Cins (matematik) - Genus (mathematics)

Bir cins-2 yüzeyi

In matematik , cinsi (çoğul cins ), anlamları birkaç farklı vardır, ancak yakından ilgili. Cinsi tanıtmanın muhtemelen en hızlı, en kolay ve en sezgisel yolu, bir yüzeyin "deliklerinin" sayısıdır . Böylece bir kürenin cinsi 0 ve simitin cinsi 1 olur.

topoloji

Yönlendirilebilir yüzeyler

Bu animasyonda gösterilen kahve fincanı ve çörek, cins bire sahiptir.

Cinsi a bağlı , yönlendirilebilir bir yüzeye bir bir tam sayıdır kesişmeyen boyunca kesimler maksimum sayısını temsil eden kapalı basit eğrileri elde edilen hale getirmeden manifoldu kesildi. Üzerindeki tutamak sayısına eşittir . Alternatif olarak, g'nin cins olduğu kapalı yüzeyler için χ  = 2 − 2 g ilişkisi aracılığıyla Euler karakteristiği χ cinsinden tanımlanabilir. b sınır bileşenli yüzeyler için denklem χ = 2 − 2 g  −  b şeklindedir . Layman'ın terimleriyle, bir nesnenin sahip olduğu "delikler" sayısıdır ("delikler" halka delikleri anlamında yorumlanır; içi boş bir küre bu anlamda sıfır deliğe sahip olarak kabul edilir). Bir çörek veya simit böyle 1 deliğe sahipken küre 0'a sahiptir. Yukarıda resmedilen yeşil yüzeyde ilgili türden 2 delik vardır.

Örneğin:

• Küre S ² a ve disk iki cins sıfır sahiptir.
• Bir torus , kulplu bir kahve kupasının yüzeyi gibi bir cinse sahiptir. Bu, "topologlar, çöreklerini kahve fincanlarından ayırt edemeyen insanlardır" şakasının kaynağıdır.

Temel çokgenle ilgili makalede g cinsinin yüzeylerinin açık bir yapısı verilmiştir .

• Yönlendirilebilir yüzeylerin cinsi
• 

  cins 0

• 

  cins 1

• 

  cins 2

• 

  cins 3

Daha basit bir ifadeyle, yönlendirilebilir bir yüzeyin cinsinin değeri, sahip olduğu "delik" sayısına eşittir.

Yönlendirilemeyen yüzeyler

Yönlenemeyen cinsi , demigenus veya Euler cinsi bir bağlı, yönlenemeyen kapalı yüzeyin sayısını temsil eden bir tamsayıdır ve en az bir enine kapaklar bir bağlanmış alana . Alternatif olarak, kapalı bir yüzey için χ = 2 − k ilişkisi aracılığıyla Euler karakteristiği χ cinsinden tanımlanabilir , burada k yönlendirilemez cinstir.

Örneğin:

• Bir gerçek projektif düzlem yönlenemeyen cins birine sahiptir.
• Bir Klein şişesi , yönlendirilemez cins iki'ye sahiptir.

Düğüm

Cinsi a düğüm K her minimal cinsi olarak tanımlanır Seifert yüzeyleri için K . Bununla birlikte, bir düğümün Seifert yüzeyi, sınırı olan bir manifolddur, sınır düğümdür, yani birim çembere homeomorfiktir. Böyle bir yüzeyin cinsi, birim diskin sınır boyunca yapıştırılmasıyla elde edilen iki manifoldun cinsi olarak tanımlanır.

gidon

Cinsi bir 3-boyutlu handlebody gömülü boyunca kesimler maksimum sayısını temsil eden bir tamsayıdır diskler kesildi elde edilen manifold oluşturmadan. Üzerindeki tutamak sayısına eşittir.

Örneğin:

• Bir topun cinsi sıfırdır.
• Katı bir torus D ² × S ¹ , cins bire sahiptir.

Grafik teorisi

Cinsi a grafik az tamsayıdır , n grafik olan bir küre üzerinde kendisini geçtikten çizilebilir şekilde N kolları (cins yani yönlendirilmiş bir yüzey n ). Bu nedenle, düzlemsel bir grafiğin cinsi 0'dır, çünkü bir küre üzerinde kendinden kesişmeden çizilebilir.

Yönlenemeyen cinsi a grafik az tamsayıdır , n grafik olan bir küre üzerinde kendisini geçtikten çizilebilir şekilde n çapraz kapaklar (yani, bir (yönlenemeyen) cinsi olmayan yönlendirilebilir yüzey n ). (Bu sayı aynı zamanda demigenus olarak da adlandırılır .)

Euler cinsi az tamsayıdır , n grafik olan bir küre üzerinde kendisini geçtikten çizilebilir şekilde n çapraz kapaklar veya bir küre üzerinde n / 2 kolları.

Gelen topolojik grafik teorisi bir cinsinin çeşitli tanım vardır grubu . Arthur T. White aşağıdaki konsepti tanıttı. Bir grubun cinsi G bir (bağlanmış, yönsüz) minimum cinsidir Cayley grafiği için G .

Grafik cinsi sorunu olan NP-tam .

cebirsel geometri

Herhangi bir projektif cebirsel şema X'in cinsinin ilgili iki tanımı vardır : aritmetik cins ve geometrik cins . Zaman X, bir bir cebirsel eğri ile alan tanımı karmaşık sayılar ve eğer X, herhangi bir yer alır tekil noktalar , daha sonra bu tanımlar kabul ve topolojik tanımı ile çakıştığı uygulanan Riemann yüzeyi arasında X (kendi manifoldu kompleks noktaları). Örneğin, tanımı eliptik eğri gelen cebirsel geometri olup , belirli bir cinsinin 1 bağlı tekil olmayan yansıtmalı eğrisi rasyonel noktası üzerinde .

Tarafından Riemann-Roch teoremi , derece indirgenemez düzlem eğri bir bölüm ufuk lokusu tarafından verilen geometrik genus sahip ${\görüntüleme stili d}$${\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(d))}$

${\displaystyle g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,}$

burada s , uygun şekilde sayıldığında tekilliklerin sayısıdır.

Biyoloji

Cins, nükleik asitler veya proteinlerdeki kimyasal etkileşimlerin ağı tarafından yayılan grafik için de hesaplanabilir. Özellikle, cinsin zincir boyunca büyümesi incelenebilir. Böyle bir fonksiyon (cins izi olarak adlandırılır), biyomoleküllerin topolojik karmaşıklığını ve alan yapısını gösterir.

Ayrıca bakınız

• Grup (matematik)
• aritmetik cins
• geometrik cins
• çarpımsal bir dizinin cinsi
• İkinci dereceden bir formun cinsi
• Spinor cinsi

alıntılar

Referanslar

Aynı isimle ilişkili makaleler dizini

Bu makale , aynı adı (veya benzer adları) paylaşan ilgili öğelerin bir listesini içerir.
Bir dahili bağlantı sizi yanlış bir şekilde buraya yönlendirdiyse, bağlantıyı doğrudan amaçlanan makaleye yönlendirecek şekilde değiştirmek isteyebilirsiniz.