Tam topolojik vektör uzayı - Complete topological vector space

Olarak fonksiyonel analiz ve matematik ilgili alanlarda, bir tam topolojik vektör uzayı a, topolojik vektör uzayı noktaları kademeli birbirine daha yakın olsun her sonra bir noktada var olduğu özelliği ile (TVS) hepsi daha yakın almak olan doğru çevirin. "Kademeli yakın olsun noktaları" titiz yapılır kavramı Cauchy ağları veya Cauchy filtre genellemeler vardır, Cauchy dizileri iken, "nokta vasıtasıyla hangi daha yakın hepsi olsun doğru", bu ağ ya da filtre yakınsak için kavramı aksine Genelleştirdiği metrik uzaylar için tamlık, TVS'ler için tamlık kavramı herhangi bir metriğe bağlı değildir ve metriklendirilemeyenler veya Hausdorff dahil olmak üzere tüm TVS'ler için tanımlanır . ${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili x.}$

Tamlık, bir topolojik vektör uzayının sahip olması gereken son derece önemli bir özelliktir. Genellikle belirli bir norm veya metriğin eksiksizliği olarak tanımlanan normlu uzaylar ve ölçülebilir TVS'ler için tamlık kavramları , her ikisi de bu TVS-tamlığı kavramına indirgenebilir; belirli bir norm veya ölçütten bağımsız bir kavramdır. Bir metriklenebilir topolojik vektör uzayı bir ile çeviri değişmez metrik bir TVS tamamlandığında, ancak ve ancak a, tam metrik alan tanımlama ile, her o, - Cauchy dizisi içinde bir noktaya yakınsak da tam TVSS Tanınmış örnekleri metriklenebilir tümü F-uzayları ve dolayısıyla tüm Fréchet uzayları , Banach uzayları ve Hilbert uzayları . Olan (tipik olarak) tam TVS belirgin örnekler değil metriklenebilir katı içerir LF-boşluk ve bir çok çekirdek boşluk gibi Schwartz alan hızla düşen düz fonksiyonlarının ve ayrıca boşluk dağılımları ve test fonksiyon gösterir. ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili d}$${\görüntüleme stili (X,d)}$${\görüntüleme stili d}$${\görüntüleme stili X.}$

Açıkça, bir topolojik vektör uzayı (TVS) olan tam ise, her ağ , ya da eşdeğer her filtre olup, Cauchy mekanın göre kanonik homojenlik bir noktaya mutlaka yakınsak. Başka bir deyişle, kanonik tekdüzeliği tam bir tekdüzelik ise bir TVS tamdır . Kanonik homojenlik bir TVS üzerinde eşsiz bir h'ın olan homojenlik ile indüklediğini topoloji "TVS-bütünlüğü" kavramı bağlıdır sadece vektör çıkarma ve TVS topolojisine; sonuç olarak, olan topolojileri terimler tanımlanamaz da dahil olmak üzere, bütün ürünler sizin uygulanabilir metrik veya pseudometrics . Bir birinci sayılabilir TVS ancak ve ancak her Cauchy dizisi (ya da eşdeğer şekilde, her tamamlandıktan temel bir noktaya Cauchy filtresi) yakınsak. ${\görüntüleme stili (X,\tau )}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili \tau .}$

Her topolojik vektör uzayı değil bile metriklenebilir veya Hausdorff bir sahiptir tamamlama tanım olarak tam bir TVS olup, bunun içine olabilir TVS gömülü bir şekilde yoğun bir vektör bölme odası . Ayrıca, her Hausdorff TVS , mutlaka TVS-izomorfizmine kadar benzersiz olan bir Hausdorff tamamlamasına sahiptir . Aşağıda ele alındığı gibi, ancak, tüm TVSS (hatta metriklenebilir Hausdorff, eksiksiz ve / veya o) olan sonsuz sayıda olmayan Hausdorff tamamlama sahip olup , birbirine TVS izomorfik. Skaler değerli oluşan vektör uzayı basit fonksiyonları olan (bu seminorm açısından normal şekilde tanımlanır nerede Lebesgue entegrasyon ) bir hale gelir seminormlu uzay sırayla bir ikisi haline yapar bu seminorm, sahip pseudometric alan ve a Hausdorff olmayan tam olmayan TV'ler; Bu alan bir tamamlama zaman bu olmayan bir Hausdorff tam seminormlu alandır quotiented kökeninden kapatılması ile (çok şekilde bir Hausdorff TVS elde sonuçları (boşluk) doğrusal izometrik izomorfik olağan tam Hausdorff için) ile uzay (donatılmış her zamanki tam norm ile ). Tamamlamaların kullanışlılığını gösteren başka bir örnek olarak , Banach uzayının projektif tensör ürünleri veya enjektif tensör ürünleri gibi topolojik tensör ürünlerinin tamamlanması, tam bir Hausdorff yerel dışbükey TVS ile sonuçlanır, bu da bir "e TVS-izomorfik olan tam bir TVS ile sonuçlanır. genelleştirilmiş" -değerli işlevlerden oluşan uzay (burada bu "genelleştirilmiş" TVS, üzerinde skaler değerli işlevlerin orijinal uzayına benzer şekilde tanımlanır ). Benzer şekilde, böyle bir TVS ile skaler değerli -test fonksiyonları uzayının enjektif tensör ürününün tamamlanması , -değerli test fonksiyonlarının analog olarak tanımlanmış TVS'sine göre TVS-izomorfiktir . ${\görüntüleme stili X,}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle |f|_{p}<\infty }$ ${\görüntüleme stili L^{p}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\görüntüleme stili \el ^{1}(S)}$${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili \el ^{1}(S;Y)}$${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili \el ^{1}(S)}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili C^{k}}$${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili C^{k}}$

Tanımlar

Bu bölüm, tam bir tanımını özetlemektedir topolojik vektör alan açısından daha (TVS) ağları ve ön filtreler . Tanımlar ve özellikler gibi ağların ve filtrelerin yakınsaması hakkında bilgiler topolojideki filtreler hakkındaki makalede bulunabilir .

Her topolojik vektör uzayı (TVS), özdeşliği toplama altında olan değişmeli bir topolojik gruptur ve bir TVS'nin kanonik tekdüzeliği tamamen çıkarma (ve dolayısıyla toplama) cinsinden tanımlanır ; skaler çarpma dahil değildir ve ek bir yapıya ihtiyaç yoktur.

kanonik tekdüzelik

Diyagonal ait olduğu aile herhangi İçin mekanizma aşağıdakiler${\görüntüleme stili X}$ ${\displaystyle \Delta _{X}:=\{(x,x):x\in X\}.}$${\displaystyle N\alt küme X,}$ kanonik çevre /etrafında kanonik çevre${\görüntüleme stili N}$ kümesidir

nerede o zaman köşegen içeriyorsa ${\displaystyle 0\N}$${\görüntüleme stili\Delta _{X}(N)}$${\displaystyle \Delta _{X}:=\{(x,x):x\in X\}=\Delta _{X}(\{0\}).}$

If simetrik bir kümedir (yani, if ), o zaman simetriktir , bu tanım gereği şu anlama gelir ve ek olarak, bu simetrik kümenin kendisiyle bileşimi : ${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili -N=N}$${\görüntüleme stili\Delta _{X}(N)}$${\displaystyle \left(\Delta _{X}(N)\sağ)^{\operatöradı {op} }:=\left\{(y,x):(x,y)\in \Delta _{X }(N)\sağ\}=\Delta _{X}(N),}$

Eğer orijinde herhangi bir komşuluk temeli varsa , o zaman aşağıdakilerin alt kümelerinin ailesi  : ${\görüntüleme stili {\matematiksel {L}}}$${\görüntüleme stili (X,\tau )}$${\görüntüleme stili X\kez X}$

Bir olan ön filtresi üzerinde . Eğer bir mahalle filtre üzerindeki orijinden sonra bir oluşturur entourages tabanını bir için yeknesak yapıya üzerinde düşünüldüğünde kanonik . Açıkça, tanımı gereği,${\görüntüleme stili X\kez X}$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }(0)}$${\görüntüleme stili (X,\tau )}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}}$${\görüntüleme stili X}$kanonik homojenlik üzerindeneden olduğu${\görüntüleme stili X}$ birfiltreüzerinde, yukarıda ön filtre tarafından üretilen: ${\görüntüleme stili (X,\tau )}$ ${\ Displaystyle {\Mathcal {U}}_{\tau }}$${\görüntüleme stili X\kez X}$

$${\ Displaystyle {\mathcal {U}}_{\tau }~:=~{\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}^{\uparrow }~ :=~\left\{S\subseteq X\times X~:~N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(0){\text{ ve }}\Delta _{X}(N )\subseteq S\sağ\}}$$

burada belirtmektedir yukarı doğru kapanmasını ve de . Orijinde herhangi bir komşuluk temeli varsa , o zaman ön filtre tarafından üretilen filtre, tarafından indüklenen kanonik tekdüzeliğe eşittir.${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}^{\uparrow }}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}}$${\görüntüleme stili X\kez X}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {L}}}$${\görüntüleme stili (X,\tau )}$${\görüntüleme stili X\kez X}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}_{\matematiksel {L}}}$${\ Displaystyle {\Mathcal {U}}_{\tau }}$${\görüntüleme stili (X,\tau ).}$

Cauchy ağı

Ayrıca bakınız: Net (matematik) ve Dışbükey seriler

Düzgün uzayların genel teorisinin kendi "Cauchy ön filtresi" ve "Cauchy ağı" tanımı vardır. Bu tanımlardaki kanonik tekdüzelik, aşağıda açıklanan tanıma indirgenir. ${\görüntüleme stili X,}$

Farzedelim bir ağ içeride ve içinde bir ağ Ürün , ancak ve ancak ve ancak ve Sonra bildirilerek yönlendirilmiş bir küme haline gelir.${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\sağ)_{i\in I}}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle y_{\bullet }=\sol(y_{j}\sağ)_{j\J}}$${\görüntüleme stili Y.}$${\görüntüleme stili I\time J}$${\displaystyle (i,j)\leq \left(i_{2},j_{2}\sağ)}$${\displaystyle i\leq i_{2}}$${\displaystyle j\leq j_{2}.}$

$${\displaystyle x_{\bullet }\times y_{\bullet }:=\left(x_{i},y_{j}\sağ)_{(i,j)\in I\times J}}$$

ifade eder ( Kartezyen )ürün ağı . Eğeröyleyse, bu ağın vektör toplama haritası altındaki görüntüsü,${\görüntüleme stili X=Y}$${\displaystyle X\times X\to X}$bu iki ağın toplamı :

$${\displaystyle x_{\bullet }+y_{\bullet }:=\left(x_{i}+y_{j}\sağ)_{(i,j)\in I\times J}}$$

ve benzer şekilde onların fark , vektör çıkarma haritasının altındaki ürün ağının görüntüsü olarak tanımlanır: ${\görüntüleme stili (x,y)\mapsto xy}$

$${\displaystyle x_{\bullet }-y_{\bullet }:=\left(x_{i}-y_{j}\sağ)_{(i,j)\in I\times J}.}$$

Bir net bir TVS içinde bir denir

Cauchy net eğer ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\sağ)_{i\in I}}$${\görüntüleme stili X}$

$${\displaystyle \left(x_{i}-x_{j}\sağ)_{(i,j)\in I\times I}\to 0}$$

içinde ya da eşit şekilde, her mahalle için eğer bir de bazı vardır öyle herkes için olan bir Cauchy dizisi dizisidir bir Cauchy net olduğunu. Bu herhangi bir bu tanımlama durumlardan herhangi kontrol edilmesi yeterlidir mahalle bazında arasında yer${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili 0}$${\görüntüleme stili X,}$${\displaystyle i_{0}\ben}$${\displaystyle x_{i}-x_{j}\N} içinde$${\displaystyle i,j\geq i_{0}}$${\görüntüleme stili i,j\in I.}$${\görüntüleme stili 0}$${\görüntüleme stili X.}$

Izin vektör çıkarma haritayı göstermek ise o zaman içinde süreklilik ve böylece o garantiler içinde (yani o Cauchy olan). Aşağıda açıklandığı gibi, bu ifadenin tersi de her zaman doğruysa

tam olarak adlandırılır . Olduğunu, tamamlandığında ancak ve ancak her ne zaman olursa net olduğunu daha sonra yakınsak içinde ancak ve ancak içinde benzer bir karakterizasyon filtreleri ve ön filtreler için de geçerlidir. ${\displaystyle S:X\times X\to X}$${\görüntüleme stili S(x,y):=xy.}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle x_{\bullet }\times x_{\bullet }\to (x,x)}$${\görüntüleme stili X\kez X}$${\görüntüleme stili S}$${\displaystyle S\left(x_{\bullet }\times x_{\bullet }\right)=\left(x_{i}-x_{j}\sağ)_{(i,j)\in I\times ben}\0'a}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\görüntüleme stili X,}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle S\left(x_{\bullet }\times x_{\bullet }\sağ)\to 0}$${\görüntüleme stili X.}$

Bir dizi denir${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$Cauchy serisi (sırasıyla, biryakınsak dizi )kısmi toplamların dizisibirCauchy dizisiyse(sırasıyla biryakınsak dizi). Her yakınsak seri mutlaka bir Cauchy serisidir. Eksiksiz bir TVS'de her Cauchy dizisi zorunlu olarak yakınsak bir dizidir. ${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\sağ)_{n=1}^{\infty }}$

Cauchy filtresi ve Cauchy ön filtresi

Ayrıca bakınız: Topolojideki filtreler

Bir ön-filtre , bir TVS ilgili olarak adlandırılan

Cauchy ön filtre eğer biri aşağıdaki eşdeğer koşullardan biri: ${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$${\görüntüleme stili (X,\tau )}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$içinde nerede bir ön filtresi olduğunu.${\görüntüleme stili X,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}:=\left\{BC:B,C\in {\mathcal {B}}\sağ\}}$
2. ${\displaystyle \sol\{BB:B\in {\mathcal {B}}\sağ\}\0'a}$de burada bir ön-filtre eşdeğerdir${\görüntüleme stili X,}$${\displaystyle \sol\{BB:B\in {\matematik {B}}\sağ\}}$${\görüntüleme stili {\matematik {B}}-{\matematik {B}}.}$
3. Her mahalle için bir in bazı içeren -küçük seti (yani bazı vardır böyle ). ${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili 0}$${\görüntüleme stili X,}$ ${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$${\görüntüleme stili N}$${\ Displaystyle B\in {\matematiksel {B}}}$${\ Displaystyle BB\subseteq N}$
   • Eğer bir TVS bir alt kümesidir ve olduğu içeren bir dizi daha sonra ise

-küçük veya${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili 0,}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili N}$küçük sipariş ${\görüntüleme stili N}$ eğer${\displaystyle BB\subseteq N.}$

Her mahalle için bir de bazı vardır ve bazı şekildedir${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili 0}$${\görüntüleme stili X,}$${\ Displaystyle B\in {\matematiksel {B}}}$${\displaystyle x\in X}$${\ Displaystyle B\subseteq x+N.}$

Bu, herhangi bir için yukarıdaki durumlardan herhangi biri kontrol etmek için yeterli bir mahalle bazında içinde de bir

Cauchy filtre de bir Cauchy ön filtre olup filtre . ${\görüntüleme stili 0}$${\görüntüleme stili X.}$

Eğer bir TVS üzerinde bir ön-filtre olduğunu ve daha sonra içinde ancak ve ancak ve Cauchy olduğunu. ${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle x\in X}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}\to x}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle x\in \operatöradı {cl} {\matematiksel {B}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$

Alt kümeyi tamamla

Ana madde: Komple tek tip alan

Herhangi bir ön filtre

için , mutlaka aşağıdakilerin bir alt kümesidir ; yani,${\görüntüleme stili S\alt küme X,}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {C}}}$ ${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili \wp (S)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S).}$

TVS'nin bir alt kümesine denir${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili (X,\tau )}$aşağıdaki eşdeğer koşullardan herhangi birini

karşılıyorsa alt kümeyi tamamlayın :

1. Her Cauchy ön filtresi , en az bir noktaya

yakınsar .${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S)}$${\görüntüleme stili S}$ ${\görüntüleme stili S.}$

• Hausdorff ise , üzerindeki her ön filtre en fazla bir noktasına yakınsar. Ancak Hausdorff değilse , o zaman bir ön filtre birden fazla noktaya yakınsar . Aynı şey ağlar için de geçerlidir.${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili X.}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X.}$

Her Cauchy ağı en az bir noktasına

yakınsar .${\görüntüleme stili S}$ ${\görüntüleme stili S.}$

${\görüntüleme stili S}$a, tamamen ( "nokta-grubu topolojisi tanımı altında homojen alanı tamamen homojen alanı ") kanonik homojenliği ile kendisine neden bütünlüğü ile donatılmış${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili X.}$

alt küme denir${\görüntüleme stili S}$içindeki her Cauchy dizisi(veya eşdeğeri olarak, her temel Cauchy filtresi/ön filtre on) en az bir noktaya yakınsarsa

sıralı olarak tam alt küme${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili S.}$

Önemli olarak, dışındaki noktalara yakınsama bir kümenin tamamlanmasını engellemez${\görüntüleme stili S}$ : Eğer Hausdorff değilse ve üzerindeki her Cauchy ön filtresi bir noktaya yakınsarsa, o zaman bazı veya tüm Cauchy ön filtreleri de noktalara yakınsa bile tamamlanmış olacaktır. içinde kısacası, bu Cauchy ön filtreler hiçbir gereklilik yoktur yakınsama sadece içinde noktalarına aynı Cauchy ağlar yakınsaması içinde söylenebilir${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili S,}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili S}$ ${\displaystyle X\setminus S.}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili S.}$${\görüntüleme stili S.}$

TVS eğer bir sonucu olarak, bir değil Haussdorf sonra kapatılması her alt kümesi içinde bu kompakt ve her kompakt kümesi mutlaka tamamlandıktan çünkü tamamlandı. Özellikle, örneğin, uygun bir alt kümesi, bir örnek olarak, daha sonra daha da tam olacağını her Cauchy net (ve aynı zamanda her Cauchy ön filtre ) yakınsar her noktaya , bu noktalar dahil olmak üzere bu ait olmayan , aynı zamanda, bu örnekte Hausdorff olmayan bir TVS'nin tam alt kümelerinin (ve hatta aslında kompakt alt kümelerinin) kapatılamayabilir. Örneğin, eğer o zaman ve sadece eğer kapalıysa${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili \{0\}}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \varnothing\neq S\subseteq \operatöradı {cl} _{X}\{0\}}$${\görüntüleme stili S=\{0\}}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili S}$${\displaystyle \operatöradı {cl} _{X}\{0\},}$${\displaystyle \operatöradı {cl} _{X}\{0\}}$${\görüntüleme stili S.}$${\displaystyle \varnothing\neq S\subseteq \operatöradı {cl} _{X}\{0\}}$${\displaystyle S=\operatöradı {cl} _{X}\{0\}}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili X.}$

Tam topolojik vektör uzayı

Bir topolojik vektör uzayına a denir.${\görüntüleme stili (X,\tau )}$Aşağıdaki eşdeğer koşullardan herhangi biri sağlanırsa topolojik vektör uzayını tamamlayın :

1. Onun kanonik homojenlik sahip olduğunda, dönüşen bir olduğunu tam üniforma uzay . ${\görüntüleme stili X}$
   • Genel Teorik olarak düzgün alanlar , tek tip bir alanı olarak adlandırılır tam düzgün boşluk her Cauchy ise filtre içinde yakınsak olarak bazı noktasına${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili (X,\tau )}$${\görüntüleme stili X.}$
2. ${\görüntüleme stili X}$ kendisinin tam bir alt kümesidir.
3. Orijinin tam bir alt kümesi olan bir komşuluk vardır .${\görüntüleme stili (X,\tau )}$${\görüntüleme stili X.}$
   • Bu, her yerel kompakt TVS'nin tamamlandığı anlamına gelir (TVS Hausdorff olmasa bile).
4. Her Cauchy ön filtresi üzerinde yakınsak içinde en az bir noktaya${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (X)}$${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili (X,\tau )}$${\görüntüleme stili X.}$
   • Hausdorff ise , üzerindeki her ön filtre en fazla bir noktasına yakınsar. Ancak Hausdorff değilse , o zaman bir ön filtre birden fazla noktaya yakınsar . Aynı şey ağlar için de geçerlidir.${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X.}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X.}$
5. Her Cauchy filtresi, en az bir noktaya yakınsar .${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili (X,\tau )}$${\görüntüleme stili X.}$
6. Her Cauchy net yakınsak içinde en az bir noktaya${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili (X,\tau )}$${\görüntüleme stili X.}$

ek olarak sözde ölçülebilir veya ölçülebilir (örneğin, bir normlu uzay ) ise bu liste aşağıdakileri içerecek şekilde genişletilebilir: ${\görüntüleme stili X}$

7. ${\görüntüleme stili (X,\tau )}$ sırayla tamamlanır.

Topolojik vektör uzayı olduğu${\görüntüleme stili (X,\tau )}$Aşağıdaki eşdeğer koşullardan herhangi biri karşılanırsa sırayla tamamlayın :

1. ${\görüntüleme stili X}$ kendisinin sıralı olarak tam bir alt kümesidir.
2. Her Cauchy dizisi en az bir noktasına yakınsar .${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili (X,\tau )}$${\görüntüleme stili X.}$
3. Her temel Cauchy ön filtresi, en az bir noktaya yakınsar .${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili (X,\tau )}$${\görüntüleme stili X.}$
4. Her temel Cauchy filtresi, en az bir noktaya yakınsar .${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili (X,\tau )}$${\görüntüleme stili X.}$

Kanonik tekdüzeliğin benzersizliği

Kanonik tekdüzeliğin varlığı, yukarıda tanımlanarak gösterilmiştir. Aşağıdaki teorem, herhangi bir TVS'nin kanonik tekdüzeliğinin , hem (1) öteleme değişmezi hem de (2) topoloji üzerinde üreten tek tekdüzelik olduğunu belirler.${\görüntüleme stili (X,\tau )}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili \tau .}$

Bu bölüm, bu benzersizlik bildiriminde yer alan terimlerin kesin anlamlarını açıklamaya ayrılmıştır.

Düzgün uzaylar ve öteleme ile değişmez tekdüzelikler

Let let ve alt kümelerini olmak ve izin tanımla ${\görüntüleme stili S\alt küme X,}$${\görüntüleme stili\Phi }$${\görüntüleme stili \Psi }$${\görüntüleme stili X\time X,}$${\görüntüleme stili p\in X.}$

burada (sırasıyla ) sol kümesi (veya sağda ) olarak adlandırılır - (içindeki noktaların ) akrabaları Haritalar ve sırasıyla birinci ve ikinci koordinatlar üzerindeki kanonik izdüşümlerdir. ${\ Displaystyle \ Phi \ cdot S}$${\ Displaystyle S\cdot \Phi }$${\görüntüleme stili\Phi }$${\görüntüleme stili S.}$${\displaystyle \operatöradı {Pr} _{1}}$${\displaystyle \operatöradı {Pr} _{2}}$

Verilen ise

simetrik ise bir alt sırasında denir -küçük eğer iki nokta ve olan -yakın ise If ve sonra: ${\displaystyle \Phi \subseteq X\times X,}$ ${\görüntüleme stili\Phi }$${\displaystyle \Phi =\Phi ^{\operatöradı {op} }}$${\görüntüleme stili S\alt küme X}$${\görüntüleme stili\Phi }$${\displaystyle S\times S\subseteq\Phi .}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili\Phi }$${\displaystyle (x,y)\in \Phi .}$${\displaystyle \Phi ,\Psi ,\Omega \subseteq X\times X}$${\displaystyle R,S\subseteq X}$

• ${\displaystyle \Phi \subseteq \Psi }$ancak ve ancak Dahası ve simetrikse.${\displaystyle \Phi ^{\operatöradı {op} }\subseteq \Psi ^{\operatöradı {op} }.}$${\displaystyle (\Phi \circ \Psi )i^{\operatöradı {op} }=\Psi ^{\operatöradı {op} }\circ \Phi ^{\operatöradı {op} }}$${\ Displaystyle \ Phi \ cap \ Psi }$
• eğer ve sonra${\displaystyle \Phi \subseteq \Phi _{2}}$${\displaystyle \Psi \subseteq \Psi _{2}}$${\displaystyle \Phi \circ \Psi \subseteq \Phi _{2}\circ \Psi _{2}.}$
• ilişkilendirme: ${\displaystyle \Phi \circ (\Psi \circ \Omega )=(\Phi \circ \Psi )\circ \Omega.}$
• ${\displaystyle (\Phi \circ \Psi )\cdot S=\Phi \cdot (\Psi \cdot S).}$

Boş olmayan bir aileye denir${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X\times X)}$tamlamaların temeli veya birentourages temel sistem eğerbir olduğunu

ön filtresiüzerindeaşağıdaki koşulların tamamını karşılamasıdır: ${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$${\görüntüleme stili X\kez X}$

1. Her küme, bir alt küme olarak köşegenini içerir ; Diğer bir deyişle, her bir için Farklı biçimde söylenirse, ön filtre olup

, sabit üzerinde${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \Delta _{X}:=\{(x,x):x\in X\}\subseteq \Phi }$${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}.}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$${\displaystyle \Delta _{X}.}$

Her biri için öyle bir şey var ki${\displaystyle \Omega \in {\matematiksel {B}}}$${\displaystyle \Phi \in {\matematiksel {B}}}$${\displaystyle \Phi \circ \Phi \subseteq \Omega.}$

Her biri için öyle bir şey var ki${\displaystyle \Omega \in {\matematiksel {B}}}$${\displaystyle \Phi \in {\matematiksel {B}}}$${\displaystyle \Phi \subseteq \Omega ^{\operatöradı {op} }.}$

A tekdüzelik veyahomojen yapısı üzerindebir filtre olupilebu entourages bazı baz ile oluşturulurki bu durumda olduğunu söylemeka,

entourages baz için${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {U}}}$${\görüntüleme stili X\kez X}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}},}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {U}}.}$

Değişmeli bir katkı grubu için a${\görüntüleme stili X,}$dönüşümle değişmez temel maiyet sistemi,herancak ve ancakherkes içinA tekdüzeliğiolarak adlandırılırsa,öyle kitemel bir maiyet sistemidir${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}},}$ ${\görüntüleme stili (x,y)\içinde\Phi }$${\görüntüleme stili (x+z,y+z)\in \Phi }$${\görüntüleme stili x,y,z\X.}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$eğer çeviri değişmez olan bir çevre tabanına sahipse, çeviride değişmez tekdüzelik . Aynı kanonik tekdüzelik, orijinin tüm komşuluklarının filtresinden ziyade orijin komşuluk bazının kullanılmasıyla sonuçlanacaktır. Herhangi bir TVS'deki kanonik tekdüzelik, çeviri değişmezdir.

Tekdüzelik tarafından oluşturulan topoloji

Izin üzerinde entourages bir üs Her için ve ,${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X\times X)}$${\görüntüleme stili X.}$${\görüntüleme stili S\alt küme X}$${\görüntüleme stili p\in X}$mahalle ön filtresi açık(yanı sıra) settir ${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili p}$

ve oluşturduğu filtre olarak bilinir${\görüntüleme stili X}$mahalle filtre arasında(resp. arasında). Hermahalle ön filtresine atama${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili p}$${\displaystyle x\in X}$ bir topoloji oluşturur üzerinde denilen topolojisi ile uyarılan ya da${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$kaynaklı topolojisi . Bu topolojidebir altküme, ancak ve ancak aşağıdaki eşdeğer koşullardan herhangi biri geçerliyse açıktır: ${\ Displaystyle U\subseteq X}$

1. Her biri için öyle bir şey var ki${\ Displaystyle u\ U'da}$${\displaystyle N\in {\matematiksel {B}}\cdot u}$${\ Displaystyle N\subseteq U.}$
2. Her biri için öyle bir şey var ki${\ Displaystyle u\ U'da}$${\displaystyle \Phi \in {\matematiksel {B}}}$${\displaystyle \Phi \cdot u=\{x\in X:(x,u)\in \Phi \}\subseteq U.}$

Bu topolojide bir alt kümenin kapanışı : ${\görüntüleme stili S\alt küme X}$

$${\displaystyle \operatöradı {cl} _{X}S=\bigcap _{\Phi \in {\mathcal {B}}}(\Phi \cdot S)=\bigcap _{\Phi \in {\matematik { B}}}(S\cdot \Phi ).}$$

Cauchy ön filtreleri ve eksiksiz tekdüzelikler

Bir ön-filtre düzgün bir alanı bütünlüğü ile bir denir

Cauchy ön filtresi her entourages için eğer bazı vardır öyle${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (X)}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {U}}}$${\displaystyle N\in {\mathcal {U}},}$${\ Displaystyle F\in {\Mathcal {F}}}$${\displaystyle F\times F\subseteq N.}$

Düzgün uzaya denir${\görüntüleme stili (X,{\matematiksel {U}})}$tam üniform alan (ya daardışık olarak tam düzgün boşluk ) ise her Cauchy ön filtre (sırasıyla. Her temel Cauchy ön-filtre) ileyakınsak en az bir nokta içinzamanindüklediği topolojisi ile donatılmış${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {U}}.}$

Eğer bir TVS ise , o zaman herhangi biri için ve${\görüntüleme stili (X,\tau )}$${\görüntüleme stili S\alt küme X}$${\displaystyle x\in X,}$

$${\displaystyle \Delta _{X}(N)\cdot S=S+N}$$

ve

$${\displaystyle \Delta _{X}(N)\cdot x=x+N.}$$

İndüklenen topolojisi kanonik homojenliği ile bu topoloji ile aynıdır (olduğu, yani ile başlayan ). ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili\tau }$

Tekdüze süreklilik

Let ve TVSS olmak, ve bir haritası olması. O zaman , orijinin her mahallesi için orijinin bir komşusu varsa , o zaman

düzgün bir şekilde süreklidir , öyle ki hepsi için o zaman${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili D\alt küme X,}$${\ Displaystyle f:D\'den Y'ye}$${\ Displaystyle f:D\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili X,}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili Y}$${\displaystyle x,y\D'de,}$${\ Displaystyle yx\ U}$${\görüntüleme stili f(y)-f(x)\V.}$

Diyelim ki düzgün sürekli. Eğer bir Cauchy net olduğunu daha sonra ise bir Cauchy net If olduğu bir Cauchy ön filtresi (anlam alt kümelerine ailesidir ki Cauchy olan ) daha sonra bir Cauchy ön filtresi olup Ancak eğer bir Cuachy filtredir sonra her ne kadar olacak bir Cauchy

ön filtresi, ancak ve ancak surjective ise bir Cauchy filtresi olacaktır . ${\ Displaystyle f:D\'den Y'ye}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\sağ)_{i\in I}}$${\görüntüleme stili D}$${\displaystyle f\circ x_{\bullet }=\left(f\left(x_{i}\sağ)\sağ)_{i\in I}}$${\görüntüleme stili Y.}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$${\görüntüleme stili D}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$${\görüntüleme stili D}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle f\sol({\mathcal {B}}\sağ)}$${\görüntüleme stili Y.}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$${\görüntüleme stili D}$${\displaystyle f\sol({\mathcal {B}}\sağ)}$${\görüntüleme stili Y}$${\ Displaystyle f:D\'den Y'ye}$

TVS eksiksizliği ve (sözde) metriklerin eksiksizliği

Ön bilgiler: Tam psödometrik uzaylar

Ana maddeler: Tam metrik uzay , Psödometrik uzay ve Cauchy dizisi

Tam psödometrik uzayların genel teorisi ile ilgili temel kavramları gözden geçiriyoruz. Hatırlama her yani metrik bir olan pseudometric ve pseudometric olduğunu ve ancak eğer bir ölçümdür ima her Böylece

metrik uzay bir olduğunu pseudometric uzay ve pseudometric uzay ve ancak eğer bir metrik uzay bir ölçümdür. ${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili p(x,y)=0}$${\görüntüleme stili x=y.}$${\görüntüleme stili (X,p)}$${\görüntüleme stili p}$

Eğer bir alt kümesi olup

pseudometric alanı daha sonra çapı arasında tanımlanan olduğu ${\görüntüleme stili S}$ ${\görüntüleme stili (X,d)}$${\görüntüleme stili S}$

$${\displaystyle \operatöradı {diam} (S):=\sup _{}\{d(s,t):s,t\in S\}.}$$

Bir ön-filtre bir pseudometric alanı üzerinde bir denir

-Cauchy ön filtresi ya da sadece bir Cauchy ön filtresi her biri için ise gerçek bazı yoktur çapı öyle az olduğu${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$${\görüntüleme stili (X,d)}$${\görüntüleme stili d}$ ${\görüntüleme stili r>0,}$${\ Displaystyle B\in {\matematiksel {B}}}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili r.}$

Diyelim ki bir pseudometrik uzay. Bir

net de bir denir -Cauchy net ya da sadece bir Cauchy net eğer ancak ve ancak olur bir Cauchy ön filtre, olduğu ${\görüntüleme stili (X,d)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\sağ)_{i\in I}}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili d}$${\displaystyle \operatöradı {Kuyruklar} \left(x_{\bullet }\sağ)}$

her biri için öyle bir şey var ki, eğer ile ve sonra${\görüntüleme stili r>0}$${\görüntüleme stili ben\ben}$${\displaystyle j,k\in I}$${\görüntüleme stili j\geq i}$${\görüntüleme stili k\geq i}$${\displaystyle d\sol(x_{j},x_{k}\sağ)<r.}$

Bir Cauchy dizisi , aynı zamanda bir Cauchy ağı olan bir dizidir.

Her pseudometric bir sette her zamanki kanonik topoloji neden biz tarafından ifade edeceğiz hangi ; aynı zamanda, bir standart indükleyen

tekdüzelik ile biz ile ifade olacak olan ilgili topoloji homojenliği ile indüklenen eşittir net in saygı ile Cauchy olan , ancak ve ancak bu homojenlik bakımından Cauchy ise pseudometric alan a, tam ( Resp., ancak ve ancak, eğer ardışık olarak tam) pseudometric alan a, tam (sırasıyla. ardışık olarak tam) düzgün alanı. Ayrıca, psödometrik uzay (tekdüze uzaya karşılık ) ancak ve ancak sıralı olarak tamamlanırsa tamamlanır. ${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X,}$${\displaystyle \tau _{p}}$${\görüntüleme stili X,}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}.}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {U}}_{p}}$${\displaystyle \tau _{p}.}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\sağ)_{i\in I}}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili p}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}.}$${\görüntüleme stili (X,p)}$${\displaystyle \sol(X,{\mathcal {U}}_{p}\sağ)}$${\görüntüleme stili (X,p)}$${\displaystyle \sol(X,{\mathcal {U}}_{p}\sağ)}$

Bir pseudometric alanı (örneğin, bir

metrik alanı ) olarak adlandırılır tam ve bir adlandırılan tam pseudometric eşdeğer aşağıdaki koşullardan herhangi birine sahip ise: ${\görüntüleme stili (X,d)}$${\görüntüleme stili d}$

1. Her Cauchy ön filtresi, en az bir noktaya yakınsar.${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X.}$
2. Yukarıdaki ifade, ancak "ön filtre" kelimesi "filtre" ile değiştirilmiştir.
3. Her Cauchy ağı en az bir noktaya yakınsar.${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X.}$
4. Her Cauchy dizisi en az bir noktasına yakınsar.${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X.}$
   • Bu nedenle , bunun tam olduğunu kanıtlamak için sadece Cauchy dizilerini dikkate almak yeterlidir (ve daha genel Cauchy ağlarını dikkate almak gerekli değildir).${\görüntüleme stili (X,d)}$${\görüntüleme stili X}$
5. Psödometrik tarafından indüklenen kanonik tekdüzelik, tam bir tekdüzeliktir.${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili d}$

• Eğer bir ölçümdür sonra herhangi bir limit noktası eşsizdir ve aynı Cauchy ön-filtreler sınırları üzerinde için de geçerlidir${\görüntüleme stili d}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X.}$

Ve eğer toplama bir metrik ise, o zaman bu listeye şunları ekleyebiliriz: ${\görüntüleme stili d}$

6. Çapları küçülen kapalı topların her azalan dizisi boş olmayan kesişme noktasına sahiptir.${\görüntüleme stili 0}$

Komple psödometrikler ve eksiksiz TVS'ler

Her F uzayı ve dolayısıyla her Fréchet uzayı , Banach uzayı ve Hilbert uzayı tam bir TVS'dir. Her F uzayının bir

Baire uzayı olduğuna ama Baire olan ama Banach olmayan normlu uzaylar olduğuna dikkat edin.

Bir vektör uzayı üzerinde bir psödometrik olduğu söylenir.${\görüntüleme stili d}$${\görüntüleme stili X}$tüm vektörler için

çeviri değişmez psödometrik ise${\görüntüleme stili d(x,y)=d(x+z,y+z)}$${\görüntüleme stili x,y,z\X.}$

Varsayalım olan

pseudometrizable TVS (örneğin, bir metriklenebilir TVS) ve bir herhangi bir ilgili pseudometric topoloji şekilde neden olduğu eşittir ıf h'ın, daha sonra , ancak ve ancak tam bir TVS olan tam bir pseudometric alandır. Eğer bir değil h'ın, daha sonra mümkün olabilir tam bir TVS olmak ancak için değil tam pseudometric uzay (bir örnek için bu dipnot bakınız). ${\görüntüleme stili (X,\tau )}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili \tau .}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili (X,\tau )}$${\görüntüleme stili (X,p)}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili (X,\tau )}$${\görüntüleme stili (X,p)}$

Teoremi  (Klee)  -  Let olduğu herhangi bir vektör alanı metrik şekilde topolojisi ile uyarılan ile yapar bir topolojik vektör boşluğa. Eğer tam bir metrik uzay daha sonra komple-TVS olduğunu. ${\görüntüleme stili d}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili\tau }$${\görüntüleme stili d}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili (X,\tau )}$${\görüntüleme stili (X,d)}$${\görüntüleme stili (X,\tau )}$

Tam normlar ve eşdeğer normlar

Bir vektör uzayı üzerindeki iki norm, ancak ve ancak aynı topolojiyi indüklerlerse eşdeğer olarak adlandırılır . Eğer ve bir vektör uzayı üzerinde iki eşdeğer normsa, o zaman

normlu uzay bir Banach uzayıdır, ancak ve ancak bir Banach uzayıysa. Değil Banach uzayında sürekli norm bir örnek için bu dipnota bakınız olduğunu değil o Banach mekânın verilen norm eşdeğer. Sonlu boyutlu bir vektör uzayındaki tüm normlar eşdeğerdir ve her sonlu boyutlu normlu uzay bir Banach uzayıdır. Her Banach alanı tam bir TVS'dir. Normlu bir uzay, ancak ve ancak bir topolojik vektör uzayı olarak tamamlanmışsa Banach uzayıdır (yani, kanonik norm kaynaklı metriği tamamlanmıştır). ${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili (X,p)}$${\görüntüleme stili (X,q)}$

Tamamlamalar

Bir tamamlama bir TVS TVS-izomorf yoğun bir vektör altuzaya içeren komple bir TVS olduğu${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X.}$

Tüm tamamlamaların benzersiz olmaması

Aşağıdaki örneğin gösterdiği gibi, bir uzayın Hausdorff olup olmadığına veya zaten tamamlanmış olmasına bakılmaksızın, her topolojik vektör uzayı (TVS) sonsuz sayıda izomorfik olmayan tamamlamaya sahiptir.

Ancak, her Hausdorff TVS, TVS-izomorfizmine kadar benzersiz olan bir Hausdorff tamamlamasına sahiptir. Ancak yine de, her Hausdorff TVS hala sonsuz sayıda izomorfik olmayan Hausdorff olmayan tamamlamaya sahiptir.

Örnek ( Tamamlamaların benzersiz olmaması ): Herhangi bir tamamlanmış TVS'yi gösterelim ve geri çağırmanın eksiksiz bir TVS'ye dönüştüğü

ayrık topolojiye sahip herhangi bir TV'yi belirtelim . Hem yana ve tam TVSS, yani, ürün olduğu takdirde ve bir boş olmayan açık alt-gruplar olan ve daha sonra, sırasıyla, ve bu olan Şekil yoğun bir alt uzay olan Böylece tanımına "tamamlayan" bir tamamlanması eder ( zaten tamamlanmış olan madde ). Belirleyerek Yani birlikte eğer yoğun vektör alt uzay olduğunu o zaman hem sahiptir ve olarak tamamlamaları. ${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili I}$${\görüntüleme stili I}$${\görüntüleme stili I}$${\görüntüleme stili C}$${\ Displaystyle I\time C.}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili I}$${\görüntüleme stili C,}$${\görüntüleme stili U=I}$${\displaystyle (U\times V)\cap \left(\{0\}\times C\right)=\{0\}\times V\neq \varnothing ,}$${\görüntüleme stili \{0\}\kez C}$${\ Displaystyle I\time C.}$${\ Displaystyle I\time C}$${\görüntüleme stili \{0\}\kez C}$${\görüntüleme stili \{0\}\kez C}$${\görüntüleme stili \{0\}\kez C}$${\görüntüleme stili C,}$${\görüntüleme stili X\alt küme C}$${\görüntüleme stili C,}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili C}$${\ Displaystyle I\time C}$

Hausdorff tamamlamaları

Her Hausdorff TVS, TVS izomorfizmine kadar benzersiz olan bir Hausdorff tamamlamasına sahiptir. Ancak yine de, yukarıda gösterildiği gibi, her Hausdorff TVS hala sonsuz sayıda izomorfik olmayan Hausdorff olmayan tamamlamaya sahiptir.

Haussdorf tamamlamalarının Özellikleri  -  varsayalım ve birlikte Haussdorf TVSS olan tamamlandı. Varsayalım ki bir TVS-gömme yoğun vektör altuzaydan üzerine ise Ardından ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili C}$${\displaystyle E:X\to C}$${\görüntüleme stili C.}$

Evrensel özellik : Eksiksiz bir Hausdorff TVS'ye dönüştürülen her sürekli doğrusal harita için benzersiz bir sürekli doğrusal harita vardır.${\displaystyle f:X\to Z}$${\görüntüleme stili Z,}$${\ Displaystyle F:C\'den Z'ye}$${\displaystyle f=F\circ E.}$

Eğer tam Hausdorff TVS yoğun bir vektör matrisini gömme TVS olduğu yukarıdaki genel özelliği olan, daha sonra özel bir (örten) TVS-izomorfizm vardır öyle ki${\displaystyle E_{2}:X\to C_{2}}$${\ Displaystyle C_{2}}$${\displaystyle I:C\to C_{2}}$${\displaystyle E_{2}=I\circ E.}$

Doğal sonucu  -  Ya sana tam bir Haussdorf TVS ve yoğun vektörü alt uzay edilir Sonra her sürekli lineer harita tam Haussdorf TVS içine bir harita özel bir sürekli doğrusal uzantısı olan${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili C.}$${\displaystyle f:X\to Z}$${\görüntüleme stili Z}$${\ Displaystyle C\'den Z'ye.}$

Hausdorff tamamlamalarının varlığı

Ayrıca bakınız: Topolojideki filtreler

Bir Cauchy filtre bir TVS üzerinde bir adlandırılır${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$${\görüntüleme stili X}$en az Cauchy filtresi vardır eğerolmayanbir Cauchy filtre mevcutdaha kaba sıkı bir( "kaba daha sıkı bir şekilde, bir" aracı uygun bir alt kümesi olarak ihtiva). ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$

Eğer bir Cauchy filtre , aşağıdaki ön filtre tarafından üretilen filtrenin: ${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$${\görüntüleme stili X}$

$${\displaystyle \left\{B+N~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ ve }}N{\text{, }}0{\text{ }}X'in bir mahallesidir \sağ\}}$$

Özellikle'nin bir alt kümesi olarak yer alan benzersiz minimal Cauchy filtresi, herhangi bir komşuluk filtresi için minimum Cauchy filtresidir. ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}.}$${\displaystyle x\in X,}$${\görüntüleme stili x}$

Let tüm asgari Cauchy filtre kümesini olmak ve izin göndererek tanımlanan haritası olması mahalle filtresine de biz bağışlamak aşağıdaki vektör uzayı yapısına sahip. Verilen ve bir skaler let ( sırasıyla, (resp. ) tarafından oluşturulan filtrede bulunan benzersiz minimal Cauchy filtresini belirtir . ${\displaystyle \mathbb {M} }$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle E:X\rightarrow \mathbb {M} }$${\displaystyle x\in X}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili X.}$${\displaystyle \mathbb {M} }$${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \mathbb {M} }$${\görüntüleme stili s,}$${\ Displaystyle {\Mathcal {B}}+{\Mathcal {C}}}$${\displaystyle s{\matematiksel {B}}}$${\displaystyle \left\{B+C:B\in {\mathcal {B}},C\in {\mathcal {C}}\sağ\}}$${\displaystyle \{sB:B\in {\matematiksel {B}}\}}$

Her için dengeli mahalle içinde menşe let ${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili X,}$

$${\displaystyle \mathbb {U} (N)~:=~\left\{{\mathcal {B}}\in \mathbb {M} ~:~{\text{ var }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ ve }}X{\text{'teki orijin }}V{\text{ komşuluğu, öyle ki }}B+V\subseteq N\right\}}$$

Eğer o zaman tüm setlerinin toplanması Haussdorf olduğu kadar menşe tüm dengeli mahallelerinin aralıkları formlara bir vektör topoloji yapma komple Haussdorf TVS içine. Üstelik harita , yoğun bir vektör alt uzayına yerleştirilmiş bir TVS'dir.${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \mathbb {U} (N),}$${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili X,}$${\displaystyle \mathbb {M} }$${\displaystyle \mathbb {M} }$${\displaystyle E:X\rightarrow \mathbb {M} }$${\displaystyle \mathbb {M} .}$

Eğer a,

metriklenebilir TVS sonra bir Hausdorff tamamlanması Cauchy dizilerinin yerine minimum Cauchy filtrelerin denklik sınıfları ile de inşa edilebilir. ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$

Hausdorff olmayan tamamlamalar

Şimdi, Hausdorff olmayan her TVS'nin tam bir TVS'nin yoğun bir vektör alt uzayına nasıl TVS-gömülü olabileceğini gösteriyoruz . Her Hausdorff TVS'nin bir Hausdorff tamamlamasına sahip olduğunun kanıtı yaygın olarak mevcuttur, bu nedenle sonucunu, Hausdorff olmayan her TVS'nin de bir tamamlaması olduğunu kanıtlamak için kullanıyoruz. Bu ayrıntılar bazen sonuçları Hausdorff TVS'lerden Hausdorff olmayan TVS'lere genişletmek için yararlıdır. ${\görüntüleme stili X}$

Izin menşe kapatma ifade burada tarafından uyarılan alt uzay topolojisi sahip olduğunu (ve böylece var

bölünmemiş topoloji ). Yana önemsiz topolojiye sahip olan, kolayca her vektör alt uzay olduğu gösterilmiştir bunun bir cebirsel tamamlayıcı olarak , zorunlu bir topolojik tamamlayıcı içinde de Let herhangi topolojik tamamlayıcı ifade içinde hangi TVS izomorfik olduğu için (ki mutlaka Hausdorff TVS olduğu bölüm TVS ). Yana olan topolojik doğrudan toplam arasında ve (yani TVSS kategorisinde), standart harita ${\displaystyle I=\operatöradı {cl} \{0\}}$${\görüntüleme stili X,}$${\görüntüleme stili I}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili I}$${\görüntüleme stili I}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili I}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili I}$${\görüntüleme stili X.}$${\görüntüleme stili H}$${\görüntüleme stili I}$${\görüntüleme stili X,}$${\görüntüleme stili X/I}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili I}$${\görüntüleme stili H}$${\displaystyle X=I\oplus H}$

$${\displaystyle I\times H\to I\oplus H=X\quad {\text{ tarafından verilen }}\quad (x,y)\mapsto x+y}$$

bir TVS izomorfizmidir. Let bu kanonik haritası tersini göstermektedirler. (Bir yan not olarak, öyle her açık ve her kapalı alt kümeyi aşağıdaki ait tatmin ) ${\displaystyle A~:~X=I\oplus H~\to ~I\times H}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili U=I+U.}$

Haussdorf TVS harita üzerinden söylemek, TVS-gömülebilir tamamlanmasını yoğun vektör altuzaydan üzerine bu yana ve böylece onların ürünüdür tamamlandıktan Izin kimlik harita göstermek ve ürün haritası olduğunu gözlemlemek bir kimin görüntü yoğundur TVS-gömme içinde haritayı tanımla ${\görüntüleme stili H}$${\displaystyle \operatöradı {In} _{H}:H\to C,}$${\görüntüleme stili C.}$${\görüntüleme stili I}$${\görüntüleme stili C}$${\ Displaystyle I\time C.}$${\displaystyle \operatöradı {Id} _{I}:I\to I}$${\displaystyle \operatöradı {Id} _{I}\times \operatöradı {In} _{H}:I\times H\to I\times C}$${\ Displaystyle I\time C.}$

$${\displaystyle B:X=I\oplus H\to I\times C\quad {\text{ by }}\quad B:=\left(\operatöradı {Id} _{I}\times \operatöradı {In} _{H}\sağ)\circ A}$$

bir TVS gömme olan tam TVS yoğun bir vektör matrisini Ayrıca, menşe kapatılması gözlemlemek na eşit ve ve topolojik tamamlayıcı olan${\displaystyle X=I\oplus H}$${\ Displaystyle I\time C.}$${\ Displaystyle I\time C}$${\displaystyle I\times \{0\},}$${\ Displaystyle I\time \{0\}}$${\görüntüleme stili \{0\}\kez C}$${\ Displaystyle I\time C.}$

Herhangi bir cebirsel (ve dolayısıyla topolojik) tamamlayıcı verilen Özetlemek gerekirse, bir bölgesi ve bir bitirme verilen Hausdorff TVS bu şekilde daha sonra doğal dahil ${\görüntüleme stili H}$${\displaystyle I:=\operatöradı {cl} \{0\}}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili H}$${\görüntüleme stili H\alt küme C,}$

$${\displaystyle \operatöradı {In} _{H}:X=I\oplus H\to I\oplus C}$$

tam TVS'nin yoğun bir vektör alt uzayına iyi tanımlanmış bir TVS-gömmedir, üstelik, ${\görüntüleme stili X}$${\ Displaystyle I\oplus C}$

$${\displaystyle X=I\oplus H\subseteq I\oplus C\cong I\times C.}$$

Bir tamamlamanın topolojisi

Teorem  : (a tamamlanma topoloji)  -  Let tam TVS olması ve izin yoğun vektör alt uzayı If herhangi bir mahalle tabanı içinde menşe sonra sette ${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X.}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {N}}_{X}(0)}$${\görüntüleme stili X}$

$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}(0):=\left\{\operatöradı {cl} _{C}N~:~N\in {\mathcal {N}}_{X} (0)\sağ\}}$$

tamamlanmasında kökenli bir mahalle arasında${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili X.}$

Eğer yerel olarak dışbükey ve sürekli yarınorm ailesidir topoloji oluşturmak için tüm kesintisiz uzantıların sonra ailesinin tüm üyelerinin yarınorm bir üretme aile içindir${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {P}}}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X,}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {P}}}$${\görüntüleme stili X.}$

Eğer farklı Said'in bir TVS bir tamamlanmasıdır ile ve eğer bir olduğunu

mahalle tabanı içinde menşe kümelerinin ardından ailesi ${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X\alt küme C}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {N}}}$${\görüntüleme stili X,}$

$${\displaystyle \left\{\operatöradı {cl} _{C}N~:~N\in {\mathcal {N}}\sağ\}}$$

kökeninde bir mahalle temelidir ${\görüntüleme stili C.}$

Teoremi  (katsayılarının Tamamlama)  -  Izin bir olmak metriklenebilir topolojik vektör uzayı ve izin kapalı bir vektör alt uzayı varsayalım bir tamamlanması Bundan sonra tamamlanması TVS-izomorf Buna ek olarak , bu TVS-izomorfizm normlu uzay aynı zamanda bir izometridir. ${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili M.}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili M.}$${\görüntüleme stili M/N}$${\displaystyle C/\operatöradı {cl} _{C}N.}$${\görüntüleme stili M}$

Tamamlamalarla korunan özellikler

Bir TVS aşağıdaki özelliklerden herhangi birine sahipse, tamamlanması da öyledir: ${\görüntüleme stili X}$

• Hausdorff
• Yerel olarak dışbükey
• psödometrikleştirilebilir
• metriklenebilir
• yarı normlanabilir
• normlanabilir
  • Ayrıca, eğer bir normlu alanı, daha sonra tamamlanması Banah alanı gibi seçilebilir TVS gömme şekilde içine bir izometridir.${\görüntüleme stili (X,p)}$${\görüntüleme stili (B,q)}$${\görüntüleme stili (X,p)}$${\görüntüleme stili (B,q)}$
• Hausdorff, Hilbert öncesi . Yani, bir iç çarpım tarafından indüklenen bir TVS .
• Nükleer
• Namlulu
• Mackey
• DF alanı

Hilbert uzaylarının tamamlanması

Her iç çarpım alan bir tamamlama vardır iç çarpım Hilbert alandır özgü sürekli uzantısıdır orijinal iç ürünün standart tarafından indüklenen ayrıca özel bir sürekli uzantısı olan indüklediği normu${\displaystyle \sol(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle \sağ)}$${\displaystyle \left({\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\overline {H}}\sağ)}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\overline {H}}}$${\displaystyle {\overline {H}}}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle .}$${\displaystyle \left({\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\overline {H}}\sağ)}$${\displaystyle {\overline {H}}}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle .}$

Diğer korunmuş özellikler

Eğer a,

Hausdorff TVS, daha sonra, sürekli çift boşluk tamamlanmasından sürekli çift alanı ile aynıdır , bir lokal konveks tamamlanmasından bornological alan a, namlulu alanı . Eğer ve vardır DF-alanlarda daha sonra yansıtmalı tensör ürün , hem de onun tamamlanması, bu boşluklar bir DF-alandır. ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X.}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili Y}$

İki nükleer uzayın projektif tensör ürününün tamamlanması

nükleerdir . Bir nükleer uzayın tamamlanması, Hilbert uzaylarının projektif limiti ile TVS-izomorfiktir .

Eğer (toplama harita yani TVS-izomorfizm olan) bir Hausdorff tamamlama vardır sonra ilave olarak ise , bir bir

iç çarpım alanı ve ve olan ortogonal tamamlayıcı birbirlerinin (örneğin ), sonra ve ortogonal tamamlayıcı olan Hilbert alanı${\displaystyle X=Y\oplus Z}$${\ Displaystyle Y\time Z\to X}$${\görüntüleme stili C}$${\displaystyle \sol(\operatöradı {cl} _{C}Y\sağ)+\sol(\operatöradı {cl} _{C}Z\sağ)=C.}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili Z}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \langle Y,Z\rangle =\{0\}}$${\displaystyle \operatöradı {cl} _{C}Y}$${\displaystyle \operatöradı {cl} _{C}Z}$ ${\görüntüleme stili C.}$

Tamamlanana kadar uzantılar tarafından korunan haritaların özellikleri

Eğer iki yerel dışbükey uzay arasında bir nükleer lineer operatör ise ve eğer bir tamamlama ise, o zaman bir nükleer lineer operatöre benzersiz bir sürekli lineer genişlemeye sahiptir.${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle F:C\to Y.}$

Let ve iki Haussdorf TVSS olmak tamamlandı. Izin bir tamamlanmış olması Let sürekli lineer operatörlerin vektör uzayı temsil ettiği ve izin her gönderir göstermektedirler ilk üzerindeki eşsiz sürekli lineer uzantısı sonra bir (örten) vektör uzayı izomorfizm olup. Ayrıca, eş-sürekli alt kümelerin ailelerini birbirleri üzerine eşler. Varsayalım o bir sahip olduğunu -topology ve içinde kapanışları gösterir içinde kümelerinin haritası Sonra da bir TVS-izomorfizm olduğunu. ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili X.}$${\görüntüleme stili L(X;Y)}$${\görüntüleme stili I:L(X;Y)\to L(C;Y)}$${\görüntüleme stili f\in L(X;Y)}$${\görüntüleme stili C.}$${\görüntüleme stili I:L(X;Y)\to L(C;Y)}$${\görüntüleme stili I:L(X;Y)\to L(C;Y)}$${\görüntüleme stili L(X;Y)}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {G}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {H}}}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {G}}.}$${\displaystyle I:L_{\mathcal {G}}(X;Y)\to L_{\mathcal {H}}(C;Y)}$

Eksiksiz bir TVS için örnekler ve yeterli koşullar

• Önemsiz topolojiye sahip herhangi bir TVS tamamlandı ve alt kümelerinin her biri tamamlandı. Ayrıca, önemsiz topolojiye sahip her TVS kompakttır ve dolayısıyla yerel olarak kompakttır. Bu nedenle, tam bir seminormable yerel dışbükey ve yerel olarak kompakt TVS, Hausdorff değilse, sonlu boyutlu olması gerekmez.
• Tam (sıralı olarak tamamlanmış, yarı tamamlanmış) TVS'lerin rastgele bir ürünü aynı özelliğe sahiptir. Tüm uzaylar Hausdorff ise, tersler de doğrudur. Bir (Hausdorff) TVS ailesinin Hausdorff tamamlamalarının bir ürünü, onların ürün TVS'lerinin bir Hausdorff tamamlamasıdır. Daha genel olarak, bir TVS ailesinin tam alt kümelerinin rastgele bir ürünü, TVS ürününün eksiksiz bir alt kümesidir.
• Hausdorff tam (sırasıyla tam, yarı tam) TVS'lerin projektif sisteminin projektif limiti aynı özelliğe sahiptir. (Hausdorff) TVS'lerin bir ters sisteminin Hausdorff tamamlamalarının projektif limiti, onların projektif limitlerinin bir Hausdorff tamamlamasıdır.
• Eğer tam bir psödometrikleştirilebilir TVS'nin kapalı bir vektör alt uzayıysa , bölüm uzayı tamamlanmıştır.${\görüntüleme stili M}$ ${\görüntüleme stili X,}$${\görüntüleme stili X/M}$
• Varsayalım a, tam bir vektör alt uzay metriklenebilir TVS bölüm alanı ise böylece daha sonra tamamlanır ancak tam bir TVS vardır, kapalı bir vektör altuzaya sahip olan bölüm TVS şekilde olduğu değil tamamlandı.${\görüntüleme stili M}$ ${\görüntüleme stili X.}$${\görüntüleme stili X/M}$${\görüntüleme stili X.}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili X/M}$
• Her F-alanı , Fréchet uzayı , Banach uzayı ve Hilbert uzayı tam bir TVS'dir.
• Kesin LF boşlukları ve katı LB boşlukları tamamlandı.
• Bunun bir TVS'nin yoğun bir alt kümesi olduğunu varsayalım, eğer üzerindeki her Cauchy filtresi bir noktada yakınsarsa, o zaman tamamlanır.${\görüntüleme stili D}$${\görüntüleme stili X.}$${\görüntüleme stili D}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$
• Schwartz uzay pürüzsüz fonksiyonların tamamlandı.
• Dağıtım alanları ve test fonksiyonları tamamlandı.
• Varsayalım ki ve vardır yerel dışbükey TVSS ve sürekli lineer uzay haritaları olduğu sahip olduğunu sınırlı alt kümeleri üzerinde üniforma yakınlaşma topoloji ait If bir olduğunu bornological uzay ve eğer o zaman tamamlanır tam TVS olduğunu. Özellikle, bir doğumsal uzayın güçlü ikilisi tamamlanmıştır. Ancak, doğuştan olması gerekmez.${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili L_{b}(X;Y)}$${\görüntüleme stili X.}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili L_{b}(X;Y)}$
• Her yarı-tam DF-alanı tamamlandı.
• Let ve bir vektör alanı Haussdorf TVS topolojileri olmak öyle ki bir ön filtre var ise , öyle ki bir olan mahalle bazında için menşe de her o ve bu tür tam bir alt kümesidir sonra tam bir TVS olduğunu.${\görüntüleme stili\omega }$${\görüntüleme stili\tau }$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \omega \subseteq \tau .}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$${\görüntüleme stili (X,\tau )}$${\ Displaystyle B\in {\matematiksel {B}}}$${\görüntüleme stili (X,\omega ),}$${\görüntüleme stili (X,\tau )}$

Özellikler

Komple TVS'ler

Her TVS'nin bir tamamlaması vardır ve her Hausdorff TVS'nin bir Hausdorff tamamlaması vardır. Her tamamlanmış TVS, yarı-tam bir uzaydır ve sırayla tamamlanır . Bununla birlikte, yukarıdaki çıkarımların tersi genellikle yanlıştır. Bir söz konusudur sıralı tam değil lokal konveks TVS yarı tamamlandı .

Bir TVS, orijinin tam bir komşusuna sahipse, o zaman tamamlanmıştır. Her tam sözde ölçülebilir TVS , bir namlulu alan ve bir Baire alanıdır (ve dolayısıyla yetersiz değildir). Tam bir ölçülebilir TVS'nin boyutu ya sonludur ya da sayılamayandır.

Cauchy ağları ve ön filtreler

Bir TVS'deki herhangi bir noktanın herhangi bir komşuluk temeli , bir Cauchy ön filtresidir.

Bir TVS'deki her yakınsak ağ (ilgili ön filtre) zorunlu olarak bir Cauchy ağıdır (ya da Cauchy ön filtresi). Bir Cauchy ön filtresine bağlı (yani ondan daha ince) herhangi bir ön filtre mutlaka bir Cauchy ön filtresidir ve bir Cauchy ön filtresinden daha ince olan herhangi bir ön filtre de bir Cauchy ön filtresidir. TVS'deki bir diziyle ilişkili filtre, yalnızca ve ancak dizi bir Cauchy dizisiyse Cauchy'dir. Her yakınsak ön filtre, bir Cauchy ön filtresidir.

Eğer bir TVS ise ve Cauchy net bir yığılma noktası (sırasıyla. Cauchy ön-filtre) ise, o zaman bu Cauchy ağ (sırasıyla. Bu Cauchy ön-filtre) için yakınsak olarak bir TVS bir Cauchy filtresi varsa birikimi noktası o yakınsamaktadır${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle x\in X}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili X.}$ ${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili x.}$

Düzgün sürekli haritalar, Cauchy ağlarını Cauchy ağlarına gönderir. Bir Hausdorff TVS'deki bir Cauchy dizisi, bir Hausdorff TVS'deki bir Cauchy dizisi, bir küme olarak düşünüldüğünde, prekompakt (yani, tamamlamada kapanması) olmasına rağmen , mutlaka nispeten kompakt değildir (yani, içindeki kapanması mutlaka kompakt değildir) arasında ) kompakttır. ${\görüntüleme stili X,}$${\görüntüleme stili X,}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$

Her Cauchy dizisi sınırlı bir alt kümedir, ancak bu mutlaka Cauchy ağı için doğru değildir. Örneğin, let let, her zamanki düzeni var anlamında olabildikleri herhangi ön sipariş olmayan üzerinde indiscrete TVS (olduğunu yoktur önemsiz topoloji , aynı zamanda varsayılır ) ve birliğe bu iki preorders uzatmak olduğunu bildirerek her için de geçerlidir ve Let tanımlanabilir halinde ve (olduğundan, aksi takdirde ), net olan Önceden sipariş grubu yana olan yönlendirilmiş (bu ön sipariş da bir kısmi sıralama (sırasıyla, bir toplam sipariş ), bu doğru ise ). Bu ağ , orijine yakınsadığı için bir Cauchy ağıdır , ancak küme sınırlı bir alt küme değildir (çünkü önemsiz topolojiye sahip değildir). ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\ Displaystyle \,\leq \,}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle X\cap \mathbb {N} =\varnothing }$${\displaystyle I:=X\cup \mathbb {N} }$${\displaystyle x\leq n}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$${\displaystyle f:I\to X}$${\görüntüleme stili f(i)=i}$${\görüntüleme stili i\X'te}$${\görüntüleme stili f(i)=0}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili (I,\leq )}$${\görüntüleme stili I}$${\görüntüleme stili (X,\leq )}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \{f(i):i\in I\}=X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$

Bunun bir TVS ailesi olduğunu ve bu TVS'lerin ürününü ifade ettiğini varsayalım. Varsayalım her dizin için bu bir ön filtresi olan ön filtreler bu ailenin Sonra ürün üzerinde bir Cauchy filtre edilir ve eğer her yalnızca bir Cauchy filtresi açık${\displaystyle X_{\bullet }=\sol(X_{i}\sağ)_{i\in I}}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili ben,}$ ${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}_{i}}$${\displaystyle X_{i}.}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}_{i}}$${\displaystyle X_{i}.}$

Haritalar

Eğer bir birebirdir topolojik homomorfizması sonra Hausdorff TVS içine tam bir TVS ila görüntü (olup, ) bir kapalı alt uzay olan ıf a, topolojik homomorfizması tam bir mesafede metriklenebilir sonra aralığı Hausdorff TVS içine TVS kapalı bir alt uzay olan of If , iki Hausdorff TVS arasındaki düzgün sürekli bir harita ise, o zaman tamamen sınırlı bir alt kümesinin altındaki görüntü , tamamen sınırlı bir alt kümesidir.${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili f(X)}$${\görüntüleme stili Y.}$${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili Y.}$${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili Y.}$

Düzgün sürekli uzantılar

Varsayalım ki yoğun bir alt kümeden bir düzgün sürekli haritasıdır bir TVS tam Haussdorf TVS içine Sonra tüm benzersiz düzgün sürekli uzantısına sahip ilaveten If homomorfizması sonra eşsiz düzgün sürekli uzantı da bir homomorfizma edilir. "TVS", "değişmeli topolojik grup" ile değiştirilirse bu doğru kalır. Haritanın lineer bir harita olması ve vektör alt uzayı olması zorunlu değildir.${\ Displaystyle f:D\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili D}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili Y.}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili X.}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili D}$${\görüntüleme stili X.}$

Düzgün sürekli doğrusal uzantılar

İki Hausdorff TVS arasında sürekli bir lineer operatör olduğunu varsayalım . Eğer yoğun vektör alt uzay olduğunu ve kısıtlama varsa için bir olduğunu topolojik homomorfizması sonra da bir topolojik homomorfizma. Yani eğer ve bir Haussdorf tamamlanmış hali ve sırasıyla ve eğer o zaman bir topolojik homomorfizması vardır 'ın eşsiz sürekli doğrusal uzantısı bir topolojik homomorfizma. (İçin Not bunun mümkün olduğunun surjective olabilir ama için için için değil İnjektif olun.) ${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle f{\big\vert }_{M}:M\to Y}$${\görüntüleme stili M}$${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili D}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili Y,}$${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili f}$${\ Displaystyle F:C\'den D'ye}$${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$${\ Displaystyle F:C\'den D'ye}$

Varsayalım ve Hausdorff TVSS olup, yoğun bir vektör alt uzay olan ve yoğun bir vektör altuzayları olan ıf ve topolojik homomorfizmasının ile topolojik izomorf katkı alt grupları daha sonra aynı geçerlidir ve eşsiz eşit sürekli bir uzantısı ile aynı zamanda bir olan ( homeomorfizma). ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili X,}$${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili Y.}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili f}$

alt kümeler

Alt kümeleri tamamla

Bir TVS'nin her tam alt kümesi sırayla tamamlanır . Bir Hausdorff TVS'nin tam bir alt kümesi, aşağıdakilerin kapalı bir alt kümesidir:${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X.}$

Bir TVS'nin her kompakt alt kümesi tamamlanmıştır (TVS, Hausdorff olmasa veya tamamlanmamış olsa bile). Eksiksiz bir TVS'nin kapalı alt kümeleri tamamlandı; ancak, bir TVS tamamlanmadıysa, o zaman tamamlanmamış olanın kapalı bir alt kümesidir . Boş küme, her TVS'nin tam alt kümesidir. Eğer bir TVS tam bir alt kümesi daha sonra herhangi bir alt kümesi (TVS mutlaka Hausdorff veya tam değildir) bu kapalıdır tamamlanır. ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili C}$

topolojik tamamlayıcılar

Eğer üzerinde sürekli bir norm bulunan normlanamayan bir Fréchet uzayı ise, o zaman topolojik tamamlayıcısı olmayan kapalı bir vektör alt uzayı içerir . Eğer tam bir TVS ve kapalı vektör alt uzay olduğunu böyle tam değil, o zaman gelmez değil bir var topolojik tamamlayıcısı içinde${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X/M}$${\görüntüleme stili H}$${\görüntüleme stili X.}$

Tamamlamaların alt kümeleri

Izin bir olmak ayrılabilir yerel dışbükey metriklenebilir topolojik vektör uzayı ve izin başarıyla tamamlaması olun. Eğer bir sınırlı alt kümesi daha sonra sınırlı bir alt kümesi vardır ve öyle ki${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili R}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle S\subseteq \operatöradı {cl} _{C}R.}$

Kompakt alt kümelerle ilişkisi

Bir TVS bir alt kümesi ( değil ise Haussdorf veya tam olarak kabul) kompakt eğer ve tam ve yalnızca tamamen sınırlanmış . Bu nedenle , tam bir TVS'nin kapalı ve tamamen sınırlı bir alt kümesi kompakttır.

Her tam sınırlı küme nispeten kompakttır. Eğer herhangi TVS o zaman bölüm dönüşümü bir olan kapalı haritası ve böylece bir alt bir TVS ve kurallı bölüm haritası kapsamındaki resmi yalnızca eğer tamamen sınırlanan tamamen sınırlanmaktadır. Böylece tamamen sınırlıdır, ancak ve ancak tamamen sınırlıysa. Herhangi bir TVS'de, tamamen sınırlı bir altkümenin kapanışı yine tamamen sınırlıdır. Yerel olarak dışbükey bir uzayda, tamamen sınırlı bir kümenin dışbükey gövdesi ve diskli gövdesi tamamen sınırlıdır. Eğer bir TVS'nin bir alt kümesiyse, içindeki her dizinin bir küme noktası varsa, o zaman tamamen sınırlıdır. Bir Hausdorff TVS'nin bir alt kümesi , ancak ve ancak üzerindeki her ultrafiltre Cauchy ise, bu ancak ve ancak önceden kompakt ise (yani, tamamlanmasındaki kapanması kompakt ise) tamamen sınırlıdır . ${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle q:X\to X/\operatör adı {cl} _{X}\{0\}}$${\displaystyle S+\operatöradı {cl} _{X}\{0\}\subseteq \operatöradı {cl} _{X}S}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle q:X\to X/\operatör adı {cl} _{X}\{0\}}$${\görüntüleme stili S}$${\displaystyle S+\operatöradı {cl} _{X}\{0\}}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili X}$

Eğer kompakt ise, o zaman ve bu küme kompakttır. Böylece bir kompakt kümenin kapanışı kompakttır (yani, tüm kompakt kümeler nispeten kompakttır ). Böylece kompakt bir kümenin kapanışı kompakttır. Bir Hausdorff TVS'nin nispeten kompakt her alt kümesi tamamen sınırlıdır. ${\görüntüleme stili S\alt küme X}$${\displaystyle \operatöradı {cl} _{X}S=S+\operatöradı {cl} _{X}\{0\}}$

Tam bir yerel dışbükey uzayda, bir kompakt kümenin dışbükey gövdesi ve diskli gövdesi kompakttır. Daha genel olarak, eğer yerel bir dışbükey uzayın bir kompakt alt kümesi ise, o zaman dışbükey gövde (diskli gövdeye karşılık ) ancak ve ancak tamamlanmışsa kompakttır. Her alt kümesi içinde kompakt ve böylece tamamlandı. Özellikle, Hausdorff değilse , kapalı olmayan kompakt tam kümeler vardır. ${\görüntüleme stili K}$${\displaystyle \operatöradı {co} K}$${\displaystyle \operatöradı {kobal} K}$${\görüntüleme stili S}$${\displaystyle \operatöradı {cl} _{X}\{0\}}$${\görüntüleme stili X}$

Ayrıca bakınız

• Tam metrik uzay  – Metrik geometri
• Filtre (matematik)  – Matematikte, kısmen sıralı bir kümenin özel bir alt kümesi
• Topolojide  filtreler – Tüm temel topolojik kavramları ve sonuçları tanımlamak ve karakterize etmek için filtrelerin kullanılması.
• Yerel olarak dışbükey topolojik vektör uzayı  – Dışbükey açık kümeler tarafından tanımlanan bir topolojiye sahip bir vektör uzayı
• Metrik uzay  – Uzaklığı tanımlayan matematiksel küme
• Ölçülebilir topolojik vektör uzayı  – Topolojisi bir metrik ile tanımlanabilen bir topolojik vektör uzayı
• Net (matematik)  – Bir dizi noktanın genelleştirilmesi
• Psödometrik uzay  – Matematikte metrik uzayların genelleştirilmesi
• Yarı-tam uzay  – Her kapalı ve sınırlı alt kümenin tamamlandığı bir topolojik vektör uzayı
• Sırayla tamamlandı
• Topolojik grup  – Sürekli grup eylemi olan bir topolojik uzay olan grup
• Topolojik vektör uzayı  – Yakınlık kavramına sahip vektör uzayı
• Düzgün uzay  – Tek tip özellikler kavramına sahip topolojik uzay

Notlar

Kanıtlar

alıntılar

bibliyografya

• Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Topolojik Vektör Uzayları: Dışbükeylik Koşulları Olmadan Teori . Matematik Ders Notları. 639 . Berlin New York: Springer-Verlag . ISBN'si 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003 .
• Arkhangel'skii, Alexander Vladimirovich ; Ponomarev, VI (1984). Genel Topolojinin Temelleri: Problemler ve Alıştırmalar . Matematik ve Uygulamaları. 13 . Dordrecht Boston: D. Reidel . ISBN'si 978-90-277-1355-1. OCLC  9944489 .
• Berberyan, Sterling K. (1974). Fonksiyonel Analiz ve Operatör Teorisi Dersleri . Matematikte Lisansüstü Metinler. 15 . New York: Springer. ISBN'si 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401 .
• Bogachev, Vladimir I; Smolyanov, Oleg G. (2017). Topolojik Vektör Uzayları ve Uygulamaları . Matematikte Springer Monografları . Cham, İsviçre: Springer Uluslararası Yayıncılık. ISBN'si 978-3-319-57117-1. OCLC  987790956 .
• Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. Genel Topoloji: Bölüm 1-4 [ Topologie Générale ]. Éléments de matematik . Berlin New York: Springer Bilim ve İş Medyası. ISBN'si 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129 .
• Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur, vectoriels topologiques'den kaçınır [ Topolojik Vektör Uzayları: Chapters 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de matematik . 2 . Eggleston, HG tarafından tercüme edilmiştir; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN'si 978-3-540-42338-6. OCLC  17499190 .
• Conway, John (1990). Fonksiyonel analizde bir ders . Matematikte Lisansüstü Metinler . 96 (2. baskı). New York: Springer-Verlag . ISBN'si 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908 .
• Dixmier, Jacques (1984). Genel Topoloji . Matematikte Lisans Metinleri. Berberian tarafından tercüme edilmiştir, SK New York: Springer-Verlag . ISBN'si 978-0-387-90972-1. OCLC  10277303 .
• Dolecki, Szymon ; Mynard, Frederic (2016). Topolojinin Yakınsama Temelleri . New Jersey: Dünya Bilimsel Yayıncılık Şirketi. ISBN'si 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917 .
• Dugundji, James (1966). Topoloji . Boston: Allyn ve Bacon. ISBN'si 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485 .
• Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1988). Doğrusal Operatörler . Saf ve uygulamalı matematik . 1 . New York: Wiley-Interscience . ISBN'si 978-0-471-60848-6. OCLC  18412261 .
• Edwards, Robert E. (1995). Fonksiyonel Analiz: Teori ve Uygulamalar . New York: Dover Yayınları. ISBN'si 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138 .
• Grothendieck, Alexander (1973). Topolojik Vektör Uzayları . Çeviren: Chaljub, Orlando. New York: Gordon ve Breach Science Publishers. ISBN'si 978-0-677-30020-7. OCLC  886098 .
• Horvat, John (1966). Topolojik Vektör Uzayları ve Dağılımları . Matematikte Addison-Wesley serisi. 1 . Reading, MA: Addison-Wesley Yayıncılık Şirketi. ISBN'si 978-0201029857.
• Hüseyin, Takdir; Khaleelulla, SM (1978). Topolojik ve Sıralı Vektör Uzaylarında Namluluk . Matematik Ders Notları . 692 . Berlin, New York, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN'si 978-3-540-09096-0. OCLC  4493665 .
• Jarchow, Hans (1981). Yerel dışbükey uzaylar . Stuttgart: BG Teubner. ISBN'si 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
• Joshi, KD (1983). Genel Topolojiye Giriş . New York: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC  9218750 .
• Khaleelulla, SM (1982). Topolojik Vektör Uzaylarında Karşı Örnekler . Matematik Ders Notları . 936 . Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag . ISBN'si 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370 .
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topolojik Vektör Uzayları I . Grundlehren der matematikçi Wissenschaften. 159 . Garling tarafından çevrildi, DJH New York: Springer Science & Business Media. ISBN'si 978-3-642-64988-2. MR  0248498 . OCLC  840293704 .
• Köthe, Gottfried (1979). Topolojik Vektör Uzayları II . Grundlehren der matematikçi Wissenschaften. 237 . New York: Springer Bilim ve İş Medyası. ISBN'si 978-0-387-90400-9. OCLC  180577972 .
• Megginson, Robert E. (1998), Banach uzay teorisine giriş , Matematikte Lisansüstü Metinler, 183 , New York: Springer-Verlag, pp. xx+596, ISBN 0-387-98431-3
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topolojik Vektör Uzayları . Saf ve uygulamalı matematik (İkinci baskı). Boca Raton, FL: CRC Basın. ISBN'si 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Osborne, Mason Scott (2013). Yerel Dışbükey Uzaylar . Matematikte Lisansüstü Metinler. 269 . Cham Heidelberg New York Dordrecht Londra: Springer Bilim ve İş Medyası. ISBN'si 978-3-319-02045-7. OCLC  865578438 .
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topolojik Vektör Uzayları . Matematikte Cambridge Yolları . 53 . Cambridge İngiltere: Cambridge University Press . ISBN'si 978-0-521-29882-7. OCLC  589250 .
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topolojik Vektör Uzayları . GTM . 8 (İkinci baskı). New York, NY: Springer New York Baskı Springer. ISBN'si 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Schechter, Eric (1996). Analiz El Kitabı ve Temelleri . San Diego, CA: Akademik Basın. ISBN'si 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .
• Schubert, Horst (1968). Topoloji . Londra: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC  463753 .
• Swartz, Charles (1992). Fonksiyonel Analize giriş . New York: M. Dekker. ISBN'si 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067 .
• Treves, François (2006) [1967]. Topolojik Vektör Uzayları, Dağılımlar ve Çekirdekler . Mineola, NY: Dover Yayınları. ISBN'si 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Voigt, Jürgen (2020). Topolojik Vektör Uzayları Üzerine Bir Ders . Matematikte Kompakt Ders Kitapları. Çam: Birkhäuser Basel . ISBN'si 978-3-030-32945-7. OCLC  1145563701 .
• Wilansky, Albert (2013). Topolojik Vektör Uzaylarında Modern Yöntemler . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Genel Topoloji . Matematik Üzerine Dover Kitapları (İlk baskı). Mineola, NY : Dover Yayınları . ISBN'si 978-0-486-43479-7. OCLC  115240 .
• Zălinescu, Constantin (30 Temmuz 2002). Genel Vektör Uzaylarında Konveks Analizi . River Edge, NJ Londra: Dünya Bilimsel Yayıncılık . ISBN'si 978-981-4488-15-0. MR  1921556 . OCLC  285163112 – İnternet Arşivi aracılığıyla .