Kararlı manifold - Stable manifold

In matematik ve çalışma özellikle dinamik sistemlerin , fikri istikrarlı ve istikrarsız setleri veya ahırda ve kararsız manifoldu bir fikri somutlaşan genel kavramları resmi bir matematiksel tanımını vermek çekicinin veya repellor . Hiperbolik dinamik durumunda , buna karşılık gelen kavram hiperbolik kümedir .

Fiziksel örnek

Satürn'ün halkalarına etki eden yerçekimi gelgit kuvvetleri , görselleştirmesi kolay fiziksel bir örnek sağlar. Gelgit kuvvetleri, halkayı radyal yönde uzatırken bile ekvator düzlemine doğru düzleştirir. Halkaların Satürn'ün yörüngesindeki kum veya çakıl parçacıkları ("toz") olduğunu düşünürsek, gelgit kuvvetleri, parçacıkları ekvator düzleminin üstüne veya altına iten herhangi bir tedirginlik, parçacığın bir geri yükleme kuvveti hissetmesine ve onu geri uçak. Parçacıklar, çarpışmalarla sönümlenen harmonik bir kuyuda etkin bir şekilde salınır. Kararlı yön halkaya diktir. Kararsız yön, kuvvetlerin gerildiği ve parçacıkları birbirinden ayırdığı herhangi bir yarıçap boyuncadır. Faz uzayında birbirine çok yakın başlayan iki parçacık, radyal kuvvetlerle radyal olarak uzaklaşmalarına neden olacaktır. Bu kuvvetlerin pozitif bir Lyapunov üssü vardır ; yörüngeler hiperbolik bir manifold üzerinde uzanır ve parçacıkların hareketi esasen kaotiktir , halkalar arasında dolaşır. Merkez manifoldu parçacıklar ne sıkıştırma yaşandığı ne de germe ile, halkalara teğet geçmektedir. Bu, ikinci dereceden yerçekimi kuvvetlerinin baskın olmasına izin verir ve böylece parçacıklar, halkalardaki aylar veya ayçıklar tarafından sürüklenebilir ve onlara faz kilitlenebilir . Ayların yerçekimi kuvvetleri, faz kilitli bir döngüde bulunanlar gibi, tekmelenmiş bir rotora benzer şekilde, yörünge etrafında her seferinde düzenli olarak tekrar eden küçük bir tekme sağlar .

Halkadaki parçacıkların ayrık zamanlı hareketi Poincaré haritası ile tahmin edilebilir . Harita , sistemin transfer matrisini etkin bir şekilde sağlar . Matrisin en büyük öz değeri ile ilişkili özvektör , aynı zamanda değişmez ölçü olan , yani halkadaki parçacıkların gerçek yoğunluğu olan Frobenius-Perron özvektörüdür . Transfer matrisinin diğer tüm özvektörleri daha küçük öz değerlere sahiptir ve bozunma modlarına karşılık gelir.

Tanım

Aşağıda, yinelenen bir işlev olan veya ayrık zaman dinamikleri olan bir sistem durumu için bir tanım verilmektedir . Benzer kavramlar, zaman evrimi bir akış tarafından verilen sistemler için de geçerlidir .

Izin bir olmak topolojik uzay ve bir homeomorfizma . Eğer a, sabit nokta için , sabit resim ile tanımlanır ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f \ iki nokta üst üste X \ ila X}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle p}$

{\ displaystyle W ^ {s} (f, p) = \ {q \ X'te: f ^ {n} (q) \ ile p {\ mbox {as}} n \ ile \ infty \}}

ve kararsız kümesi ${\ displaystyle p}$ şu şekilde tanımlanır:

{\ displaystyle W ^ {u} (f, p) = \ {q \ X'te: f ^ {- n} (q) \ ile p {\ mbox {as}} n \ ile \ infty \} arasında.}

Burada belirtir tersini fonksiyonunun , yani , üzerinde kimlik haritasıdır . ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f \ circ f ^ {- 1} = f ^ {- 1} \ circ f = id_ {X}}$ ${\ displaystyle kimliği_ {X}}$ ${\ displaystyle X}$

Eğer a, düzenli nokta periyodun , o zaman sabit bir nokta ve bir kararlı ve kararsız setleri ile tanımlanmaktadır ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle f ^ {k}}$ ${\ displaystyle p}$

{\ displaystyle W ^ {s} (f, p) = W ^ {s} (f ^ {k}, p)}

ve

{\ displaystyle W ^ {u} (f, p) = W ^ {u} (f ^ {k}, p).}

Bir Verilen mahalle arasında , yerel istikrarlı ve istikrarsız setleri arasında tanımlanır ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$

{\ displaystyle W _ {\ mathrm {loc}} ^ {s} (f, p, U) = \ {q \ in U: f ^ {n} (q) \ in U {\ mbox {her biri için}} n \ geq 0 \}}

ve

{\ displaystyle W _ {\ mathrm {loc}} ^ {u} (f, p, U) = W _ {\ mathrm {loc}} ^ {s} (f ^ {- 1}, p, U).}

Eğer bir metriklenebilir , herhangi puan için istikrarlı ve istikrarsız setleri tanımlayabilirsiniz ${\ displaystyle X}$

{\ displaystyle W ^ {s} (f, p) = \ {q \ X'te: d (f ^ {n} (q), f ^ {n} (p)) \ ile 0 {\ mbox {for} } n \ infty \}}

ve

{\ displaystyle W ^ {u} (f, p) = W ^ {s} (f ^ {- 1}, p),}

nerede bir olan metrik için . Bu tanım , periyodik bir nokta olduğunda önceki ile açıkça örtüşmektedir . ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle p}$

Şimdi varsayalım bir olan kompakt pürüzsüz manifoldu ve bir olduğunu Diffeomorfizm , . Eğer bir hiperbolik periyodik bir nokta, sabit manifold teoremi garantilediği bir mahalle için bir yerel kararlı ve kararsız kümeleri gömülü diskler, teğet alanlarda en vardır ve (kararlı ve kararsız boşluklar ), sırası ile; üstelik, bir mahalle (belirli bir anlamda) sürekli değişmektedir içinde bir topoloji (tüm alanı ile ilgili diffeomorphisms kendisine). Son olarak, kararlı ve kararsız kümeler, enjekte edilerek daldırılmış disklerdir. Bu nedenle, genellikle kararlı ve kararsız manifoldlar olarak adlandırılırlar . Bu sonuç yeter ki bazı yalan olarak, ayrıca periyodik olmayan noktaları için geçerlidir hiperbolik seti (hiperbolik setleri için kararlı manifoldu teoremi). ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}$ ${\ displaystyle k \ geq 1}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle E ^ {s}}$ ${\ displaystyle E ^ {u}}$ ${\ displaystyle Df (p)}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Diff} ^ {k} (X)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}$

Açıklama

Eğer bir (sonlu boyutlu) vektör uzayı ve bir izomorfizm olarak, kararlı ve kararsız setleri, sırasıyla sabit alanı ve kararsız alanı olarak adlandırılır. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$

Ayrıca bakınız

Referanslar

Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Mekaniğin Temelleri . Kitle Okuma: Benjamin / Cummings. ISBN 0-8053-0102-X .
Irwin, Michael C. (2001). "Kararlı Manifoldlar" . Pürüzsüz Dinamik Sistemler . World Scientific. s. 143–160. ISBN 981-02-4599-8 .
Sritharan, SS (1990). Hidrodinamik Geçiş için Değişmez Manifold Teorisi . New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-582-06781-2 .

Bu makale , Creative Commons Attribution / Share-Alike Lisansı altında lisanslanan PlanetMath üzerindeki Stable manifoldundan gelen materyalleri içermektedir .

Languages

In other projects