Kalıntı (karmaşık analiz) - Residue (complex analysis)

Matematiksel analiz → Karmaşık analiz
Karmaşık analiz
Karışık sayılar
Gerçek Numara Hayali numara karmaşık uçak karmaşık eşlenik Birim karmaşık sayı
karmaşık fonksiyonlar
Karmaşık değerli işlev analitik fonksiyon Holomorfik fonksiyon Cauchy-Riemann denklemleri Resmi güç serisi
Temel Teori
Sıfırlar ve kutuplar Cauchy integral teoremi Yerel ilkel Cauchy integral formülü sarma numarası Laurent serisi İzole tekillik kalıntı teoremi konformal harita Schwarz lemması harmonik fonksiyon Laplace denklemi
geometrik fonksiyon teorisi
İnsanlar
Augustin-Louis Cauchy Leonhard Euler Carl Friedrich Gauss Jacques Hadamard Kiyoshi Oka Bernhard Riemann Karl Weierstrass
matematik portalı
v T e

Gelen matematik , daha özel olarak kompleks analiz , tortu, a, karmaşık sayı ile orantılı çevriti ayrılmaz a meromorfik fonksiyonu olan birini çevreleyen bir yol boyunca tekillik . (Daha genel olarak, { a _k } _k ayrık noktaları dışında, bazıları temel tekillikler olsa bile , holomorfik olan herhangi bir fonksiyon için kalıntılar hesaplanabilir .) Kalıntılar oldukça kolay bir şekilde hesaplanabilir ve bir kez bilindiğinde, aşağıdakilerin belirlenmesine izin verir. kalıntı teoremi yoluyla genel kontur integralleri . ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \setminus \{a_{k}\}_{k}\rightarrow \mathbb {C} }$

Tanım

Bir kalıntısıdır meromorfik fonksiyonu olarak en izole tekillik genellikle belirtilen, ya da , benzersiz bir değerdir böyle bir yer alır analitik İlkel bir de delinmiş diski . ${\görüntüleme stili f}$ ${\görüntüleme stili bir}$${\displaystyle \operatöradı {Çözünür} (f,a)}$${\displaystyle \operatöradı {Çözüm} _{a}(f)}$${\görüntüleme stili R}$${\görüntüleme stili f(z)-R/(za)}$ ${\displaystyle 0<\vert za\vert <\delta }$

Alternatif olarak, kalıntılar Laurent serisi açılımları bulunarak hesaplanabilir ve kalıntı, Laurent serisinin a _-1 katsayısı olarak tanımlanabilir .

Bir kalıntının tanımı, keyfi Riemann yüzeylerine genelleştirilebilir . Bir Riemann yüzeyinde bir 1-form olduğunu varsayalım . Bir noktada meromorfik olalım , böylece yerel koordinatları olarak yazabiliriz . Daha sonra, at kalıntısı, karşılık gelen noktada kalıntısı olarak tanımlanır . ${\görüntüleme stili\omega }$${\görüntüleme stili\omega }$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili\omega }$${\görüntüleme stili f(z)\;dz}$${\görüntüleme stili\omega }$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili f(z)}$${\görüntüleme stili x}$

Örnekler

Bir tek terimlinin kalıntısı

Bir monomialin kalıntısının hesaplanması

${\displaystyle \oint _{C}z^{k}\,dz}$

çoğu kalıntı hesaplamasının yapılmasını kolaylaştırır. Yol integrali hesaplamaları homotopi değişmezi olduğundan, yarıçaplı daire olmasına izin vereceğiz . Ardından, koordinat değişikliğini kullanarak şunu buluruz: ${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili 1}$${\displaystyle z\to e^{i\theta}}$

${\displaystyle dz\to d(e^{i\teta})=yani^{i\teta }\,d\teta}$

bu nedenle integralimiz şimdi şu şekilde okur:

${\displaystyle \oint _{C}z^{k}dz=\int _{0}^{2\pi }yani^{i(k+1)\theta }\,d\theta ={\başlangıç{ case}2\pi i&{\text{if }}k=-1,\\0&{\text{aksi halde}}.\end{cases}}}$

Tek terimli kalıntının uygulanması

Örnek olarak, kontur integralini düşünün

${\displaystyle \oint _{C}{e^{z} \overz^{5}}\,dz}$

burada C , 0 civarında basit bir kapalı eğridir .

Bu integrali serilerle entegrasyon hakkında standart bir yakınsama sonucu kullanarak değerlendirelim. Biz yerini alabilir Taylor serisi için integrali içine. İntegral daha sonra olur ${\görüntüleme stili e^{z}}$

${\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{5}}\left(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \3'ün üzerinde!}+{ z^{4} \4'ün üzerinde!}+{z^{5} \5'in üzerinde!}+{z^{6} \6'nın üzerinde!}+\cdots \sağ)\,dz.}$

1/ z ⁵ faktörünü seriye getirelim . Serinin kontur integrali daha sonra yazar

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}&\oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2 !\;z^{5}}+{z^{3} \3'ün üzerinde!\;z^{5}}+{z^{4} \4'ün üzerinde!\;z^{5}}+{z ^{5} \5'in üzerinde!\;z^{5}}+{z^{6} \6'nın üzerinde!\;z^{5}}+\cdots \sağ)\,dz\\[4pt]= {}&\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3 }}+{1 \Üst 3!\;z^{2}}+{1 \4'ün üzerinde!\;z}+{1 \;5'in üzerinde!}+{z \6'nın üzerinde!}+\cdots \ sağ)\,dz.\end{hizalı}}}$

Seri, integrasyon yolunun desteğinde düzgün bir şekilde yakınsadığından, integrasyon ve toplamı değiş tokuş etmemize izin verilir. Yol integralleri dizisi daha sonra önceki hesaplama nedeniyle çok daha basit bir forma çöker. Şimdi, cz ^-1 biçiminde olmayan diğer tüm terimlerin C etrafındaki integrali sıfırdır ve integral şuna indirgenir:

${\displaystyle \oint _{C}{1 \4'ün üzerinde!\;z}\,dz={1 \4'ün üzerinde!}\oint _{C}{1 \üzerinin z}\,dz={1 \üzerinin 4!}(2\pi i)={\pi i \12'den fazla}.}$

Değer 1/4! olan Tortu, bir E ^z / z ⁵ de z = 0 ve gösterilir

${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ veya }}\operatorname {Res} _{z=0}{e^{z } \over z^{5}},{\text{ veya }}\operatorname {Res} (f,0){\text{ for }}f={e^{z} \over z^{5}} .}$

Kalıntıların hesaplanması

Delinmiş bir disk olduğunu varsayalım D = { z  : 0 < | z - c | < R } karmaşık düzlemde verilir ve f (en azından) D üzerinde tanımlanan bir holomorfik fonksiyondur . Tortu, Res ( f , C arasında) f en c katsayısıdır , bir _-1 arasında ( Z - c ) ^-1 içinde Laurent serileri genişlemesi f çevresinde c . Bu değeri hesaplamak için çeşitli yöntemler mevcuttur ve hangi yöntemin kullanılacağı söz konusu işleve ve tekilliğin doğasına bağlıdır.

Göre kalıntı teoremi elimizde:

${\displaystyle \operatöradı {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz}$

burada γ saat yönünün tersine c etrafında bir daire çizer. γ yolunu c etrafında ε yarıçaplı bir daire olarak seçebiliriz , burada ε istediğimiz kadar küçüktür. Bu, integralin doğrudan hesaplanabileceği durumlarda hesaplama için kullanılabilir, ancak genellikle, kalıntıların integrallerin hesaplanmasını basitleştirmek için kullanılması, bunun tersi değil.

çıkarılabilir tekillikler

Fonksiyonu ise f edilebilir devam a holomorfik fonksiyonu tüm disk üzerinde , daha sonra Res ( f ,  C ) = 0 tersi genellikle geçerli değildir. ${\görüntüleme stili |yc|<R}$

Basit direkler

Bir de basit kutuplu c artığıdır f ile elde edilir:

${\displaystyle \operatöradı {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(zc)f(z).}$

Bu işlevi olabilir f iki işlevi bir oranı olarak ifade edilebilir, , burada g ve h olan holomorfik işlevleri a bölgesinde bir c ile h ( c ) = 0 ve  h' ( c ) ≠ 0, bu tür bir durumda, L'Hôpital kuralı yukarıdaki formülü basitleştirmek için kullanılabilir: ${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,c)&=\lim _{z\to c}(zc)f(z)=\lim _{z\to c}{\frac {zg(z)-cg(z)}{h(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to c}{\frac {g(z)+zg'(z)-cg) '(z)}{h'(z)}}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.\end{hizalı}}}$

Daha yüksek dereceli direkler için limit formülü

Daha genel olarak, eğer c n mertebesinde bir kutup ise , o zaman f'nin z = c etrafındaki kalıntısı aşağıdaki formülle bulunabilir:

${\displaystyle \operatöradı {Res} (f,c)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{n-1}} {dz^{n-1}}}\sol((zc)^{n}f(z)\sağ).}$

Bu formül, düşük dereceli kutuplar için artıkların belirlenmesinde çok faydalı olabilir. Daha yüksek dereceli kutuplar için hesaplamalar yönetilemez hale gelebilir ve seri genişletme genellikle daha kolaydır. İçin gerekli tekillik , böyle bir basit formül var ve kalıntıları genellikle seri açılımları ile irtibata alınmalıdır.

sonsuzda kalıntı

Genel olarak, sonsuzdaki kalıntı şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\operatorname {Res} \left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1 }{z}}\sağ),0\sağ)}$

Aşağıdaki koşul karşılanırsa:

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=0,}$

daha sonra sonsuzdaki kalıntı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

${\displaystyle \operatöradı {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }z\cdot f(z).}$

Bunun yerine

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0,}$

daha sonra sonsuz bakiye olan

${\displaystyle \operatöradı {Res} (f,\infty )=\lim _{|z|\to \infty }z^{2}\cdot f'(z).}$

seri yöntemleri

Bir fonksiyonun parçaları veya tamamı bir Taylor serisine veya Laurent serisine genişletilebiliyorsa , ki bu, fonksiyonun parçalarının veya tamamının standart bir seri açılımına sahip olması durumunda mümkün olabilir, o zaman kalıntıyı hesaplamak diğer yöntemlerden önemli ölçüde daha basittir.

Ayrıca bakınız

• Tortu, teoremi kendi artıklardan toplamına bir fonksiyonun kutbu olup, etrafında bir kontur integralini ile ilgilidir
• Cauchy integral formülü
• Cauchy integral teoremi
• Mittag-Leffler teoremi
• Kontur entegrasyon yöntemleri
• Morera teoremi
• Karmaşık analizde kısmi kesirler

Referanslar

• Ahlfors, Lars (1979). Karmaşık Analiz . McGraw Tepesi.
• Marsden, Jerrold E.; Hoffman, Michael J. (1998). Temel Kompleks Analizi (3. baskı). WH Freeman. ISBN'si 978-0-7167-2877-1.

Dış bağlantılar

• "Bir analitik fonksiyonun kalıntısı" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Karmaşık Kalıntı" . Matematik Dünyası .