Ölçülebilirlik (matematik) - Commensurability (mathematics)
Gelen matematik , iki olmayan sıfır reel sayılar bir ve b olduğu söylenir commensurable bunların oranı ise a / b a, rasyonel sayı ; aksi takdirde a ve b ölçülemez olarak adlandırılır . (Bir rasyonel sayının iki tamsayı oranına eşdeğer bir sayı olduğunu hatırlayın .) Grup teorisinde daha genel bir ölçülebilirlik kavramı vardır .
Örneğin, 3 ve 2 sayıları orantılıdır çünkü oranları, 3 / 2 , rasyonel bir sayıdır. Rakamlar ve aynı zamanda orantılıdır çünkü oranları rasyonel bir sayıdır. Bununla birlikte, sayılar ve 2, oranları irrasyonel bir sayı olduğu için ölçülemez .
Daha genel olarak, a ve b herhangi iki sıfır olmayan rasyonel sayı ise, a ve b'nin orantılı olduğu tanımdan hemen anlaşılır ; aynı zamanda, eğer a herhangi bir irrasyonel sayı ise ve b , sıfır olmayan herhangi bir rasyonel sayı ise, o zaman a ve b'nin ölçülemez olduğu da acildir. Öte yandan, hem eğer bir ve b sonra, irrasyonel sayılar bir ve b ya commensurable olabilir veya olmayabilir.
Kavramın tarihi
Pisagorcular varlığının kanıtı yatırılır irrasyonel sayılar . İki çizgi parçasının uzunluklarının oranı irrasyonel olduğunda, çizgi bölümlerinin kendileri de (sadece uzunlukları değil) ölçülemez olarak tanımlanır.
Öklid'in Unsurları kitabında , ölçüsüz uzunlukları içeren kanıtlara izin vermek ve böylece yalnızca tarihsel olarak sınırlı sayı tanımına uygulanan argümanlardan kaçınmak için geometrik büyüklük için ayrı, daha genel ve dolambaçlı bir antik Yunan orantılılık doktrini geliştirilmiştir .
Öklid'in ölçülebilirlik mefhumu, Sokrates ile köle çocuk arasındaki tartışmada, Sokrates'in karmaşık bir geometrik problemi Sokratik Yöntem yoluyla çözmek için çocuğun kendi doğasında var olan yeteneklerini kullandığı Meno adlı diyaloğunda geçmesi beklenir. Tüm niyet ve amaçlar için, doğası gereği çok Öklid olan ve ölçülemezlik kavramından bahseden bir kanıt geliştirir.
Kullanımı öncelikle tercümelerinden gelir Öklid sitesindeki Element iki hat segmentleri olan, bir ve b bir üçüncü segment ise tam commensurable denir C bir parça uyumlu üretilmesi için uçtan son kez tam sayı döşenebilir için bir ve aynı zamanda, farklı bir tam sayı ile, bir kademeli uyumlu için b . Öklid, herhangi bir gerçek sayı kavramı kullanmadı, ancak doğru parçalarının uygunluğu ve böyle bir bölümün diğerinden daha uzun veya daha kısa olduğu fikrini kullandı.
Bu a / b rasyonel olması, bir c gerçek sayısının ve m ve n tam sayılarının varlığı için gerekli ve yeterli bir koşuldur , öyle ki
- a = mc ve b = nc .
Sadelik açısından, varsayarak bir ve b olan pozitif bir bir söyleyebiliriz cetvel uzunluğu birimleriyle işaretlenmiş, c , bir iki taraf da ölçmek için kullanılabilir bir çizgi parçası uzunluğu a , ve uzunluğunun bir b . Bu ortak bir birim ise, orada uzunluğu olan açısından bir ve b hem de ölçülebilir; bu terimin kaynağıdır. Aksi takdirde çifti bir ve b olan ölçülemez .
Grup teorisinde
Gelen grup teorisi , iki alt grup y 1 ve Γ 2 bir grubun G olduğu söylenir commensurable eğer kavşak Γ 1 ∩ Γ 2 ait sonlu indeksi iki Γ de 1 ve Γ 2 .
Örnek: a ve b sıfır olmayan gerçek sayılar olsun. Daha sonra gerçek sayılar alt grubu olan R oluşturulan göre bir tarafından üretilen bir alt-grubu ile commensurable olan b gerçek sayılar, ancak ve ancak bir ve b bu anlamda, commensurable olan bir / b rasyoneldir. Böylelikle grup-teorik ölçülebilirlik kavramı, gerçek sayılar kavramını genelleştirir.
Aynı grubun alt grupları olarak verilmeyen iki grup için de benzer bir düşünce vardır. İki grup G 1 ve G 2 olan ( soyut ) commensurable varsa alt grup H 1 ⊂ G 1 ve H 2 ⊂ G 2 şekildedir sonlu indeksi , H 1 olduğu izomorfik için H 2 .
Topolojide
İki yolla bağlantılı topolojik uzayın bazen , homeomorfik sonlu örtülü örtü uzayları varsa, orantılı olduğu söylenir . İncelenen alanın türüne bağlı olarak , tanımda homeomorfizmler yerine homotopi eşdeğerleri veya diffeomorfizmler kullanmak isteyebilir . İki alan orantılıysa, temel grupları da orantılıdır.
Örnek: herhangi iki kapalı yüzeyler arasında cinsinin en az 2, birbiri ile commensurable bulunmaktadır.