Projektif çizgi - Projective line

In matematik , bir yansıtmalı çizgi , kabaca söylemek gerekirse, bir olağan uzantısı olan çizgi bir nokta ile bir adlandırılan sonsuza noktayı . Birçok geometri teoreminin ifadesi ve ispatı, özel durumların sonuçta elden çıkarılmasıyla basitleştirilir; örneğin, bir yansıtmalı düzlemdeki iki farklı yansıtmalı çizgi tam olarak bir noktada buluşur ("paralel" durum yoktur).

Bir yansıtmalı çizgiyi resmi olarak tanımlamanın birçok eşdeğer yolu vardır; en yaygın olanlarından biri bir fazla bir yansıtmalı hattı belirleyecek olan alan K , genel olarak gösterilen P ¹ ( K tek boyutlu dizi olarak) bölme odasının bir iki boyutlu K - vektör alanı . Bu tanım, projektif uzayın genel tanımının özel bir örneğidir .

Üzerinde yansıtmalı hattı reals a, manifoldu ; bkz gerçek yansıtmalı çizgi detaylar için.

homojen koordinatlar

Yansıtmalı doğrultusunda bir rasgele nokta P ¹ ( K ), bir ile temsil edilebilir eşdeğerlik sınıfı arasında homojen koordinatlarla, bir çift şeklinde,

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]}$

K'nin her ikisi de sıfır olmayan elemanları . Genel olarak sıfırdan farklı bir faktör λ ile farklılık gösteriyorlarsa, bu tür iki çift eşdeğerdir :

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]\sim [\lambda x_{1}:\lambda x_{2}].}$

Sonsuzda bir nokta uzatılan doğru

Projektif çizgi , sonsuzdaki bir nokta tarafından uzatılan K çizgisi ile tanımlanabilir . Daha kesin olarak, hat K arasında alt kümesi ile tespit edilebilir P ¹ ( K ) ile verilir

${\displaystyle \left\{[x:1]\in \mathbf {P} ^{1}(K)\mid x\in K\right\}.}$

Bu altküme , sonsuzdaki nokta olarak adlandırılan biri hariç , P ¹ ( K ) içindeki tüm noktaları kapsar :

${\displaystyle \infty =[1:0].}$

Bu aritmetik genişletmek sağlar K için P ¹ ( K formüller ile)

${\displaystyle {\frac {1}{0}}=\infty ,\qquad {\frac {1}{\infty }}=0,}$

${\displaystyle x\cdot \infty =\infty \quad {\text{if}}\quad x\not =0}$

${\displaystyle x+\infty =\infty \quad {\text{eğer}}\quad x\not =\infty }$

Bu aritmetiği homojen koordinatlar cinsinden çevirmek, [0 : 0] oluşmadığında şunu verir:

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]+[y_{1}:y_{2}]=[(x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}):x_{ 2}y_{2}],}$

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]\cdot [y_{1}:y_{2}]=[x_{1}y_{1}:x_{2}y_{2}],}$

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]^{-1}=[x_{2}:x_{1}].}$

Örnekler

Gerçek projektif çizgi

Gerçek sayıların üzerindeki yansıtmalı doğruya gerçek yansıtmalı doğru denir . Aynı zamanda , ∞ sonsuzda idealleştirilmiş bir nokta ile birlikte K doğrusu olarak da düşünülebilir ; nokta, kapalı bir döngü veya topolojik daire oluşturarak K'nin her iki ucuna bağlanır .

Bir örnek olarak noktalar çıkıntı ile elde edilir , R ² üzerine birim çember ve daha sonra tespit taban tabana zıt noktaları. Grup teorisi açısından , bölümü {1, -1} alt grubuna göre alabiliriz .

∞ ve −∞'yi birbirinden ayıran genişletilmiş gerçek sayı doğrusunu karşılaştırın .

Karmaşık yansıtmalı çizgi: Riemann küresi

Karmaşık düzleme sonsuzda bir nokta eklemek , topolojik olarak bir küre olan bir uzay ile sonuçlanır . Dolayısıyla karmaşık yansıtmalı çizgi aynı zamanda Riemann küresi (veya bazen Gauss küresi ) olarak da bilinir . Kompakt Riemann yüzeyinin en basit örneği olarak karmaşık analiz , cebirsel geometri ve karmaşık manifold teorisinde sürekli kullanımdadır .

Sonlu bir alan için

Bir fazla yansıtmalı hattı sonlu alan F _q hakkındaki q elemanları vardır q + 1 puan. Diğer tüm açılardan, diğer alan türleri üzerinde tanımlanan projektif çizgilerden farklı değildir. Homojen koordinatlarla açısından [ x  : y ] , q, bu noktaların şekline sahip:

[ a  : 1] F _q içindeki her a için ,

ve sonsuzda kalan nokta [1 : 0] olarak gösterilebilir.

simetri grubu

Oldukça genel olarak, bir grup homographies ile katsayıları olarak K yansıtmalı hat üzerinde hareket P ¹ ( K ). Bu grup etkisi olan geçişli böylece, p ¹ ( K ) a nın , homojen alanı genellikle PGL yazılı grup için ₂ ( K Bu dönüşümlerin yansıtmalı rolünü gösterir). Geçişlilik , herhangi bir Q noktasını başka herhangi bir R noktasına dönüştürecek bir homografinin var olduğunu söyler . Sonsuzda noktası üzerinde P ¹ ( K ) bu nedenle bir yapay koordinatlarının seçim: homojen koordinatlar

${\displaystyle [X:Y]\sim [\lambda X:\lambda Y]}$

tek boyutlu bir alt uzayı, içinde bulunan sıfır olmayan tek bir nokta ( X , Y ) ile ifade edin, ancak yansıtmalı doğrunun simetrileri ∞ = [1 : 0] noktasını başka herhangi bir noktaya taşıyabilir ve hiçbir şekilde seçkin.

Çok daha bazıları transformasyon herhangi bir sunar ki, doğru farklı noktaları q _i için i 1, 2, 3 = herhangi bir 3-lü için R _ı farklı noktaları ( üçlü geçişlilik ). Bu spesifikasyon miktarı, PGL _2'nin ( K ) üç boyutunu 'kullanır' ; başka bir deyişle, grup eylemi keskin bir şekilde 3-geçişlidir . Bunun hesaplama yönü çapraz orandır . Gerçekten de, bir genel tersi doğrudur: keskin 3-geçişli grup etkisi her zaman PGL genelleştirilmiş bir formu (izomorfik) olan ₂ ( K "KT-alan" ile "alan" yerine, bir yansıtmalı satırda) harekete (genelleme daha zayıf bir evrişim türünün tersi) ve projektif doğrusal haritaların karşılık gelen bir genelleştirilmesiyle "PGL".

cebirsel eğri olarak

Projektif çizgi, cebirsel bir eğrinin temel bir örneğidir . Cebirsel geometri bakış açısından, p ¹ ( K ) a, tekil olmayan eğri cinsi ise 0 K olduğu cebirsel kapalı , bu benzersiz bu eğri K kadar, rasyonel eşdeğerlik . Genel olarak, 0 cinsinin (tekil olmayan) bir eğrisi, K üzerinde bir konik C'ye rasyonel olarak eşdeğerdir ; bu, ancak ve ancak C'nin K üzerinde tanımlanmış bir noktası varsa, kendisi yansıtmalı doğruya çift yönlü olarak eşdeğerdir ; geometrik olarak böyle bir P noktası , çift yönlü denkliği açıklığa kavuşturmak için orijin olarak kullanılabilir.

İşlev alanı yansıtmalı hattın alanı olan K ( T arasında) rasyonel fonksiyonlar üzerinde K , tek bir belirsiz olarak, T . Alan otomorfizmalar arasında K ( T ) üzerinden K tam grubu PGL olan ₂ ( K yukarıda tarif edilmektedir).

Tek bir nokta dışında, V bölü K cebirsel çeşidinin herhangi bir fonksiyon alanı K ( V ), K ( T ) ile izomorfik bir alt alana sahiptir . Bakış açısından birational geometrisi , bu araç bir olacağı rasyonel harita ile ilgili V için , P ¹ ( K sabit değildir). Görüntü sadece sonlu sayıda noktaları göz ardı edecektir , P ¹ ( K ) ve bir tipik nokta ters görüntüsü P boyutu olacaktır loş V - 1 . Cebirsel geometride boyuta endüktif olan yöntemlerin başlangıcı budur. Rasyonel haritalar , karmaşık analizin meromorfik fonksiyonlarına benzer bir rol oynar ve aslında kompakt Riemann yüzeyleri durumunda iki kavram örtüşür.

Eğer V şimdi boyutun 1 olarak alınır, tipik bir cebirsel eğrisinin bir resim elde C 'üzerinde' takdim P ¹ ( K ). C'nin tekil olmadığı varsayılırsa (ki bu K ( C ) ile başlayan bir genellik kaybı değildir ), C'den P ¹ ( K )' ye böyle bir rasyonel haritanın aslında her yerde tanımlı olacağı gösterilebilir. (Tekillikler varsa durum böyle değildir, çünkü örneğin bir eğrinin kendisini kestiği bir çift ​​nokta , rasyonel bir haritadan sonra belirsiz bir sonuç verebilir.) Bu, ana geometrik özelliğin dallanma olduğu bir resim verir .

Birçok eğri, örneğin hipereliptik eğriler , projektif çizginin dallanmış kaplamaları olarak soyut olarak sunulabilir . Göre Riemann-Hurwitz, formül , cins daha sonra sadece dallanma tipine bağlıdır.

Bir rasyonel eğri olan bir eğridir birationally eşdeğer bir yansıtmalı hattı (bkz rasyonel çeşitli ); onun cinsi 0'dır . Projektif uzayda bir rasyonel normal eğri P ⁿ , hiçbir uygun lineer alt uzayda yer almayan rasyonel bir eğridir; gibi homojen koordinatlarda parametrik olarak verilen (projektif eşdeğerliğe kadar) sadece bir örnek olduğu bilinmektedir.

[1: t  : t ²  : ...: t ⁿ ].

İlk ilginç durum için bükülmüş kübik bakın .

Ayrıca bakınız

• Projektif olarak genişletilmiş gerçek çizgi
• çapraz oran
• Projektif aralık
• Möbius dönüşümleri
• cebirsel eğri
• Bir halka üzerinde yansıtmalı çizgi

Referanslar