Exsekant - Exsecant

Trigonometri
anahat Tarih kullanım Fonksiyonlar  ( ters ) genelleştirilmiş trigonometri
Referans
kimlikler Kesin sabitler Tablolar Birim çember
Kanunlar ve teoremler
sinüsler kosinüsler teğetler kotanjantlar Pisagor teoremi
kalkülüs
trigonometrik ikame İntegraller  ( ters fonksiyonlar ) türevler
v T e

Exsecant ( exsec , EXS ) ve excosecant ( excosec , excsc , exc ) olan trigonometrik fonksiyonlar açısından tanımlanmış kesen ve cosecant fonksiyonlar. Eskiden ölçme , demiryolu mühendisliği , inşaat mühendisliği , astronomi ve küresel trigonometri gibi alanlarda önemliydiler ve doğruluğu artırmaya yardımcı olabilirler, ancak bugün bazı hesaplamaları basitleştirmek dışında nadiren kullanılmaktadırlar.

Trigonometrik fonksiyonları olan bir birim çember .

Exsekant

Ekssekant dahil trigonometrik fonksiyonlar, O merkezli bir birim daire cinsinden geometrik olarak oluşturulabilir . Exsecant kısmıdır DE sekant bir dış çevreye.

Exsecant : (Latince secans dış olarak da bilinir), dış , dış , dışarıya doğru ya da dış sekant gibi kısaltılır exsec veya EXS , a, trigonometrik fonksiyonlar sekant fonksiyonu sn (açısından tanımlanan θ ):

${\displaystyle \operatöradı {exsec} (\theta )=\sec(\theta )-1={\frac {1}{\cos(\theta )}}-1.}$

Exsekant adı , tarihsel olarak kullanıldığı gibi , bir birim çemberden çeşitli trigonometrik fonksiyonların grafiksel bir yapısından anlaşılabilir . s ( θ ) olan kesen OE ve exsecant kısmıdır DE Bu sekant bu yalan dış çevreye ( ör olan Latince için üzerinden ).

excosekant

exsekant (mavi) ve excosekant (yeşil)

İlgili bir fonksiyonudur excosecant veya coexsecant olarak da bilinen dış , dış , dışarıya doğru ya da dış cosecant gibi kısaltılmıştır excosec , coexsec , excsc veya exc , tamamlayıcı açı exsecant:

${\displaystyle \operatöradı {excsc} (\theta )=\operatöradı {exsec} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \sağ)=\csc(\theta )-1={\ frac {1}{\sin(\theta )}}-1.}$

kullanım

1980'lere kadar ölçme , demiryolu mühendisliği (örneğin, demiryolu eğrilerini ve deveri yerleştirmek için ), inşaat mühendisliği , astronomi ve küresel trigonometri gibi alanlarda önemli olan ekssekant işlevi artık çok az kullanılmaktadır. Bunun temel nedeni, hesap makinelerinin ve bilgisayarların yaygın olarak bulunmasının, bunun gibi özel fonksiyonların trigonometrik tablolarına olan ihtiyacı ortadan kaldırmasıdır.

Exsecant için özel bir işlev tanımlamak için bir neden gerekçesi benzer versine : için küçük açılar İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin sn ( θ ) işlevi yaklaşımlar bir ve içerecektir exsecant için, yukarıdaki formül kullanılarak, böylece çıkarma yaklaşık olarak eşit iki miktarlar, feci bir iptalle sonuçlanır . Bu nedenle, bir sekant işlevi tablosu, ekssekant için kullanılmak üzere çok yüksek bir doğruluğa ihtiyaç duyacaktır, bu da özel bir ekssekant tablosunu kullanışlı hale getirir. Bir bilgisayarla bile , kosinüs tabanlı tanım kullanılıyorsa, küçük açıların eksantrikleri için kayan nokta hataları sorunlu olabilir. Bu sınırda daha doğru bir formül, kimliği kullanmak olacaktır:

${\displaystyle \operatöradı {exsec} (\theta )={\frac {1-\cos(\theta )}{\cos(\theta )}}={\frac {\operatöradı {versin} (\teta )} {\cos(\theta )}}=\operatöradı {versin} (\theta )\sec(\theta )=2\left(\sin \left({\frac {\theta }{2}}\sağ)\ sağ)^{2}\sec(\theta )}$

veya

${\displaystyle \operatöradı {excsc} (\theta )={\frac {1-\sin(\theta )}{\sin(\theta )}}={\frac {\operatöradı {coversin} (\theta )} {\sin(\theta )}}=\operatöradı {coversin} (\theta )\csc(\theta )=2\left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\sağ)\ sağ)^{2}\csc(\theta ).\ }$

Bilgisayarların kullanılabilirliğinden önce, bu zaman alıcı çarpma işlemleri gerektiriyordu.

Exsekant işlevi, 1632'de Galileo Galilei tarafından kullanılmış olmasına rağmen, hala segante ( sekant anlamına gelir ) olarak adlandırdı. Latince terim secans external en az 1745'ten beri kullanılmaktadır. İngilizce harici sekant teriminin kullanımı ve ex kısaltması . sn. Charles Haslett'in bilinen ilk exsekant tablosunu yayınladığı en az 1855 yılına kadar izlenebilir . Gibi varyasyonlar eski sekant ve exsec 1880 yılında kullanımda olduğunu ve exsecant 1894 azından beri kullanılmıştır.

Eşekssekant ve eşeksec terimleri , 1880 gibi erken bir tarihte, ardından 1909'dan beri excosecant tarafından kullanılabilir. Bu fonksiyon, aynı zamanda , fermiyonların kinetik enerjisini tanımlamak için Albert Einstein tarafından da kullanılmıştır .

matematiksel kimlikler

türevler

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\operatöradı {exsec} (\theta )=\tan(\theta )\sec(\theta )={\frac { \sin(\theta )}{(\cos(\theta ))^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\operatör adı {excsc} (\theta )=-\cot(\theta )\csc(\theta )={\frac {-\cos(\theta )}{(\sin(\theta ))^{2}}}}$

integraller

${\displaystyle \int \operatöradı {exsec} (\theta )\,\mathrm {d} \theta =\ln \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\sağ)+\ sin \left({\frac {\theta }{2}}\sağ)\sağ]-\ln \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\sağ)-\sin \ sol({\frac {\theta }{2}}\sağ)\sağ]-\teta +C}$

${\displaystyle \int \operatöradı {excsc} (\theta )\,\mathrm {d} \theta =\ln \left[\tan \left({\frac {\theta }{2}}\sağ)\sağ ]-\teta +C}$

ters fonksiyonlar

Arcexsecant ( arcexsec , aexsec , aexs , exsec ^-1 ) ve arcexcosecant ( arcexcosec , arcexcsc , aexcsc , aexc , arccoexsecant , arccoexsec , excsc ^-1 ) ters fonksiyonları da mevcuttur:

${\displaystyle \operatöradı {arcexsec} (y)=\operatöradı {arcsec}(y+1)=\arccos \left({\frac {1}{y+1}}\sağ)=\arctan({\sqrt {y^{2}+2y}})}$( y  ≤ -2 veya y  ≥ 0 için)

${\displaystyle \operatöradı {arcexcsc} (y)=\operatöradı {arccsc}(y+1)=\arcsin \left({\frac {1}{y+1}}\sağ)\,}$

Diğer özellikler

Birim çemberden türetilmiştir:

${\displaystyle \operatöradı {exsec} (\theta )=\sec(\theta )-\cos(\theta )-\operatöradı {versin} (\theta ).}$

${\displaystyle \operatöradı {excsc} (\theta )=\operatöradı {csc} (\theta )-\sin(\theta )-\operatöradı {coversin} (\theta ).}$

Exsekant işlevi, tanjant işleviyle ilişkilidir.

${\displaystyle \operatöradı {exsec} (\theta )=\tan(\theta )\tan \left({\frac {\theta }{2}}\sağ).}$

Analojide, excosekant işlevi kotanjant işleviyle şu şekilde ilişkilidir :

${\displaystyle \operatöradı {hariç} (\theta )=\cot(\theta )\cot \left({\frac {\theta }{2}}\sağ).}$

Exsekant fonksiyonu sinüs fonksiyonu ile ilişkilidir.

${\displaystyle \operatöradı {exsec} (\theta )={\frac {1}{\sqrt {1-(\sin(\theta ))^{2}}}}-1.}$

Analojide, excosekant işlevi kosinüs işleviyle şu şekilde ilişkilidir :

${\displaystyle \operatöradı {excsc} (\theta )={\frac {1}{\sqrt {1-(\cos(\theta ))^{2}}}}-1.}$

Exsekant ve excosekant fonksiyonları karmaşık düzleme genişletilebilir .

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatör adı {exsec} (\theta )}{\theta }}=0}$

${\displaystyle {\frac {\operatöradı {versin} (\theta )+\operatöradı {coversin} (\theta )}{\operatöradı {versin} (\theta )-\operatöradı {kapak} (\teta )}}- {\frac {\operatöradı {exsec} (\theta )+\operatöradı {excsc} (\theta )}{\operatöradı {exsec} (\theta )-\operatöradı {excsc} (\theta )}}={\frac {2\operatöradı {versin} (\theta )\operatöradı {coversin} (\theta )}{\operatöradı {versin} (\theta )-\operatöradı {coversin} (\theta )}}}$

${\displaystyle (\operatöradı {exsec} (\theta )+\operatöradı {versin} (\theta ))\,(\operatöradı {excsc} (\theta )+\operatöradı {coversin} (\theta ))=\sin (\teta )\cos(\teta )}$

${\displaystyle \operatöradı {exsec} (2\theta )={\frac {2\sin ^{2}(\theta )}{1-2\sin ^{2}(\theta )}}}$

${\displaystyle \operatöradı {exsec} (2\theta )\,\cos(2\theta )=\tan(\theta )}$

${\displaystyle \operatöradı {exsec} ^{2}(\theta )+2\operatöradı {exsec} (\theta )=\tan ^{2}(\theta )}$

Ayrıca bakınız

• Trigonometrik kimlikler  – Trigonometrik fonksiyonları içeren eşitlikler
• Versin  – 1 eksi bir açının kosinüsü
• Akor  - Uç noktaları her ikisi de eğri üzerinde bulunan geometrik çizgi parçası
• Bir üçgenin  daire ve dış daireleri - Bir üçgenin üç kenarına da teğet olan daireler
• üstel eksi 1
• Doğal logaritma artı 1

Referanslar