Snell Yasası - Snell's law

Kırılma farklı iki ortam arasında ara yüzeyde ışığın kırılma indeksleri n, 2 > n, 1 . İkinci ortamda hız daha düşük olduğu için (v 2 < v 1 ), kırılma açısı θ 2 gelme açısından θ 1 daha küçüktür ; yani, yüksek indeksli ortamdaki ışın normale daha yakındır.

Snell kanunu (aynı zamanda Snell-Decartes hakları ve kırılma kanunlarına ) a nın , formül arasındaki ilişkiyi tanımlamak için kullanılan insidans açılarda ve kırılma hafif ya da diğer bağlantılı olarak kullanıldığında, dalgalar , iki farklı arasındaki bir sınır boyunca geçen izotropik ortam , örneğin su, cam veya hava olarak. Kanun, İngiliz dünyasında Snell olarak bilinen Hollandalı bir astronom ve matematikçi olan Willebrord Snellius'un adını almıştır .

Optikte yasa, ışın izlemede geliş veya kırılma açılarını hesaplamak için ve deneysel optikte bir malzemenin kırılma indisini bulmak için kullanılır. Yasa, ışığın negatif bir kırılma indeksi ile negatif bir kırılma açısında "geriye" bükülmesine izin veren meta-malzemelerde de karşılanır .

Snell yasası , geliş ve kırılma açılarının sinüslerinin oranının , iki ortamdaki faz hızlarının oranına veya kırılma indislerinin oranının tersine eşdeğer olduğunu belirtir :

her biri sınırın normalinden ölçülen açı , ilgili ortamdaki ışığın hızı (SI birimleri metre/saniye veya m/s'dir) ve ışığın kırılma indisi (birimsizdir) olarak ilgili ortam.

Yasa izler Fermat'ın 'in en az bir zaman prensip da dalgaların olarak ışığın yayılma izler.

Tarih

Kırılma yasasını keşfettiğini gösteren İbn Sehl'in el yazmasının bir sayfasının kopyası.

Mısır'ın İskenderiye kentinde bulunan Ptolemy , kırılma açılarıyla ilgili bir ilişki bulmuştu, ancak küçük olmayan açılar için yanlıştı. Ptolemy, kısmen verilerini teoriye uydurmak için hafifçe değiştirmenin bir sonucu olarak doğru bir ampirik yasa bulduğundan emindi (bkz: doğrulama yanlılığı ). Alhazen , Optik Kitabında (1021), bu adımı atmamasına rağmen, kırılma yasasını keşfetmeye daha da yaklaştı.

"Sinüs Yasası" tarihinin 1837 görünümü

Sonunda Snell adını yasa ilk doğru Pers bilim adamı tarafından tarif edilmiştir İbn Sahl de Bağdat yazıda 984 mahkeme Yanan Mirrors ve Lensler günü , Sehl hiçbir geometrik aberasyonlu ışık odak derived mercek şekilleri yasasını kullandı.

Kanun, 1602'de Thomas Harriot tarafından yeniden keşfedildi , ancak bu konuda Kepler ile yazışmasına rağmen sonuçlarını yayınlamadı . 1621'de Hollandalı astronom Willebrord Snellius (1580-1626)—Snell- matematiksel olarak eşdeğer bir form türetmiş ve bu form, yaşamı boyunca yayınlanmamıştır. René Descartes , 1637 tarihli Dioptrique makalesinde sinüsler açısından buluşsal momentum koruma argümanlarını kullanarak yasayı bağımsız olarak türetmiş ve bir dizi optik problemi çözmek için kullanmıştır. Descartes'ın çözümünü reddeden Pierre de Fermat , yalnızca en az zaman ilkesine dayanarak aynı çözüme ulaştı . Descartes , ışık hızının sonsuz olduğunu varsayıyordu , ancak Snell yasasını türetirken, ortam ne kadar yoğunsa, ışığın hızının o kadar büyük olduğunu da varsayıyordu. Fermat, karşıt varsayımları destekledi, yani, ışığın hızı sonludur ve onun türetilmesi, ışığın hızının daha yoğun bir ortamda daha yavaş olmasına bağlıydı. Fermat'ın türetilmesi aynı zamanda maksimum, minimum ve teğetleri bulmak için diferansiyel hesaba eşdeğer bir matematiksel prosedür olan uygunluk icatını da kullandı .

Etkili matematik kitabı Geometri'de Descartes, Perga'lı Apollonius ve İskenderiye'li Pappus'un üzerinde çalıştığı bir problemi çözüyor . Her doğru üzerinde n doğru L ve bir P(L) noktası verildiğinde, QP(L) doğru parçalarının uzunlukları belirli koşulları sağlayacak şekilde Q noktalarının yerini bulun. Örneğin, n = 4 olduğunda, a, b, c ve d doğruları ve a üzerinde bir A noktası, b üzerinde B vb. verildiğinde, QA*QB çarpımı ürüne eşit olacak şekilde Q noktalarının yerini bulun. KK * KK. Doğruların hepsi paralel olmadığında Pappus lokusların konik olduğunu gösterdi, ancak Descartes daha büyük n'yi düşündüğünde kübik ve daha yüksek dereceli eğriler elde etti. Kübik eğrilerin ilginç olduğunu göstermek için, optikte Snell yasasından doğal olarak ortaya çıktıklarını gösterdi.

Dijksterhuis'e göre, "In De natura lucis et proprietate (1662) Isaac Vossius , Descartes'ın Snell'in makalesini gördüğünü ve kendi kanıtını hazırladığını söyledi. Artık bu suçlamanın haksız olduğunu biliyoruz, ancak o zamandan beri birçok kez kabul edildi." Hem Fermat hem de Huygens, Descartes'ın Snell'i kopyaladığı yönündeki bu suçlamayı tekrarladı. In Fransızca , Snell Yasası "la loi de Descartes" veya "loi Snell-Descartes de" denir.

Christiaan Huygens , 1678'de yazdığı Traité de la Lumière'de , Snell'in sinüs yasasının, Huygens-Fresnel ilkesi olarak adlandırdığımız şeyi kullanarak, ışığın dalga doğasıyla nasıl açıklanabileceğini ya da ondan türetilebileceğini gösterdi .

Modern optik ve elektromanyetik teorinin gelişmesiyle, eski Snell yasası yeni bir aşamaya getirildi. 1962'de Bloembergen, doğrusal olmayan ortamın sınırında Snell yasasının genel bir biçimde yazılması gerektiğini gösterdi. 2008 ve 2011'de, plazmonik meta yüzeylerin de ışık huzmesinin yansıma ve kırılma yönlerini değiştirdiği gösterildi.

Açıklama

Leiden'de bir duvarda Snell yasası

Snell yasası, değişen kırılma indislerine sahip kırılma ortamlarından geçen ışık ışınlarının yönünü belirlemek için kullanılır. Etiketli ortam, kırılma indisleri , ve böyle devam eder, örneğin cam ya da su gibi, bir kırılma vasıtasıyla seyahat ederken vakum içinde görülen hız yerine bir ışık ışını hızı azalır, hangi faktörü temsil etmek için kullanılır.

Işık, iki ortamın göreceli kırılma indislerine bağlı olarak, ortamlar arasındaki sınırı geçerken, ışık ya daha küçük bir açıyla ya da daha büyük bir açıyla kırılacaktır. Bu açılar , sınıra dik olarak gösterilen normal çizgiye göre ölçülür . Işığın havadan suya geçmesi durumunda, ışık suda yavaşladığı için ışık normal çizgiye doğru kırılır; sudan havaya geçen ışık normal çizgiden uzaklaşarak kırılır.

İki yüzey arasındaki kırılma da tersinir olarak adlandırılır, çünkü tüm koşullar aynı olsaydı, ışığın zıt yönde yayılması için açılar aynı olurdu.

Snell yasası genellikle yalnızca izotropik veya aynasal ortamlar ( cam gibi ) için geçerlidir. İçinde anizotropik , bazı olarak ortam kristaller , çift-kırılma , iki ışınları halinde kırılan ışın bölünmüş olabilir , sıradan ya da O -ışını Snell kanunu takip eden ve diğer olağanüstü veya e gelen ışın ile aynı düzlemde olabilir ışın.

İlgili ışık veya diğer dalga monokromatik, yani tek bir frekans olduğunda, Snell yasası iki ortamdaki dalga boylarının oranı olarak da ifade edilebilir ve :

Türevler ve formül

Snell yasası bağlamında bir nokta kaynağından dalga cepheleri . Gri çizginin altındaki bölge, üstündeki bölgeye göre daha yüksek bir kırılma indeksine ve orantılı olarak daha düşük ışık hızına sahiptir .

Snell yasası çeşitli şekillerde türetilebilir.

Fermat prensibinden türetme

Snell yasası , ışığın en az zaman alan yolu izlediğini belirten Fermat ilkesinden türetilebilir . Alarak türevi arasında optik yol uzunluğu , sabit bir nokta ışık tarafından alınan yol vererek bulunmuştur. (Küresel bir aynadaki yansımada olduğu gibi, ışığın Fermat ilkesini en az zaman yolunu seçmeyerek ihlal ettiği durumlar vardır.) Klasik bir benzetmede, daha düşük kırılma indisi alanı, daha yüksek kırılma alanı olan bir kumsal ile değiştirilir. deniz kenarındaki indeks ve sahildeki bir kurtarıcının denizde boğulan bir kişiye ulaşmasının en hızlı yolu Snell yasasını takip eden bir yol boyunca koşmaktır.

Ortam 1'den gelen ışık, Q noktasından, ortam 2'ye girer, kırılma meydana gelir ve sonunda P noktasına ulaşır.

Sağa Şekilde görüldüğü gibi, orta 1 ve orta 2 olan kırılma indeksi üstlenecek ve sırasıyla. Işık, ortam 2'ye ortam 1'den O noktası üzerinden girer.

Geliş açısı olan, normale göre kırılma açıdır.

Ortam 1 ve ortam 2'deki ışığın faz hızları

ve
sırasıyla.

ışığın boşluktaki hızıdır.

Işığın Q noktasından O noktasından P noktasına gitmesi için gereken süre T olsun.

a, b, l ve x sağdaki şekilde gösterildiği gibidir, x değişken parametredir.

Bunu en aza indirmek için, bir ayırt edilebilir:

(sabit nokta)

Bunu not et

ve

Öyleyse,

Huygens ilkesinden türetme

Alternatif olarak, Snell yasası, ışık dalgasının kaynaktan gözlemciye giden tüm olası yollarının girişimi kullanılarak türetilebilir - fazın aşırı uçları (girişimin yapıcı olduğu yer) dışında her yerde yıkıcı girişimle sonuçlanır ve gerçek yollar haline gelir.

Maxwell Denklemlerinden Türetme

Derived Snell Kanunu bir başka yolu, genel bir uygulama gerektirir sınır koşulları arasında Maxwell denklemleri için elektromanyetik radyasyon .

Enerji ve momentumun korunumundan türetme

Snell yasasını türetmenin başka bir yolu da öteleme simetrisi değerlendirmelerine dayanmaktadır. Örneğin, z yönüne dik homojen bir yüzey enine momentumu değiştiremez. Yana yayılma vektörü fotonun ivme ile orantılı olan, enine yayılma yönü her iki bölgede de aynı olmalıdır. İle genellik kaybı olmadan geliş uçak varsayın düzlem . Tanınmış bağımlılığını kullanarak wavenumber üzerinde kırılma indeksi ortamın, hemen Snell kanunu türetmek.

boşlukta dalga sayısı nerede . Atom ölçeğinde hiçbir yüzey gerçekten homojen olmasa da, ışık dalga boyu ölçeğinde bölge homojen olduğunda tam öteleme simetrisi mükemmel bir yaklaşımdır.

vektör formu

Bir normalize ışık vektör Verilen (yüzeye doğru ışık kaynağından işaret) ve normalleştirilmiş bir düzlem, normal vektörü , tek geliş açısının cosines aracılığıyla yansıyan normalize ve kırılan ışınlar çalışabilir ve kırılma açısı açıkça kullanmadan, sinüs değerleri veya herhangi bir trigonometrik fonksiyon veya açı:

Not: pozitif olmalıdır, eğer yüzeyden ışığın geldiği tarafa doğru işaret eden normal vektör ise, indeksi olan bölge ise pozitif olmalıdır . Eğer negatiftir, o zaman bu kadar başlamak, ışıksız yan işaret olumsuz ile yer değiştirir.

Bu yansıyan yön vektörü, ışığın geldiği yüzeyin yanına doğru işaret eder.

Şimdi kırılan ışının yön vektörü formülünü elde etmek için Snell yasasını sinüs oranına uygulayın:

Formül, yeniden adlandırılan basit değerler açısından daha basit görünebilir ve trig işlevi adlarının veya açı adlarının herhangi bir görünümünden kaçınarak:

Örnek:

Kosinüs değerleri kaydedilebilir ve ortaya çıkan ışınların yoğunluğunu hesaplamak için Fresnel denklemlerinde kullanılabilir .

Toplam iç yansıma , denklemde yalnızca daha az yoğun bir ortama ( ) geçen ışınlar için olabilen bir negatif kök ile gösterilir .

Toplam iç yansıma ve kritik açı

Kritik açıdan daha büyük açılarda kırılma olmadığının gösterilmesi.

Işık kırılma indisi daha yüksek olan bir ortamdan daha düşük kırılma indisi olan bir ortama geçtiğinde, Snell yasası bazı durumlarda (gelme açısı yeterince büyük olduğunda) kırılma açısının sinüsünün birden büyük olmasını gerektiriyor gibi görünmektedir. Bu elbette imkansızdır ve bu gibi durumlarda ışık, toplam iç yansıma olarak bilinen bir fenomen olan sınır tarafından tamamen yansıtılır . Yine de kırılan bir ışınla sonuçlanan olası en büyük geliş açısına kritik açı denir ; bu durumda kırılan ışın iki ortam arasındaki sınır boyunca hareket eder.

İki ortam arasındaki arayüzde ışığın kırılması.

Örneğin, 50°'lik bir geliş açısıyla sudan havaya hareket eden bir ışık ışını düşünün. Su ve havanın kırılma indisleri sırasıyla yaklaşık 1.333 ve 1'dir, bu nedenle Snell yasası bize ilişkiyi verir.

ki tatmin etmek imkansız. Kritik açı θ crit , θ 2'nin 90°'ye eşit olduğu θ 1 değeridir :

Dağılım

Birçok dalga yayılım ortamında, dalga hızı, dalgaların frekansı veya dalga boyu ile değişir; bu, vakum dışındaki çoğu saydam maddede ışığın yayılması için geçerlidir. Bu ortamlara dağıtıcı denir. Sonuç olarak, Snell yasası tarafından belirlenen açılar aynı zamanda frekansa veya dalga boyuna da bağlıdır, böylece beyaz ışık gibi karışık dalga boylarına sahip bir ışın yayılır veya dağılır. Işığın camda veya suda bu şekilde dağılması, farklı dalga boylarının farklı renkler olarak göründüğü gökkuşaklarının ve diğer optik fenomenlerin kökenini oluşturur .

Optik cihazlarda dağılım, renk sapmalarına yol açar ; bazen çözünürlük sınırlayıcı etki olan renge bağlı bir bulanıklık. Bu, özellikle akromatik objektif lenslerin icadından önce, kırılma teleskoplarında geçerliydi .

Kayıplı, emici veya iletken ortam

İletken bir ortamda, geçirgenlik ve kırılma indisi karmaşık değerlidir. Sonuç olarak, kırılma açısı ve dalga vektörü de öyle. Bu, sabit gerçek fazın yüzeylerinin, normalleri arayüz normali ile kırılma açısına eşit bir açı yapan düzlemler iken, sabit genlikli yüzeylerin, aksine, arayüzün kendisine paralel düzlemler olduğu anlamına gelir. Bu iki düzlem genelde birbiriyle örtüşmediği için dalganın homojen olmadığı söylenir. Kırılan dalga, kırılma indisinin hayali bileşeniyle orantılı üs ile üstel olarak zayıflatılır.

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar