Çarpma işlevi - Bump function

Gelen matematik , bir yumru fonksiyonu (aynı zamanda adı verilen test fonksiyon ) a, fonksiyon bir ilgili Öklid alan hem düz sahip (anlamında sürekli türevleri ve siparişlerin) kompakt desteklenmektedir . Seti ile tüm yumru fonksiyonlarının alanı formları bir vektör uzayı , gösterilen veya çift boşluk , uygun bir sahip bu mekanın topoloji ait alanıdır dağılımları . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).}$

Örnekler

tarafından verilen fonksiyon${\displaystyle \Psi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

tek boyutta bir çarpma işlevi örneğidir. Bu fonksiyonun kompakt desteğe sahip olduğu yapıdan açıktır, çünkü gerçek çizginin bir fonksiyonu, ancak ve ancak sınırlı kapalı desteğe sahipse kompakt desteğe sahiptir. Düzgünlük kanıtı, Analitik olmayan düzgün işlev makalesinde tartışılan ilgili işlevle aynı satırları takip eder . Bu işlev , birim diske sığacak şekilde ölçeklenen Gauss işlevi olarak yorumlanabilir : ikame , göndermeye karşılık gelir .${\displaystyle \exp \sol(-y^{2}\sağ)}$${\displaystyle y^{2}={1}/{\left(1-x^{2}\right)}}$${\displaystyle x=\pm 1}$${\displaystyle y=\infty .}$

Değişkenlerde çarpma işlevinin basit bir örneği , yukarıdaki çarpma işlevinin kopyalarının çarpımını tek bir değişkende alarak elde edilir.${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili n}$

Çarpma fonksiyonlarının varlığı

"Spesifikasyonlara göre" çarpma işlevleri oluşturmak mümkündür. Eğer, resmi olarak belirtilmedikçe keyfi olduğu kompakt bir resim içinde boyutları ve bir bir açık grubu ihtiva eden bir yumru işlevi vardır olan ilgili ve dış arasında yana çok küçük bir mahalle olarak alınabilir , bu miktarda bir fonksiyonu inşa etmek mümkün olmasının üzerinde ve hızla düşer dışından hala pürüzsüz olurken. ${\görüntüleme stili K}$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili K,}$${\görüntüleme stili\phi }$${\görüntüleme stili 1}$${\görüntüleme stili K}$${\görüntüleme stili 0}$${\ Displaystyle U.}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili K,}$${\görüntüleme stili 1}$${\görüntüleme stili K}$${\görüntüleme stili 0}$${\görüntüleme stili K,}$

İnşaat aşağıdaki gibi ilerler. Bir kompakt mahalle dikkate arasında yer alan çok karakteristik fonksiyonu arasında eşit olacaktır üzerinde ve dışında çok özellikle, olacak üzerinde ve dışında Bu fonksiyon, ancak düzgün değildir. Anahtar fikir pürüzsüz olduğu alarak, biraz konvolüsyonunu ait bir ile mollifier . Sonuncusu sadece çok küçük bir desteğe sahip bir çarpma işlevidir ve integrali Böyle bir yumuşatıcı, örneğin önceki bölümden çarpma işlevi alınarak ve uygun ölçeklendirmeler yapılarak elde edilebilir. ${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili K}$${\görüntüleme stili U,}$${\displaystyle K\subseteq V^{\circ }\subseteq V\subseteq U.}$ ${\displaystyle \chi _{V}}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili 1}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili 0}$${\görüntüleme stili V,}$${\görüntüleme stili 1}$${\görüntüleme stili K}$${\görüntüleme stili 0}$${\ Displaystyle U.}$${\displaystyle \chi _{V}}$${\displaystyle \chi _{V}}$${\görüntüleme stili 1.}$${\görüntüleme stili\Phi }$

Evrişim içermeyen alternatif bir yapı şimdi detaylandırılmıştır. Herhangi bir düz fonksiyonu başla negatif reals ile yok olur, ve (diğer bir deyişle, pozitif reals pozitif olduğu ilgili ve ilgili sol gerektiren gelen burada süreklilik ); böyle bir işlevin bir örneği için ve aksidir. Açık bir alt kümesini Fix ait ve her zamanki belirtmek Öklid normunu tarafından (şimdiye zamanki sahip olduğunu Öklid metrik ). Aşağıdaki yapı, üzerinde pozitif olan ve özellikle So'nun dışında kaybolan düzgün bir işlevi tanımlar , eğer nispeten kompaktsa, o zaman bu işlev bir çarpma işlevi olacaktır. ${\displaystyle c:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\görüntüleme stili c=0}$${\görüntüleme stili (-\infty ,0)}$${\görüntüleme stili c>0}$${\görüntüleme stili (0,\infty ),}$${\görüntüleme stili c(0)=0}$${\displaystyle c(x):=e^{-1/x}}$${\görüntüleme stili x>0}$${\görüntüleme stili c(x):=0}$${\görüntüleme stili U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\görüntüleme stili U}$${\ Displaystyle U.}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili f}$

Eğer o zaman izin eğer iken daha sonra izin ; yani bunların hiçbiri olmadığını varsayın . Izin açık kapak olması açık top açık toplarla yarıçapı ve merkez haritası Sonra tanımladığı üzerinde pozitif yumuşak bir fonksiyonu olan ve kapalı kaybolur her İçin let ${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{n}}$${\görüntüleme stili f:=1}$${\ Displaystyle U=\varhiçbir şey }$${\görüntüleme stili f:=0}$${\görüntüleme stili U}$${\displaystyle \sol(U_{k}\sağ)_{k=1}^{\infty }}$${\görüntüleme stili U}$${\ Displaystyle U_{k}}$${\displaystyle r_{k}>0}$${\displaystyle a_{k}\U.}$${\displaystyle f_{k}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f_{k}(x):=c\left(r_{k}^{2}-\left\|x-a_{k}\sağ\|^{2}\sağ)}$${\ Displaystyle U_{k}}$${\ Displaystyle U_{k}.}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}$

ki bu gerçek bir sayıdır, çünkü üstlük kompakt kümenin herhangi bir dışında kaybolur , kısmi türevlerin değerleri sınırlıdır. Seri ${\görüntüleme stili x}$${\ Displaystyle U_{k}}$${\displaystyle {\overline {U_{k}}},}$ Negatif olmayan herhangi bir tamsayı için , pozitif olan ve Ayrıca'dan kaybolan düzgün bir fonksiyona düzgün bir şekilde yakınsar${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\görüntüleme stili U}$${\ Displaystyle U.}$${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {Z} ,}$ burada bu seri de düzgün bir şekilde yakınsar (çünkü o zaman ^inci terimin mutlak değeri 'dir ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle k\geq p_{1}+\cdots +p_{n}}$${\görüntüleme stili k}$${\displaystyle \leq {\frac {M_{k}}{2^{k}M_{k}}}={\frac {1}{2^{k}}}}$

Bunun doğal sonucu, verilen iki ayrık alt kümelerini kapalı olarak bir ve düzgün olmayan negatif fonksiyonları , örneğin, herhangi bir için , ancak ve ancak , benzer şekilde ve ancak ve ancak işlevi sonra yumuşak ve herhangi ancak ve ancak sadece ve sadece ve eğer sadece Özel olarak, ancak ve ancak bu nedenle ek olarak, eğer içinde nispeten küçük (burada ifade eder ), daha sonra destek ile pürüzsüz bir yumru fonksiyonu olacaktır${\görüntüleme stili A,B}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f_{A},f_{B}:\mathbb {R} ^{n}\to [0,\infty )}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle f_{A}(x)=0}$${\ Displaystyle x\ A'da,}$${\ Displaystyle f_{B}(x)=0}$${\görüntüleme stili x\B'de,}$${\displaystyle f:={\frac {f_{A}}{f_{A}+f_{B}}}:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\görüntüleme stili f(x)=0}$${\ Displaystyle x\ A'da,}$ ${\görüntüleme stili f(x)=1}$${\görüntüleme stili x\B'de,}$${\görüntüleme stili 0<f(x)<1}$${\displaystyle x\A\cup B'de \değil.}$${\görüntüleme stili f(x)\neq 0}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus A,}$${\displaystyle U:=\mathbb {R} ^{n}\setminus A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$${\ Displaystyle B\subseteq U}$${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle {\overline {U}}.}$

Özellikler ve kullanımlar

Tümsek fonksiyonları düzgün olsa da, bunlar olamaz analitik onlar sürece kaybolur aynı []. Bu, özdeşlik teoreminin basit bir sonucudur . Çarpma işlevleri genellikle yumuşatıcılar olarak , düzgün kesme işlevleri olarak ve birliğin düzgün

bölümlerini oluşturmak için kullanılır . Analizde kullanılan en yaygın test fonksiyonları sınıfıdır . Çarpma fonksiyonlarının alanı birçok işlemde kapalıdır. Örneğin , iki çarpma fonksiyonunun toplamı, çarpımı veya evrişimi yine bir çarpma fonksiyonudur ve yumuşak katsayıları olan herhangi bir diferansiyel operatör , bir çarpma fonksiyonuna uygulandığında, başka bir çarpma fonksiyonu üretecektir.

Bump işlev alanının sınırları ise , "pürüzsüzlük" gereksinimini yerine getirmek için tüm türevlerinin sürekliliğini korumak zorundadır, bu da etki alanının sınırlarında aşağıdaki gereksinime yol açar: ${\görüntüleme stili \kısmi x}$

$${\displaystyle \lim _{x\to \partial x^{\pm }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=0,\,\forall n\ geq 0,\,n\in \mathbb {Z} }$$

Fourier dönüşümü bir yumru fonksiyonunun (Gerçek) analitik fonksiyonudur, ve bütün kompleks düzleme uzatılabilir: sıfır değilse, bu nedenle kompakt sadece tüm analitik yumru fonksiyonu için, desteklenemiyor sıfır fonksiyonu (bakınız, Paley-Wiener teoremi ve Liouville teoremi ). Çarpma işlevi sonsuz türevlenebilir olduğundan, Fourier dönüşümünün büyük bir açısal frekans için herhangi bir sonlu gücünden daha hızlı bozunması gerekir . Belirli bir çarpma fonksiyonunun Fourier dönüşümü ${\ Displaystyle 1/k}$${\görüntüleme stili |k|}$

$${\displaystyle \Psi (x)=e^{-{\frac {1}{1-x^{2}}}}\mathbf {1} _{\{|x|<1\}}}$$

yukarıdan bir eyer noktası yöntemiyle analiz edilebilir ve asimptotik olarak bozulur

$${\displaystyle |k|^{-{\frac {3}{4}}}e^{-{\sqrt {|k|}}}}$$

büyük için . ${\görüntüleme stili |k|}$

Ayrıca bakınız

• kesme işlevi
• Göstergenin Laplasiyen
• Analitik olmayan düzgün fonksiyon  – Pürüzsüz fakat analitik olmayan matematiksel fonksiyonlar
• Schwartz uzayı  – Türevleri hızla azalan tüm fonksiyonların fonksiyon uzayı

alıntılar

Referanslar

• Nestruev, Jet (10 Eylül 2020). Düzgün Manifoldlar ve Gözlenebilirler . Matematikte Lisansüstü Metinler . 220 . Cham, İsviçre: Springer Doğa . ISBN'si 978-3-030-45649-8. OCLC  1195920718 .CS1 bakımı: tarih ve yıl ( bağlantı )