Grup nesnesi - Group object

In kategori teorisi , bir dalı matematik , grup nesneleri belli genellemeler olan gruplara göre daha komplike yapılar üzerine inşa edilir setleri . Bir grup nesnesinin tipik bir örneği, bir topolojik gruptur , temel kümesi grup işlemlerinin sürekli olmasını sağlayacak şekilde bir topolojik uzay olan bir gruptur .

Tanım

Biçimsel olarak, bir ile başlar Kategori C sonlu ürünleri (yani Cı- bir vardır uç nesne 1 ve herhangi iki nesne arasında C bir olması ürünü ). Bir grup nesnesi içinde C bir amacı, G ve C birlikte Morfizm

  • m  : G × G → G ("grup çarpımı" olarak düşünülür)
  • e  : 1 → G ("kimlik öğesinin dahil edilmesi" olarak düşünülür)
  • inv  : G → G ("ters çevirme işlemi" olarak düşünülür)

öyle ki aşağıdaki özellikler (grup aksiyomlarına göre modellenmiştir - daha doğrusu, evrensel cebirde kullanılan bir grubun tanımına göre )

  • m ilişkiseldir, yani m ( m × id G ) = m (id G × m ) G × G × G → G morfizmaları olarak ve burada örneğin m × id G  : G × G × G → G × G ; burada G × ( G × G ) 'yi ( G × G ) × G ile kanonik bir şekilde tanımlıyoruz .
  • e , m'nin iki taraflı bir birimidir , yani m (id G × e ) = p 1 , burada p 1  : G × 1 → G kanonik izdüşümdür ve m ( e × id G ) = p 2 , burada p 2  : 1 × G → G kanonik izdüşümdür
  • inv , m için iki taraflı bir terstir , yani d  : G → G × G köşegen haritaysa ve e G  : G → G , benzersiz morfizm G → 1'in (counit olarak da adlandırılır) e ile birleşimidir , Daha sonra m (id G x inv ) d = e G ve m ( inv x id G ) d = e G .

Bunun haritalar açısından ifade edildiğine dikkat edin - ürün ve tersi kategorideki haritalar olmalıdır - ve grup nesnesinin altında yatan "unsurlara" herhangi bir atıfta bulunulmadan - kategoriler genel olarak nesnelerinin unsurlarına sahip değildir.

Yukarıda konması için bir diğer yol demek ki G, bir kategori bir grup amacı, C , her bir nesne için ise X in C , Morfizm Hom (bir grup yapısı vardır X , G, dan) , X için G öyle ki ilişki X Hom (üzere X , G ), bir (kontravaryant) olan funktor gelen C için gruplarının kategori .

Örnekler

  • Her set G olan bir grup yapısı ( G , m , u , -1 ) kategorisinde grup nesnesi olarak kabul edilebilir tanımlanabilir kümeleri . Harita m grubu işlemdir, harita e (ki alan a, tekil ) kimlik elemanı üzerinden alır u arasında G ve harita inv her bir grup elemanının kendi ters atar. e G  : G → G her eleman gönderir haritasıdır G kimlik elemana.
  • Bir topolojik grup kategorisinde bir grup amacı, topolojik boşluklar ile sürekli fonksiyonların .
  • Bir Lie grubu , düzgün haritalara sahip düz manifoldlar kategorisindeki bir grup nesnesidir .
  • Bir Lie üst grubu, süpermanifoldlar kategorisindeki bir grup nesnesidir .
  • Bir cebirsel grup , cebirsel çeşitler kategorisindeki bir grup nesnesidir . Modern cebirsel geometride , daha genel grup şemaları , şemalar kategorisindeki nesneleri gruplandırır .
  • Yerel grup, yerel ayarlar kategorisindeki bir grup nesnesidir .
  • Gruplar (veya monoidler ) kategorisindeki grup nesneleri , değişmeli gruplardır . Bunun nedeni, inv'nin bir homomorfizm olduğu varsayılırsa, G'nin değişmeli olması gerektiğidir. Daha kesin bir ifadeyle: eğer bir bir değişmeli grubudur ve ile ifade m grubu çarpma A ile, e kimlik elemanının dahil ve env yönünü tersine çevirme işlemi A , daha sonra ( A , m , E , inv ) bir gruplar (veya monoidler) kategorisindeki grup nesnesi. Tersine, eğer ( A , m , e , inv ) bu kategorilerden birinde bir grup nesnesiyse, m'nin A üzerinde verilen işlemle çakışması gerekir , e verilen kimlik elemanının A'ya dahil edilmesi , inv ters çevirme işlemidir. ve verilen operasyonla A değişmeli bir gruptur. Ayrıca bkz. Eckmann-Hilton argümanı .
  • Katı 2-grup , küçük kategoriler kategorisindeki grup nesnesidir .
  • Bir kategori verilen Cı sonlu ile birlikte- , bir cogroup nesnesi bir amacı, G ve C birlikte bir "comultiplication" ile m : G → G G, bir "coidentity" E : G → 0 ise ve a "coinversion" inv : G → G grup nesneleri için aksiyomların ikili versiyonlarını karşılayan . Burada 0, ilk amacı, bir C . Cogroup nesneleri, cebirsel topolojide doğal olarak oluşur .

Grup teorisi genelleştirilmiş

Grup teorisinin çoğu , daha genel grup nesneleri bağlamında formüle edilebilir. Grup homomorfizmi , alt grup , normal alt grup kavramları ve izomorfizm teoremleri tipik örneklerdir. Bununla birlikte, tek tek öğelerden veya belirli öğelerin veya alt grupların sırasından bahseden grup teorisinin sonuçları, normalde nesneleri basit bir şekilde gruplamak için genelleştirilemez.

Ayrıca bakınız

Referanslar

  • Awodey Steve (2010), Kategori Teorisi , Oxford University Press, ISBN   9780199587360
  • Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Revize üçüncü baskı), New York: Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-95385-4 , MR   1878556 , Zbl   0984.00001