Ara değer teoremi - Intermediate value theorem

Ara değer teoremi: f ,

[a, b]

üzerinde tanımlanan sürekli bir fonksiyon olsun ve s , f ( a ) < s < f ( b ) ile bir sayı olsun . Daha sonra, bazı vardır x arasında bir ve b , öyle ki f ( x ) = s .

Olarak matematiksel analiz , ara değer teoremi eğer bildiren f a, sürekli fonksiyon olan alan içeren aralık $[a, b]$ , o zaman arasındaki herhangi bir değer alır f ( a ) ve f ( b aralığı içinde bir noktada) .

Bunun iki önemli sonucu vardır :

Bir sürekli fonksiyon, bir aralık içinde zıt işaretli değerlere sahipse , o aralıkta bir kökü vardır ( Bolzano teoremi ).
Görüntü bir aralık zarfında bir sürekli fonksiyonun bir aralık kendisidir.

Motivasyon

ara değer teoremi

Bu, gerçek sayılar üzerinde sürekli fonksiyonların sezgisel bir özelliğini yakalar : bilinen f (1) = 3 ve f (2) = 5 değerleriyle [1, 2] üzerinde f sürekli verilir , ardından y = f ( x ) grafiği x 1'den 2'ye hareket ederken yatay y = 4 çizgisinden geçmelidir. Kapalı bir aralıkta sürekli bir fonksiyonun grafiğinin kağıttan kalem kaldırmadan çizilebileceği fikrini temsil eder.

teorem

Ara değer teoremi aşağıdakileri belirtir:

Bir reel sayı aralığı ve sürekli bir fonksiyon düşünün . Sonra ${\görüntüleme stili I=[a,b]}$ $\mathbb {R}$ $f\colon I\to \mathbb {R}$

Sürüm I. if ve arasında bir sayıysa , yani, ${\görüntüleme stili u}$ ${\görüntüleme stili f(a)}$ ${\görüntüleme stili f(b)}$ $\min(f(a),f(b))<u<\max(f(a),f(b))),$ o zaman öyle bir şey var ki . ${\görüntüleme stili c\in (a,b)}$ ${\görüntüleme stili f(c)=u}$
Sürüm II. Resim grubu aynı zamanda bir aralık ve içerdiği , ${\görüntüleme stili f(I)}$ ${\bigl [}\min(f(a),f(b)),\max(f(a),f(b)){\bigr ]}$

Açıklama: Versiyon II , fonksiyon değerleri kümesinde boşluk olmadığını belirtir . Herhangi iki fonksiyon değeri için ve arasındaki aralığın dışında olsalar bile, aralıktaki tüm noktalar aynı zamanda fonksiyon değerleridir, ${\görüntüleme stili c<d}$ ${\görüntüleme stili f(a)}$ ${\görüntüleme stili f(b)}$ ${\bigl [}c,d{\bigr ]}$

{\bigl [}c,d{\bigr ]}\subseteq f(I)

.

Gerçek sayıların iç boşluk içermeyen bir alt kümesi, bir aralıktır. Sürüm I , doğal olarak Sürüm II'de bulunur .

Tamlık ilişkisi

Teorem , gerçek sayıların eksiksizliğine bağlıdır ve buna eşdeğerdir . Ara değer teoremi Q rasyonel sayılarına uygulanmaz çünkü rasyonel sayılar arasında boşluklar vardır; irrasyonel sayılar bu boşlukları doldurur. Örneğin, işlev için tatmin ve . Ancak, hiçbir rasyonel sayı vardır böyle , çünkü irrasyonel bir sayıdır. $f(x)=x^{2}-2$ $x\in \mathbb {Q}$ ${\görüntüleme stili f(0)=-2}$ ${\görüntüleme stili f(2)=2}$ ${\görüntüleme stili x}$ ${\görüntüleme stili f(x)=0}$ ${\sqrt {2}}$

Kanıt

Teorem , gerçek sayıların tamlık özelliğinin bir sonucu olarak aşağıdaki gibi kanıtlanabilir :

İlk durumu kanıtlayacağız, . İkinci durum da benzer. ${\görüntüleme stili f(a)<u<f(b)}$

Tüm böyle küme olsun . Sonra , bir öğesi olduğundan boş değildir . Yana boş olmayan ve yukarıda sınırlanan bir bütünlüğü ile, sup bulunmaktadır. Yani, her bir üyesine eşit veya ondan büyük olan en küçük sayıdır . Bunu iddia ediyoruz . ${\görüntüleme stili S}$ $x\in [a,b]$ $f(x)\leq u$ ${\görüntüleme stili S}$ ${\görüntüleme stili bir}$ ${\görüntüleme stili S}$ ${\görüntüleme stili S}$ ${\görüntüleme stili b}$ ${\ Displaystyle c=\sup S}$ ${\görüntüleme stili c}$ ${\görüntüleme stili S}$ ${\görüntüleme stili f(c)=u}$

Bazılarını düzelt . Yana süreklidir, bir var böyle durumlarda . Bunun anlamı şudur ki $\varepsilon >0$ ${\görüntüleme stili f}$ ${\görüntüleme stili \delta >0}$ $|f(x)-f(c)|<\varepsilon$ $|xc|<\delta$

f(x)-\varepsilon <f(c)<f(x)+\varepsilon

hepsi için . Supremum özelliklerine göre, bazı mevcut bulunan bu ve benzeri $x\in (c-\delta ,c+\delta )$ $a^{*}\in (c-\delta ,c]$ ${\görüntüleme stili S}$

f(c)<f(a^{*})+\varepsilon \leq u+\varepsilon

.

Toplama , çünkü bunun en üstün olduğunu biliyoruz . Bunun anlamı şudur ki $a^{**}\in (c,c+\delta )$ $a^{**}\değil \S$ ${\görüntüleme stili c}$ ${\görüntüleme stili S}$

f(c)>f(a^{**})-\varepsilon \ >u-\varepsilon

.

Her iki eşitsizlik

u-\varepsilon <f(c)<u+\varepsilon

Herkes için geçerli olan bizim onlardan hangi, belirtildiği gibi, mümkün olan tek değer olarak. $\varepsilon >0$ ${\görüntüleme stili f(c)=u}$

Açıklama: Ara değer teoremi, sonsuz küçükleri içeren "sezgisel" argümanları kesin bir temele yerleştiren standart olmayan analiz yöntemleri kullanılarak da kanıtlanabilir .

Tarih

Teorem ilk olarak 1817'de Bernard Bolzano tarafından kanıtlandı. Bolzano , teoremin aşağıdaki formülasyonunu kullandı:

Izin arasındaki aralıkta sürekli fonksiyonları olabilir ve bu şekilde ve . Sonra bir arasında ve böyle bir şey var . ${\görüntüleme stili f,\phi }$ ${\görüntüleme stili \alfa }$ ${\görüntüleme stili \beta }$ $f(\alpha )<\phi (\alpha )$ $f(\beta )>\phi (\beta )$ ${\görüntüleme stili x}$ ${\görüntüleme stili \alfa }$ ${\görüntüleme stili \beta }$ ${\görüntüleme stili f(x)=\phi (x)}$

Bu formülasyon ile modern olan arasındaki denklik , uygun sabit fonksiyona ayarlanarak gösterilebilir . Augustin-Louis Cauchy , modern formülasyonu ve 1821'de bir kanıt sağladı. Her ikisi de, fonksiyonların analizini resmileştirme hedefinden ve Joseph-Louis Lagrange'ın çalışmasından ilham aldı . Sürekli fonksiyonların ara değer özelliğine sahip olduğu fikri daha erken bir kökene sahiptir. Simon Stevin , çözümün ondalık açılımını oluşturmak için bir algoritma sağlayarak polinomlar için (bir kübik örnek kullanarak) ara değer teoremini kanıtladı . Algoritma, aralığı yinelemeli olarak 10 parçaya bölerek yinelemenin her adımında ek bir ondalık basamak üretir. Sürekliliğin resmi tanımı verilmeden önce, sürekli bir fonksiyonun tanımının bir parçası olarak ara değer özelliği verildi. Savunucuları arasında , fonksiyonların sıçrama olmadığını, ara değer özelliğini karşıladığını ve boyutları değişkenin artışlarının boyutlarına karşılık gelen artışlara sahip olduğunu varsayan Louis Arbogast vardır . Daha önceki yazarlar, sonucun sezgisel olarak açık olduğunu ve kanıt gerektirmediğini savundu. Bolzano ve Cauchy'nin kavrayışı, genel bir süreklilik kavramını ( Cauchy'nin durumunda sonsuz küçükler ve Bolzano'nun durumunda gerçek eşitsizlikleri kullanarak) tanımlamak ve bu tanımlara dayalı bir kanıt sağlamaktı. ${\görüntüleme stili\phi }$

genellemeler

Ara değer teoremi yakından bağlantılıdır topolojik kavramı bağlantılılık ve metrik boşluklar ve bağlı alt gruplarında bağlı setleri temel özelliklerinden aşağıdaki R özellikle:

Eğer ve vardır metrik alanlarda , sürekli bir haritasıdır ve a, bağlı , daha sonra alt-kümesi bağlanır. (*) ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili Y}$ $f\kolon X\to Y$ ${\görüntüleme stili E\alt küme X}$ ${\görüntüleme stili f(E)}$
Bir altküme , ancak ve ancak aşağıdaki özelliği karşılıyorsa bağlanır: . (**) $E\subset \mathbb {R}$ $x,y\E'de,\ x<r<y\ r\E'de ima eder$

Aslında, bağlılık bir olan topolojik özellik ve (*) ile genelleştirildiğinde topolojik uzaylarda : Eğer ve topolojik uzaylarda, sürekli haritasıdır ve bir olduğunu bağlı uzay sonra, bağlanır. ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili Y}$ $f\kolon X\to Y$ ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili f(X)}$ Sürekli haritalar altında bağlantılılığın korunması, gerçek bir değişkenin gerçek değerli fonksiyonlarının bir özelliği olan ara değer teoreminin genel uzaylardaki sürekli fonksiyonlara genelleştirilmesi olarak düşünülebilir.

Daha önce belirtilen ara değer teoreminin ilk versiyonunu hatırlayın:

Ara değer teoremi. ( Versiyon I ) — Reel sayılarda kapalı bir aralık ve sürekli bir fonksiyon düşünün . O halde, öyle bir gerçek sayıysa, öyle bir vardır ki . ${\görüntüleme stili I=[a,b]}$ $\mathbb {R}$ $f\colon I\to \mathbb {R}$ ${\görüntüleme stili u}$ $\min(f(a),f(b))<u<\max(f(a),f(b))$ ${\görüntüleme stili c\in (a,b)}$ ${\görüntüleme stili f(c)=u}$

Ara değer teoremi, bağlantılılığın bu iki özelliğinin doğrudan bir sonucudur:

Kanıt —

(**) ile bağlı bir kümedir. (*)'den, , görüntüsünün de bağlı olduğu sonucu çıkar. Kolaylık sağlamak için, bunu varsayın . Sonra bir kez daha çağırmak (**), bunu ima eder veya bazıları için . Çünkü , aslında tutmalı ve istenen sonucu takip ediyor. Aynı argüman geçerlidir if , bu yüzden işimiz bitti. QED ${\görüntüleme stili I=[a,b]}$ ${\görüntüleme stili f(I)}$ ${\görüntüleme stili f(a)<f(b)}$ ${\görüntüleme stili f(a)<u<f(b)}$ $u\in f(I)$ ${\görüntüleme stili f(c)=u}$ ${\ Displaystyle c\in I}$ ${\görüntüleme stili u\neq f(a),f(b)}$ ${\görüntüleme stili c\in (a,b)}$ ${\görüntüleme stili f(b)<f(a)}$

Ara değer teoremi doğal bir şekilde genelleştirilir: X'in bağlantılı bir topolojik uzay olduğunu ve ( Y , <) sıra topolojisi ile donatılmış tamamen sıralı bir küme olduğunu ve f : X → Y sürekli bir harita olsun. Eğer bir ve b iki nokta vardır X ve U bir nokta Y arasında bulunan f ( a ) ve f ( b <, o zaman var olan ile ilgili olarak) C de X, öyle ki f ( c ) = u . Orijinal teorem, R'nin bağlı olduğu ve doğal topolojisinin sıra topolojisi olduğu not edilerek kurtarılır .

Brouwer sabit noktası teoremi bir boyutta, ara değer teoremi özel bir durum verir, ilgili teoremi.

Converse yanlış

Bir Darboux fonksiyonu gerçek değerli bir fonksiyondur f "ara değer özelliği", yani sahip olduğu tatmin ara değer teoremi Sonuç: her iki değer için bir ve b arasında etki f ve herhangi bir y arasında f ( a ) ve f ( b ), a ve b arasında f ( c ) = y ile bir miktar c vardır . Ara değer teoremi, her sürekli fonksiyonun bir Darboux fonksiyonu olduğunu söyler. Ancak, her Darboux işlevi sürekli değildir; yani, ara değer teoreminin tersi yanlıştır.

Örnek olarak, x > 0 ve f (0) = 0 için f ( x ) = sin(1/ x ) tarafından tanımlanan f : [0, ∞) → [−1, 1] fonksiyonunu alın. sürekli olarak x = 0 için sınır ve f ( x gibi) x yok, 0 eğilimindedir; yine de fonksiyon ara değer özelliğine sahiptir. Daha karmaşık bir başka örnek, Conway base 13 işlevi tarafından verilmiştir .

Aslında, Darboux teoremi devletler bundan sonuç tüm fonksiyonlar farklılaşma bazı aralıklarla diğer bazı fonksiyonların sahip ara değer özelliği (olsa bile onlar sürekli olması gerekmez).

Tarihsel olarak, bu ara değer özelliği, gerçek değerli fonksiyonların sürekliliği için bir tanım olarak önerilmiştir; bu tanım benimsenmemiştir.

Pratik uygulamalar

Benzer bir sonuç, -küreden Öklid -uzayına sürekli bir haritanın her zaman bir çift antipodal noktayı aynı yere eşleyeceğini söyleyen Borsuk -Ulam teoremidir . ${\görüntüleme stili n}$ ${\görüntüleme stili n}$

1 boyutlu durum için kanıt —

Bir daire üzerinde herhangi bir sürekli fonksiyon olarak alın . Çemberin merkezinden geçen, onu iki zıt noktada kesen bir çizgi çizin ve . Define olmak . Çizgi 180 derece döndürülürse, bunun yerine − d değeri elde edilir. Ara değer teoremi nedeniyle, d = 0 olan ve sonuç olarak bu açıda f ( A ) = f ( B ) olan bir ara dönüş açısı olmalıdır . ${\görüntüleme stili f}$ ${\görüntüleme stili A}$ ${\görüntüleme stili B}$ ${\görüntüleme stili d}$ ${\görüntüleme stili f(A)-f(B)}$

Genel olarak, alanı kapalı bir dışbükey boyutlu şekil ve şeklin içindeki herhangi bir nokta (mutlaka merkezi olması gerekmez) olan herhangi bir sürekli fonksiyon için, verilen noktaya göre işlevsel değeri aynı olan iki zıt nokta vardır. ${\görüntüleme stili n}$

Teorem ayrıca, sallanan bir masayı döndürmenin neden onu kararlı hale getireceğinin (kolayca karşılanabilen bazı kısıtlamalara tabi olarak) açıklamasını da destekler.

Ayrıca bakınız

Ortalama değer teoremi - Uç noktalarından geçen çizgiye paralel bir yaya teğet varlığı hakkında
atomik olmayan ölçü
Tüylü top teoremi – Çift boyutlu kürelerin sıfırdan farklı sürekli teğet vektör alanları yoktur

Referanslar

Dış bağlantılar

ProofWiki'de ara değer teoremi
Orta değer Teoremi - Bolzano Teoremi de kesme-düğüm
Bolzano Teoremi , Julio Cesar de la Yncera, Wolfram Gösteriler Projesi .
Weisstein, Eric W. "Ara Değer Teoremi" . Matematik Dünyası .
Belk, Jim (2 Ocak 2012). "Ara Değer Teoreminin iki boyutlu versiyonu" . Yığın Değişimi .
Mizar sistem kanıtı: http://mizar.org/version/current/html/topreal5.html#T4

Languages

In other projects