Açısal hız - Angular velocity

Açısal hız
Ortak semboller
ω
İçinde temel SI birimleri s -1
Kapsamlı mı? Evet
Yoğun mu? evet (sadece sert gövde için)
korunmuş ? numara
Koordinat dönüşümü altındaki davranış
yalancı vektör

Diğer miktarlardan türevler
ω = d θ / d t
Boyut

Olarak fizik , açısal hız ve dönme hızına ( ya da aynı zamanda olarak da bilinir), açısal frekans vektör , bir başka noktaya göre ne kadar hızlı bir amacı dönerken ya da döner belirtir dönme hızının bir vektör önlem, yani ne kadar hızlı açısal konumu veya yönü olan bir nesnenin zamana göre değişir.

İki tür açısal hız vardır. Yörünge açısal hızı , bir nokta nesnesinin sabit bir orijin etrafında ne kadar hızlı döndüğünü, yani orijine göre açısal konumunun zaman değişim oranını ifade eder. Dönme açısal hızı , rijit bir cismin dönme merkezine göre ne kadar hızlı döndüğünü ifade eder ve yörünge açısal hızının aksine orijin seçiminden bağımsızdır.

Genel olarak, açısal hız, birim zaman başına açı boyutuna sahiptir ( doğrusal hızdan mesafeyi ortak zamanla değiştiren açı ). SI birim açısal hız olan saniyede radyan radyan bir olmak üzere, boyutsuz miktarı ve böylece açısal hızın SI birimleri s olarak sıralanabilir, -1 . Açısal hız genellikle omega ( ω , bazen Ω ) sembolü ile gösterilir . Geleneksel olarak, pozitif açısal hız saat yönünün tersine dönüşü gösterirken, negatif saat yönündedir.

Örneğin, sabit bir uydu, ekvator üzerinde günde bir veya 24 saatte 360 ​​derecelik bir yörüngeyi tamamlar ve açısal hızı ω = (360°)/(24 h) = 15°/sa veya (2π rad)/( 24 saat) ≈ 0.26 rad/saat. Açı radyan cinsinden ölçülürse , doğrusal hız, yarıçap çarpı açısal hızdır . Dünya merkezinden 42.000 km'lik yörünge yarıçapı ile, uydunun uzaydaki hızı v = 42.000 km × 0.26/saat ≈ 11.000 km/saat'tir. Açısal hız pozitiftir, çünkü uydu Dünya'nın dönüşüyle ​​doğuya doğru hareket eder (kuzey kutbunun üstünden saat yönünün tersine).

Açısal hız, büyüklüğü açısal hızı , bir nesnenin dönme veya dönme hızını ölçen ve yönü, anlık dönme veya açısal yer değiştirme düzlemine dik olan bir yalancı vektördür . Açısal hızın oryantasyonu geleneksel olarak sağ el kuralı ile belirlenir .

Bir nokta parçacığın yörünge açısal hızı

İki boyutlu parçacık

En parçacığın açısal hızı P kökenli göre O ile belirlenir dikey bileşeninin hızı vektörü, v .

Konum x ekseninden açısal yer değiştirme ile verilen yarıçapta dairesel hareketin en basit durumunda , yörünge açısal hızı, açının zamana göre değişim oranıdır: . Eğer ölçülür radyan , parçacığa daire etrafında pozitif x ekseninden yay uzunluğu ve lineer hızıdır, ve böylece .

Düzlemde hareket eden bir parçacığın genel durumunda, yörünge açısal hızı, seçilen bir orijine göre konum vektörünün "süpürme" açısının hızıdır. Diyagram, pozisyon vektörünü göstermektedir kökenli bir parçacığa onun ile, kutupsal koordinatlarda . (Tüm değişkenler zamanın fonksiyonlarıdır .) Parçacık, radyal bileşen yarıçapa paralel ve çapraz radyal (veya teğetsel) bileşen yarıçapa dik olacak şekilde doğrusal hız bölünmesine sahiptir . Radyal bileşen olmadığında, parçacık orijin etrafında bir daire içinde hareket eder; ancak çapraz radyal bileşen olmadığında, orijinden düz bir çizgide hareket eder. Radyal hareket açıyı değiştirmediğinden, doğrusal hızın yalnızca çapraz radyal bileşeni açısal hıza katkıda bulunur.

Açısal hız ω , çapraz radyal hızdan şu şekilde hesaplanabilen, zamana göre açısal konumun değişim oranıdır:

Burada çapraz radyal hız , saat yönünün tersine hareket için pozitif, saat yönünde için negatif olan işaretli büyüklüktür . Doğrusal hız için kutupsal koordinatların alınması , yarıçap vektörüne göre büyüklük (doğrusal hız) ve açı verir ; bu şartlarda, yani

Bu formüller yaparak elde edilebilir olan, zamana göre kökenli olan mesafenin bir fonksiyonu ve vektör ile X ekseni arasındaki açı bir fonksiyonu. Sonra . Hangisine eşittir . (Bkz . Silindirik koordinatlarda birim vektör ). 'yi bilerek , hızın radyal bileşeninin , çünkü bir radyal birim vektörü olduğu sonucuna varırız ; ve dikey bileşen verilir , çünkü dik bir birim vektörüdür.

İki boyutta açısal hız, yönü gösteren, ancak yönü göstermeyen artı veya eksi işaretli bir sayıdır. Yarıçap vektörü saat yönünün tersine dönerse işaret geleneksel olarak pozitif, saat yönünde ise negatif olarak alınır. Açısal hız daha sonra bir psödoskaler olarak adlandırılabilir , bir eksenin ters çevrilmesi veya iki eksenin değiştirilmesi gibi bir parite tersine çevrilmesi altında işaret değiştiren sayısal bir nicelik .

Üç boyutlu parçacık

Yörünge açısal hız vektörü, açısal yer değiştirmenin anlık düzleminin yanı sıra açısal konumun zamandaki değişim oranını da kodlar. Bu durumda (saat yönünün tersine dairesel hareket) vektör yukarıyı gösterir.

Olarak üç boyutlu uzayda , yine konum vektörü sahip r hareket eden bir parçacık. Burada, yörünge açısal hızı, büyüklüğü r'nin dışarı süpürme açısının hızı olan ve yönü r'nin dışarı süpürme açısının anlık düzlemine dik olduğu bir yalancı vektördür (yani, r ve v tarafından yayılan düzlem ). Bununla birlikte, herhangi bir düzleme dik iki yön olduğundan, açısal hızın yönünü benzersiz bir şekilde belirlemek için ek bir koşul gereklidir; geleneksel olarak, sağ el kuralı kullanılır.

Sözdevektör , sağ el kuralı yerine getirilecek şekilde r ve v tarafından yayılan düzleme dik olan birim vektör olsun (yani, üstten bakıldığında açısal yer değiştirmenin anlık yönü saat yönünün tersidir ). Yukarıdaki iki boyutlu durumda olduğu gibi, bu düzlemde kutupsal koordinatlar alındığında, yörünge açısal hız vektörü şu şekilde tanımlanabilir:

burada θ r ve v arasındaki açıdır . Çapraz ürün açısından, bu:

Yukarıdaki denklemden, teğetsel hız şu şekilde elde edilebilir:

açısal hız vektörlerinin eklenmesi

Dönen çerçeveler için açısal hız vektörlerinin eklenmesi için şematik yapı

Bir nokta , bir dış çerçeveye göre bir dönüş açısal hızı ile dönen bir koordinat çerçevesinde dönme merkezi etrafında yörünge açısal hızı ile dönüyorsa, noktanın merkezi etrafındaki bileşik yörünge açısal hız vektörü olarak tanımlayabiliriz . açısından döndürme . Bu işlem, vektörlerin olağan eklenmesiyle çakışır ve açısal hıza, yalnızca bir sahte vektörden ziyade gerçek bir vektörün cebirsel yapısını verir .

Yukarıdaki eklemenin açık olmayan tek özelliği komütatifliktir . Bu, hız tensörünün W (aşağıya bakınız) çarpık-simetrik olduğu gerçeğinden kanıtlanabilir , bu nedenle bu , olarak genişletilebilen bir dönme matrisidir . Rotasyonların bileşimi değişmeli değil , birinci dereceden değişmeli ve bu nedenle .

Bunun aynı zamanda çıkarmayı bir negatif vektörün eklenmesi olarak tanımladığına dikkat edin.

Rijit bir cismin veya referans çerçevesinin dönüş açısal hızı

Üç birim koordinat vektörünün dönen bir çerçevesi verildiğinde, üçünün de her an aynı açısal hıza sahip olması gerekir. Böyle bir çerçevede, her vektör sabit skaler yarıçaplı hareketli bir parçacık olarak düşünülebilir.

Dönen çerçeve katı cisimler bağlamında görünür ve bunun için özel araçlar geliştirilmiştir: dönüş açısal hızı bir vektör veya eşdeğer olarak bir tensör olarak tanımlanabilir .

Genel tanımla uyumlu olarak, bir çerçevenin dönüş açısal hızı, kendi dönme merkezine göre üç vektörden herhangi birinin (hepsi için aynı) yörünge açısal hızı olarak tanımlanır. Çerçeveler için açısal hız vektörlerinin eklenmesi, aynı zamanda olağan vektör eklemesi (doğrusal hareketlerin bileşimi) ile tanımlanır ve bir yalpalamada olduğu gibi dönüşü ayrıştırmak için yararlı olabilir . Vektörün tüm bileşenleri, hareketli çerçeveleri (Euler açıları veya döndürme matrisleri) tanımlayan parametrelerin türevleri olarak hesaplanabilir. Genel durumda olduğu gibi, toplama değişmeli: .

Tarafından Euler dönme teoremi , dönen çerçeve bir sahiptir dönme anlık ekseni açısal hız vektörünün yönü, ve açısal hızının büyüklüğü, iki boyutlu durumda ile tutarlıdır.

Rijit cisme sabitlenmiş bir referans noktası seçersek , cisimdeki herhangi bir noktanın hızı şu şekilde verilir:

Gövdeye sabitlenmiş bir çerçevenin temel vektörlerinden bileşenler

Sabit bir O noktası etrafında dönen katı bir cisim düşünün. Gövdeye sabitlenmiş ve ortak orijinleri O'da olan bir ortonormal vektör kümesinden oluşan bir referans çerçevesi oluşturun. O zaman hem çerçevenin hem de cismin açısal hız vektörü

Buraya

dönme nedeniyle çerçeve vektörünün zaman değişim oranıdır .

Bu formülün ifadeyle uyumsuz olduğuna dikkat edin.

çünkü bu formül O etrafında tek bir noktanın açısal hızını tanımlarken , bu bölümdeki formül bir çerçeve veya katı cisim için geçerlidir. Katı bir cisim durumunda, tek bir cisimdeki tüm parçacıkların hareketini hesaba katmak zorundadır .

Euler açılarından bileşenler

Euler çerçevesini yeşil olarak gösteren diyagram

Spin açısal hız yalancı vektörünün bileşenleri ilk olarak Leonhard Euler tarafından Euler açıları ve bir ara çerçeve kullanımı kullanılarak hesaplandı :

  • Referans çerçevesinin bir ekseni (devinim ekseni)
  • Referans çerçevesine göre hareketli çerçevenin düğüm çizgisi (nütasyon ekseni)
  • Hareketli çerçevenin bir ekseni (içsel dönüş ekseni)

Euler, bu üç eksenin her biri üzerindeki açısal hız yalancı vektörünün izdüşümlerinin, ilişkili açısının türevi olduğunu kanıtladı (bu, anlık dönüşün üç anlık Euler dönüşüne ayrıştırılmasına eşdeğerdir ). Öyleyse:

Bu taban ortonormal değildir ve kullanımı zordur, ancak şimdi hız vektörü sadece taban değişikliği ile sabit çerçeveye veya hareketli çerçeveye değiştirilebilir. Örneğin, mobil çerçeveye geçiş:

hareketli gövdede sabitlenmiş çerçeve için birim vektörler nerede . Bu örnek, Euler açıları için ZXZ kuralı kullanılarak yapılmıştır.

tensör

Yukarıda tanımlanan açısal hız vektörü , bir açısal hız tensörü olarak eşdeğer olarak ifade edilebilir , matris (veya doğrusal haritalama) W = W ( t ) ile tanımlanır:

Bu sonsuz küçük bir dönme matrisidir . Doğrusal eşleme W şu şekilde hareket eder :

Yönlendirme matrisinden hesaplama

Sabit bir eksen etrafında düzgün dairesel hareket yapan bir vektör şunları sağlar:

Sütunları hareketli ortonormal koordinat vektörleri olan bir çerçevenin oryantasyon matrisi A ( t ) verildiğinde, onun açısal hız tensörü W ( t ) aşağıdaki gibi elde edilebilir. Üç vektör için açısal hız aynı olmalıdır , bu nedenle üç vektör denklemini bir matrisin sütunlarına yerleştirirsek:

(Bu, A ( t ) düzgün bir şekilde dönmese bile geçerlidir .) Bu nedenle açısal hız tensörü:

ortogonal matrisin tersi onun devrik olduğundan .

Özellikler

Genel olarak, n -boyutlu bir uzaydaki açısal hız, ikinci derece bir çarpık-simetrik tensör olan açısal yer değiştirme tensörünün zamana göre türevidir .

Bu tensör W olacaktır n ( n -1) / 2 boyutudur bağımsız bileşenler, Lie cebir ait Lie grubunun bir dönme bir bölgesinin N boyutlu iç çarpım alanı.

Hız vektörüne göre dualite

İkinci sıra tansörleri çünkü üç boyutlu olarak, açısal hız, bir pseudovector ile temsil edilebilir çift üç boyutta pseudovectors için. Açısal hız tensörü W = W ( t ) çarpık simetrik bir matris olduğundan :

Bunu Hodge çift tam önceki açısal hız vektörü olan bir vektördür .

W'nin üslü

A (0) başlangıç ​​çerçevesini biliyorsak ve bize sabit bir açısal hız tensörü W verilmişse, verilen herhangi bir t için A ( t ) elde edebiliriz . Matris diferansiyel denklemini hatırlayın:

Bu denklem aşağıdakileri vermek için entegre edilebilir:

bu, Lie rotasyon grubuyla bir bağlantı gösterir .

W çarpık simetriktir

Açısal hız tensörünün skew simetrik olduğunu , yani tatmin ettiğini kanıtlıyoruz .

Ufka bir ortogonal olarak, devrik ters, yani elimizdeki . İçin , bir çerçeve matrisi, denklem zamana göre türevi verir:

Formülün uygulanması ,

Böylece, W devriğinin negatifidir, bu da çarpık simetrik olduğu anlamına gelir.

Koordinatsız açıklama

Herhangi bir anda açısal hız tensörü , orijin etrafında dönen katı bir cisim üzerindeki bir noktanın konum vektörü ile hız vektörleri arasındaki doğrusal bir haritayı temsil eder :

Bu lineer harita ile açısal hız psödovektörü arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir.

W bir ortogonal dönüşümün türevi olduğundan , çift doğrusal form

bir ters simetrik . Böylece gerçeğini uygulayabilirsiniz dış cebir benzersiz olduğu doğrusal biçim üzerinde o

nerede olduğu dış ürün arasında ve .

Alarak keskin L ait L elde ederiz

Tanıtılması olarak, Hodge Dual arasında L ve tercih edilen birim 3-vektör olduğu Hodge çift iki varsayarak tanımını uygulanması

nerede

tanım olarak.

Çünkü bir nondegeneracy bir gelişigüzel vektördür Skalar çarpımın aşağıdaki

Bir vektör alanı olarak açısal hız

Katı bir cismin dönüş açısal hız tensörü (hareketsiz çerçevesinde), konumları hızlara (katı cisim içinde) eşleyen doğrusal bir dönüşüm olduğundan, sabit bir vektör alanı olarak kabul edilebilir . Özellikle, dönüş açısal hızı, 3-boyutlu döndürme grubunun SO(3) Lie cebirinin SO(3) bir elemanına ait bir Killing vektör alanıdır .

Ayrıca, dönüş açısal hız vektör alanının, katı cismin doğrusal hız vektörü alanının v ( r ) kıvrımının tam olarak yarısı olduğu gösterilebilir . Sembollerde,

Sert gövde hususları

Sert gövdede bulunan P noktasının konumu (mavi renkle gösterilmiştir). R, ı merkezli laboratuar çerçevesindedir, ile ilgili olarak pozisyonu O ve r ı sert gövde çerçevesi, ortalanmış göre konumudur O ' . Sert gövde çerçevesinin orijini , laboratuvar çerçevesinden R vektör konumundadır .

Açısal hız için aynı denklemler, dönen bir katı cisim üzerinden akıl yürüterek elde edilebilir . Burada rijit cismin orijin etrafında döndüğü varsayılmaz. Bunun yerine, her an lineer bir V ( t ) hızıyla hareket eden keyfi bir nokta etrafında döndüğü varsayılabilir .

Denklemleri elde etmek için, çerçevelere bağlı katı bir cisim hayal etmek ve katı cisme göre sabitlenmiş bir koordinat sistemi düşünmek uygundur. Daha sonra bu koordinat ile sabit "laboratuvar" sistemi arasındaki koordinat dönüşümlerini inceleyeceğiz.

Sağdaki Şekilde gösterildiği üzere, laboratuar sisteminin başlangıç noktası olan O sert gövde sistemi kökenli olan, O ' ve vektör O için O ' olan R . Bir parçacık: ( i rijit gövde olarak) P noktasında bulunur ve bu parçacığın vektör konumudur R ı laboratuar çerçevesindedir ve konumunda R i gövde çerçevesi. Parçacığın konumunun şu şekilde yazılabileceği görülmektedir:

Katı bir cismin tanımlayıcı özelliği, rijit bir cismin herhangi iki noktası arasındaki mesafenin zamanla değişmemesidir. Bu, vektörün uzunluğunun değişmediği anlamına gelir . Tarafından Euler dönme teoremi biz vektör yerine geçebilir ile burada bir 3 x 3, rotasyon matrisi ve zaman içinde bir sabit noktada partikül konumudur, ki t = 0 . Bu değiştirme yararlıdır, çünkü artık katı cisim O ' noktası etrafında döndüğü için referans vektörü değil, zaman içinde değişen yalnızca dönüş matrisidir . Ayrıca, dönme matrisinin üç sütunu , katı cisimle birlikte dönen bir referans çerçevesinin üç yönünü temsil ettiğinden , herhangi bir eksen etrafındaki herhangi bir dönüş şimdi görünür hale gelirken , dönme ekseni kendisine paralel olsaydı vektör dönmezdi ve bu nedenle yalnızca kendisine dik olan bir eksen etrafındaki dönüşü tanımlar (yani açısal hız sahte vektörünün bileşenini ona paralel görmez ve yalnızca ona dik bileşenin hesaplanmasına izin verir). Parçacığın konumu şu şekilde yazılır:

Zaman türevinin alınması parçacığın hızını verir:

burada V i parçacığın hızıdır (laboratuar çerçevesinde) ve V , O ' hızıdır (katı gövde çerçevesinin orijini). Yana olan bir rotasyon ters onun devrik olduğu matris. Yani yerine koyuyoruz :

veya

önceki açısal hız tensörü nerede .

Edilebilir kanıtladı bu olduğunu çarpık-simetrik matris biz onun alabilir, böylece çift hassas önceki açısal hız vektörü olan 3 boyutlu pseudovector almak için :

İkame ω için W , yukarıda hız ifadeye, ve bir eşdeğer çapraz ürünün matris çarpımını değiştirilmesi:

Katı bir cisimdeki bir noktanın hızının iki terime bölünebileceği görülebilir - katı cisimde sabitlenmiş bir referans noktasının hızı artı referansa göre parçacığın yörünge açısal hızını içeren çapraz çarpım terimi puan. Bu açısal hız aksine fizikçiler, rijit gövdenin "sıkma açısal hızı" dediğimiz yörünge referans noktası açısal hız O ' kökenli yaklaşık O .

Tutarlılık

Katı cismin keyfi bir nokta etrafında döndüğünü varsaymıştık. Daha önce tanımlanan dönüş açısal hızının orijin seçiminden bağımsız olduğunu kanıtlamalıyız, bu da dönüş açısal hızının dönen rijit cismin içsel bir özelliği olduğu anlamına gelir. (Bu belirgin kontrast Not yörünge kesinlikle noktası partikülü, açısal hız etmez kökenli seçimine bağlıdır.)

Spin açısal hızının orijin seçiminden bağımsızlığının kanıtlanması

Sağdaki grafiğe bakın: Laboratuar çerçevesinin orijini O iken, O 1 ve O 2 , hızı sırasıyla ve olan katı cisim üzerinde iki sabit noktadır . Göre açısal hız varsayalım O 1 ve O 2 olduğu ve sırasıyla. P ve O 2 noktaları tek hıza sahip olduğundan,

Yukarıdaki iki verim

P noktası (ve dolayısıyla ) keyfi olduğundan, bundan şu sonuç çıkar:

Referans noktası anlık dönme ekseni ise , katı cisimdeki bir noktanın hızının ifadesi sadece açısal hız terimine sahip olacaktır. Bunun nedeni, anlık dönme ekseninin hızının sıfır olmasıdır. Anlık dönme eksenine bir örnek, bir kapının menteşesidir. Başka bir örnek, tamamen yuvarlanan küresel (veya daha genel olarak dışbükey) bir katı cismin temas noktasıdır.

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar