Aritmetik ilerlemedeki asal sayılar - Primes in arithmetic progression

Gelen sayı teorisi , aritmetik olarak asal herhangi biridir dizi en az üç asal sayıların bir ardışık terimlerdir aritmetik . Bir örnek, for tarafından verilen asal sayıların (3, 7, 11) dizisidir .

Göre Yeşil-Tao teoremi , orada mevcut isteğe bağlı olarak uzun aritmetik içinde asal dizileri. Bazen bu ifade, aynı zamanda bileşik sayıları da içeren bir aritmetik diziye ait olan asal sayılar için de kullanılabilir. Örneğin, bu formun bir aritmetik ilerlemesinde asal olarak da kullanılabilir , bir ve b olan göreceli asal göre aritmetik olarak geliştirmeye Dirichlet teoremi sonsuz sayıda kompozit ile birlikte, sonsuz sayıda asal içerir.

İçin tam sayı k ≥ 3, bir AP- k (aynı zamanda PAP- k ) herhangi bir dizisidir k aritmetik ilerlemesinde asal. Bir AP- k , sabit a (ortak fark olarak adlandırılır) tamsayıları ve b ve n'nin ardışık k tamsayı değerleri için a · n + b biçimindeki k asal sayıları olarak yazılabilir . Bir AP- k genellikle n = 0 ila k  − 1 ile ifade edilir . Bu, her zaman b'yi aritmetik ilerlemede ilk asal sayı olarak tanımlayarak başarılabilir .

Özellikler

Asal sayıların verilen herhangi bir aritmetik ilerlemesi sonlu bir uzunluğa sahiptir. 2004'te Ben J. Green ve Terence Tao , Green-Tao teoremini kanıtlayarak eski bir varsayımı çözdüler : Asal sayılar keyfi olarak uzun aritmetik ilerlemeler içerir. Herhangi bir k için sonsuz sayıda AP- k olduğu hemen ortaya çıkar .

Bir AP ise k asal ile başlamayan k , daha sonra ortak bir fark katları olan primoriyel k # = 2 · 3 · 5 · ... · j , j büyük asal ≤ olan k .

Kanıt : AP Let k olmak bir · n + b için k ardışık değerler n . Bir asal ise p bölmek yok bir , daha sonra modüler aritmetik söylüyor p her böler p' aritmetik ilerleme inci dönem. (HJ Weber, Cor.10'dan "İstisnai Asal Sayı İkizleri, Üçüzleri ve Katları", arXiv:1102.3075[math.NT]. Ayrıca bkz. Theor.2.3 "İkiz, Üçlü ve Çoklu Asal Sayıların Düzenlilikleri", arXiv :1103.0447[math.NT], Global JPAMath 8(2012), baskıda.) AP ardışık k değer için asal ise , bu nedenle a tüm p ≤ k asal sayılarına bölünebilmelidir .

Ortak fark ile AP o Bu aynı zamanda gösterir bir bölmek değil en küçük asal değerinden daha fazla ardışık asal terimleri içeremez bir .

Eğer k asal sonra AP k ile başlayabilir k ve (yalnızca bir katı olan bir ortak farkı var k -1) # yerine k #. (HJ Weber'den, ``Less Regular Exceptional and Repeating Asal Number Multiplets," arXiv:1105.4092[math.NT], Sect.3.) Örneğin, {3, 5, 7} asal sayıları ve ortak farkı olan AP-3 2# = 2 veya {5, 11, 17, 23, 29} asal sayıları ve ortak farkı 4# = 6 olan AP-5. Bu tür örneklerin tüm k asal sayıları için mevcut olduğu tahmin edilmektedir . bunun doğrulandığı k = 19, Wojciech Iżykowski tarafından 2013'te bulunan bu AP-19 için:

19 + 4244193265542951705·17#·n için, n = 0 ila 18.

Bu gibi yaygın bir kanı zanlar, izler Dickson'ın varsayım ve bazı varyantları asal k-li takım varsayım takdirde, p > 2 en küçük asal bölen değil bir , sonra sonsuz sayıda AP (vardır p ortak fark ile -1) bir . Örneğin, 5, 6'yı bölmeyen en küçük asal sayıdır, bu nedenle, seksi asal dördüz olarak adlandırılan, ortak farkı 6 olan sonsuz sayıda AP-4 olması beklenir . Ne zaman bir = 2, p = 3, o ikiz asal tahmin 2 asal (bir "AP-2" ile, b , b + 2).

AP'de minimum asal sayılar

Son terimi en aza indiriyoruz.

Minimum AP- k
k n = 0 ila k -1 için asal sayılar
3 3 + 2 n
4 5 + 6 n
5 5 + 6 n
6 7 + 30 n
7 7 + 150 n
8 199 + 210 n
9 199 + 210 n
10 199 + 210 n
11 110437 + 13860 n
12 110437 + 13860 n
13 4943 + 60060 n
14 31385539 + 420420 n
15 115453391 + 4144140 n
16 53297929 + 9699690 n
17 3430751869 + 87297210 n
18 4808316343 + 717777060 n
19 8297644387 + 4180566390 n
20 214861583621 + 18846497670 n
21 5749146449311 + 26004868890 n

AP'de bilinen en büyük asal sayılar

q asal için , q # asal 2·3·5·7·...· q'yu gösterir .

Eylül 2019 itibariyle bilinen en uzun AP- k , bir AP- 27'dir . AP-26 için birkaç örnek bilinmektedir. İlk keşfedilen, 12 Nisan 2010'da Benoãt Perichon tarafından bir PlayStation 3'te Jarosław Wróblewski ve Geoff Reynolds'a ait yazılımla birlikte dağıtılmış bir PrimeGrid projesinde Bryan Little tarafından PlayStation 3'e taşındı :

43142746595714191 + 23681770 · 23 # · n için , n = 0 ila 25 (23 # = 223.092.870) (sekans A204189 olarak OEIS )

İlk AP-26 bulunduğunda, arama PrimeGrid tarafından 131.436,182 parçaya bölündü ve dünya çapında 32/64 bit CPU'lar, Nvidia CUDA GPU'lar ve Hücre mikroişlemcileri tarafından işlendi .

Bundan önce rekor, Raanan Chermoni ve Jarosław Wróblewski tarafından 17 Mayıs 2008'de bulunan bir AP-25 idi:

6171054912832631 + 366384·23#· n , n = 0 ila 24 için. (23# = 223092870)

AP-25 araştırması, Athlon 64'te yaklaşık 3 dakika süren bölümlere ayrıldı ve Wróblewski, "Sanırım Raanan'ın bu tür 10.000.000'den daha az bölümden geçtiğini" bildirdi (bu, Athlon 64'te yaklaşık 57 işlemci yılı alacaktı).

Daha önceki rekor 18 Ocak 2007'de Jarosław Wróblewski tarafından tek başına bulunan bir AP-24'tü:

468395662504823 + 205619·23#· n , n = 0 ila 23 için.

Bunun için Wróblewski toplam 75 bilgisayar kullandığını bildirdi: 15 64-bit Athlon , 15 çift çekirdekli 64-bit Pentium D 805, 30 32-bit Athlons 2500 ve 15 Durons 900.

Aşağıdaki tablo, keşif yılı ve bitiş asalındaki ondalık basamak sayısıyla birlikte bilinen en büyük AP- k'yi gösterir . Bilinen en büyük AP- k'nin bir AP-( k +1)' in sonu olabileceğini unutmayın . Bazı kayıt belirleyiciler, önce sabit p ile c · p #+1 biçimindeki büyük bir asal kümeyi hesaplamayı ve ardından bir asal oluşturan c değerleri arasında AP'leri aramayı seçer . Bu, bazı kayıtlar için ifadeye yansıtılır. İfade kolayca a · n + b olarak yeniden yazılabilir .

Eylül 2021 itibariyle bilinen en büyük AP- k
k n = 0 ila k -1 için asal sayılar Rakamlar Yıl keşfedici
3 (5606879602425·2 1290000 −1) + (33·2 2939063 − 5606879602425·2 1290000 )· n 884748 2021 Ryan Propper, Serge Batalov
4 (1021747532 + 7399459· n )·60013#+1 25992 2019 Ken Davis
5 (161291608 + 59874860· n )·24001#+1 10378 2018 Ken Davis
6 (1445494494 + 141836149· n )·16301# + 1 7036 2018 Ken Davis
7 (234043271 + 481789017· n )·7001# + 1 3019 2012 Ken Davis
8 (48098104751 + 3026809034· n )·5303# + 1 2271 2019 Norman Luhn, Paul Underwood, Ken Davis
9 (65502205462 + 6317280828· n )·2371# + 1 1014 2012 Ken Davis, Paul Underwood
10 (20794561384 + 1638155407· n )·1050# + 1 450 2019 Norman Luhn
11 (16533786790 + 1114209832· n )·666# + 1 289 2019 Norman Luhn
12 (15079159689 + 502608831· n )·420# + 1 180 2019 Norman Luhn
13 (50448064213 + 4237116495· n )·229# + 1 103 2019 Norman Luhn
14 (55507616633 + 670355577· n )·229# + 1 103 2019 Norman Luhn
15 (14512034548 + 87496195·n)·149# + 1 68 2019 Norman Luhn
16 (9700128038 + 75782144·( n +1))·83# + 1 43 2019 Norman Luhn
17 (9700128038 + 75782144· n )·83# + 1 43 2019 Norman Luhn
18 (33277396902 + 139569962·( n +1))·53# + 1 31 2019 Norman Luhn
19 (33277396902 + 139569962· n )·53# + 1 31 2019 Norman Luhn
20 23 + 134181089232118748020·19#· n 29 2017 Wojciech Izykowski
21 5547796991585989797641 + 29#· n 22 2014 Jarosław Wróblewski
22 22231637631603420833 + 8·41#·( n + 1) 20 2014 Jarosław Wróblewski
23 22231637631603420833 + 8·41#· n 20 2014 Jarosław Wróblewski
24 224584605939537911 + 81292139·23#·( n +3) 18 2019 Rob Gahan, PrimeGrid
25 224584605939537911 + 81292139·23#·( n +2) 18 2019 Rob Gahan, PrimeGrid
26 224584605939537911 + 81292139·23#·( n +1) 18 2019 Rob Gahan, PrimeGrid
27 224584605939537911 + 81292139·23#· n 18 2019 Rob Gahan, PrimeGrid

Aritmetik ilerlemede ardışık asal sayılar

Aritmetik dizideki ardışık asal sayılar, bir aritmetik dizideki ardışık terimler olan en az üç ardışık asal sayıyı ifade eder . Bir AP aksine o Not k , ilerlemesi bakımından arasındaki tüm diğer sayılar kompozit olmalıdır. Örneğin, AP-3 {3, 7, 11} uygun değildir, çünkü 5 de bir asaldır.

Bir k ≥ 3 tamsayı için , bir CPAP- k , aritmetik ilerlemede k ardışık asal sayıdır. Keyfi olarak uzun CPAP'ler olduğu tahmin edilmektedir. Bu, tüm k için sonsuz sayıda CPAP- k anlamına gelir . Bir CPAP-3'teki ortadaki asal, dengeli asal olarak adlandırılır . 2018 itibariyle bilinen en büyüğü 10546 basamaklıdır.

Bilinen ilk CPAP-10, 1998 yılında Manfred Toplic tarafından Harvey Dubner, Tony Forbes, Nik Lygeros, Michel Mizony ve Paul Zimmermann tarafından düzenlenen dağıtılmış bilgi işlem projesi CP10'da bulundu . Bu CPAP-10, mümkün olan en küçük ortak farka sahiptir, 7# = 210. 2018 itibariyle bilinen diğer tek CPAP-10, 2008 yılında aynı kişiler tarafından bulunmuştur.

Bir CPAP-11 varsa, 11# = 2310'un katı olan ortak bir farka sahip olmalıdır. Bu nedenle, 11 asal sayının ilki ve sonuncusu arasındaki fark 23100'ün katı olacaktır. En az 23090 bileşik sayı gereksinimi 11 asal sayı arasında olması, bir CPAP-11 bulmanın son derece zor görünmesini sağlar. Dubner ve Zimmermann, bunun bir CPAP-10'dan en az 10 12 kat daha zor olacağını tahmin ediyor .

AP'de minimum ardışık asal sayılar

Bir CPAP- ilk geçtiği k sadece bilinen k ≤ 6 (dizi A006560 olarak OEIS ).

Minimum CPAP- k
k n = 0 ila k -1 için asal sayılar
3 3 + 2 n
4 251 + 6 n
5 9843019 + 30 n
6 121174811 + 30 n

AP'de bilinen en büyük ardışık asal sayılar

Tablo, k = 3 ila 10 için aritmetik ilerlemede k ardışık asal sayının bilinen en büyük durumunu göstermektedir .

Ekim 2021 itibariyle bilinen en büyük CPAP- k ,
k n = 0 ila k -1 için asal sayılar Rakamlar Yıl keşfedici
3 664342014133 · 2 39840 - 59 + 30 n 12005 2020 Serj Batalov
4 62753735335 · 7919# ​​+ 3399421577 + 30 n 3404 2021 Serj Batalov
5 652229318541 · 3527# + 3399421517 + 30 n 1504 2021 Serj Batalov
6 386140564676 · 1000# + 26861 + 30 n 427 2018 Gerd Lamprecht
7 4785544287883 · 613# + x 253 + 210 n 266 2007 Jens Kruse Andersen
8 10097274767216 · 250# + x 99 + 210 n 112 2003 Jens Kruse Andersen
9 73577019188277 · 199#·227·229 + x 87 + 210 n 101 2005 Hans Rosenthal, Jens Kruse Andersen
10 1180477472752474 · 193# + x 77 + 210 n 93 2008 Manfred Toplic, CP10 projesi

x d , yukarıdaki kayıtlardan birinde, asal sayılar arasında olağandışı bir şekilde gerekli olan bileşiklerin çoğunda küçük bir faktör sağlamak için kullanılan d basamaklı bir sayıdır. x 77 = 54538241683887582 668189703590110659057865934764 604873840781923513421103495579 x 87 = 279872509634587186332039135 414046330728180994209092523040 703520843811319320930380677867 x 99 = 158.794.709 618074229409987416174386945728 371523590452459863667791687440 944143462160821328735143564091 x 253 = 1617599298905 320471304802538356587398499979 836255156671030473751281181199 911312259550734373874520536148 519300924327947507674746679858 816780182478724431966587843672 408773388445788142740274329621 811879827349575247851843514012 399313201211101277175684636727

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar