yumuşatıcı - Mollifier

Birinci boyutta bir yumuşatıcı (üstte) . Altta, kırmızı, köşeli (solda) ve keskin atlamalı (sağda) bir fonksiyondur ve mavi renkte onun yumuşatılmış versiyonudur.

Gelen matematik , mollifiers (aynı zamanda kimlik yaklaşımları ) olan düz fonksiyonları , örneğin kullanılan özel özelliklere sahip, dağıtım teorisi oluşturmak için dizileri düzgün olmayan yaklaşan düz fonksiyonların (genelleştirilmiş) işlevleri ile, konvolüsyon . Sezgisel olarak, oldukça düzensiz olan bir işlev verildiğinde, bir yumuşatıcı ile kıvrılarak işlev "yumuşatır", yani, orijinal düzgün olmayan (genelleştirilmiş) işleve yakın kalırken keskin özellikleri yumuşatılır.

Onları tanıtan Kurt Otto Friedrichs'ten sonra Friedrichs yumuşatıcıları olarak da bilinirler .

Tarihsel notlar

Molifiers , modern kısmi diferansiyel denklemler teorisinde bir dönüm noktası olarak kabul edilen makalesinde ( Friedrichs 1944 , s. 136-139) Kurt Otto Friedrichs tarafından tanıtıldı . Bu matematiksel nesnenin adı ilginç bir kökene sahipti ve Peter Lax , Friedrichs'in " Selecta " dergisinde yayınlanan o makaleye yaptığı yorumda tüm hikayeyi anlatıyor . Ona göre, o zaman, matematikçi Donald Alexander Flanders , Friedrichs'in bir meslektaşıydı: İngilizce kullanımı hakkında meslektaşlarına danışmayı sevdiği için, Flanders'a kullandığı düzgünleştirme operatörünün nasıl adlandırılacağı konusunda bir tavsiye istedi. Flanders, ahlaki nitelikleri nedeniyle arkadaşları tarafından Moll Flanders'tan sonra Moll takma adı verilen bir püritendi : yeni matematiksel kavramı , hem Flanders'ın takma adını hem de ' mollify ' fiilini içeren bir kelime oyunu olarak bir " yumuşatıcı " olarak adlandırmayı önerdi. mecazi anlamda yumuşatmak.

Daha önce, Sergei Sobolev , Sobolev gömme teoreminin kanıtını içeren 1938 tarihli makalesini hazırlarken kendi çağında yumuşatıcılar kullandı : Friedrichs, Sobolev'in yumuşatıcılar üzerindeki çalışmasını şu şekilde kabul etti:-" Bu yumuşatıcılar, Sobolev ve yazar tarafından tanıtıldı... ".

"Mollifier" teriminin bu temel çalışmaların zamanından beri dilsel bir kayma geçirdiğine işaret edilmelidir : Friedrichs , çekirdeği günümüzde yumuşatıcılar olarak adlandırılan fonksiyonlardan biri olan integral operatörü " mollifier " olarak tanımladı . Ancak bir lineer integral operatörünün özellikleri tamamen kendi çekirdeği tarafından belirlendiğinden, yaygın kullanımın bir sonucu olarak mollfier adı çekirdeğin kendisi tarafından devralınmıştır.

Tanım

Aşamalı yumuşama geçiren bir işlev.

Modern (dağıtım bazlı) tanım

Tanımlama 1. Eğer a, yumuşak bir fonksiyonu ℝ ile ^N , N aşağıdaki üç gereksinimleri karşılayan, ≥ 1 ${\görüntüleme stili \varphi }$

(1)   bunun bir kompakt desteklenen

(2)  ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\varphi (x)\mathrm {d} x=1}$

(3)  ${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\varphi _{\epsilon }(x)=\lim _{\epsilon \to 0}\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )= \delta (x)}$

burada bir Dirac delta fonksiyonu ve limit Schwartz uzayda anlaşılmalıdır dağılımları , o zaman a, mollifier . İşlev ayrıca başka koşulları da karşılayabilir: örneğin, ${\görüntüleme stili \delta (x)}$${\görüntüleme stili \varphi }$${\görüntüleme stili \varphi }$

(4)   tüm x ∈ ℝ ⁿ için ≥ 0 , o zaman pozitif yumuşatıcı olarak adlandırılır${\görüntüleme stili \varphi }$${\görüntüleme stili (x)}$

(5)   = bazı sonsuz türevlenebilir fonksiyon  : ℝ ⁺ → ℝ, o zaman adı simetrik mollifier${\görüntüleme stili \varphi }$${\görüntüleme stili (x)}$${\görüntüleme stili \mu }$${\görüntüleme stili (|x|)}$ ${\görüntüleme stili \mu }$

Friedrichs'in tanımına ilişkin notlar

Not 1 . Dağılımlar teorisi henüz yaygın olarak bilinmediği ve kullanılmadığı zamanlarda, yukarıdaki özellik (3) , fonksiyonun uygun bir Hilbert veya Banach uzayına ait belirli bir fonksiyonla evrişiminin bu fonksiyona ε → 0 olarak yakınsadığı söylenerek formüle edildi : bu Friedrichs'in yaptığı tam olarak budur . Bu aynı zamanda yumuşatıcıların neden yaklaşık kimliklerle ilişkili olduğunu da açıklığa kavuşturur . ${\displaystyle \scriptstyle \varphi _{\epsilon }}$

Not 2 . Bu girdinin " Tarihsel notlar " bölümünde kısaca belirtildiği gibi , orijinal olarak "yumuşatıcı" terimi aşağıdaki evrişim operatörünü tanımladı :

${\displaystyle \Phi _{\epsilon }(f)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi _{\epsilon }(xy)f(y)\mathrm {d} y}$

burada ve bir edilir yumuşak bir fonksiyonu pozitifliği simetri gibi ve bir ya da daha fazla ek koşullar yukarıda belirtilen ilk üç koşulları karşılayan. ${\displaystyle \varphi _{\epsilon }(x)=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )}$${\görüntüleme stili \varphi }$

somut örnek

tarafından tanımlanan ℝ ^n'deki bir değişkenin fonksiyonunu düşünün${\görüntüleme stili \varphi }$${\görüntüleme stili (x)}$

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}e^{-1/(1-|x|^{2})}/I_{n}&{\text{ if }}|x|< 1\\0&{\text{ if }}|x|\geq 1\end{durumlar}}}$

sayısal sabitin normalizasyonu sağladığı yer. Bu fonksiyonudur olmayan analitik, sonsuz türevlenebilir ufuk ile türev için | x | = 1 . bu nedenle yukarıda açıklandığı gibi yumuşatıcı olarak kullanılabilir: pozitif ve simetrik bir yumuşatıcı tanımladığı görülebilir . ${\ Displaystyle I_{n}}$${\görüntüleme stili \varphi }$${\görüntüleme stili \varphi }$${\görüntüleme stili (x)}$

Fonksiyon olarak boyut bir${\görüntüleme stili \varphi }$${\görüntüleme stili (x)}$

Özellikler

Bir yumuşatıcının tüm özellikleri onun evrişim işlemi altındaki davranışı ile ilgilidir : kanıtları dağıtım teorisi üzerine her metinde bulunabilen aşağıdakileri listeliyoruz .

yumuşatma özelliği

Herhangi bir dağılım için , gerçek sayı ile indekslenen aşağıdaki evrişim ailesi${\görüntüleme stili T}$ ${\görüntüleme stili \epsilon }$

${\displaystyle T_{\epsilon }=T\ast \varphi _{\epsilon }}$

evrişimi ifade ettiği yerde , düzgün işlevler ailesidir . ${\görüntüleme stili \ast }$

Kimlik Yaklaşımı

Herhangi bir dağılım için , gerçek sayı ile indekslenen aşağıdaki evrişim ailesi şuna yakınsar:${\görüntüleme stili T}$ ${\görüntüleme stili \epsilon }$${\görüntüleme stili T}$

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}T_{\epsilon }=\lim _{\epsilon \to 0}T\ast \varphi _{\epsilon }=T\in D^{\prime }( \mathbb {R} ^{n})}$

Evrişim desteği

Herhangi bir dağıtım için , ${\görüntüleme stili T}$

${\displaystyle \mathrm {supp} T_{\epsilon }=\mathrm {supp} (T\ast \varphi _{\epsilon })\subset \mathrm {supp} T+\mathrm {supp} \varphi _{\epsilon }}$

nerede belirten desteği dağılımları anlamda ve onların gösterir Minkowski eklenmesini . ${\displaystyle \mathrm {supp} }$${\görüntüleme stili +}$

Uygulamalar

Yumuşatıcıların temel uygulaması, düzgün işlevler için geçerli olan özelliklerin düzgün olmayan durumlarda da geçerli olduğunu kanıtlamaktır :

Dağıtımların ürünü

Bazı teorileri olarak yaygın işlevleri , mollifiers tanımlamak için kullanılan dağılımların çoğalmasını , tam olarak verilen iki dağılımları: ve , limitini ürünü a düzgün bir fonksiyonu ve dağılım${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili T}$

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}S_{\epsilon }\cdot T=\lim _{\epsilon \to 0}S\cdot T_{\epsilon }{\overset {\mathrm {def} } {=}}S\cdot T}$

Ürünlerini (varsa) çeşitli genelleştirilmiş fonksiyonlar teorilerinde tanımlar .

"Zayıf=Güçlü" teoremler

Çok gayri resmi olarak, yumuşatıcılar, diferansiyel operatörlerin iki farklı uzantısının kimliğini kanıtlamak için kullanılır: güçlü uzantı ve zayıf uzantı . Makale ( Friedrichs 1944 ) bu kavramı oldukça iyi göstermektedir: ancak bunun gerçekten ne anlama geldiğini göstermek için gereken çok sayıda teknik ayrıntı, bu kısa açıklamada resmi olarak ayrıntılandırılmasını engellemektedir.

Pürüzsüz kesme işlevleri

Evrişimi olarak karakteristik fonksiyonunun bir birim topu ile düzgün bir fonksiyonu (de tanımlandığı gibi ) de, 3 ( ile , bir elde fonksiyonu) ${\displaystyle B_{1}=\{x:|x|<1\}}$ ${\displaystyle \varphi _{1/2}}$${\displaystyle \epsilon =1/2}$

${\displaystyle \chi _{B_{1},1/2}(x)=\chi _{B_{1}}\ast \varphi _{1/2}(x)=\int _{\mathbb { R} ^{n}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(xy)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1 /2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(xy)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\ \ \ (\çünkü \ \mathrm {supp) } (\varphi _{1/2})=B_{1/2})}$

burada a, yumuşak bir fonksiyonu için eşit ilgili destek içinde ihtiva ile . Bunun anlamı, eğer gözlemleyerek kolayca görülebilir ≤ ve ≤ sonra ≤ . Dolayısıyla ≤ için , ${\görüntüleme stili 1}$${\displaystyle B_{1/2}=\{x:|x|<1/2\}}$${\displaystyle B_{3/2}=\{x:|x|<3/2\}}$${\görüntüleme stili |x|}$${\ Displaystyle 1/2}$${\görüntüleme stili |y|}$${\ Displaystyle 1/2}$${\görüntüleme stili |xy|}$${\görüntüleme stili 1}$${\görüntüleme stili |x|}$${\ Displaystyle 1/2}$

${\displaystyle \int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(xy)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y= \int _{B_{1/2}}\!\!\!\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=1}$.

Bu yapının, belirli bir kompakt kümenin komşuluğundaki ile aynı ve bu kümeden uzaklığı belirli bir noktadan daha büyük olan her noktada sıfıra eşit olan düzgün bir fonksiyon elde etmek için nasıl genelleştirilebileceği görülebilir . Böyle bir işleve (düz) kesme işlevi denir : bu işlevler , verilen ( genelleştirilmiş ) bir işlevin tekilliklerini çarpma yoluyla ortadan kaldırmak için kullanılır . Yalnızca belirli bir kümede çarptıkları ( genelleştirilmiş ) işlevin değerini değiştirmeden bırakırlar , böylece desteğini değiştirirler : ayrıca kesme işlevleri , birliğin düzgün bölümlerinin temel parçalarıdır . ${\görüntüleme stili \epsilon }$

Ayrıca bakınız

• yaklaşık kimlik
• Analitik olmayan pürüzsüz işlev
• çarpma işlevi
• evrişim
• Weierstrass dönüşümü
• Dağılım (matematik)
• Kurt Otto Friedrichs
• genelleştirilmiş fonksiyon
• Sergey Sobolev

Notlar

Referanslar

• Friedrichs, Kurt Otto (Ocak 1944), "Diferansiyel operatörlerin zayıf ve güçlü uzantılarının kimliği", Transactions of the American Mathematical Society , 55 (1): 132-151, doi : 10.1090/S0002-9947-1944-0009701- 0 , JSTOR  1990143 , MR  0009701 , Zbl  0061.26201. Yumuşatıcıların tanıtıldığı ilk makale.
• Friedrichs, Kurt Otto (1953), "Doğrusal eliptik diferansiyel denklemlerin çözümlerinin türevlenebilirliği üzerine " , Saf ve Uygulamalı Matematikte İletişim , VI (3): 299–326, doi : 10.1002/cpa.3160060301 , MR  0058828 , Zbl  0.051,32703 arşivlenmiş, orijinal 2013-01-05 tarihinde. Bir kağıt türevlenebilirlik çözeltilerinin eliptik kısmi diferansiyel denklemler mollifiers kullanılarak incelenmiştir.
• Friedrichs, Kurt Otto (1986), Morawetz, Cathleen S. (ed.), Selecta , Contemporary Mathematicians, Boston- Basel - Stuttgart : Birkhäuser Verlag , pp. 427 (Cilt 1), pp. 608 (Cilt 2), ISBN'si 0-8176-3270-0, Zbl  0613.01020. David Isaacson , Fritz John , Tosio Kato , Peter Lax , Louis Nirenberg , Wolfgag Wasow , Harold Weitzner'ın biyografisi ve yorumlarıyla Friedrichs'in çalışmalarından bir seçki .
• Giusti, Enrico (1984), Sınırlı varyasyonların minimal yüzeyleri ve işlevleri , Monographs in Mathematics, 80 , Basel - Boston - Stuttgart : Birkhäuser Verlag, pp. xii+240, ISBN 0-8176-3153-4, MR  0775682 , Zbl  0545.49018.
• Hörmander, Lars (1990), Lineer kısmi diferansiyel operatörlerin analizi I , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, 256 (2. baskı), Berlin - Heidelberg - New York : Springer-Verlag , ISBN 0-387-52343-X, MR  1065136 , Zbl  0712.35001.
• Sobolev, Sergei L. (1938), "Sur un théorème d'analyse fonctionnelle" , Recueil Mathématique (Matematicheskii Sbornik) (Rusça ve Fransızca), 4(46) (3): 471–497, Zbl  0022.14803. Sergei Sobolev'in gömme teoremini kanıtladığı, yumuşatıcılara çok benzeyen integral operatörlerini isim vermeden tanıttığı ve kullandığı makale .