trigonometrik fonksiyonların türevi - Differentiation of trigonometric functions

Trigonometri
anahat Tarih kullanım Fonksiyonlar  ( ters ) genelleştirilmiş trigonometri
Referans
kimlikler Kesin sabitler Tablolar Birim çember
Kanunlar ve teoremler
sinüsler kosinüsler teğetler kotanjantlar Pisagor teoremi
kalkülüs
trigonometrik ikame İntegraller  ( ters fonksiyonlar ) türevler
v T e

İşlev	Türev
${\görüntüleme stili \sin(x)}$	${\görüntüleme stili \cos(x)}$
${\görüntüleme stili \cos(x)}$	${\görüntüleme stili -\sin(x)}$
${\görüntüleme stili \tan(x)}$	${\görüntüleme stili \sn ^{2}(x)}$
${\görüntüleme stili \cot(x)}$	${\displaystyle -\csc ^{2}(x)}$
${\görüntüleme stili \sn(x)}$	${\görüntüleme stili \sec(x)\tan(x)}$
${\görüntüleme stili \csc(x)}$	${\görüntüleme stili -\csc(x)\cot(x)}$
${\görüntüleme stili \arcsin(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\görüntüleme stili \arccos(x)}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\görüntüleme stili \arctan(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+1}}}$
${\ Displaystyle \ operatör adı {arccot}(x)}$	${\displaystyle -{\frac {1}{x^{2}+1}}}$
${\görüntüleme stili \operatöradı {arcsec}(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$
${\görüntüleme stili \operatöradı {arccsc}(x)}$	${\displaystyle -{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Trigonometrik fonksiyonların türevleri bulmak matematiksel bir süreçtir türevinin a trigonometrik fonksiyonların bir değişkene göre, ya da değişim oranına. Örneğin, sinüs fonksiyonunun türevi sin'( a ) = cos( a ) şeklinde yazılır , yani belirli bir x = a açısında sin( x )' in değişim hızı o açının kosinüsü tarafından verilir.

Dairesel trigonometrik fonksiyonların tüm türevleri, tan( x ) = sin( x )/cos( x ) gibi fonksiyonlara uygulanan bölüm kuralı aracılığıyla sin( x ) ve cos( x ) türevlerinden bulunabilir . Bu türevlerin bilerek, türevleri ters trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak bulunan kapalı farklılaşma .

Trigonometrik fonksiyonların türevlerinin kanıtları

Sin(θ)/θ limiti, θ 0'a eğilim gösterdiğinden

Sağdaki diyagram O merkezli ve r = 1 yarıçaplı bir daireyi göstermektedir. İki OA ve OB yarıçapının θ radyanlık bir yay yapmasına izin verin . Biz sınırı ile ilgilenildiği θ sıfır eğilimi, varsayabiliriz θ küçük pozitif bir sayıdır, birinci kadran 0 <θ <½ π demek.

Diyagramda, izin R ' ₁ üçgen OAB , R' ₂ , dairesel sektör AAM ve R ' ₃ üçgen OAC . Üçgen alanı AAM geçerli:

${\displaystyle \mathrm {Alan} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \teta \,.}$

Dairesel sektör alanı AAM olan üçgen alanı ise, OAC verilir ${\displaystyle \mathrm {Alan} (R_{2})={\tfrac {1}{2}}\theta}$

${\displaystyle \mathrm {Alan} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \, .}$

Her bölge bir sonrakinde yer aldığından, birinde şunlar bulunur:

${\displaystyle {\text{Alan}}(R_{1})<{\text{Alan}}(R_{2})<{\text{Alan}}(R_{3})\ima eder {\tfrac { 1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,}$

Ayrıca, birinci çeyrekte sin θ > 0 olduğundan , şunu vererek ½ sin θ ile bölebiliriz :

${\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implies 1>{\frac {\sin \theta }{\theta } }>\cos \theta \,.}$

Son adımda, eşitsizlikleri tersine çevirerek üç pozitif terimin karşılıklarını aldık.

Yaptığımız tespitler için 0 <θ <½ π, miktar sin ( θ ) / θ olduğu zaman daha az 1'den ve her zaman cos (θ) büyük. Böylece, θ 0'a yaklaştıkça, sin( θ )/ θ , 1 yüksekliğindeki bir tavan ile 1'e doğru yükselen cos θ yüksekliğindeki bir zemin arasında " sıkışır " ; dolayısıyla sin( θ )/ θ 1'e eğilimli olmalıdır, çünkü θ pozitif taraftan 0'a eğilimlidir:

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.}$

Durum için θ küçük negatif bir sayı olan -½ π <θ <0 ise, sinüs bir olduğu gerçeğini kullanımı tek fonksiyonu :

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{-}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ \lim _{\teta \to 0^{+}} \!{\frac {\sin(-\teta )}{-\teta }}\ =\ \lim _{\teta \to 0^{+}}\!{\frac {-\sin \theta }{ -\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ 1\,.}$

(cos(θ)-1)/θ limiti, θ 0'a eğilim gösterdiğinden

Son bölüm, bu yeni limiti nispeten kolay bir şekilde hesaplamamızı sağlar. Bu basit bir numara kullanılarak yapılır. Bu hesaplamada θ'nin işareti önemsizdir.

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\sağ)\!\!\sol({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\sağ)\ =\ \ lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1)}}.}$

Kullanma cos ² İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin - 1 = -sin ² İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin , bir ürünün sınır sınırları ürünü ve önceki bölümden sınır sonucu olduğu gerçeği, söz konusu olacaktır:

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\teta \to 0}\,{\frac { -\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta+1)}}\ =\ \left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{ \theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\sağ)\ =\ (- 1)\sol({\frac {0}{2}}\sağ)=0\,.}$

Tan(θ)/θ limiti, θ 0'a eğilimlidir

Sinüs fonksiyonu için limiti kullanarak, teğet fonksiyonun tek olduğu gerçeğini ve bir çarpım limitinin limitlerin çarpımı olduğu gerçeğini kullanarak şunları buluruz:

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \ teta }{\teta }}\sağ)\!\sol(\lim _{\teta \to 0}{\frac {1}{\cos \theta }}\sağ)\ =\ (1)(1) \ =\ 1\,.}$

sinüs fonksiyonunun türevi

Biz türevinin hesaplanması sinüs fonksiyonu ile ilgili sınır tanımı :

${\displaystyle {\frac {\operatöradı {d} }{\operatöradı {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin(\ teta +\delta )-\sin \teta }{\delta }}.}$

sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α açı toplama formülünü kullanarak şunları elde ederiz:

${\displaystyle {\frac {\operatöradı {d} }{\operatöradı {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \sağ).}$

Sinüs ve kosinüs fonksiyonları için limitleri kullanma :

${\displaystyle {\frac {\operatöradı {d} }{\operatöradı {d} \!\theta }}\,\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \teta \,.}$

kosinüs fonksiyonunun türevi

Türev tanımından

Yine limit tanımından kosinüs fonksiyonunun türevini hesaplıyoruz :

${\displaystyle {\frac {\operatöradı {d} }{\operatöradı {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\ teta +\delta )-\cos \teta }{\delta }}.}$

cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β açı toplama formülünü kullanarak şunları elde ederiz:

${\displaystyle {\frac {\operatöradı {d} }{\operatöradı {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\ \delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \sağ).}$

Sinüs ve kosinüs fonksiyonları için limitleri kullanma :

${\displaystyle {\frac {\operatöradı {d} }{\operatöradı {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\ günah \theta \,.}$

Zincir kuralından

Zincir kuralından kosinüs fonksiyonunun türevini hesaplamak için önce aşağıdaki üç gerçeği gözlemleyin:

${\displaystyle \cos \theta =\sin \sol({\tfrac {\pi }{2}}-\teta \sağ)}$

${\displaystyle \sin \theta =\cos \sol({\tfrac {\pi }{2}}-\teta \sağ)}$

${\displaystyle {\tfrac {\operatöradı {d} }{\operatöradı {d} \!\theta }}\sin \theta =\cos \theta }$

Birincisi ve ikincisi trigonometrik kimliklerdir ve üçüncüsü yukarıda kanıtlanmıştır. Bu üç gerçeği kullanarak aşağıdakileri yazabiliriz,

${\displaystyle {\tfrac {\operatöradı {d} }{\operatöradı {d} \!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operatöradı {d} }{\operatöradı {d} \!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \sağ)}$

Bunu zincir kuralı kullanarak ayırt edebiliriz . İzin vermek , elimizde: ${\displaystyle f(x)=\sin x,\ \ g(\teta )={\tfrac {\pi }{2}}-\teta }$

${\displaystyle {\tfrac {\operatöradı {d} }{\operatöradı {d} \!\theta }}f\!\left(g\!\left(\theta \sağ)\sağ)=f^{\ asal }\!\left(g\!\left(\theta \sağ)\sağ)\cdot g^{\prime }\!\left(\theta \sağ)=\cos \left({\tfrac {\ pi }{2}}-\teta \sağ)\cdot (0-1)=-\sin \theta }$.

Bu nedenle, bunu kanıtladık

${\displaystyle {\tfrac {\operatöradı {d} }{\operatöradı {d} \!\theta }}\cos \theta =-\sin \theta }$.

Tanjant fonksiyonunun türevi

Türev tanımından

Tanjant fonksiyonunun tan θ türevini hesaplamak için ilk ilkeleri kullanırız . Tanım olarak:

${\displaystyle {\frac {\operatöradı {d} }{\operatöradı {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\ tan(\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\sağ).}$

İyi bilinen tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β) açı formülünü kullanarak şunları elde ederiz:

${\displaystyle {\frac {\operatöradı {d} }{\operatöradı {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {{ \frac {\tan \theta +\tan \delta {1-\tan \theta \tan \delta }}-\tan \theta }{\delta }}\sağ]=\lim _{\delta \to 0 }\left[{\frac {\tan \theta +\tan \delta -\tan \theta +\tan ^{2}\theta \tan \delta }{\delta \left(1-\tan \theta \tan \delta \sağ)}}\sağ].}$

Bir ürünün limitinin limitlerin ürünü olduğu gerçeğini kullanarak:

${\displaystyle {\frac {\operatöradı {d} }{\operatöradı {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }}\tan \theta \tan \delta }}\ sağ).}$

Tanjant işlevi için limiti ve tan δ'nin 0'a eğilim gösterdiği gerçeği, δ 0'a eğilim gösterir:

${\displaystyle {\frac {\operatöradı {d} }{\operatöradı {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1\times {\frac {1+\tan ^{2}\theta } {1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .}$

Hemen görüyoruz ki:

${\displaystyle {\frac {\operatöradı {d} }{\operatöradı {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{ \cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta \,.}$

bölüm kuralından

Bölüm kuralı kullanılarak tanjant fonksiyonunun türevi de hesaplanabilir .

${\displaystyle {\frac {\operatöradı {d} }{\operatöradı {d} \!\theta }}\tan \theta ={\frac {\operatöradı {d} }{\operatöradı {d} \!\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\sol(\sin \theta \sağ)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \ cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}}$

Pay, Pisagor kimliğiyle 1'e sadeleştirilebilir , bize şunu verir:

${\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta }$

Öyleyse,

${\displaystyle {\frac {\operatöradı {d} }{\operatöradı {d} \!\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta }$

Ters trigonometrik fonksiyonların türevlerinin kanıtları

Aşağıdaki türevler , türevini almak istediğimiz ters trigonometrik fonksiyona eşit bir y değişkeni ayarlayarak bulunur. Örtük türev kullanarak ve sonra dy / dx için çözerek , ters fonksiyonun türevi y cinsinden bulunur . dy / dx'i x cinsinden yeniden varlığa dönüştürmek için, birim çembere bir referans üçgeni çizebilir ve θ'yi y olarak kabul edebiliriz. Pisagor teoremini ve düzenli trigonometrik fonksiyonların tanımını kullanarak, sonunda dy / dx'i x cinsinden ifade edebiliriz .

Ters sinüs fonksiyonunun ayırt edilmesi

izin verdik

${\displaystyle y=\arcsin x\,\!}$

Nereye

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}}$

Sonra

${\görüntüleme stili \sin y=x\,\!}$

Her iki tarafa göre türevi almak ve dy/dx'i çözmek: ${\görüntüleme stili x}$

${\displaystyle {d \dx üzerinde}\sin y={d \dx üzerinde}x}$

${\displaystyle \cos y\cdot {dy \dx üzerinden}=1\,\!}$

İkame yukarıdan, ${\displaystyle \cos y={\sqrt {1-\sin ^{2}y}}}$

${\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}y}}\cdot {dy \dx üzerinden}=1}$

İkame yukarıdan, ${\displaystyle x=\sin y}$

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \dx üzerinden}=1}$

${\displaystyle {dy \dx üzerinden}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

Ters kosinüs fonksiyonunun türevini alma

izin verdik

${\görüntüleme stili y=\arccos x\,\!}$

Nereye

${\displaystyle 0\leq y\leq \pi }$

Sonra

${\görüntüleme stili \çünkü y=x\,\!}$

Her iki tarafa göre türevi almak ve dy/dx'i çözmek: ${\görüntüleme stili x}$

${\displaystyle {d \dx üzerinde}\cos y={d \dx üzerinde}x}$

${\displaystyle -\sin y\cdot {dy \dx üzerinden}=1}$

İkame yukarıdan içinde, biz olsun ${\displaystyle \sin y={\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\,\!}$

${\displaystyle -{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\cdot {dy \dx üzerinden}=1}$

İkame yukarıdan içinde, biz olsun ${\görüntüleme stili x=\çünkü y\,\!}$

${\displaystyle -{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \dx üzerinden}=1}$

${\displaystyle {dy \dx üzerinden}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

Alternatif olarak, türevi belirlendikten sonra , özdeşliğin türevlenmesiyle türevi hemen takip eder, böylece . ${\görüntüleme stili \arcsin x}$${\görüntüleme stili\arccos x}$${\displaystyle \arcsin x+\arccos x=\pi /2}$${\görüntüleme stili (\arccos x)'=-(\arcsin x)'}$

Ters tanjant fonksiyonunun türevini alma

izin verdik

${\görüntüleme stili y=\arctan x\,\!}$

Nereye

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}$

Sonra

${\görüntüleme stili \tan y=x\,\!}$

Her iki tarafa göre türevi almak ve dy/dx'i çözmek: ${\görüntüleme stili x}$

${\displaystyle {d \dx üzerinde}\tan y={d \dx üzerinde}x}$

Sol Taraf:

${\displaystyle {d \dx üzerinde}\tan y=\sec ^{2}y\cdot {dy \dx üzerinde}=(1+\tan ^{2}y){dy \dx üzerinde}}$ Pisagor kimliğini kullanarak

Sağ Taraf:

${\displaystyle {d \dx üzerinden}x=1}$

Öyleyse,

${\displaystyle (1+\tan ^{2}y){dy \over dx}=1}$

İkame yukarıdan içinde, biz olsun ${\displaystyle x=\tan y\,\!}$

${\displaystyle (1+x^{2}){dy \dx üzerinden}=1}$

${\displaystyle {dy \dx üzerinden}={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

Ters kotanjant fonksiyonunun türevini alma

izin verdik

${\displaystyle y=\operatör adı {arccot} x}$

nerede . Sonra ${\görüntüleme stili 0<y<\pi }$

${\ Displaystyle \ karyolası y=x}$

Her iki tarafa göre türevi almak ve dy/dx'i çözmek: ${\görüntüleme stili x}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot y={\frac {d}{dx}}x}$

Sol Taraf:

${\displaystyle {d \dx üstü}\cot y=-\csc ^{2}y\cdot {dy \dx üstü}=-(1+\cot ^{2}y){dy \dx üstü}}$ Pisagor kimliğini kullanarak

Sağ Taraf:

${\displaystyle {d \dx üzerinden}x=1}$

Öyleyse,

${\displaystyle -(1+\cot ^{2}y){\frac {dy}{dx}}=1}$

değiştirme , ${\displaystyle x=\karton y}$

${\displaystyle -(1+x^{2}){\frac {dy}{dx}}=1}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}$

Ters sekant fonksiyonunun ayırt edilmesi

Örtük farklılaşmayı kullanma

İzin vermek

${\displaystyle y=\operatör adı {arcsec} x\ \ |x|\geq 1}$

Sonra

${\displaystyle x=\sec y\ \ y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\ pi \sağ]}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=\sec y\tan y=|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

(Y aralığındaki sekant ve tanjantın çarpımı her zaman negatif olmadığı için ifadedeki mutlak değer gereklidir, oysa radikal asal karekök tanımı gereği her zaman negatif değildir, bu nedenle kalan faktör de negatif olmamalıdır, yani x'in mutlak değeri kullanılarak elde edilir.) ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Zincir kuralını kullanma

Alternatif olarak, arksekantın türevi, zincir kuralı kullanılarak arkkozin türevinden türetilebilir .

İzin vermek

${\displaystyle y=\operatöradı {arcsec} x=\arccos \left({\frac {1}{x}}\sağ)}$

Nereye

${\displaystyle |x|\geq 1}$ ve ${\displaystyle y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\sağ)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \sağ]}$

Ardından, zincir kuralını şuraya uygulayın : ${\displaystyle \arccos \sol({\frac {1}{x}}\sağ)}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left (-{\frac {1}{x^{2}}}\sağ)={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2} }}}}}}={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}= {\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^ {2}-1}}}}}$

Ters kosekant fonksiyonunu ayırt etme

Örtük farklılaşmayı kullanma

İzin vermek

${\displaystyle y=\operatör adı {arccsc} x\ \ |x|\geq 1}$

Sonra

${\displaystyle x=\csc y\ \ \ y\in \sol[-{\frac {\pi }{2}},0\sağ)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2 }}\sağ]}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-\csc y\cot y=-|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

(Y aralığında kosekant ve kotanjantın çarpımı her zaman negatif olmadığı için ifadedeki mutlak değer gereklidir, oysa kök her zaman asal karekök tanımı gereği negatif değildir, bu nedenle kalan faktör de negatif olmamalıdır, yani x'in mutlak değeri kullanılarak elde edilir.) ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Zincir kuralını kullanma

Alternatif olarak, arkosekant türevi, zincir kuralı kullanılarak arksin türevinden türetilebilir .

İzin vermek

${\displaystyle y=\operatöradı {arccsc} x=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\sağ)}$

Nereye

${\displaystyle |x|\geq 1}$ ve ${\displaystyle y\in \sol[-{\frac {\pi }{2}},0\sağ)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\sağ]}$

Ardından, zincir kuralını şuraya uygulayın : ${\displaystyle \arcsin \sol({\frac {1}{x}}\sağ)}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left( -{\frac {1}{x^{2}}}\sağ)=-{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2} }}}}}}=-{\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}} =-{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Ayrıca bakınız

• Trigonometri
• kalkülüs
• Türev
• türev tablosu

Referanslar

bibliyografya

• Handbook of Mathematical Functions , Düzenleyen Abramowitz ve Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964)