Schwartz uzayı - Schwartz space
Gelen matematik , Schwartz alanı olan işlev alanı tüm fonksiyonları türevleri hızla azalmaktadır. Bu uzay, Fourier dönüşümünün bu uzay üzerinde bir otomorfizma olması gibi önemli bir özelliğe sahiptir . Bu özellik Fourier ikili uzayda elemanları dönüşümü tanımlamak için ikili yönlü oluşuyla bir olanak ait için vardır, temperli dağılımları . Schwartz uzayındaki bir fonksiyona bazen Schwartz fonksiyonu denir .
Schwartz uzayı, adını Fransız matematikçi Laurent Schwartz'dan almıştır .
Tanım
Motivasyon
Schwartz uzayının arkasındaki fikir, üzerinde hızla azalan tüm düzgün fonksiyonların kümesini düşünmektir . Bu, düzgün karmaşık değerli bir fonksiyon üzerindeki tüm olası türevler ( çoklu indeksli ) ve herhangi bir tek terimli ile çarpılan tüm olası değerlerin üstünlüğü ve bunları sınırlayarak kodlanır . Bu kısıtlama eşitsizlik olarak kodlanmıştır.
Tanım
Izin olmak
seti negatif olmayan bir tamsayı ve herhangi için , let olmak n kat Kartezyen ürünü . Schwartz alanı ya da hızla azalan fonksiyonların alanı işlevi alanıdırBu tanıma ortak bir dil eklemek için, hızla azalan bir fonksiyonu esasen bir f ( x ) fonksiyonu olarak düşünebiliriz, öyle ki f ( x ) , f ′( x ) , f ′′( x ) , ... hepsi dünyanın her yerinde var olur. R gibi sıfıra gitmek x → ± ∞ herhangi karşılıklı gücünden daha hızlı x . Özellikle, S ( R, n , Cı- ) a, alt uzay işlev alanı arasında C ∞ ( R , n , Cı pürüzsüz fonksiyonları) R , n içine C .
Schwartz uzayındaki fonksiyon örnekleri
- Α çok endeksidir ve varsa bir bir pozitif reel sayı , sonra
- Herhangi bir yumuşak bir fonksiyonu f ile kompakt destek olan S ( R, n ). Herhangi bir türevi, çünkü bu açık f olan , sürekli ve desteği içinde, f , yani ( X α D β ) f bölgesinde bir maksimuma sahip R , n ile uç değer teoremi .
- Schwartz uzayı bir vektör uzayı olduğu için, herhangi bir polinom , Schwartz uzayının bir elemanını vermek için gerçek bir sabit için bir faktörle çarpılabilir . Özellikle, bir Schwartz uzayı içinde polinomların gömülmesi vardır.
Özellikler
analitik özellikler
- Gönderen Leibniz'in kural , öyle izler 𝒮 ( R n ) da altında kapalıdır noktasal çarpım :
- Eğer f , g ∈ 𝒮 ( R, n ) daha sonra ürün , fg ∈ 𝒮 ( R, n ) .
- Fourier dönüşümü doğrusal bir izomorfizmdir F:𝒮( R n ) → 𝒮( R n ) .
- Eğer f ∈ 𝒮 ( R ) daha sonra f olduğu düzgün sürekli ile R .
- 𝒮 ( R, n ) a, ayırt yerel dışbükey Frechet Schwartz TVS boyunca karmaşık sayılar .
- Hem 𝒮( R n ) hem de güçlü ikili uzayı da:
- Hausdorff yerel dışbükey uzayları
- O içinde olduğu bilinmektedir çift boşluk herhangi Montel alanı, bir dizi yakınsak güçlü çift topoloji ancak ve ancak içeri yakınsar zayıf * topoloji ,
Schwartz uzaylarının diğer topolojik vektör uzayları ile ilişkisi
- Eğer 1 ≤ s ≤ ∞ , daha sonra 𝒮 ( R, n ) ⊂ L p ( R, n ) .
- Eğer 1 ≤ p <∞ , daha sonra 𝒮 ( R, n ) bir yoğun olarak L p ( R, n ) .
- Tüm çarpma işlevlerinin alanı , C∞
c( R n ) , 𝒮( R n ) içinde bulunur .
Ayrıca bakınız
Referanslar
- ^ Trèves 2006 , s. 351–359.
Kaynaklar
- Hörmander, L. (1990). Lineer Kısmi Diferansiyel Operatörlerin Analizi I, (Dağılım teorisi ve Fourier Analizi) (2. baskı). Berlin: Springer-Verlag. ISBN'si 3-540-52343-X.
- Reed, M.; Simon, B. (1980). Modern Matematiksel Fizik Yöntemleri: Fonksiyonel Analiz I (Gözden geçirilmiş ve büyütülmüş ed.). San Diego: Akademik Basın. ISBN'si 0-12-585050-6.
- Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2003). Fourier Analizi: Bir Giriş (Princeton Analizi I'deki Dersler) . Princeton: Princeton Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 0-691-11384-X.
- Treves, François (2006) [1967]. Topolojik Vektör Uzayları, Dağılımlar ve Çekirdekler . Mineola, NY: Dover Yayınları. ISBN'si 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
Bu makale ,
Creative Commons Atıf/Benzer Paylaşım Lisansı altında lisanslanan PlanetMath üzerindeki hızla azalan işlevlere sahip Space'ten materyal içermektedir .