bir deyişle, küre düzlemden iki stereografik parametreleme (izdüşümlerin tersi) ile kaplanabilir . Parametrizasyonlar , küre üzerinde aynı yönelimi sağlamak için seçilebilir . Birlikte, küreyi yönlendirilmiş bir yüzey (veya iki boyutlu manifold ) olarak tanımlarlar .

Bu yapı, karmaşık analizde özel bir öneme sahiptir. Gerçek düzlemdeki ( X , Y ) noktası ζ = X + i Y karmaşık sayısı ile tanımlanabilir . Kuzey kutbundan ekvator düzlemine stereografik izdüşüm daha sonra

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &={\frac {x+iy}{1-z}},\\\\(x,y,z)&=\left({\frac {2\ operatöradı {Re} \zeta {1+{\bar {\zeta }}\zeta }},{\frac {2\operatöradı {Im} \zeta }{1+{\bar {\zeta }}\zeta } },{\frac {-1+{\bar {\zeta }}\zeta {1+{\bar {\zeta }}\zeta }}\sağ).\end{hizalı}}}$

Benzer şekilde, ξ = X − i Y'nin başka bir karmaşık koordinat olmasına izin vererek , fonksiyonlar

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi &={\frac {x-iy}{1+z}},\\(x,y,z)&=\left({\frac {2\operatöradı { Re} \xi {1+{\bar {\xi }}\xi }},{\frac {-2\operatöradı {Im} \xi } {1+{\bar {\xi }}\xi }} ,{\frac {1-{\bar {\xi }}\xi }{1+{\bar {\xi }}\xi }}\sağ)\end{hizalı}}}$

güney kutbundan ekvator düzlemine bir stereografik izdüşüm tanımlar. ζ - ve ξ - koordinatları arasındaki geçiş haritaları ζ =1/ξve ξ =1/ζİle ζ olarak 0 yaklaşan ξ sonsuza gider ve tam tersi . Bu kompleks sayılar ve aslında bütün bir teori için sonsuz zarif ve kullanışlı kavramını kolaylaştırır meromorfik fonksiyonları için haritalama Riemann küresinin . Birim küre üzerindeki standart metrik , Riemann küresi üzerindeki Fubini–Study metriği ile uyumludur .

Çizgilerin ve düzlemlerin görselleştirilmesi

Bir fcc kristalindeki sekiz <111> bölgesinden dördünün Kikuchi çizgilerinin animasyonu . Uçtan uca düzlemler (bantlı çizgiler) sabit açılarda kesişir.

Üç boyutlu uzayda orijinden geçen tüm çizgilerin kümesi, gerçek yansıtmalı düzlem adı verilen bir uzay oluşturur . O olamaz, çünkü bu düzlem, görselleştirmek zordur gömülü üç boyutlu uzayda.

Ancak, aşağıdaki gibi bir disk olarak görselleştirilebilir. Orijinden geçen herhangi bir doğru, güney yarımküre z  ≤ 0 ile bir noktada kesişir ve bu daha sonra XY düzlemindeki bir disk üzerindeki bir noktaya stereografik olarak yansıtılabilir. Orijinden geçen yatay çizgiler, güney yarımküreyi ekvator boyunca diskin sınırına uzanan iki zıt noktada keser. Yansıtılan iki noktadan herhangi biri diskin parçası olarak kabul edilebilir; ekvator üzerindeki antipodal noktaların 3 uzayda tek bir çizgiyi ve yansıtılan diskin sınırında tek bir noktayı temsil ettiği anlaşılmaktadır (bkz. bölüm topolojisi ). Böylece, başlangıç ​​noktasından geçen herhangi bir çizgi dizisi, yansıtılan diskte bir dizi nokta olarak resmedilebilir. Ancak sınır noktaları, sıradan 2 boyutlu bir diskin sınır noktalarından farklı davranırlar, çünkü bunlardan herhangi biri aynı anda diskin karşıt taraflarındaki iç noktalara yakındır (tıpkı orijinden geçen neredeyse yatay iki çizginin noktalara yansıyabilmesi gibi). diskin karşı taraflarında).

Ayrıca, orijinden geçen her düzlem, birim küreyi düzlemin izi olarak adlandırılan büyük bir daire içinde keser . Bu daire, stereografik izdüşüm altında bir daireye eşlenir. Böylece izdüşüm, düzlemleri diskteki dairesel yaylar olarak görselleştirmemizi sağlar. Bilgisayarların bulunmasından önce, büyük daireleri olan stereografik projeksiyonlar, genellikle bir ışın pusulasının kullanılmasını gerektiren geniş yarıçaplı yayların çizilmesini içeriyordu . Bilgisayarlar artık bu görevi çok daha kolay hale getiriyor.

Her bir düzlemle ayrıca, düzlemin kutbu adı verilen , orijinden geçen ve düzleme dik olan benzersiz bir çizgi vardır . Bu çizgi, orijinden geçen herhangi bir çizgi gibi, disk üzerinde bir nokta olarak çizilebilir. Böylece stereografik izdüşüm, düzlemleri diskteki noktalar olarak görselleştirmemize de izin verir. Birçok düzlem içeren çizimler için, kutuplarını çizmek, izlerini çizmekten daha az karmaşık bir resim üretir.

Bu yapı, aşağıda açıklandığı gibi kristalografi ve jeolojide yönlü verileri görselleştirmek için kullanılır.

Diğer görselleştirme

Stereografik çıkıntı da görselleştirilmesi uygulanır Politopunun . Bir de Schlegel diyagramı , bir N de boyutlu politop R ^{, n + 1} , bir yansımaktadır n sonra stereographically yansımaktadır boyutlu küre, R ^{, n} . Dan azalma R ^{n 1} ile R ⁿ görselleştirmek ve anlamak politop kolaylaştırabilir.

aritmetik geometri

Rasyonel noktası hattının rasyonel noktalarına stereografik çıkıntının altında bir çevre karşılık gelmektedir, açık.

Temel aritmetik geometride , birim çemberden stereografik izdüşüm, tüm ilkel Pisagor üçlülerini tanımlamak için bir araç sağlar . Spesifik olarak, üzerine kuzey kutbu (0,1) stereografik çıkıntı x -Axis arasında bire bir uygunlukta verir rasyonel sayı noktaları ( x , y ) ile (birim çember üzerinde y 1 ≠ ) ve rasyonel noktaları ve x -Axis. eğer (m/n, 0) x ekseni üzerinde rasyonel bir noktadır , o zaman ters stereografik izdüşüm noktasıdır

${\displaystyle \left({\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}},{\frac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+ n^{2}}}\sağ)}$

bu da bir Pisagor üçlüsü için Öklid'in formülünü verir.

Teğet yarım açı ikamesi

Trigonometrik fonksiyon çifti (sin x , cos x ) birim çemberin parametreleştirilmesi olarak düşünülebilir. Stereografik izdüşüm, birim çemberin alternatif bir parametrelendirmesini verir:

${\displaystyle \cos x={\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}},\quad \sin x={\frac {2t}{t^{2}+1 }}.}$

Bu yeniden parametrelendirme altında , birim çemberin uzunluk elemanı dx ,

${\displaystyle dx={\frac {2\,dt}{t^{2}+1}}.}$

Bu ikame bazen trigonometrik fonksiyonları içeren integralleri basitleştirebilir .

Diğer disiplinlere başvurular

haritacılık

Haritacılığın temel sorunu, küreden düzleme kadar hiçbir haritanın hem açıları hem de alanları doğru bir şekilde temsil edememesidir. Genel olarak, istatistiksel uygulamalar için alanı koruyan harita projeksiyonları tercih edilirken, navigasyon için açıyı koruyan (konformal) harita projeksiyonları tercih edilir .

Stereografik projeksiyon ikinci kategoriye girer. İzdüşüm Dünya'nın kuzey veya güney kutbunda merkezlendiğinde, arzu edilen ek özelliklere sahiptir: Başlangıç noktasından yayılan ışınlara meridyenler ve orijin merkezli dairelere paraleller gönderir .

• 

  30°G'nin kuzeyindeki dünyanın stereografik izdüşümü. 15° ızgara.

• 

  Tissot deformasyon göstergesi ile stereografik izdüşüm .

gezegen bilimi

Ay'ın 60° kuzey kutuplarını gösteren bir stereografik izdüşümü . Küre üzerinde daire olan kraterler , bu izdüşümde, direğe yakın veya haritanın kenarına yakın olmasına bakılmaksızın dairesel görünür.

Stereografik tüm haritalar sadece projeksiyonu bir küre üzerinde çevreleri için bir uçağa çevreler . Bu özellik, kraterlerin tipik özellikler olduğu gezegen haritalamasında değerlidir. Çıkıntının noktasından geçen çemberlerin grubu sınırsız yarıçapına sahiptir, ve bu nedenle de dejenere satırlara.

kristalografi

İçin bir kristalografik kutup Şekil elmas kafes içinde [111] yönüne

Gelen kristalografisi , yönelimleri kristal üç boyutlu uzayda eksenleri ve yüzlere yorumlanmasında, örneğin merkezi bir geometrik endişe X-ışını ve elektron difraksiyon desenleri. Bu yönelimler, yukarıdaki Çizgilerin ve düzlemlerin görselleştirilmesi bölümünde olduğu gibi görselleştirilebilir . Yani, kristal eksenleri ve kristal düzlemlere kutuplar kuzey yarımküre ile kesişir ve daha sonra stereografik izdüşüm kullanılarak çizilir. Kutupların grafiğine kutup figürü denir .

Olarak elektron difraksiyonu , Kikuchi hattı çifti örgü düzlem izleri arasındaki kesişim dekorasyon bantları olarak görünür Ewald Küresi böylece sağlayan deneysel erişimi , bir kristalin stereografik projeksiyona. Model Kikuchi, karşılıklı uzayda haritalar ve doğrudan uzayda viraj konturları ile kullanım için saçak görünürlük haritaları, böylece transmisyon elektron mikroskobunda kristallerle oryantasyon uzayını keşfetmek için yol haritaları görevi görür .

jeoloji

Yapısal jeolojide düzlemsel ve doğrusal verileri çizmek için alt yarıküre stereografik projeksiyonun kullanımı, kaygan kenar çizgili bir fay düzlemi örneğini kullanarak

Yapısal jeolojideki araştırmacılar, birçok nedenden dolayı düzlemlerin ve çizgilerin yönelimleri ile ilgilenmektedir. Yapraklanma kaya sık olarak adlandırılan lineer özelliği içeren düzlemsel bir özelliğidir lineasyonu . Benzer şekilde, bir fay düzlemi, kaygan kenarlar gibi doğrusal özellikler içerebilen düzlemsel bir özelliktir .

Çizgilerin ve düzlemlerin çeşitli ölçeklerdeki bu yönelimleri, yukarıdaki Çizgilerin ve düzlemlerin Görselleştirilmesi bölümünün yöntemleri kullanılarak çizilebilir . Kristalografide olduğu gibi, düzlemler tipik olarak kutuplarına göre çizilir. Kristalografiden farklı olarak, kuzey yarımküre yerine güney yarımküre kullanılır (çünkü söz konusu jeolojik özellikler Dünya yüzeyinin altındadır). Bu bağlamda, stereografik izdüşüm genellikle eşit açılı alt yarım küre izdüşümü olarak adlandırılır . Lambert azimut eşit alan projeksiyonu tarafından tanımlanan eşit alanlı alt yarımküre projeksiyonu da, özellikle çizim, yoğunluk konturu gibi sonraki istatistiksel analizlere tabi tutulacağı zaman kullanılır .

Fotoğrafçılık

Son Supper heykel küresel panorama Stereografik projeksiyon Michele Vedani içinde Esino Lario sırasında, Lombardiya, İtalya wikimania 2016

"Vue circulaire des montagnes qu'on découvre du sommet du Glacier de Buet", Horace-Benedict de Saussure, Voyage dans les Alpes, Geneve'nin en iyi tarihi ve tarihi . Neuchatel, 1779–96, pl. 8.

Bazı balıkgözü lensler , geniş açılı bir görüntü yakalamak için stereografik projeksiyon kullanır. Eşit alanlı projeksiyon kullanan daha geleneksel balıkgözü lenslerle karşılaştırıldığında, kenara yakın alanlar şekillerini korur ve düz çizgiler daha az kavislidir. Bununla birlikte, stereografik balıkgözü lenslerin üretimi tipik olarak daha pahalıdır. Panotools gibi görüntü yeniden eşleme yazılımı, fotoğrafların eşit alanlı bir balık gözünden bir stereografik projeksiyona otomatik olarak yeniden eşlenmesini sağlar.

Stereografik projeksiyon, 1779'da Horace Bénédict de Saussure'ünkiyle başlayarak, küresel panoramaları haritalamak için kullanılmıştır. Bu, küçük bir gezegen (izdüşüm merkezi en alt nokta olduğunda ) ve bir tüp (izdüşüm merkezi olduğunda ) olarak bilinen etkilerle sonuçlanır. olan başucu ).

Panoramaları diğer azimut projeksiyonlarına göre haritalamak için stereografik projeksiyonları kullanmanın popülaritesi, projeksiyonun uygunluğundan kaynaklanan şeklin korunmasına atfedilir.

Ayrıca bakınız

• Harita projeksiyonlarının listesi
• Astrolab
• Astronomik Saat
• Poincare disk modeli , hiperbolik düzlemin benzer haritalaması
• Haritacılıkta stereografik izdüşüm

Referanslar

Kaynaklar

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Stereografik projeksiyon" . Matematik Dünyası .
• Stereografik Projeksiyon üzerinde PlanetMath
• Stereografik Projeksiyon ve Tersi gelen Kes-Knot
• DoITPoMS Öğretme ve Öğrenme Paketi - "Sterografik Projeksiyon"

Videolar

• Küredeki daireleri düzlemdeki dairelere götüren Stereografik Projeksiyon hakkında kanıt
• Zaman Atlama Stereografik Projeksiyon üzerinde Vimeo

Yazılım

• Stereografik projeksiyon için ücretsiz ve açık kaynaklı python programı - PTCLab
• Sphaerica yazılımı, stereografik projeksiyonda küresel yapıları görüntüleme yeteneğine sahiptir.
• Üç boyutlu Java Uygulaması

Mini gezegen panoramaları

• Çoğunluğu Birleşik Krallık'ta olan mini gezegen panoramalarına örnekler
• Miniplanet panorama örnekleri, çoğunluğu Çek Cumhuriyeti'nde
• Polonya'da çoğunlukta olan mini gezegen manzaralarına örnekler