sinüs yasası - Law of sines

Sinüs Yasası

çember olmadan

Sinüs yasasının bileşenleriyle etiketlenmiş iki üçgen.

α

,

β

ve

γ

sırasıyla büyük

A

,

B

ve

C'deki

köşelerle ilişkili açılardır . Küçük harf

a

,

b

ve

c

karşılarındaki kenarların uzunluklarıdır. (

a

,

α'nın

tersidir , vb.)

Olarak trigonometri , sinüs yasası , sinüs yasası , sinüs formül veya sinüs kural bir olduğu denklemi ile ilgili uzunlukları bir kenarlarının üçgen (herhangi bir şekli) sinüs onun açıların. Yasaya göre,

{\frac {a}{\sin {\alpha }}}\,=\,{\frac {b}{\sin {\beta }}}\,=\,{\frac {c}{ \sin {\gamma }}}\,=\,2R,

burada

bir, b

ve

c

bir üçgenin kenarlarının uzunlukları ve vardır

α, β

ve

γ

zıt açıları ise, (sağa şekle bakınız)

R,

olduğu yarıçap üçgenin bir circumcircle . Denklemin son kısmı kullanılmadığında, yasa bazen karşılıklı olarak ifade edilir ;

{\frac {\sin {\alpha }}{a}}\,=\,{\frac {\sin {\beta }}{b}}\,=\,{\frac {\sin { \gamma }}{c}}.

Sinüs yasası, iki açı ve bir kenar bilindiğinde bir üçgenin kalan kenarlarını hesaplamak için kullanılabilir; bu teknik nirengi olarak bilinir . İki kenar ve kapalı olmayan açılardan biri bilindiğinde de kullanılabilir. Bu gibi bazı durumlarda, üçgen bu verilerle ( belirsiz durum olarak adlandırılır ) benzersiz bir şekilde belirlenmez ve teknik, kapalı açı için iki olası değer verir.

Sinüs yasası, skalen üçgenlerde uzunlukları ve açıları bulmak için yaygın olarak uygulanan iki trigonometrik denklemden biridir , diğeri ise kosinüs yasasıdır .

Sinüs yasası, sabit eğriliğe sahip yüzeylerde daha yüksek boyutlara genelleştirilebilir.

Tarih

Ubiratàn D'Ambrosio ve Helaine Selin'e göre , sinüslerin küresel yasası 10. yüzyılda keşfedildi. Abu-Mahmud Khojandi , Abu al-Wafa' Buzjani , Nasir al-Din al-Tusi ve Abu Nasr Mansur'a çeşitli şekillerde atfedilir .

İbn Mu'adh el-Jayyānī 's kürenin bilinmeyen arklar kitap 11. yüzyılda sinüs genel yasasını içerir. Sinüslerin düzlem yasası daha sonra 13. yüzyılda Nasīr al-Dīn et-Tūsī tarafından belirtildi . On the Sector Figure adlı eserinde düzlem ve küresel üçgenler için sinüs yasasını belirtmiş ve bu yasanın kanıtlarını sunmuştur.

Göre Glen Van Brummelen , "Sines Kanunu gerçekten Regiomontanus'un Kitap IV dik açılar şeklinde yaptığı çözümleri için 'ın temeli ve bu çözümler genel üçgenler onun çözümleri için üsler açmak içinde olan." Regiomontanus, 15. yüzyıldan kalma bir Alman matematikçiydi.

Kanıt

Herhangi bir üçgenin alanı $T$ , tabanının yarısı ile yüksekliğinin çarpımı olarak yazılabilir. Üçgenin bir kenarı taban olarak seçildiğinde, üçgenin o tabana göre yüksekliği, diğer kenarın uzunluğu çarpı seçilen kenar ile taban arasındaki açının sinüsü olarak hesaplanır. Böylece taban seçimine bağlı olarak üçgenin alanı şu şekilde yazılabilir:

T={\frac {1}{2}}b\left(c\sin {\alpha }\right)={\frac {1}{2}}c\left(a\sin {\beta) }\sağ)={\frac {1}{2}}a\sol(b\sin {\gamma }\sağ).

Bunları çarparak

.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} 2/ABC

verir

{\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin {\alpha }}{a}}={\frac {\sin {\beta}}{b}}={\frac { \sin {\gamma }}{c}}\,.

Üçgen çözümünün belirsiz durumu

Bir üçgenin kenarını bulmak için sinüs yasasını kullanırken, sağlanan verilerden iki ayrı üçgen oluşturulabildiğinde belirsiz bir durum ortaya çıkar (yani, üçgenin iki farklı olası çözümü vardır). Aşağıda gösterilen durumda bunlar $ABC$ ve $ABC'$ üçgenleridir .

Genel bir üçgen verildiğinde, durumun belirsiz olması için aşağıdaki koşulların yerine getirilmesi gerekir:

Üçgen hakkında bilinen tek bilgi $α$ açısı ve $a$ ve $c$ kenarlarıdır .
Açısı $α$ olan akut (yani $α$ <90 °).
Yan $bir$ tarafı daha kısadır $c$ (yani, $bir < c$ ).
Yan $bir$ uzun yüksekliği daha $h$ açısı ile ilgili $p$ , burada $h = C sin α$ (yani, $bir > h$ ).

Yukarıdaki koşulların tümü doğruysa, $β$ ve $β'$ açılarının her biri geçerli bir üçgen üretir, bu da aşağıdakilerin her ikisinin de doğru olduğu anlamına gelir:

{\gamma }'=\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}\quad {\text{veya}}\quad {\gamma }=\pi -\arcsin {\ frac {c\sin {\alpha }}{a}}.

Buradan, gerekirse karşılık gelen $β$ ve $b'yi$ veya $β'$ ve $b'yi bulabiliriz$ , burada $b$ , $A$ ve $C$ köşeleriyle sınırlanan taraftır ve $b'$ , $A$ ve $C'$ ile sınırlanır .

Örnekler

Aşağıda sinüs yasasını kullanarak bir problemin nasıl çözüleceğine dair örnekler verilmiştir.

örnek 1

Verilen: Yan $bir = 20$ , yan $c = 24$ , ve açı $γ = 40 °$ . $α$ açısı istenmektedir.

Sinüs yasasını kullanarak, şu sonuca varıyoruz:

{\frac {\sin \alpha }{20}}={\frac {\sin(40^{\circ })}{24}}.

\alpha =\arcsin \left({\frac {20\sin(40^{\circ })}{24}}\right)\yaklaşık 32.39^{\circ }.

Potansiyel çözümün $α = 147.61°$ hariç tutulduğuna dikkat edin, çünkü bu mutlaka $α + β + γ > 180° verir$ .

Örnek 2

Üçgen iki yanı uzunlukları ise $a$ ve $b$ eşittir $x$ , üçüncü yan uzunluğu olan $c$ ve uzunlukları iki zıt açıları $bir$ , $b$ , ve $c$ olan $α$ , $β$ ve $γ$ sonra sırasıyla

{\begin{hizalı}&\alpha =\beta ={\frac {180^{\circ }-\gamma }{2}}=90^{\circ }-{\frac {\gamma }{ 2}}\\[6pt]&\sin \alpha =\sin \beta =\sin \left(90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\right)=\cos \left ({\frac {\gamma }{2}}\sağ)\\[6pt]&{\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {a}{\sin \alpha }}}={ \frac {x}{\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\sağ)}}\\[6pt]&{\frac {c\cos \left({\frac {\gamma } {2}}\sağ)}{\sin \gamma }}=x\end{hizalı}}

Çevre ile ilişkisi

kimlikte

{\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}} ,

Üç fraksiyonların ortak değeri aslında çapı üçgenin içinde circumcircle . Bu sonuç, Batlamyus'a kadar uzanır .

Çevreleyen çapa eşit sinüs yasasının oranının türetilmesi.

ADB

üçgeninin ,

d

çaplı çevreleyen çemberin merkezinden geçtiğine dikkat edin .

Kanıt

Şekilde gösterildiği gibi , dairenin merkezinden geçen yazılı bir daire ve bir tane yazılı daire olsun O . Bir sahip merkez açısı bölgesinin ve böylece . Yana bir dik üçgen olduğunu, ${\ Displaystyle \ ABC üçgeni}$ ${\ Displaystyle \ üçgen ADB}$ ${\görüntüleme stili \açı AOD}$ ${\ Displaystyle 180^{\circ }}$ $\açı ABD=90^{\circ }$ $\üçgen ABD$

\sin {\delta }={\frac {\text{karşı}}{\text{hipotenüs}}}={\frac {c}{2R}},

üçgenin çevreleyen çemberinin yarıçapı nerede . Açılar ve aynı merkez açıya sahip oldukları için aynıdırlar: . Öyleyse,

R={\frac {d}{2}}

{\görüntüleme stili {\gama }}

{\görüntüleme stili {\delta }}

{\görüntüleme stili {\gama }={\delta }}

\sin {\delta }=\sin {\gamma }={\frac {c}{2R}}.

Verimleri yeniden düzenleme

2R={\frac {c}{\sin {\gamma }}}.

Diğer noktalarla oluşturma işlemini tekrarlamak, ${\ Displaystyle \ üçgen ADB}$

${\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}} =2R.$

Üçgenin alanıyla ilişkisi

Bir üçgenin alanı ile verilir , burada

a

ve

b

uzunluklarının kenarlarının çevrelediği açıdır . Sinüs yasasını bu denklemde yerine koyarsak,

{\textstyle T={\frac {1}{2}}ab\sin \theta }

{\görüntüleme stili \teta}

T={\frac {1}{2}}ab\cdot {\frac {c}{2R}}.

Alarak sancı yarıçapı olarak, ${\görüntüleme stili R}$

$T={\frac {abc}{4R}}.$

Bu eşitliğin ima ettiği de gösterilebilir.

{\begin{hizalanmış}{\frac {abc}{2T}}&={\frac {abc}{2{\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}}}\\[ 6pt]&={\frac {2abc}{\sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2}-2(a^{4}+b^ {4}+c^{4})}}},\end{hizalanmış}}

burada

T

üçgenin alanı ve

s

olan semiperimeter

{\textstyle s={\frac {a+b+c}{2}}.}

Yukarıdaki ikinci eşitlik, Heron'un alan

formülünü kolayca basitleştirir .

Sinüs kuralı, üçgenin alanı için aşağıdaki formülün türetilmesinde de kullanılabilir: Açıların sinüslerinin yarı toplamını şu şekilde gösterirsek , elimizde ${\textstyle S={\frac {\sin A+\sin B+\sin C}{2}}}$

$T=4R^{2}{\sqrt {S\sol(S-\sin A\sağ)\sol(S-\sin B\sağ)\sol(S-\sin C\sağ)}}$

çemberin yarıçapı nerede : . ${\görüntüleme stili R}$ ${\textstyle 2R={\frac {a}{\sin A}}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}}$

Sinüslerin küresel yasası

Küresel sinüs yasası, kenarları büyük dairelerin yayları olan bir küre üzerindeki üçgenlerle ilgilidir .

Kürenin yarıçapının 1 olduğunu varsayalım. $a$ , $b$ ve $c$ üçgenin kenarları olan büyük yayların uzunlukları olsun. Birim küre olduğu için, $a$ , $b$ ve $c$ kürenin merkezindeki bu yayların gördüğü açılardır, radyan cinsinden. Let $A$ , $B$ , ve $C$ , bu karşılık gelen iki zıt açıları olacak. Bunlar , üç büyük dairenin düzlemleri arasındaki dihedral açılardır .

O zaman küresel sinüs yasası şöyle der:

{\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.

vektör kanıtı

$OA$ , $OB$ ve $OC olmak$ üzere üç birim vektörü üçgenin orijinden köşelerine çizilen bir birim küre düşünün . Böylece $α$ , $β$ ve $γ$ açıları sırasıyla $a$ , $b$ ve $c$ açılarıdır. $BC$ yayı , merkezde $a$ büyüklüğünde bir açıya sahiptir . İle bir Kartezyen temel tanıtılması $OA$ boyunca $z$ -Axis ve $OB$ içinde $xz$ bir açı yaparak -plane $c$ ile $Z$ -Axis. Vektör $OC$ için projeler $ON$ içinde $xy$ -plane arasındaki açı $ON$ ve $x$ -Axis olan $bir$ . Bu nedenle, üç vektörün bileşenleri vardır:

\mathbf {OA} ={\başlangıç{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OB} ={\başlangıç{pmatrix}\sin c\\0\ \\cos c\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OC} ={\begin{pmatrix}\sin b\cos A\\\sin b\sin A\\\cos b\end{pmatrix}} .

Karma çarpımlar , $OA \cdot (OB x OC)$ hacmi bir paralel küresel üçgenin köşe konum vektörleri tarafından oluşturulan $OA$ , $OB$ ve $OC$ . Bu hacim, $OA$ , $OB$ ve $OC'yi$ temsil etmek için kullanılan belirli koordinat sistemine göre değişmezdir .

OA

\cdot (

OB

\times

OC

)

skaler üçlü çarpımının değeri , satırları

OA

,

OB

ve

OC

olmak üzere

3 \times 3

determinantıdır . İle

z

boyunca -Axis

OA

bu determinant karedir

{\begin{aligned}{\bigl (}\mathbf {OA} \cdot (\mathbf {OB} \times \mathbf {OC} ){\bigr )}^{2}&=\left(\ det {\begin{pmatrix}\mathbf {OA} &\mathbf {OB} &\mathbf {OC} \end{pmatrix}}\right)^{2}\\[4pt]&={\begin{vmatrix} 0&0&1\\\sin c&0&\cos c\\\sin b\cos A&\sin b\sin A&\cos b\end{vmatrix}}^{2}=\left(\sin b\sin c\sin A\ sağ)^{2}.\end{hizalanmış}}

Bu hesaplama tekrarlanması

z

boyunca -Axis

OB

verir

(sin c sin bir sin B) 2

ile birlikte,

z

boyunca -Axis

°

o

(sin bir sin B sin C) 2

. Bu ifadeleri eşitlemek ve baştan sona

(sin a sin b sin c) 2'ye

bölmek , şunu verir:

{\frac {\sin ^{2}A}{\sin ^{2}a}}={\frac {\sin ^{2}B}{\sin ^{2}b}}={ \frac {\sin ^{2}C}{\sin ^{2}c}}={\frac {V^{2}}{\sin ^{2}(a)\sin ^{2}(b) )\sin ^{2}(c)}},

burada

V

, küresel üçgenin köşelerinin konum vektörü tarafından oluşturulan paralel yüzün hacmidir . Sonuç olarak, aşağıdaki gibidir.

Küçük küresel üçgenler için, kürenin yarıçapı üçgenin kenarlarından çok daha büyük olduğunda, bu formülün sınırda düzlemsel formül haline geldiğini görmek kolaydır, çünkü

\lim _{a\to 0}{\frac {\sin a}{a}}=1

ve aynısı

sin b

ve

sin c için de geçerlidir

.

geometrik kanıt

Aşağıdakileri içeren bir birim küre düşünün:

OA=OB=OC=1

Öyle bir nokta ve nokta oluşturun ki ${\görüntüleme stili D}$ ${\görüntüleme stili E}$ $\açı ADO=\açı AEO=90^{\circ }$

Noktayı şu şekilde oluştur ${\görüntüleme stili A'}$ $\angle A'DO=\angle A'EO=90^{\circ }$

Bu nedenle görülebilir ve $\açı ADA'=B$ ${\görüntüleme stili \açı AEA'=C}$

Bunun uçaktaki izdüşümü olduğuna dikkat edin . Öyleyse ${\görüntüleme stili A'}$ ${\görüntüleme stili A}$ ${\görüntüleme stili OBC}$ $\angle AA'D=\angle AA'E=90^{\circ }$

Temel trigonometri ile şunları elde ederiz:

{\ Displaystyle AD=\sin c}

AE=\sin b

Fakat $AA'=AD\sin B=AE\sin C$

Onları birleştirerek elimizde:

\sin c\sin B=\sin b\sin C

{\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}

Benzer akıl yürütmeyi uygulayarak küresel sinüs yasasını elde ederiz:

{\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}

Diğer kanıtlar

Kosinüslerin küresel yasasından tamamen cebirsel bir kanıt oluşturulabilir . Kosinüslerin küresel yasasının özdeşliğinden ve açık ifadesinden $\sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A$ ${\ Displaystyle \ çünkü A}$

{\begin{aligned}\sin ^{2}\!A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\,\cos c}{\sin b\,\sin c) }}\right)^{2}\\&={\frac {\left(1-\cos ^{2}\!b\right)\left(1-\cos ^{2}\!c\right) )-\left(\cos a-\cos b\,\cos c\sağ)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\ [8pt]{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {\left[1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c\sağ]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{hizalanmış}}

Sağ taraf, küresel sinüs kuralının döngüsel bir permütasyonu altında değişmez olduğu için hemen takip eder.

{\görüntüleme stili a,\;b,\;c}

Yukarıdaki Geometrik ispatta kullanılan şekil, temel lineer cebir ve izdüşüm matrislerini kullanarak sinüs yasasını türetmek için Banerjee tarafından kullanılır ve ayrıca Banerjee'de sağlanır (bu makaledeki Şekil 3).

hiperbolik durum

Olarak hiperbolik geometrisi eğrilik olduğunda -1, sinüs kanunu olur

{\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}}\,.

$B'nin$ dik açı olduğu özel durumda ,

\sin C={\frac {\sinh c}{\sinh b}}

Bu, Öklid geometrisindeki bir açının sinüsünü hipotenüse bölünen karşı taraf olarak ifade eden formülün analogudur.

Sabit eğrilikli yüzeylerin durumu

$K$ gerçek parametresine de bağlı olarak genelleştirilmiş bir sinüs işlevi tanımlayın :

\sin _{K}x=x-{\frac {Kx^{3}}{3!}}+{\frac {K^{2}x^{5}}{5!}}- {\frac {K^{3}x^{7}}{7!}}+\cdots .

Sabit eğrilik $K'de$ sinüs yasası şöyle okunur

{\frac {\sin A}{\sin _{K}a}}={\frac {\sin B}{\sin _{K}b}}={\frac {\sin C}{ \sin _{K}c}}\,.

İle değiştirilmesi ile, $K = 0$ , $K = 1$ , ve $K = -1$ , bir elde eder, sırasıyla sinüs yasasının Öklid, küresel ve hiperbolik durumlarda, yukarıda tarif edilen.

Let $s K (R)$ yarıçaplı bir daire çevresi gösterir $r$ sabit eğrilikte bir boşluk içinde $K$ . O halde $p K (r) = 2 π sin K r$ . Bu nedenle, sinüs yasası şu şekilde de ifade edilebilir:

{\frac {\sin A}{p_{K}(a)}}={\frac {\sin B}{p_{K}(b)}}={\frac {\sin C}{ p_{K}(c)}}\,.

Bu formülasyon János Bolyai tarafından keşfedilmiştir .

Daha yüksek boyutlar

Bir için $n-$ boyutlu simplex (yani üçgen ( $n = 2$ ), dört yüzlü ( $n = 3$ ), pentatope ( $n = 4$ ), ve saire) içinde $, n$ boyutlu Öklid alan , mutlak değer arasında polar sinüs ( $psin$ ) arasında , normal vektörlerin arasında yönü bir buluşması tepe tepe karşısında faset hyperarea bölünmesi, tepe noktası seçimi bağımsızdır. Yazma $V$ bölgesinin hypervolume için $n$ boyutlu tek ve $p$ barındırmayan hyperareas ürün için $(n - 1)$ boyutlu yönleri, ortak oranı

{\frac {(nV)^{n-1}}{(n-1)!P}}.

Örneğin, bir tetrahedron dört üçgen yüze sahiptir. Bir tepeyi paylaşan üç yüze normal vektörlerin kutupsal sinüsünün mutlak değeri, dördüncü yüzün alanına bölünmesiyle tepe noktasının seçimine bağlı olmayacaktır: