İlk ve uç nesneler - Initial and terminal objects

Gelen Kategori teorisi , bir dalı matematik , bir ilk amacı, a kategorisi $C$ bir amacı, $I$ içinde $C$ her nesne için bu şekilde $X$ in $C$ , tam olarak bir vardır morfizmanın $I \to X$ .

Çift kavramı a olmasıdır uç nesne (aynı zamanda terminal elemanının :) $T$ , her bir nesne için ise terminal $X$ in $C$ tam olarak bir morfizmalar vardır $X \to T$ . Başlangıç nesneler de denir ortak sonlu veya evrensel ve terminal nesneler de denir nihai .

Bir nesne hem başlangıç hem de terminal ise, buna sıfır nesne veya boş nesne denir . Bir sivri kategori sıfır nesnesi ile biridir.

Bir katı olarak başlangıçtaki cisim $I$ içine her morfizmanın için bir tane $I$ bir bir izomorfizm .

Örnekler

Boş seti benzersiz ilk nesnedir Set , set kategorisi . Her tek elemanlı set ( tekli ) bu kategorideki bir uçbirim nesnesidir; sıfır nesne yoktur. Benzer bir şekilde, boş alan eşsiz ilk amacı, En , topolojik alanlar kategorisinde ve her bir puan alan bu kategoride bir terminal amacıdır.
Kümelerin ve ilişkilerin Rel kategorisinde boş küme, benzersiz başlangıç nesnesi, benzersiz terminal nesnesi ve dolayısıyla benzersiz sıfır nesnesidir.

Sivri uçlu kümelerin morfizmaları. Görüntü aynı zamanda cebirsel sıfır nesneler için de geçerlidir

Kategorisinde sivri setleri (; bir morfizmalar eşyasını seçkin bir elemanı ile birlikte olmayan alanları boş kümeler oluşturmaktadır $(A, bir)$ için $(B, b)$ bir fonksiyonu olduğu $f : A \to B$ ile $f (a) = B$ ) , her singleton bir sıfır nesnesidir. Benzer şekilde, sivri topolojik uzaylar kategorisinde , her singleton bir sıfır nesnedir.
Gelen Grp , grupların kategorisi , herhangi önemsiz grubu sıfır amacıdır. Önemsiz cebir aynı zamanda sıfır amacı Ab , değişmeli grupların kategorisi , rasgele sayı üreteci sözde halkaların kategorisi , R -Mod , modül kategori bir halka üzerinde, ve K -Vect , vektör alanlar kategorisinde bir alan üzerinde . Ayrıntılar için Sıfır nesne (cebir) bölümüne bakın . Bu, "sıfır nesne" teriminin kökenidir.
Olarak halka , halkaların kategorisi birliği ve birlik koruyucu Morfizm ile, halka tamsayı Z bir ilk amacıdır. Sıfır halka , sadece tek bir eleman 0 = 1 oluşan bir terminal amacıdır.
Gelen Rig , kategorisi kulesi birlik ve birlik koruyucu Morfizm ile, bir teçhizat doğal sayılar K bir ilk amacıdır. Sıfır halkası olan sıfır teçhizat, yalnızca tek bir elemandan oluşan 0 = 1, bir uç birim nesnedir.
İn Field , alanların kategorisi , herhangi bir başlangıç veya son nesneleri vardır. Bununla birlikte, sabit karakteristik alanların alt kategorisinde, ana alan bir başlangıç nesnesidir.
Herhangi bir kısmi sıralı grubu $(P, \leq)$ nesneler öğeleri: bir kategori olarak yorumlanabilir $P$ ve tek morfizmanın vardır $x$ için $y$ ancak ve ancak $x \leq y$ . Bu kategorinin bir başlangıç nesnesi vardır ancak ve ancak $P$ en az bir elemana sahipse ; ancak ve ancak $P'nin$ en büyük elemanı varsa bir uçbirim nesnesine sahiptir .
Kedi , küçük kategorilerin kategorisi ile functors Morfizm boş kategorisi vardır 0 ilk nesne ve terminal kategori olarak (nesneler ve hiçbir Morfizm ile), 1 , terminal bir nesne olarak (tek bir kimlik morfizma ile tek bir nesne ile birlikte), .
Şemalar kategorisinde, tamsayılar halkasının ana spektrumu olan Spec ( Z ) bir uçbirim nesnesidir. Boş şema ( sıfır halkanın asal spektrumuna eşittir ) bir başlangıç nesnesidir.
Bir sınır a diyagramıdır F bir uç nesne olarak karakterize edilebilir konilerin kategorisi için F . Aynı şekilde, bir colimit F ko-koniler kategorisinde ilk nesne olarak karakterize edilebilir F .

Özellikleri

Varoluş ve benzersizlik

Başlangıç ve uç nesnelerin belirli bir kategoride bulunması gerekli değildir. Ancak, eğer varlarsa, esasen benzersizdirler. Spesifik olarak, eğer $I 1$ ve $I 2$ iki farklı başlangıç nesnesiyse , aralarında benzersiz bir izomorfizm vardır. Dahası, eğer $ben$ bir başlangıç nesnesiyse, o zaman $I'e$ izomorfik olan herhangi bir nesne de bir başlangıç nesnesidir. Aynısı uçbirim nesneleri için de geçerlidir.

İçin tam kategoriler ilk nesneler için bir varlık teoremi vardır. Spesifik olarak, bir ( yerel olarak küçük ) tam kategori $Cı$ ilk nesne olup olmadığını ve bir dizisi de bulunmaktadır sadece $I$ ( değil bir uygun sınıfı ) ve bir $I$ - endeksli bir aile $(K i)$ nesnelerin $C$ , öyle ki herhangi bir nesne için $X$ ve $C$ , bazı $i$ $\in$ $I$ için en az bir $K i \to X$ morfizmi vardır .

Eşdeğer formülasyonlar

$C$ kategorisindeki terminal nesneleri , benzersiz boş diyagram $0$ $\to$ $C'nin$ sınırları olarak da tanımlanabilir . Boş kategori boş bir şekilde ayrık bir kategori olduğu için , uçbirim nesnesi boş bir ürün olarak düşünülebilir (bir ürün aslında genel olarak ayrık diyagramın ${$ $X$ $i$ $}$ sınırıdır ). Çoğunlukla, ilk nesne $0$ $\to$ $C$ boş diyagramının bir eş sınırlamasıdır ve boş bir ortak ürün veya kategorik toplam olarak düşünülebilir .

Sınırları koruyan herhangi bir functor , uçbirim nesnelerini uçbirim nesnelerine götürür ve eş sınırlamaları koruyan herhangi bir işleç, ilk nesneleri ilk nesnelere götürür. Örneğin, herhangi bir ilk amacı, beton kategorisine sahip nesnelerin serbest (itibaren boş grubundan elde edilen serbest bir amacı olacak serbest funktor , olan eşlenik sol için unutkan funktor için Set , korur eş limitler).

İlk ve son nesneler aynı zamanda evrensel özellikler ve eş işlevler açısından da karakterize edilebilir . Let 1 (• ile gösterilmiş) tek bir nesne ile ayrı kategori olarak ve izin $U : C \to 1$ özgü (sabit) funktor olarak 1 . Sonra

Bir ilk nesne $I$ de $C$ a, evrensel morfizmanın için • gelen $U$ . $I'e$ • gönderen işlev , U'ya bitişik olarak bırakılır .
Bir terminal bir amacı $, T$ de $C$ evrensel bir morfizmanın olan $U$ • için. $T'ye$ • gönderen fonktor, $U'nun$ sağ eşiğidir .

Diğer kategorik yapılarla ilişki

Kategori teorisindeki birçok doğal yapı, uygun bir kategoride bir başlangıç veya son nesne bulma açısından formüle edilebilir.

Bir $X$ nesnesinden bir $U$ işlevine evrensel bir morfizm , virgül kategorisindeki $($ $X$ $↓$ $U$ $)$ bir başlangıç nesnesi olarak tanımlanabilir . İkili olarak, bir evrensel morfizmanın $U$ için $X$ bir uç amacı, $($ $u$ $↓$ $x$ $)$ .
Bir diyagramdır limiti $F$ bir uç amacı $Koni (F)$ , konilerin kategorisi için $F$ . İkili olarak, bir colimit $F$ adlı koniler kategorisinde bir ilk amacı, $F$ .
Bir bir funktor temsil $F$ için set içinde bir ilk amacı, elemanların kategorisine ait $F$ .
Son işlevci kavramı (sırasıyla ilk işlevci), son nesne kavramının (sırasıyla ilk nesne) genellemesidir.

Diğer özellikler

Endomorfizma monoid bir başlangıç veya terminal nesnenin $I$ Önemsiz: $sonu (I) = Hom (I, I) = {id I}$ .
Bir kategori ise $Cı$ sıfır nesnesi $0$ , daha sonra nesnelerin herhangi bir çifti için $X$ ve $Y'nin$ de $C$ , benzersiz bir bileşim $X \to 0 \to Y,$ a, sıfır morfizmanın gelen $X$ ile $Y$ .

Referanslar

Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Soyut ve Somut Kategoriler. Kedilerin sevinci (PDF) . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6 . Zbl 0695.18001 .
Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, editörler. (2004). Kategorik temeller. Sıra, topoloji, cebir ve demet teorisinde özel konular . Matematik Ansiklopedisi ve Uygulamaları. 97 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-83414-7 . Zbl 1034.18001 .
Mac Lane, Saunders (1998). Çalışan Matematikçi Kategorileri . Matematikte Lisansüstü Metinler . 5 (2. baskı). Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8 . Zbl 0906.18001 .
Bu makalede, kısmen dayanır PlanetMath bireyin başlangıç ve bitiş nesnelerin örnekleri üzerinde maddesi .

Languages

In other projects