Grup izomorfizmi - Group isomorphism

Gelen soyut cebir , bir grup izomorfizm a, fonksiyon arasında iki grup bir şekilde grup elemanları arasında bire-bir yazışma kurar açıdan verilen grup işlemleri bu. İki grup arasında bir izomorfizm varsa, gruplara izomorfik denir . Grup teorisi açısından, izomorfik gruplar aynı özelliklere sahiptir ve ayırt edilmeleri gerekmez.

Tanım ve gösterim

İki grup Verilen ve bir grup İzomorfizma gelen etmek bir olduğunu bijective grup homomorfizması gelen için bir grup İzomorfizma bir bijective işlevi olduğuna işaret Spelt, bu yollarla herkes için böyle ve de burada geçerli

İki grup ve birinden diğerine bir izomorfizm varsa izomorfiktir. Bu yazılmıştır:

Genellikle daha kısa ve basit gösterimler kullanılabilir. İlgili grup işlemleri açık olduğunda, bunlar atlanır ve biri şunu yazar:

Bazen basitçe şöyle yazılabilir = Böyle bir gösterimin karışıklık veya belirsizlik olmadan mümkün olup olmadığı bağlama bağlıdır. Örneğin, grupların her ikisi de aynı grubun alt grupları olduğunda eşittir işareti çok uygun değildir. Ayrıca örneklere bakın.

Tersine, bir grup verilmiş bir dizi ve bir bijection yapabiliriz bir grup tanımlayarak

Eğer = ve sonra alıntı bir otomorfizmdir ( qv ).

Aşağıdaki gibi Sezgisel olarak, grup teorisyenleri iki izomorfik Gruplar: her eleman için bir grubun bir elemanı vardır ve bu şekilde gibi 'aynı şekilde davranması' (aynı şekilde olarak grubunun diğer elemanları ile çalışır ). Örneğin, eğer oluşturur , böylece daha sonra yapar Bu da, özellikle eder ve örten tekabül etmektedir. Bu nedenle, bir izomorfizmin tanımı oldukça doğaldır.

Gruplara ait olan bir izomorfizm eşit bir şekilde tanımlanabilir tersi morfizmalar içinde gruplarının kategori tersi burada iki taraflı bir ters sahip olduğu anlamına gelir.

Örnekler

Bu bölümde bazı önemli izomorfik grup örnekleri listelenmiştir.

  • Her grup gerçek sayılar eklenmesiyle grubuna izomorf olan pozitif reel sayılar çarpma ile :
    izomorfizm yoluyla
    (bkz. üstel fonksiyon ).
  • Grup arasında tamsayılar (ilavesi ile) a, alt grup arasında ve faktör grubu grubuna izomorf arasında karmaşık sayılar arasında mutlak değer (çarpma) 1:
  • Klein, dört grup izomorf doğrudan ürünün iki kopya (bkz modüler aritmetik ) ve bu nedenle yazılabilir bir başka sembol olan bir çünkü dihedral grubu .
  • Tüm tek için bu, genelleme ile izomorftur doğrudan ürünün içinde ve
  • Eğer bir bir sonsuz siklik grup , daha sonra (ilave etme işlemi ile) işlemlerine tam sayılara izomorf. Cebirsel bir bakış açısından, bu, tüm tamsayılar kümesinin (toplama işlemiyle birlikte) 'tek' sonsuz döngüsel grup olduğu anlamına gelir.

Bazı grupların, seçim aksiyomuna dayanarak izomorfik oldukları kanıtlanabilir , ancak kanıt, somut bir izomorfizmin nasıl oluşturulacağını göstermez. Örnekler:

  • Grup , toplama ile tüm karmaşık sayıların grubuna izomorfiktir .
  • İşlem olarak çarpımı olan sıfır olmayan karmaşık sayılar grubu, yukarıda belirtilen gruba izomorfiktir .

Özellikleri

Çekirdek bir izomorfik ait için {e her zaman G } E burada G grubunun kimlik

Eğer ve izomorf, o zaman ise değişmeli ancak ve ancak değişmeli olduğunu.

Eğer bir izomorfizması dan için herhangi biri için daha sonra sırası ait eşittir sırası

Eğer ve izomorfik iseler , o zaman ve ancak ve ancak yerel olarak sonlu ise yerel olarak sonlu gruptur .

Sıradaki farklı grupların sayısı (izomorfizme kadar) OEIS'de A000001 dizisi ile verilir . İlk birkaç sayı 0, 1, 1, 1 ve 2'dir, yani 4, birden fazla grup içeren en düşük sıradır.

döngüsel gruplar

Belirli bir düzenin tüm döngüsel grupları izomorfiktir, burada ekleme moduloyu gösterir.

Döngüsel bir grup olalım ve mertebesi olsun , o zaman tarafından oluşturulan grup mu olduğunu göstereceğiz.

Tanımlamak

Böylece Açıkça, bijective. Sonra
hangi kanıtlıyor

Sonuçlar

Tanımdan, herhangi bir izomorfizmin , öğesinin kimlik öğesini, öğesinin kimlik öğesiyle eşleştireceği sonucu çıkar .

tersleri terslerle eşleştireceğini,
ve daha genel olarak inci için yetkileri inci güçler,
ve ters harita aynı zamanda bir grup izomorfizmidir.

"İzomorfik olma" bağıntısı , bir

denklik bağıntısının tüm aksiyomlarını karşılar . Eğer iki grup arasında bir eşbiçimlilik ise ve o zaman bu konuda doğru olan her şey sadece grup yapısı ile ilgilidir ve bunun tam tersi hakkında gerçek bir aynı ifadeye çevrilebilir .

otomorfizmler

Bir gruptan kendisine izomorfizme bu grubun

otomorfizmi denir . Böylece bir bijection öyle ki

Bir otomorfizm her zaman kimliği kendisine eşler. Bir eşlenik sınıfının otomorfizmi altındaki görüntü her zaman bir eşlenik sınıfıdır (aynı veya başka). Bir elemanın görüntüsü, o elemanla aynı sıraya sahiptir.

İki automorphisms bileşim yine otomorfizm ve bu işlem ile bir grubun tüm automorphisms grubu ile temsil edilen formlar kendisi grubu,

otomorfizma grubu arasında

Tüm değişmeli gruplar için, en azından grup elemanlarını tersleriyle değiştiren otomorfizm vardır. Bununla birlikte, tüm elemanların terslerine eşit olduğu gruplarda, bu önemsiz otomorfizmdir, örneğin Klein dört-grubunda . Otomorfizm grubu izomorf böylece grup için üç olmayan kimlik elemanlarının her permütasyon, otomorfizmalar olan ve

Gelen bir asal sayı için olmayan bir kimlik elemanının diğer elemanlar karşılık gelen değişiklikleri ile, başka bir ile ikame edilmiş olabilir. Otomorfizm grubu izomorf Örneğin için tüm unsurları çarparak için 3 ile 7 modülo, otomorfizma grubunda için 6'nın bir otomorfizma olan düşük güçler 1. Bu nedenle bu otomorfizma oluşturur vermeyin ise bir daha otomorfizm ile var bu özellik: tüm elemanları 5, modulo 7 ile çarpmak . Bu nedenle, bu ikisi bu sırayla veya tersi şekilde 1 ve 5 elemanlarına karşılık gelir .

Otomorfizm grubu , izomorfiktir, çünkü sadece 1 ve 5 elementlerinin her biri , özdeşlikten ayrı olarak, yalnızca bunları değiştirebiliriz.

168 mertebesine sahip otomorfizma grubu aşağıdaki gibi bulunabilir. 7 kimlik olmayan öğenin tümü aynı rolü oynar, bu nedenle hangi rolü oynayacağını seçebiliriz Kalan 6'dan herhangi biri (0,1,0) rolünü oynamak için seçilebilir. Bu hangi tekabül tespit için biz kalan tespit 4'e seçebilir. Böylece otomorfizmlerimiz var.

Fano düzlemininkilere karşılık gelirler , ki bunlardan 7 noktası, 7 özdeş olmayan öğeye karşılık gelir. Üç noktayı birleştiren çizgiler grup işlemine karşılık gelir: bir satırda anlamına gelir ve ayrıca bkz . sonlu alanlar üzerinde genel doğrusal grup .

Değişken gruplar için önemsiz olan dışındaki tüm otomorfizmlere dış otomorfizmler denir .

Değişmez olmayan grupların önemsiz olmayan bir iç otomorfizm grubu ve muhtemelen ayrıca dış otomorfizmleri vardır.

Ayrıca bakınız

Bire bir ve üzerine olan fonksiyon (matematik)

Referanslar

  • Herstein, IN, Cebirde Konular , Wiley; 2. baskı (20 Haziran 1975), ISBN  0-471-01090-1 .