Mahalle (matematik) - Neighbourhood (mathematics)
Gelen topoloji ve ilgili alanlarda matematik , bir mahalle (ya mahalle ) bir temel kavramlardan biridir topolojik uzay . Açık küme ve iç mekan kavramları ile yakından ilgilidir . Sezgisel olarak, bir uç kısmının bir mahalle olan dizi kümesi ayrılmadan bu noktadan uzakta herhangi bir yönde bir miktar hareket edebilir noktasını içeren noktaları.
Tanımlar
Bir noktanın komşuluğu
Eğer bir topolojik uzay ve içinde bir nokta ise , bir komşuluk , aşağıdakileri içeren bir açık kümeyi içeren bir alt kümedir .
Bu aynı zamanda, nokta eşdeğerdir ait topolojik iç bölgesinin in
Komşuluk açık bir altküme olmak zorunda değildir , ancak açık olduğunda buna denir. mahalle aç . Bazı yazarların mahallelerin açık olmasını gerektirdiği bilinmektedir, bu nedenle sözleşmelere dikkat etmek önemlidir.
Her noktasının komşusu olan bir küme, her bir noktasını içeren açık kümelerin birleşimi olarak ifade edilebildiği için açıktır. Şekilde gösterildiği gibi bir dikdörtgen, tüm noktalarının bir komşuluğu değildir; dikdörtgenin kenarlarındaki veya köşelerindeki noktalar, dikdörtgenin içindeki herhangi bir açık kümede bulunmaz.
Bir noktanın tüm komşuluklarının toplamına o noktada komşuluk sistemi denir .
Bir kümenin komşuluğu
Eğer bir olan alt kümesi topolojik uzayın ardından mahalle arasında bir dizi açık kümesi içerir içeren . Bir dizi izler V bir mahalle S o noktaları tüm bir mahalle ve ancak eğer S . Bundan başka, V bir mahalle S , ancak ve ancak G bir alt kümesidir iç bölgesinin V . Bir mahalle S ayrıca açık kümesi olan bir denir açık mahalle arasında S . Bir noktanın komşuluğu bu tanımın sadece özel bir durumudur.
bir metrik uzayda
Bir de metrik uzay , bir dizi bir olan mahalle bir noktanın bir mevcutsa açık topu merkezi ile ve yarıçapı , öyle
içinde yer almaktadır .
denir üniforma mahalle kümesinin pozitif bir sayı vardır eğer öyle ki tüm elemanları arasında ,
içinde yer almaktadır .
İçin -neighbourhood kümesinden tüm noktaları kümesi olan daha az bir uzaklıkta olduğu gelen (ya da eşdeğer şekilde, radius açık topları her birleşimi olan bir noktada en ortalanır ):
Doğrudan bir o izler -neighbourhood tek tip mahalle olduğunu ve bir içerir ve yalnızca eğer kümesi tek tip mahalle olduğunu , bazı değer için -neighbourhood .
Örnekler
Olağan Öklid metriği ile gerçek sayılar kümesi ve olarak tanımlanan bir alt küme göz önüne alındığında
Sonra kümesi için bir mahalle arasında doğal sayılar , ama değil bu setin tek tip bir mahalle.
Mahallelerden topoloji
Açık küme kavramı zaten tanımlanmışsa, yukarıdaki tanım yararlıdır . Bir topoloji tanımlamanın alternatif bir yolu vardır; önce komşuluk sistemi , ardından açık kümeler, noktalarının her birinin komşuluğunu içeren kümeler olarak tanımlanır .
A mahalle sistemi bir atanmasıdır filtre alt kümelerinin her in şekilde,
- nokta her bir eleman olarak
- Her de ihtiva etmekteyse de her biri için bu tür in , içinde .
Her iki tanımın da uyumlu olduğu gösterilebilir, yani açık kümeler kullanılarak tanımlanan komşuluk sisteminden elde edilen topoloji orijinaldir ve bir komşuluk sisteminden yola çıkıldığında bunun tersi de gösterilebilir.
Üniforma mahalleleri
Bir de tek tip boşluk , bir denir üniform mahalle arasında bir mevcutsa maiyetini böyle tüm noktalarını içeren olduğunu bazı noktasına -yakın ; yani hepsi için .
Silinen mahalle
Bir mahalle silinen bir noktanın (bazen denir delinmiş mahalle ) bir mahalle olmadan . Örneğin, aralık bir mahalle içinde gerçek hat seti böylece, bir silinmiş mahalle . Belirli bir noktanın silinmiş bir komşuluğu aslında noktanın bir komşuluğu değildir. Silinen komşuluk kavramı, bir fonksiyonun limitinin tanımında ve (diğer şeylerin yanı sıra) limit noktalarının tanımında ortaya çıkar.
Ayrıca bakınız
Referanslar
- Kelley, John L. (1975). Genel topoloji . New York: Springer-Verlag. ISBN'si 0-387-90125-6.
- Bredon, Glen E. (1993). Topoloji ve geometri . New York: Springer-Verlag. ISBN'si 0-387-97926-3.
- Kaplansky, Irving (2001). Kuram ve Metrik Uzayları Ayarlayın . Amerikan Matematik Derneği. ISBN'si 0-8218-2694-8.