Aritmetik ilerlemeleri içeren problemler - Problems involving arithmetic progressions
Aritmetik ilerlemeleri içeren problemler , hem teorik hem de uygulamalı bakış açılarından sayı teorisi , kombinatorik ve bilgisayar biliminde ilgi çekicidir .
En büyük ilerlemesiz alt kümeler
k farklı terimin ilerlemesini içermeyen en büyük {1, 2, ..., m } alt kümesinin kardinalitesini ( A k ( m ) ile gösterilir) bulun . Yasak dizilerin unsurlarının ardışık olması zorunlu değildir.
Örneğin, A 4 (10) = 8, çünkü {1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10} uzunluğu 4 aritmetik ilerlemeye sahip değilken, tüm 9 elemanlı alt kümeler {1, 2, . .., 10} bir tane var. Paul Erdős , bu sayıyla ilgili bir soru için, Endre Szemerédi tarafından Szemerédi teoremi olarak bilinen şey için toplanan 1000 dolarlık bir ödül belirledi .
Asal sayılardan aritmetik ilerlemeler
Szemerédi'nin teoremi , sıfır olmayan üst asimptotik yoğunluğun bir dizi doğal sayısının , herhangi bir keyfi uzunlukta k sonlu aritmetik ilerlemeler içerdiğini belirtir .
Erdös , bundan şu sonucu çıkaracağı daha genel bir varsayımda bulundu :
- Asal sayıların dizisi, herhangi bir uzunlukta aritmetik ilerlemeler içerir.
Bu sonuç 2004 yılında Ben Green ve Terence Tao tarafından kanıtlandı ve şimdi Green-Tao teoremi olarak biliniyor .
Aritmetik ilerlemelerle ilgili Dirichlet teoremine de bakın .
2020 itibariyle, asal sayıların bilinen en uzun aritmetik ilerlemesinin uzunluğu 27'dir:
- 224584605939537911 + 81292139·23#· n , n = 0 ila 26 için. ( 23# = 223092870 )
2011 itibariyle, ardışık asal sayıların bilinen en uzun aritmetik dizisinin uzunluğu 10'dur. 1998'de bulunmuştur. Dizi, 93 basamaklı bir sayı ile başlar.
- 100 99697 24697 14247 63778 66555 87969 84032 95093 24689
- 19004 18036 03417 75890 43417 03348 88215 90672 29719
ve 210 ortak farkına sahiptir.
1936 Erdős-Turan Sanısı ile ilgili kaynak:
- P. Erdős ve P. Turán, Bazı tamsayı dizileri üzerinde, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261–264.
Aritmetik ilerlemelerde asal sayılar
Aritmetik diziler için asal sayı teoremi, bir aritmetik dizideki asal sayıların asimptotik dağılımıyla ilgilenir .
Aritmetik ilerlemelere göre kapsama ve bölümlere ayırma
- En az Bul l , n herhangi bir grubu olduğu, örneğin , n kalıntıları modulo p uzunluğu bir aritmetik ile örtülebilir l , n .
- Belirli bir dizi için S tamsayılar aritmetik ilerlemeler olduğu minimal sayısını bulmak kapak S
- Belirli bir dizi için S tamsayılar örtüşmeyen aritmetik ilerlemeler olduğunu minimal sayısını bulmak kapak S
- {1, ..., n }'yi aritmetik ilerlemelere bölmenin yollarını bulun .
- {1, ..., n }'yi aynı periyoda sahip en az 2 uzunluktaki aritmetik ilerlemelere bölmenin yol sayısını bulun .
- Ayrıca bkz. Kaplama sistemi
Ayrıca bakınız
Notlar
- ^ Samuel S. Wagstaff, Jr. (1979). "Aritmetik İlerlemeler Hakkında Bazı Sorular". Amerikan Matematiksel Aylık . Amerika Matematik Derneği. 86 (7): 579-582. doi : 10.2307/2320590 . JSTOR 2320590 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Asal Aritmetik İlerleme" . Matematik Dünyası .
- ^ Jens Kruse Andersen, Aritmetik İlerleme Kayıtlarında Asal Sayılar . 2020-08-10 tarihinde alındı.
- ^ H. Dubner; T. Forbes; N. Lygeros; M. Mizoni; H. Nelson; P. Zimmermann, "Aritmetik ilerlemede on ardışık asal sayı", Math. Komp. 71 (2002), 1323-1328.
- ^ Dokuz ve On Asal Proje
- ^ Vsevolod F. Lev (2000). "Eşzamanlı yaklaşımlar ve F p üzerinde aritmetik ilerlemelerle kaplama " . Kombinatoryal Teori Dergisi, Seri A . 92 (2): 103–118. doi : 10.1006/jcta.1999.3034 .
- ^ Sloane, N.J.A. (ed.). "Sıra A053732 ({1,...,n} öğesini uzunluk >=1 olan aritmetik ilerlemelere bölme yollarının sayısı" . Tamsayı Dizilerin On-Line Ansiklopedisi . OEIS Vakfı.
- ^ Sloane, N.J.A. (ed.). "Sıra A072255 ({1,2,...,n} öğesini aritmetik ilerlemelere bölmenin yol sayısı...)" . Tamsayı Dizilerin On-Line Ansiklopedisi . OEIS Vakfı.