Bölüm uzayı (doğrusal cebir) - Quotient space (linear algebra)

Olarak lineer cebir , bölüm a vektör uzayı V bir yan alt uzay N "daraltma" ile elde edilen bir vektör alanıdır N sıfıra. Elde edilen alanı olarak adlandırılır bölüm alanı ve gösterilir V / N (okuma V mod N veya V ile N ).

Tanım

Resmi olarak, inşaat aşağıdaki gibidir. Let V bir olmak vektör uzayı bir fazla alan K ve izin N bir olmak alt uzay arasında V . Biz tanımlayan denklik ilişkisi üzerinde ~ V belirterek x ~ y ise x - yN . Yani, biri diğerinden N'nin bir elemanı eklenerek elde edilebiliyorsa x , y ile ilişkilidir . Bu tanımdan, N'nin herhangi bir elemanının sıfır vektörü ile ilişkili olduğu sonucuna varılabilir ; daha kesin olarak, bütün vektörler N sıfır vektör eşdeğerlilik sınıfına eşleştirilmemektedir.

Denklik sınıfı (bu durumda ya da, eşküme arasında) x genellikle gösterilir

[ x ] = x + N

tarafından verildiğinden

[ x ] = { x + n  : nN }.

Bölüm alanı V / N aşağıdaki gibi tanımlanır V / ~ üzerinde tüm denk sınıfların grubu V ~ ile. Skaler çarpma ve toplama, denklik sınıflarında şu şekilde tanımlanır:

  • tüm α ∈ K için α[ x ] = [α x ] ve
  • [ x ] + [ y ] = [ x + y ].

Bu işlemlerin iyi tanımlanmış olduğunu kontrol etmek zor değildir (yani temsilci seçimine bağlı değildir ). Bu işlemler, V / N bölüm uzayını , N'nin sıfır sınıfı, [0] olduğu K üzerinde bir vektör uzayına dönüştürür .

vV ile eşdeğerlik sınıfını [ v ] ilişkilendiren eşleme , bölüm haritası olarak bilinir .

Alternatif olarak ifade ettiği, bölüm alanı tüm dizi afin alt kümeleri ki bunlar paralel için .

Örnekler

Let X = R, 2 olduğu, standart Kartezyen düzlemi ve izin Y'nin deki orijinden geçen bir çizgi olabilir , X . Daha sonra bölüm alanı X / Y, tüm çizgilerin alanı ile tanımlanabilir X paralel olan Y . Bu demek ki, kümenin elemanları X / Y, çizgiler olan X paralel Y . Fark vektörleri Y'ye ait olduğundan, bu tür herhangi bir doğru üzerindeki noktaların denklik ilişkisini sağlayacağına dikkat edin . Bu, bölüm uzaylarını geometrik olarak görselleştirmenin bir yolunu verir. (Yeniden parametrelerini ayarlama bu çizgiler ile, bölüm alanı daha geleneksel paralel değildir orijinden geçen bir hat boyunca her nokta alanı olarak temsil edilebilir , Y . Buna benzer şekilde, bölüm alanı R 3 kökenli kutunun içinden geçen bir doğruya göre yine tüm paralel çizgilerin kümesi olarak temsil edilebilir veya alternatif olarak, sadece orijinde çizgiyi kesen bir düzlemden oluşan vektör uzayı olarak temsil edilebilir.)

Diğer bir örnek, elde edilen oran ise R , n , ilk olarak yayılmış alt uzayda m standart baz vektörleri. Uzay R n tüm oluşur n reel sayılar -tuples ( x 1 , ..., x n ) . R m ile tanımlanan alt uzay, son nm girişleri sıfır olacak şekilde tüm n- tuple'lardan oluşur : ( x 1 , …, x m , 0, 0, …, 0) . R n'nin iki vektörü, ancak ve ancak son nm koordinatlarında aynı olmaları durumunda alt uzay modulo aynı uygunluk sınıfındadır . Bölüm alanı R , n / R, m, bir izomorfik için R ' , n - m açık bir şekilde.

Daha genel olarak, eğer V , U ve W alt uzaylarının (iç) bir doğrudan toplamı ise ,

Daha sonra bölüm alanı V / U olduğu , doğal izomorfik için W .

Fonksiyonel bölüm uzayının önemli bir örneği L p uzayıdır .

Özellikler

Doğal vardır epimorphism gelen V bölüm alanı için V / U göndererek verilen x [eş değerlilik sınıfına x ]. Çekirdek Bu epimorphism arasında (ya da nullspace) alt uzay olan , U . Bu ilişki, kısa kesin dizi ile düzgün bir şekilde özetlenir.

Eğer U bir alt uzay olan V , boyut ve V / U olarak adlandırılan keyfi dik boyutlu bir U olarak V . Bir temel yana V temel inşa edilebilir A ve U ve bir taban B arasında V / U bir ekleyerek temsil eden her bir elemanın B için A , boyutu V boyutlarının toplamıdır U ve V / U . Eğer V olduğu -sonlu boyutlu , bunun keyfi dik boyutlu olduğu sonucu U olarak V boyutları arasındaki fark, V ve U :

Let T  : VW bir olmak doğrusal operatör . Çekirdek T ile gösterilen ker ( T ), bir dizi, tüm XV şekilde Tx = 0 çekirdek bir alt uzay olan V . İlk izomorfizm teoremi lineer cebir bölüm alanı söylüyor V / ker ( T ) görüntü izomorf V içinde W . Hemen bir sonuç, sonlu boyutlu boşluklar, bir seviye sıfırlılık teoremi : boyutu V çekirdek (boyutuna eşit olan iptal ve T ) artı görüntünün boyutu ( seviye arasında T ).

Cokernel lineer operatörün T  : VG bölüm alanı olarak tanımlanır W / im ( T ).

Bir Banach uzayının bir alt uzaya bölümü

Eğer X, a, Banach alanı ve M a, kapalı bir alt uzay X , daha sonra bölüm X / M tekrar Banah alanıdır. Bölüm uzayı, önceki bölümün inşası ile zaten bir vektör uzay yapısı ile donatılmıştır. Biz bir norm tanımlayan x / M ile

Tüm X tamamlandıktan sonra bölüm alanı X / M olan tam normuna göre, ve bu yüzden Banah alanı.

Örnekler

Let C [0,1] anlamında olabildikleri ile [0,1] aralığı üzerinde sürekli reel değerli fonksiyonların Banach uzayı sup norm . Tüm fonksiyonların alt uzayını fC [0,1] ile f (0) = 0 ile M ile gösterin . Daha sonra bazı g fonksiyonunun denklik sınıfı , 0'daki değeri ile belirlenir ve C [0,1] /  M bölüm uzayı R ile izomorfiktir .

Eğer X, a, Hilbert alanı , daha sonra bölüm alanı x / M izomorf ortogonal tamamlayıcı ait M .

Yerel dışbükey uzaylara genelleme

Yerel dışbükey bir uzayın kapalı bir alt uzaya bölümü yine yerel olarak dışbükeydir. Gerçekten de, bu varsayalım X, yerel olarak topolojisi şekilde dışbükey olan , X bir ailesi tarafından oluşturulan yarı normlar { s a  | α ∈  A } burada A bir dizin kümesidir. M kapalı bir altuzay olsun ve X / M üzerindeki q α seminormlarını şu şekilde tanımlayın :

O halde X / M yerel dışbükey bir uzaydır ve üzerindeki topoloji bölüm topolojisidir .

Ayrıca, ise X'in olan metriklenebilir , o zaman bir X / M . Eğer X bir olan Fréchet uzay ardından böyledir X / M .

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ Halmos (1974) s. 33-34 §§ 21-22
  2. ^ Katznelson ve Katznelson (2008) s. 9 § 1.2.4
  3. ^ Roman (2005) s. 75-76, bölüm. 3
  4. ^ Axler (2015) s. 95, § 3.83
  5. ^ Halmos (1974) s. 34, § 22, Teorem 1
  6. ^ Axler (2015) s. 97, § 3.89
  7. ^ Halmos (1974) s. 34, § 22, Teorem 2
  8. ^ Dieudonne (1976) s. 65, § 12.14.8
  9. ^ Dieudonne (1976) s. 54, § 12.11.3

Kaynaklar

  • Axler, Sheldon (2015). Doğrusal Cebir Doğru Yapıldı . Matematik Lisans Metinleri (3. baskı). Springer . ISBN'si 978-3-319-11079-0.
  • Dieudonné, Jean (1976), Analiz Üzerine İnceleme , 2 , Academic Press , ISBN 978-0122155024
  • Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Sonlu Boyutlu Vektör Uzayları . Matematik Lisans Metinleri (2. baskı). Springer . ISBN'si 0-387-90093-4.
  • Katznelson, Yitzhak ; Katznelson, Yonatan R. (2008). A (Öz) Lineer Cebire Giriş . Amerikan Matematik Derneği . ISBN'si 978-0-8218-4419-9.
  • Roman, Steven (2005). Gelişmiş Lineer Cebir . Matematik Lisansüstü Metinleri (2. baskı). Springer . ISBN'si 0-387-24766-1.