Harmonik osilatör - Harmonic oscillator
Bir serinin parçası |
Klasik mekanik |
---|
Olarak klasik mekanik bir harmonik osilatör olarak, yer değiştirdiğinde bir sistemdir denge pozisyonunda, bir karşılaşır geri getirme kuvveti F orantılı yer değiştirme için , x :
burada k pozitif bir sabittir .
Eğer F sistemine etki eden tek kuvvet, sistem bir adlandırılan , basit harmonik osilatör , ve maruz basit harmonik hareketi : sinüzoidal salınımlar denge noktası etrafında, bir sabit ile genlik ve sabit bir frekansı (genlik bağımlı değildir ).
Bir sürtünme kuvveti (halinde sönümleme orantılı) hız da mevcut harmonik osilatör olarak tanımlanan sönümlü osilatör . Sürtünme katsayısına bağlı olarak sistem şunları yapabilir:
- Sönümsüz duruma göre daha düşük bir frekansta ve zamanla azalan bir genlikte salınım yapın (düşük sönümlü osilatör).
- Salınım olmadan denge konumuna bozunma ( aşırı sönümlü osilatör).
Az sönümlü bir osilatör ile aşırı sönümlü bir osilatör arasındaki sınır çözümü, sürtünme katsayısının belirli bir değerinde meydana gelir ve kritik olarak sönümlü olarak adlandırılır .
Harici zamana bağlı bir kuvvet varsa, harmonik osilatör tahrikli osilatör olarak tanımlanır .
Mekanik örnekler arasında sarkaçlar ( küçük yer değiştirme açılarına sahip ), yaylara bağlı kütleler ve akustik sistemler bulunur . Diğer benzer sistemler , RLC devreleri gibi elektriksel harmonik osilatörleri içerir . Harmonik osilatör modeli fizikte çok önemlidir, çünkü kararlı dengede bir kuvvete maruz kalan herhangi bir kütle küçük titreşimler için harmonik bir osilatör görevi görür. Harmonik osilatörler doğada yaygın olarak bulunur ve saatler ve radyo devreleri gibi birçok insan yapımı cihazda kullanılır . Neredeyse tüm sinüzoidal titreşimlerin ve dalgaların kaynağıdırlar.
Basit harmonik osilatör
Basit harmonik osilatör, ne sürülen ne de sönümlenen bir osilatördür . Kütleyi x = 0 noktası yönünde çeken ve yalnızca kütlenin x konumuna ve bir k sabitine bağlı olan tek bir F kuvvetine maruz kalan bir m kütlesinden oluşur . Sistem için kuvvetler dengesi ( Newton'un ikinci yasası )
Bu diferansiyel denklemi çözerek , hareketin fonksiyon tarafından tanımlandığını buluruz.
nerede
Hareket periyodiktir ve kendisini sabit genlik A ile sinüzoidal bir tarzda tekrar eder . Genliğine ek olarak, basit bir harmonik osilatörün hareketi, periyodu , tek bir salınımın süresi veya frekansı , birim zamandaki döngü sayısı ile karakterize edilir . Belirli bir t zamanındaki konum , sinüs dalgasının başlangıç noktasını belirleyen φ fazına da bağlıdır . Süresi ve sıklığı kütle büyüklüğü ile belirlenir m ve kuvvet sabiti k genlik ve faz başlangıç konumu ve belirlenir ise, hız .
Basit bir harmonik osilatörün hızı ve ivmesi , konumla aynı frekansta ancak kaydırılmış fazlar ile salınır. Sıfır yer değiştirme için hız maksimum iken, ivme yer değiştirmenin tersi yöndedir.
Basit harmonik osilatörde x konumunda depolanan potansiyel enerji ,
Sönümlü harmonik osilatör
Gerçek osilatörlerde sürtünme veya sönüm, sistemin hareketini yavaşlatır. Sürtünme kuvveti nedeniyle, hız, etki eden sürtünme kuvvetiyle orantılı olarak azalır. Basit bir tahriksiz harmonik osilatörde kütleye etki eden tek kuvvet geri getirme kuvveti iken, sönümlü bir harmonik osilatörde ayrıca her zaman harekete karşı çıkan bir sürtünme kuvveti vardır. Birçok titreşimli sistemde sürtünme kuvveti F f , cismin v hızıyla orantılı olarak modellenebilir : F f = − cv , burada c viskoz sönümleme katsayısı olarak adlandırılır .
Sönümlü harmonik osilatörler için kuvvetler dengesi ( Newton'un ikinci yasası ) daha sonra
hangi forma yeniden yazılabilir
nerede
- " osilatörün sönümlenmemiş açısal frekansı " olarak adlandırılır ,
- "sönüm oranı" olarak adlandırılır.
Sönüm oranının ζ değeri , sistemin davranışını kritik olarak belirler. Sönümlü bir harmonik osilatör şunlar olabilir:
- Aşırı sönümlü ( ζ > 1): Sistem salınım yapmadan kararlı duruma döner ( üssel olarak azalır ). Sönüm oranının daha büyük değerleri ζ dengeye daha yavaş döner.
- Kritik sönümlü ( ζ = 1): Sistem, salınım olmadan olabildiğince çabuk kararlı duruma döner (ancak başlangıç hızı sıfır değilse aşma meydana gelebilir). Bu genellikle kapı gibi sistemlerin sönümlenmesi için istenir.
- Az sönümlü ( ζ < 1): Sistem salınım yapar (sönümsüz durumdan biraz farklı bir frekansla) ve genlik kademeli olarak sıfıra düşer. Açısal frekans underdamped harmonik osilatör tarafından verilen üstel bozunma ile verilir underdamped harmonik osilatörün
Q faktörü yavaşlatılmış bir osilatör olarak tanımlanmaktadır
Q , denklemdeki sönüm oranı ile ilgilidir.
Tahrikli harmonik osilatörler
Tahrik edilen harmonik osilatörler, harici olarak uygulanan bir F ( t ) kuvvetinden daha fazla etkilenen sönümlü osilatörlerdir .
Newton'un ikinci yasası şu şekli alır
Genellikle forma yeniden yazılır
Bu denklem , zorlamasız denklemi sağlayan z ( t ) çözümleri kullanılarak herhangi bir itici kuvvet için tam olarak çözülebilir.
ve sönümlü sinüzoidal salınımlar olarak ifade edilebilen:
ζ ≤ 1 olduğu durumda . Genlik A ve faz φ , başlangıç koşullarına uyması için gereken davranışı belirler.
Adım girişi
Durumda Ç <1 ve bir birim basamak girişi x (0) = 0:
çözüm şudur
tarafından verilen faz φ ile
Bir osilatörün değişen dış koşullara uyum sağlaması gereken süre τ = 1/( ζω 0 ) düzeyindedir . Fizikte, adaptasyona gevşeme denir ve τ'ya gevşeme zamanı denir.
Elektrik mühendisliğinde, τ'nun bir katı , yerleşme süresi olarak adlandırılır , yani sinyalin nihai değerden sabit bir sapma içinde, tipik olarak %10 içinde olmasını sağlamak için gerekli süre. Terimi, aşım yanıt maksimum nihai değeri aşan ölçüde karşılık gelir ve az- yanıtı yanıt maksimum aşağıdaki zamanlarda nihai değerin altına düştüğünde ölçüde karşılık gelir.
Sinüzoidal itici güç
Sinüzoidal bir itici güç durumunda:
nerede sürüş genliğidir ve sinüsoidal bir sürüş mekanizması için sürüş frekansıdır . Bu tip bir sistem görünür AC -Bunlardan RLC devreleri ( direnç - indüktör - kondansatör ve dahili mekanik direnci ya da dış sahip olan tahrik edilen yay sistemi) hava direncini .
Genel çözüm, başlangıç koşullarına bağlı olan bir geçici durum çözümünün ve başlangıç koşullarından bağımsız olan ve yalnızca sürüş genliğine , sürüş frekansına , sönümlenmemiş açısal frekansa ve sönümleme oranına bağlı olan bir kararlı durumun toplamıdır .
Kararlı hal çözümü, indüklenmiş bir faz değişikliği ile itici kuvvetle orantılıdır :
nerede
empedans veya doğrusal yanıt fonksiyonunun mutlak değeridir ve
bir faz tahrik kuvvetine salınım arasında olacaktır. Faz değeri genellikle -180° ile 0 arasında alınır (yani, arctan argümanının hem pozitif hem de negatif değerleri için bir faz gecikmesini temsil eder).
Rezonans veya rezonans frekansı olarak adlandırılan belirli bir sürüş frekansı için, genlik (belirli bir değer için ) maksimumdur. Bu rezonans etkisi yalnızca , yani önemli ölçüde düşük sönümlü sistemler için olduğunda ortaya çıkar . Kuvvetle düşük sönümlü sistemler için, genliğin değeri, rezonans frekansının yakınında oldukça büyük olabilir.
Geçici çözümler, zorlamasız ( ) sönümlü harmonik osilatörle aynıdır ve sistemin daha önce meydana gelen diğer olaylara tepkisini temsil eder. Geçici çözümler tipik olarak göz ardı edilebilecek kadar hızlı bir şekilde yok olur.
Parametrik osilatörler
Bir parametre osilatör sürücü enerjisi, süspansiyon ya da geri itme kuvveti olarak osilatör parametrelerini değiştirilmesiyle temin edildiği bir tahrik edilen harmonik osilatördür. Parametrik salınımın bilinen bir örneği, oyun alanı salıncağında "pompalamak" tır . Hareket halindeki bir salıncaktaki bir kişi, herhangi bir harici tahrik kuvveti (itme) uygulanmadan, salıncağın atalet momentini değiştirerek, ileri geri sallanarak ("pompalayarak") veya dönüşümlü olarak ayakta durarak ve çömelerek salınım salınımlarının genliğini artırabilir, salıncak salınımları ile ritim içinde. Parametrelerin değişkenliği sistemi yönlendirir. Değiştirilebilecek parametre örnekleri, rezonans frekansı ve sönümlemedir .
Parametrik osilatörler birçok uygulamada kullanılmaktadır. Klasik varaktör parametrik osilatör, diyotun kapasitansı periyodik olarak değiştiğinde salınır. Diyotun kapasitansını değiştiren devreye "pompa" veya "sürücü" denir. Mikrodalga elektroniğinde, dalga kılavuzu / YAG tabanlı parametrik osilatörler aynı şekilde çalışır. Tasarımcı, salınımları başlatmak için bir parametreyi periyodik olarak değiştirir.
Parametrik osilatörler, özellikle radyo ve mikrodalga frekans aralığında düşük gürültülü amplifikatörler olarak geliştirilmiştir. Reaktans (direnç değil) değişken olduğundan termal gürültü minimumdur. Diğer bir yaygın kullanım, frekans dönüştürme, örneğin sesten radyo frekanslarına dönüştürmedir. Örneğin, Optik parametrik osilatör , bir giriş lazer dalgasını daha düşük frekanslı ( ) iki çıkış dalgasına dönüştürür .
Bir sistem parametrik olarak uyarıldığında ve rezonans frekanslarından birinde salındığında, mekanik bir sistemde parametrik rezonans meydana gelir. Eylem, bir sistem parametresinde zamanla değişen bir değişiklik olarak göründüğünden, parametrik uyarma zorlamadan farklıdır. Bu etki, kararsızlık fenomenini sergilediği için normal rezonanstan farklıdır .
Evrensel osilatör denklemi
denklem
evrensel osilatör denklemi olarak bilinir , çünkü tüm ikinci dereceden lineer salınım sistemleri bu forma indirgenebilir. Bu boyutsuzlaştırma yoluyla yapılır .
Zorlama fonksiyonu f ( t ) = cos( ωt ) = cos( ωt c τ ) = cos( ωτ ) ise, burada ω = ωt c , denklem şöyle olur
Bu diferansiyel denklemin çözümü iki kısımdan oluşur: "geçici" ve "kararlı durum".
Geçici çözüm
Adi diferansiyel denklemi çözmeye dayalı çözüm, keyfi sabitler c 1 ve c 2 içindir.
Geçici çözüm, zorlama işlevinden bağımsızdır.
Kararlı hal çözümü
Aşağıdaki yardımcı denklemi çözerek ve ardından çözümünün gerçek kısmını bularak " karmaşık değişkenler yöntemini" uygulayın :
Çözümün formda olduğunu varsayarsak
Sıfırdan ikinci mertebeye türevleri
Bu miktarları diferansiyel denklemde yerine koyarsak
Soldaki üstel terime bölmek,
Gerçek ve sanal kısımları eşitlemek, iki bağımsız denklemle sonuçlanır
genlik kısmı
Her iki denklemin karesini almak ve bunları bir araya toplamak şunu verir:
Öyleyse,
Bu sonucu rezonansla ilgili teori bölümü ve RLC devresinin "büyüklük kısmı" ile karşılaştırın . Bu genlik fonksiyonu, ikinci dereceden sistemlerin frekans tepkisinin analizinde ve anlaşılmasında özellikle önemlidir .
Faz bölümü
φ için çözmek için , elde etmek için her iki denklemi bölün
Bu faz fonksiyonu, ikinci dereceden sistemlerin frekans cevabının analizinde ve anlaşılmasında özellikle önemlidir .
Tam çözüm
Genlik ve faz bölümlerinin birleştirilmesi, kararlı durum çözümüyle sonuçlanır
Orijinal evrensel osilatör denkleminin çözümü, geçici ve kararlı durum çözümlerinin bir üst üste binmesidir (toplamıdır):
Yukarıdaki denklemin nasıl çözüleceğine ilişkin daha eksiksiz bir açıklama için, sabit katsayılı doğrusal ODE'lere bakın .
eşdeğer sistemler
Bir dizi mühendislik alanında meydana gelen harmonik osilatörler, matematiksel modellerinin aynı olması anlamında eşdeğerdir ( yukarıdaki evrensel osilatör denklemine bakınız). Aşağıda, mekanik ve elektronikte dört harmonik osilatör sistemindeki benzer miktarları gösteren bir tablo bulunmaktadır. Tabloda aynı satırdaki benzer parametrelere sayısal olarak eşit değerler verilirse, osilatörlerin davranışı – çıkış dalga biçimi, rezonans frekansı, sönüm faktörü vb. – aynıdır.
öteleme mekanik | dönme mekanik | Seri RLC devresi | Paralel RLC devresi |
---|---|---|---|
Konum | Açı | Şarj etmek | akı bağlantısı |
Hız | Açısal hız | Akım | Voltaj |
Yığın | eylemsizlik momenti | İndüktans | kapasitans |
İtme | Açısal momentum | akı bağlantısı | Şarj etmek |
Yay sabiti | burulma sabiti | elastans | manyetik isteksizlik |
Sönümleme | dönme sürtünmesi | Direnç | iletkenlik |
tahrik kuvveti | Tahrik torku | Voltaj | Akım |
Sönümsüz rezonans frekansı : | |||
Sönüm oranı : | |||
diferansiyel denklem: | |||
Muhafazakar bir kuvvete uygulama
Basit harmonik osilatör sorunu fizikte sıklıkla ortaya çıkar, çünkü herhangi bir korunumlu kuvvetin etkisi altında dengedeki bir kütle, küçük hareketlerin sınırında, basit bir harmonik osilatör gibi davranır.
Muhafazakar bir kuvvet, potansiyel bir enerji ile ilişkili olandır . Bir harmonik osilatörün potansiyel enerji fonksiyonu,
Keyfi bir potansiyel enerji fonksiyonu göz önüne alındığında , tek bir yapabilirsiniz Taylor açılımını açısından bir enerji minimum etrafında ( ) dengeden küçük üzüntülerin davranışını modellemek için.
Minimum olduğundan , değerlendirilen ilk türev sıfır olmalıdır, bu nedenle doğrusal terim düşer:
Sabit terim V ( X 0 ) rasgele ve böylece kesilmesine ve bir koordinat dönüşümü basit harmonik osilatör bir şekilde alınmasını sağlar:
Böylece, kaybolmayan bir ikinci türevi olan keyfi bir potansiyel-enerji fonksiyonu verildiğinde , denge noktası etrafındaki küçük pertürbasyonlar için yaklaşık bir çözüm sağlamak için basit harmonik osilatörün çözümü kullanılabilir.
Örnekler
Basit sarkaç
Uzunluğu basit bir sarkaç ilişkin bir sönümleme, diferansiyel denklem varsayarak , yerel yer çekimi ivmesi , olduğu
Sarkaçın maksimum yer değiştirmesi küçükse, yaklaşımı kullanabilir ve bunun yerine denklemi düşünebiliriz.
Bu diferansiyel denklemin genel çözümü,
nerede ve başlangıç koşullarına bağlı olan sabitlerdir. Başlangıç koşulları olarak ve kullanılarak çözüm şu şekilde verilir:
sarkacın ulaştığı en büyük açı nerede (yani sarkacın genliğidir). Süresi , bir tam salınım zamanı ifade ile verilir
bu, küçük olduğu zaman gerçek dönemin iyi bir tahminidir . Bu yaklaşımda periyodun genlikten bağımsız olduğuna dikkat edin . Yukarıdaki denklemde açısal frekansı temsil eder.
Yay/kütle sistemi
Bir yay bir kütle tarafından gerildiğinde veya sıkıştırıldığında, yay bir geri getirme kuvveti geliştirir. Hooke yasası , yay sıkıştırıldığında veya belirli bir uzunlukta gerildiğinde yay tarafından uygulanan kuvvetin ilişkisini verir:
burada F kuvveti, k, yay sabitesi ve x denge durumuna göre kütle yer değiştirmesidir. Denklemdeki eksi işareti, yayın uyguladığı kuvvetin her zaman yer değiştirmenin tersi yönde etki ettiğini (yani kuvvetin her zaman sıfır konumuna doğru etki ettiğini) ve böylece kütlenin sonsuza uçmasını engellediğini gösterir.
Kuvvet dengesi veya bir enerji yöntemi kullanılarak, bu sistemin hareketinin aşağıdaki diferansiyel denklemle verildiği kolayca gösterilebilir:
ikincisi Newton'un ikinci hareket yasasıdır .
İlk yer değiştirme A ise ve başlangıç hızı yoksa, bu denklemin çözümü şu şekilde verilir:
İdeal kütlesiz bir yay verildiğinde , yayın ucundaki kütledir. Yayın kendi kütlesi varsa, etkin kütlesi 'ye dahil edilmelidir .
Yay sönümleme sisteminde enerji değişimi
Enerji açısından, tüm sistemler iki tür enerjiye sahiptir: potansiyel enerji ve kinetik enerji . Bir yay gerildiğinde veya sıkıştırıldığında, daha sonra kinetik enerjiye aktarılan esneklik potansiyel enerjisini depolar. Bir yay içindeki potansiyel enerji, denklem ile belirlenir.
Yay gerildiğinde veya sıkıştırıldığında, kütlenin kinetik enerjisi yayın potansiyel enerjisine dönüşür. Enerjinin korunumu ile, referansın denge konumunda tanımlandığını varsayarsak, yay maksimum potansiyel enerjisine ulaştığında, kütlenin kinetik enerjisi sıfırdır. Yay bırakıldığında dengeye dönmeye çalışır ve tüm potansiyel enerjisi kütlenin kinetik enerjisine dönüşür.
Kuralların tanımı
Sembol | Tanım | Boyutlar | SI birimleri |
---|---|---|---|
Kütlenin ivmelenmesi | m/sn 2 | ||
Salınım tepe genliği | m | ||
viskoz sönüm katsayısı | N·s/m | ||
Sıklık | Hz. | ||
tahrik kuvveti | n | ||
Dünya yüzeyinde yerçekimi ivmesi | m/sn 2 | ||
hayali birim, | - | - | |
Yay sabiti | N/m | ||
Yığın | kilogram | ||
Kalite faktörü | - | - | |
salınım periyodu | s | ||
Zaman | s | ||
Osilatörde depolanan potansiyel enerji | J | ||
kütle pozisyonu | m | ||
Sönümleme oranı | - | - | |
Faz değişimi | - | rad | |
Açısal frekans | rad/s | ||
Doğal rezonans açısal frekans | rad/s |
Ayrıca bakınız
- harmonik osilatör
- kritik hız
- Efektif kütle (yay-kütle sistemi)
- Normal mod
- parametrik osilatör
- fazör
- Q faktörü
- Kuantum harmonik osilatör
- Radyal harmonik osilatör
- elastik sarkaç
Notlar
Referanslar
- Fowles, Grant R.; Cassiday, George L. (1986), Analitik Mekanik (5. baskı), Fort Worth: Saunders College Publishing , ISBN 0-03-96746-5, LCCN 93085193CS1 bakımı: yok sayılan ISBN hataları ( bağlantı )
- Hayek, Sabih I. (15 Nisan 2003). "Mekanik Titreşim ve Sönümleme". Uygulamalı Fizik Ansiklopedisi . WILEY-VCH Verlag GmbH & Co KGaA. doi : 10.1002/3527600434.eap231 . ISBN'si 9783527600434.
- Kreyszig, Erwin (1972), İleri Mühendislik Matematiği (3. baskı), New York: Wiley , ISBN 0-471-50728-8
- Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2003). Bilim adamları ve Mühendisler için Fizik . Brooks/Cole. ISBN'si 0-534-40842-7.
- Tipler, Paul (1998). Bilim adamları ve Mühendisler için Fizik: Cilt. 1 (4. baskı). WH Freeman. ISBN'si 1-57259-492-6.
- Wylie, CR (1975). İleri Mühendislik Matematiği (4. baskı). McGraw-Hill. ISBN'si 0-07-072180-7.
Dış bağlantılar