Begriffsschrift -Begriffsschrift

Begriffsschrift (Almancada kabaca "kavram senaryosu"), Gottlob Frege tarafından1879'da yayınlanan bir mantık kitabıvebu kitapta ortaya konan biçimsel sistemdir .

Begriffsschrift genellikle kavram yazımı veya kavram gösterimi olarak çevrilir ; Kitabın tam başlığı onu " saf düşünce için aritmetik diline göre modellenmiş bir formül dili " olarak tanımlar . Frege'nin mantığa biçimsel yaklaşımını geliştirme motivasyonu, Leibniz'in kalkülüs rasyonalistine yönelik motivasyonuna benziyordu (önsözde Frege'nin bu amaca ulaştığını açıkça reddetmesine ve aynı zamanda asıl amacının Leibniz'inki gibi ideal bir dil inşa etmek olmasına rağmen). Frege, imkansız olmasa da oldukça zor ve idealist bir görev olduğunu beyan eder). Frege , sonraki çeyrek yüzyılda matematiğin temelleri üzerine yaptığı araştırmalarda mantıksal hesabını kullanmaya devam etti . Bu, Bertrand Russell gibi geleceğin İngiliz ve Anglo filozoflarının daha da geliştirdiği bir alan olan Analitik Felsefe alanındaki ilk çalışmadır .

Notasyon ve sistem

Hesap, nicel değişkenlerin ilk görünümünü içerir ve esasen özdeşliğe sahip klasik iki değerli ikinci dereceden mantıktır . Cümlelerin veya formüllerin Doğru veya Yanlışı belirtmesi iki değerlidir; ikinci mertebedir çünkü nesne değişkenlerine ek olarak ilişki değişkenlerini de içerir ve her ikisi üzerinde nicelleştirmeye izin verir. "Kimliğe sahip" değiştiricisi, dilin, = kimlik ilişkisini içerdiğini belirtir. Frege, kitabının, matematikte uygulanacak olan Leibnizci bir kavram olan karakteristika universalis'in kendi versiyonu olduğunu belirtti.

Frege, hesabını kendine özgü iki boyutlu gösterim kullanarak sunar : bağlaçlar ve niceleyiciler, bugün kullanılan ¬, ∧ ve ∀ sembolleri yerine formülleri birbirine bağlayan çizgiler kullanılarak yazılır. Örneğin, bu B yargısı maddi olarak A yargısını ima eder , yani olarak yazılır . ${\displaystyle B\sağ ok A}$

Birinci bölümde Frege, önerme ("yargı"), evrensel niceleyici ("genellik"), koşul , olumsuzlama ve "içeriğin özdeşliği için işaret" (her ikisini de belirtmek için kullandığı ) gibi temel fikirleri ve gösterimi tanımlar. maddi denklik ve uygun kimlik); ikinci bölümde dokuz resmileştirilmiş önermeyi aksiyom olarak ilan eder. ${\görüntüleme stili \eşdeğer }$

Temel kavram	Frege'nin gösterimi	Modern gösterimler
YARGILAMAK	${\görüntüleme stili \vdash A,\Vdash A}$	${\görüntüleme stili p(A)=1,}$ ${\görüntüleme stili p(A)=i}$ ${\görüntüleme stili \vdash A,\Vdash A}$
olumsuzlama		${\görüntüleme stili \neg A}$ ${\görüntüleme stili {\sim}A}$
Koşullu (ima)		${\displaystyle B\sağ ok A}$ ${\ Displaystyle B\supset A}$
evrensel niceleme		${\görüntüleme stili \tüm x\,F(x)}$
varoluşsal niceleme		${\görüntüleme stili \var x\,F(x)}$
İçerik kimliği (denklik/kimlik)	${\görüntüleme stili A\eşdeğer B}$	${\displaystyle A\sol sağ ok B}$ ${\görüntüleme stili A\eşdeğer B}$ ${\görüntüleme stili A=B}$

Bölüm 1, §5'te, Frege koşulluyu şu şekilde tanımlar:

"A ve B'nin yargılanabilir içeriğe atıfta bulunmasına izin verin, o zaman dört olasılık:

1. A ileri sürülür, B ileri sürülür;
2. A ileri sürülür, B reddedilir;
3. A reddedilir, B ileri sürülür;
4. A olumsuzlanır, B olumsuzlanır.

İzin vermek

bu olasılıklardan üçüncüsünün elde edilmediğini, ancak diğer üçünden birinin gerçekleştiğini belirtir. Dolayısıyla, 'yi olumsuzlarsak , bu üçüncü olasılığın geçerli olduğu anlamına gelir, yani A'yı olumsuzlar ve B'yi iddia ederiz."

Frege'nin çalışmasındaki hesap

Frege, önermelerinden dokuzunu aksiyom olarak ilan etti ve amaçlanan anlamları göz önüne alındığında, apaçık gerçekleri ifade ettiklerini gayri resmi olarak tartışarak onları haklı çıkardı. Çağdaş gösterimde yeniden ifade edilen bu aksiyomlar şunlardır:

1. ${\displaystyle \vdash \ \ A\rightarrow \left(B\rightarrow A\right)}$
2. ${\displaystyle \vdash \ \ \left[\ A\rightarrow \left(B\rightarrow C\right)\ \right]\ \rightarrow \ \left[\ \left(A\rightarrow B\right)\rightarrow \sol (A\sağ ok C\sağ)\ \sağ]}$
3. ${\displaystyle \vdash \ \ \left[\ D\rightarrow \left(B\rightarrow A\right)\ \right]\ \rightarrow \ \left[\ B\rightarrow \sol(D\rightarrow A\right)\ \sağ]}$
4. ${\displaystyle \vdash \ \ \left(B\rightarrow A\right)\ \rightarrow \ \left(\lnot A\rightarrow \lnot B\right)}$
5. ${\displaystyle \vdash \ \ \lnot \lnot A\rightarrow A}$
6. ${\displaystyle \vdash \ \ A\rightarrow \lnot \lnot A}$
7. ${\displaystyle \vdash \ \ \sol(c=d\sağ)\sağ ok \sol(f(c)=f(d)\sağ)}$
8. ${\görüntüleme stili \vdash \\c=c}$
9. ${\displaystyle \vdash \ \ \ için tüm a\ f(a)\rightarrow \ f(c)}$

Bunlar Begriffschrifft'teki 1, 2, 8, 28, 31, 41, 52, 54 ve 58. önermelerdir . (1)–(3) maddi çıkarımı , (4)–(6) olumsuzlamayı , (7) ve (8) özdeşliği ve (9) evrensel niceleyiciyi yönetir . (7) ifade Leibniz bireyin identicals arasında indiscernibility , ve (8), kimlik a, iddia dönüşlü ilişkisi .

Diğer tüm önermeler, aşağıdaki çıkarım kurallarından herhangi biri çağrılarak (1)–(9)'dan çıkarılır :

• Modus Ponens anlaması için bizi tanır gelen ve ;${\görüntüleme stili \vdash B}$${\ Displaystyle \vdash A\'dan B'ye}$${\görüntüleme stili \vdash A}$
• Genelleştirme kuralı anlaması için bize izin verir dan eğer x oluşmaz P ;${\displaystyle \vdash P\to \forall xA(x)}$${\displaystyle \vdash P\to A(x)}$
• İkame kural Frege açıkça ifade etmez. Bu kuralı kesin olarak ifade etmek önceki iki kuraldan çok daha zordur ve Frege onu açıkça meşru olmayan şekillerde kullanır.

"Genel bir dizi teorisinden parçalar" başlıklı üçüncü bölümün ana sonuçları, şimdi bir R ilişkisinin atası olarak adlandırılan şeyle ilgilidir . " Bir bir olan R, bir -ancestor b " yazılır " aR * b ".

Frege , bir ilişkinin atasıyla ilgili olanlar da dahil olmak üzere , Begriffsschrifft'in sonuçlarını daha sonraki çalışmasında Aritmetiğin Temelleri'nde uyguladı . Dolayısıyla, xRy'yi y = x + 1 ilişkisi olarak alırsak , o zaman 0 R * y , " y bir doğal sayıdır" yüklemidir . (133) der ki eğer x , y , ve z olan doğal sayılar , aşağıdaki şart ambarın sonra bir: X < Y , X = Y ya da Y < x . Bu sözde " trikotomi yasası ".

Felsefe

"Felsefenin görevi kelimelerin insan zihni üzerindeki egemenliğini kırmaksa [...], o zaman bu amaçlar için geliştirilen kavram gösterimim, filozoflar için yararlı bir araç olabilir [...] mantık, bu kavram gösteriminin icadıyla zaten ilerlemiştir."

—  Begriffsschrift'e Önsöz

diğer eserler üzerinde Etkisi

Begriffsschrift'in Alman matematik literatüründe nasıl gözden geçirildiğine dair yakın zamanda yapılan dikkatli bir çalışma için bkz. Vilko (1998). Bazı eleştirmenler, özellikle Ernst Schröder , genel olarak olumluydu. Begriffsschrift'ten sonraki tüm biçimsel mantık çalışmaları ona borçludur, çünkü ikinci düzey mantığı, oldukça fazla matematik ve doğal dili temsil edebilen ilk biçimsel mantıktı.

Frege'nin notasyonunun bir kısmı, "Urteilsstrich" ( yargılama/ çıkarma vuruşu ) │ ve "Inhaltsstrich" (yani içerik vuruşu ) ── türetilmiş " turnike " sembolünde varlığını sürdürmektedir. Frege bu sembolleri Begriffsschrift'te bir önermenin doğru olduğunu bildirmek için birleşik ├─ biçiminde kullandı. Daha sonraki "Grundgesetze" de ├─ sembolüne ilişkin yorumunu biraz gözden geçirdi. ${\görüntüleme stili \vdash }$

"Begriffsschrift"te "Definitionsdoppelstrich" (yani çift ​​vuruş tanımı ) │├─ bir önermenin bir tanım olduğunu gösterir. Ayrıca, olumsuzlama işareti , yatay Inhaltsstrich ile dikey olumsuzlama vuruşunun bir kombinasyonu olarak okunabilir . Bu olumsuzlama sembolü, 1930'da Arend Heyting tarafından sezgisel olumsuzlamadan klasik olumsuzlamayı ayırt etmek için yeniden tanıtıldı . Aynı zamanda Gerhard Gentzen'in doktora tezinde de yer almaktadır. ${\görüntüleme stili \neg }$

Ludwig Wittgenstein , Tractatus Logico Philosophicus'ta , mantıksal biçimcilikle eşanlamlı olarak Begriffsschrift terimini kullanarak Frege'ye saygılarını sunar .

Frege'nin 1892 tarihli " Duyu ve Referans Üzerine " makalesi, Begriffsschrifft'in özdeşlik (matematikte "=" işaretiyle gösterilir) hakkındaki bazı sonuçlarını geri çevirir . Özellikle, kimlik yüklem İfade ettiği sonucuna lehine isimler arasında bir ilişki ifade eden "Begriffsschrift" görünümünü reddeder nesneler arasında ilişki vardır gösterilen bu isimler tarafından.

Sürümler

• Gottlob Frege'nin fotoğrafı . Begriffsschrift: eine der aritmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens . Halle a/S: Verlag von Louis Nebert, 1879.

Çeviriler:

• Bynum, Terrell Ward , çev. ve ed., 1972. Bir biyografi ve giriş ile kavramsal gösterim ve ilgili makaleler . Oxford Üni. Basmak.
• Bauer-Mengelberg, Stefan, 1967, Jean van Heijenoort'ta "Kavram Senaryosu" , ed., From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 . Harvard Üni. Basmak.
• Beaney, Michael, 1997, "Begriffsschrift: Seçimler (Önsöz ve Bölüm I)", The Frege Reader'da . Oxford: Blackwell.

Ayrıca bakınız

• ata ilişkisi
• Eşdeğer ifadelerin hesabı
• Frege'nin önermeler hesabı
• Önceki Analitik
• Düşünce Yasaları
• Principia Mathematica

Referanslar

bibliyografya

Dış bağlantılar

• Zalta, Edward N. "Frege'nin Mantığı, Teoremi ve Aritmetik Temelleri" . Gelen Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Felsefe Ansiklopedisi .
• İndirmek için faks olarak Begriffsschrift (2,5 MB)