Matematiksel tablo - Mathematical table

Sinüs, tangenler ve sekans etiketli sayıların sütunlarına açılan eski bir kitap
Matthias Bernegger'in 1619 tarihli matematik tabloları kitabından , sinüs, tanjant ve sekant trigonometrik fonksiyonların değerlerini gösteren karşılıklı sayfalar . Sol sayfada 45°'den küçük açılar, sağda 45°'den büyük açılar bulunur. Karşı sayfadaki giriş kullanılarak kosinüs, kotanjant ve kosekant bulunur.

Matematiksel tablolar , değişken argümanlarla bir hesaplamanın sonuçlarını gösteren sayı listeleridir. Antik Yunan ve Hindistan'da astronomi ve göksel navigasyon uygulamaları için trigonometrik fonksiyon tabloları kullanılmıştır . Dek yaygın kullanılmaya devam elektronik hesap makineleri ucuz ve bol oldu basitleştirmek ve büyük ölçüde hızlandırmak amacıyla, hesaplama . Matematik ve fen ders kitaplarında logaritma ve trigonometrik fonksiyon tabloları yaygındı ve çok sayıda uygulama için özel tablolar yayınlandı.

Tarih ve kullanım

Bilinen trigonometrik fonksiyonların ilk tabloları Hipparchus (c.190 – c.120 BCE) ve Menelaus (c.70–140 CE) tarafından yapılmıştır, ancak her ikisi de kaybolmuştur. Batlamyus'un hayatta kalan tablosuyla birlikte (c. 90 – c.168 CE), hepsi yarım akor değil, akor tablolarıydı, yani sinüs fonksiyonu. Hint matematikçi Aryabhata tarafından üretilen tablosu (476-550 CE) şimdiye kadar yapılan ilk sinüs tablosu olarak kabul edilir. Āryabhaṭa'nın masası, eski Hindistan'ın standart sinüs tablosu olarak kaldı. Bu tablonun doğruluğunu geliştirmek için sürekli girişimlerde bulunuldu; bu , sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının kuvvet serisi açılımlarının Sangamagrama'lı Madhava (c.1350 - c.1425) tarafından keşfedilmesi ve Madhava tarafından bir sinüs tablosunun tablolanması ile sonuçlandı. yedi veya sekiz ondalık basamağa kadar doğru değerlerle.

1925 yılına ait bu matematik tabloları, Üniversite Giriş Sınav Kurulu tarafından sınavların matematik kısımlarını alan öğrencilere dağıtıldı.

Tablolar ortak logaritma ekstraksiyonu dahil olmak üzere, hızlı çarpımı, bölünme ve üs alma yapmak için bilgisayar ve elektronik hesap makineleri, buluşa kadar kullanılmıştır N inci kökleri.

Fark motorları olarak bilinen mekanik özel amaçlı bilgisayarlar , 19. yüzyılda logaritmik fonksiyonların polinom yaklaşımlarını tablo haline getirmek, yani büyük logaritmik tabloları hesaplamak için önerildi. Bu, esas olarak, zamanın insan bilgisayarları tarafından yapılan logaritmik tablolardaki hatalar tarafından motive edildi . İlk dijital bilgisayarlar, II. Dünya Savaşı sırasında, kısmen topçu silahlarını hedeflemek için özel matematiksel tablolar üretmek için geliştirildi . 1972'den itibaren, bilimsel hesap makinelerinin piyasaya sürülmesi ve artan kullanımıyla , çoğu matematiksel tablo kullanım dışı kaldı.

Bu tür tabloları oluşturmak için son büyük çabalardan biri, 1938'de Amerika Birleşik Devletleri'nde , İş İlerleme İdaresi'nin (WPA) bir projesi olarak başlatılan ve daha yüksek matematiksel işlevleri tablolamak için 450 işsiz memurun istihdam edildiği Matematiksel Tablolar Projesi idi . Dünya Savaşı boyunca sürmüştür.

Masaları özel fonksiyonlar halen kullanılmaktadır. Örneğin , normal dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonunun değer tablolarının kullanımı – sözde standart normal tablolar – bilimsel ve grafik hesap makinelerinin kullanılması bu tür tabloları gereksiz hale getirmesine rağmen, bugün özellikle okullarda yaygın olarak kalmaktadır.

Rastgele erişim belleğinde saklanan tablolar oluşturmak , bilgisayar programcılığında yaygın bir kod optimizasyon tekniğidir; bu tür tabloların kullanımı, bir tablo aramasının karşılık gelen hesaplamalardan daha hızlı olduğu durumlarda (özellikle söz konusu bilgisayar çalışmıyorsa) hesaplamaları hızlandırır. hesaplamaların bir donanım uygulamasına sahip olun). Özünde, tabloları depolamak için gereken bilgisayar bellek alanı için bilgi işlem hızı takas edilir.

logaritma tabloları

Henry Briggs'in 1617 Logarithmorum Chilias Prima'sından , 0 ila 67 ila on dört ondalık basamaklı tam sayıların 10 tabanı (ortak) logaritmasını gösteren bir sayfa .
Abramowitz ve Stegun referans kitabındaki 20. yüzyıldan kalma ortak logaritma tablosunun bir parçası .
2002 American Practical Navigator'dan trigonometrik fonksiyonların logaritma tablosundan bir sayfa . İnterpolasyona yardımcı olmak için fark sütunları dahil edilmiştir .

Ortak logaritmalar (taban-10) içeren tablolar , elektronik hesap makinelerinin ve bilgisayarların ortaya çıkmasından önce hesaplamalarda yaygın olarak kullanılıyordu, çünkü logaritmalar çarpma ve bölme problemlerini çok daha kolay toplama ve çıkarma problemlerine dönüştürüyordu. 10 tabanlı logaritmaların benzersiz ve kullanışlı ek bir özelliği daha vardır: Birden büyük sayıların ortak logaritması, yalnızca on katıyla farklılık gösterir, tümü mantis olarak bilinen aynı kesirli kısma sahiptir . Ortak logaritma tabloları tipik olarak yalnızca mantisleri içerir ; logaritmanın karakteristik olarak bilinen tamsayı kısmı , orijinal sayıdaki basamakları sayarak kolayca belirlenebilir. Benzer bir ilke, 1'den küçük pozitif sayıların logaritmalarının hızlı hesaplanmasına izin verir. Böylece, tüm pozitif ondalık sayılar aralığı için tek bir ortak logaritma tablosu kullanılabilir. Karakteristiklerin ve mantislerin kullanımına ilişkin ayrıntılar için ortak logaritmaya bakın .

Tarih

1544'te Michael Stifel , logaritmik bir tablonun erken bir versiyonu olarak kabul edilen 2'nin tamsayıları ve kuvvetleri tablosunu içeren Arithmetica integralini yayınladı .

Logaritma yöntemi, John Napier tarafından 1614'te Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Logaritmaların Harika Kuralının Tanımı ) adlı bir kitapta halka açık bir şekilde öne sürüldü . Kitap elli yedi sayfa açıklayıcı madde ve doksan sayfa doğal logaritma ile ilgili tablo içeriyordu . İngiliz matematikçi Henry Briggs , 1615'te Napier'i ziyaret etti ve şimdi ortak veya 10 tabanlı logaritmalar olarak bilinen şeyi oluşturmak için Napier'in logaritmalarının yeniden ölçeklenmesini önerdi . Napier, revize edilmiş bir tablonun hesaplanmasını Briggs'e verdi. 1617'de, logaritmaların kısa bir hesabını ve 14. ondalık basamağa kadar hesaplanan ilk 1000 tamsayı için bir tablo veren Logarithmorum Chilias Prima ("İlk Bin Logaritma") yayınladılar.

Ortak logaritmalar, güçlü sayıların tersi veya üstel gösterim yoluyla elde edilen hesaplama ilerlemesi, hesaplamaları elle çok daha hızlı yapacak şekildeydi.

trigonometrik tablolar

Trigonometrik hesaplamalar, astronominin ilk çalışmalarında önemli bir rol oynadı. İlk tablolar, eskilerinden yeni değerleri hesaplamak için tekrar tekrar trigonometrik kimlikler (yarım açı ve açı toplamı kimlikleri gibi) uygulanarak oluşturulmuştur.

Basit bir örnek

Yukarıda gösterilen 1619'dan Bernegger tablosu gibi bir trigonometrik fonksiyonlar tablosu kullanarak 75 derece, 9 dakika, 50 saniye sinüs fonksiyonunu hesaplamak için , 75 derece, 10 dakikaya yuvarlanabilir ve ardından 10 dakikalık giriş bulunabilir. Sağ üstte gösterilen 75 derecelik sayfa, 0.9666746.

Ancak, bu cevap yalnızca dört ondalık basamak için doğrudur. Daha fazla doğruluk istenirse, aşağıdaki gibi doğrusal olarak enterpolasyon yapılabilir :

Bernegger tablosundan:

günah (75° 10′) = 0.9666746
günah (75° 9′) = 0.9666001

Bu değerler arasındaki fark 0.0000745'tir.

Bir yay dakikasında 60 saniye olduğundan, (50/60)*0.0000745 ≈ 0.0000621; ve sonra elde etmek için bu düzeltmeyi günaha (75 ° 9 ′) ekleyin:

günah (75° 9′ 50″) ≈ günah (75° 9′) + 0.0000621 = 0.9666001 + 0.0000621 = 0.9666622

Modern bir hesap makinesi sin(75° 9′ 50″) = 0.96666219991, yani enterpolasyonlu yanıtımız Bernegger tablosunun 7 basamaklı kesinliği için doğrudur.

Daha yüksek kesinliğe sahip tablolar için (değer başına daha fazla basamak), tam doğruluk elde etmek için daha yüksek dereceli enterpolasyon gerekebilir. Elektronik bilgisayarlardan önceki çağda, tablo verilerinin bu şekilde enterpolasyonu, navigasyon, astronomi ve haritacılık gibi uygulamalar için ihtiyaç duyulan matematiksel fonksiyonların yüksek doğruluk değerlerini elde etmenin tek pratik yoluydu.

Navigasyon gibi uygulamalarda doğruluğun önemini anlamak için, deniz seviyesinde , Dünya'nın ekvatoru veya bir meridyen (aslında, herhangi bir büyük daire ) boyunca bir dakikalık yayın yaklaşık bir deniz miline (1.852 km veya 1.151 mi) eşit olduğuna dikkat edin.

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ a b J J O'Connor ve EF Robertson (Haziran 1996). "Trigonometrik fonksiyonlar" . Erişim tarihi: 4 Mart 2010 .
  2. ^ ER Hedrick, Logaritmik ve Trigonometrik Tablolar (Macmillan, New York, 1913).
  3. ^ Stifelio, Michaele (1544), Arithmetica Integra , Londra: Iohan Petreium
  4. ^ Bukhshtab, AA; Pechaev, VI (2001) [1994], "Aritmetik" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press
  5. ^ Vivian Shaw Groza ve Susanne M. Shelley (1972), Precalculus matematik , New York: Holt, Rinehart ve Winston, s. 182, ISBN  978-0-03-077670-0
  6. ^ Ernest William Hobson (1914), John Napier ve logaritmaların icadı, 1614 , Cambridge: The University Press
  7. ^ Abramowitz ve Stegun Matematiksel Fonksiyonların El Kitabı, Giriş §4

Dış bağlantılar