Temel aritmetik - Elementary arithmetic

Temel temel aritmetik semboller.

Basit bir aritmetik basitleştirilmiş bölümüdür aritmetik işlemleri içerir eklenmesi , çıkarma , çarpma ve bölme . Temel fonksiyon aritmetiği ile karıştırılmamalıdır .

Temel aritmetik, doğal sayılar ve onları temsil eden yazılı semboller ( rakamlar ) ile başlar . Bu sayıların bir çiftini dört temel işlemle birleştirme işlemi, geleneksel olarak , çarpma ve bölmeye yardımcı olacak bir çarpım tablosunun içeriği de dahil olmak üzere, küçük sayı değerleri için ezberlenmiş sonuçlara dayanır .

Temel aritmetik ayrıca bir sayı doğrusunda gösterilebilen kesirleri ve negatif sayıları da içerir .

rakamlar

Ana madde: Sayısal basamak

Rakamlar, sayıları temsil etmek için kullanılan sembollerin tamamıdır. Belirli bir sayı sisteminde , aynı sayı sistemindeki semboller kültürler arasında farklılık gösterebilse de, tek bir rakam diğer herhangi bir rakamdan farklı bir miktarı temsil eder.

Modern kullanımda Arap rakamları en yaygın sembol setidir ve bu rakamların en sık kullanılan şekli Batı tarzıdır. Her bir basamak, bağımsız bir sayı olarak kullanılırsa şu miktarlarla eşleşir:
0 , sıfır . Sayılacak nesnelerin yokluğunda kullanılır. Örneğin, "burada çubuk yok" demenin farklı bir yolu, "burada çubuk sayısı 0" demek.
1 , bir . Tek bir öğeye uygulanır. Örneğin, burada bir çubuk var: I
2 , iki . Bir çift öğeye uygulanır. İşte iki çubuk: II
3 , üç . Üç maddeye uygulandı. İşte üç çubuk: III
4 , dört . Dört maddeye uygulandı. İşte dört çubuk: III I
5 , beş . Beş maddeye uygulandı. İşte beş çubuk: III II
6 , altı . Altı maddeye uygulandı. İşte altı çubuk: III III
7 , yedi . Yedi maddeye uygulandı. İşte yedi çubuk: III III I
8 , sekiz . Sekiz maddeye uygulandı. İşte sekiz çubuk: III III II
9 , dokuz . Dokuz maddeye uygulandı. İşte dokuz çubuk: III III III

Herhangi bir sayı sistemi, çoğu zaman bitişik basamaklar için değer ekleyerek, birden fazla basamak içeren tüm sayıların değerini tanımlar. Hint-Arap numarası sistemi içeren konumsal gösterim herhangi bir sayı değerini belirlemek için. Bu tür bir sistemde, ek bir basamağın değerindeki artış, sayı tabanı değeriyle bir veya daha fazla çarpma içerir ve sonuç, bitişik bir basamağın değerine eklenir. Arap rakamlarıyla, onluk taban değeri, "21" sayısı için yirmi bir ( 2×10 + 1'e eşit) bir değer üretir . Her ek basamak için taban değeriyle ek bir çarpma gerçekleşir, bu nedenle "201" sayısı iki yüz bir değerini ( 2×10×10 + 0×10 + 1'e eşit ) temsil eder.

Temel eğitim seviyesi, tipik olarak, maksimum yedi basamaklı Arap rakamları kullanarak bireysel tam sayıların değerini anlamayı ve her biri en fazla dört basamaklı Arap rakamları kullanarak dört temel işlemi gerçekleştirmeyi içerir.

Ek

Ana madde: Ekleme
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

İki sayı birbirine eklendiğinde sonuca toplam denir . Birbirine eklenen iki sayıya toplama denir .

İki doğal sayı eklemek ne anlama geliyor?

Diyelim ki iki çantanız var, bir çanta beş elma tutuyor ve ikinci bir çanta üç elma tutuyor. Üçüncü, boş bir torbayı alarak, birinci ve ikinci torbadaki tüm elmaları üçüncü torbaya taşıyın. Üçüncü çanta şimdi sekiz elma alıyor. Bu, üç elma ve beş elmanın sekiz elma olduğu kombinasyonunu gösterir; veya daha genel olarak: "üç artı beş sekizdir" veya "üç artı beş eşittir sekiz" veya "sekiz üç ve beşin toplamıdır". Sayılar soyuttur ve beş şeyden oluşan bir gruba üç şeyden oluşan bir grubun eklenmesi, sekiz şeyden oluşan bir grup verir. Toplama bir yeniden gruplandırmadır: ayrı ayrı sayılan iki nesne kümesi tek bir gruba konur ve birlikte sayılır: yeni grubun sayısı, iki orijinal grubun ayrı sayımlarının "toplamı"dır.

Bu birleştirme işlemi , matematiksel toplama işleminin sahip olabileceği birkaç olası anlamdan yalnızca biridir. Eklemenin diğer anlamları şunları içerir:

  • karşılaştırma ("Tom'un 5 elması var. Jane'in Tom'dan 3 elması daha var. Jane'in kaç elması var?"),
  • katılma ("Tom'un 5 elması var. Jane ona 3 elma daha veriyor. Tom'un şimdi kaç elması var?"),
  • ölçme ("Tom'un masası 3 fit genişliğinde. Jane'inki de 3 fit genişliğinde. Bir araya getirildiğinde masaları ne kadar geniş olacak?"),
  • ve hatta bazen ayrılarak ("Tom'un birkaç elması vardı. Jane'e 3 tane verdi. Şimdi 5 tane aldı. Kaç tane ile başladı?").

Sembolik olarak, toplama " artı işareti ": + ile temsil edilir . Yani "üç artı beş eşittir sekiz" ifadesi sembolik olarak 3 + 5 = 8 şeklinde yazılabilir . İki sayının toplanma sırası önemli değil, yani 3 + 5 = 5 + 3 = 8 . Bu, toplamanın değişmeli özelliğidir.

Tabloyu kullanarak bir çift rakam eklemek için, ilk rakamın satırının ikinci rakamın sütunuyla kesişimini bulun: satır ve sütun, iki rakamın toplamını içeren bir karede kesişir. Basamak bazı çiftleri on haneli her zaman "adı verilen bir basamak çifti toplamı on haneli algoritması ek olarak, 1. olmak üzere iki haneli sayılar kadar ekleyin taşıma basamaklı".

Toplama algoritması

Basit olması için, yalnızca üç veya daha az basamaklı sayıları göz önünde bulundurun. (Arap rakamlarıyla yazılmış) bir sayı çifti eklemek için, ikinci sayıyı birincinin altına yazın, böylece rakamlar sütunlarda sıralanır: en sağdaki sütun, ikinci sayının birler-hanesinin altındaki ikinci sayının bir-hanesini içerecektir. ilk sayı. Bu en sağdaki sütun, birler sütunudur. Hemen solundaki sütun onlarca sütundur. Onlarca sütunu, ilk sayının (eğer varsa) onlarca rakamının altında ikinci sayının (eğer varsa) onlarca rakamına sahip olacaktır. Onlarca sütunun hemen solundaki sütun, yüzlerce sütundur. Yüzler sütunu, ikinci sayının (varsa) yüzler hanesini ilk sayının (eğer varsa) yüzler hanesinin altına yerleştirecektir.

Rakamlar doğru sütunlarında sıralanacak şekilde ikinci sayı birincinin altına yazıldıktan sonra ikinci (alt) sayının altına bir çizgi çizin. Birler sütunuyla başlayın: birler sütunu bir çift rakam içermelidir: ilk sayının birler basamağı ve onun altında ikinci sayının birler basamağı. Bu iki basamağın toplamını bulun: bu toplamı satırın altına ve birler sütununa yazın. Toplamın iki hanesi varsa, toplamın yalnızca birler basamağını yazın. "Taşıma basamağı"nı bir sonraki sütunun üst basamağının üzerine yazın: bu durumda sonraki sütun onlarca sütundur, bu nedenle ilk sayının onluk basamağının üstüne 1 yazın.

Hem birinci hem de ikinci sayının her birinin yalnızca bir basamağı varsa, toplamları toplama tablosunda verilir ve toplama algoritması gereksizdir.

Ardından onlarca sütun gelir. Onlarca sütun iki basamak içerebilir: ilk sayının onluklar basamağı ve ikinci sayının onluklar basamağı. Sayılardan birinin onluk basamağı eksikse, bu sayının onluk basamağı 0 olarak kabul edilebilir. İki sayının onluklarını toplayın. Ardından, bir taşıma basamağı varsa, bu toplama ekleyin. Toplam 18 ise, taşıma basamağının eklenmesi 19 verir. Onlarca basamak toplamı (varsa taşıma basamağı artı) ondan küçükse, satırın altındaki onlar sütununa yazın. Toplamın iki basamağı varsa, son basamağını satırın altındaki onlarca sütuna yazın ve ilk basamağını (1 olmalıdır) sonraki sütuna taşıyın: bu durumda yüzlerce sütun.

İki sayıdan hiçbirinde yüzler basamağı yoksa, taşıma basamağı yoksa toplama algoritması tamamlanmıştır. Eğer bir taşıma basamağı varsa (onlarlık sütundan taşınan), o zaman onu satırın altındaki yüzler sütununa yazın ve algoritma tamamlanır. Algoritma bittiğinde çizginin altındaki sayı iki sayının toplamıdır.

Sayılardan en az birinin yüz hanesi varsa, sayılardan birinin yüz hanesi eksikse yerine 0 hanesini yazın. İki yüz basamağı ekleyin ve toplamlarına, varsa taşıma basamağını ekleyin. Ardından, yüzlerce sütununun toplamını, aynı zamanda yüzlerce sütununa da satırın altına yazın. Toplamın iki basamağı varsa, toplamın son basamağını yüzler sütununa yazın ve taşıma basamağını soluna yazın: binler sütununa.

Örnek

653 ve 274 sayılarının toplamını bulmak için, ikinci sayıyı, rakamlar sütunlara hizalı olarak birincinin altına aşağıdaki gibi yazın:

6 5 3
2 7 4

Ardından ikinci sayının altına bir çizgi çizin ve artı işareti koyun. Ekleme, birler sütunuyla başlar. İlk sayının birler basamağı 3, ikinci sayının 4'tür. Üç ve dördün toplamı yedi, bu yüzden satırın altındaki birler sütununa 7 yazın:

6 5 3
+ 2 7 4
7

Sonraki, onlarca sütun. İlk sayının onluklar basamağı 5, ikinci sayının onluklar basamağı 7'dir. 5 artı 7, iki basamaklı 12'dir, bu nedenle son basamağı 2'yi satırın altındaki onlar sütununa yazın. , ve taşıma basamağını ilk sayının üzerindeki yüzlerce sütuna yazın:

1
6 5 3
+ 2 7 4
2 7

Sonraki, yüzlerce sütun. İlk sayının yüzler basamağı 6, ikinci sayının yüzler basamağı 2'dir. Altı ve ikinin toplamı sekizdir, ancak sekizin toplamı dokuza eşit bir taşıma basamağı vardır. Yüzler sütunundaki satırın altına 9'u yazın:

1
6 5 3
+ 2 7 4
9 2 7

Eklenmemiş hiçbir rakam (ve hiçbir sütun) bırakılmamıştır, bu nedenle algoritma sona erer ve sonuç olarak aşağıdaki denklemi verir:

653 + 274 = 927

Halefiyet ve boyut

Bir sayıya bir eklenmesinin sonucu o sayının halefidir . Örnekler:
sıfırın
ardılı bir, birin ardılı iki,
ikinin ardılı üç,
on ardılı on bir.
Her doğal sayının bir ardılı vardır.

Bir sayının halefinin öncülü sayının kendisidir. Örneğin, beş, dördün halefidir, bu nedenle dört, beşin öncelidir. Sıfır dışındaki her doğal sayının bir öncülü vardır.

Bir sayı başka bir sayının halefi ise, ilk sayının diğer sayıdan büyük olduğu söylenir . Bir sayı başka bir sayıdan büyükse ve diğer sayı üçüncü sayıdan büyükse, ilk sayı üçüncü sayıdan da büyüktür. Örnek: beş, dörtten büyüktür ve dört, üçten büyüktür, bu nedenle beş, üçten büyüktür. Ama altı beşten büyüktür, bu nedenle altı da üçten büyüktür. Ama yedi altıdan büyüktür, bu nedenle yedi de üçten büyüktür ... bu nedenle sekiz üçten büyüktür ... bu nedenle dokuz üçten büyüktür, vb.

Sıfır olmayan iki doğal sayı toplanırsa, toplamları ikisinden de büyüktür. Örnek: üç artı beş sekize eşittir, bu nedenle sekiz, üçten büyüktür ( 8 > 3 ) ve sekiz, beşten büyüktür ( 8 > 5 ). "Büyüktür" sembolü > şeklindedir.

Bir sayı diğerinden büyükse, diğeri ilkinden küçüktür . Örnekler: üç, sekizden küçüktür ( 3 < 8 ) ve beş, sekizden küçüktür ( 5 < 8 ). "Küçüktür" simgesi <'dir. Bir sayı aynı anda başka bir sayıdan büyük ve küçük olamaz. Bir sayı aynı anda başka bir sayıdan büyük ve ona eşit olamaz. Bir çift doğal sayı verildiğinde, aşağıdaki durumlardan yalnızca biri doğru olmalıdır:

  • ilk sayı ikinciden daha büyük,
  • ilk sayı ikinciye eşittir,
  • ilk sayı ikinciden daha küçüktür.

sayma

Bir nesne grubunu saymak, nesnelerin her birine, sanki o nesne için bir etiketmiş gibi, doğal bir sayı atamak anlamına gelir; öyle ki, kendinden önceki başka bir nesneye atanmamışsa, bir nesneye hiçbir zaman doğal bir sayı atanmaz, sıfırın herhangi bir nesneye atanmaması dışında: atanacak en küçük doğal sayı birdir ve atanan en büyük doğal sayı grubun büyüklüğüne bağlıdır. Buna sayım denir ve o gruptaki nesnelerin sayısına eşittir. Sayma, çetele işaretleri kullanarak sayım yapma süreci olarak da görülebilir.

Bir grubu sayma işlemi aşağıdaki gibidir:

  1. "Sayım" sıfıra eşit olsun. "Sayım", sıfır değeriyle başlasa da, yakında değeri birkaç kez değişecek olan değişken bir miktardır.
  2. Grupta doğal bir sayı ile etiketlenmemiş en az bir nesne bulun. Böyle bir nesne bulunamazsa (hepsi etiketlenmişse) sayım tamamlanır. Aksi takdirde, etiketlenmemiş nesnelerden birini seçin.
  3. Sayıyı bir artırın. Yani, sayının değerini halefi ile değiştirin.
  4. Adım 2'de seçilen etiketlenmemiş nesneye sayımın yeni değerini bir etiket olarak atayın.
  5. Adım 2'ye geri dönün.

Sayım bittiğinde, sayımın son değeri son sayım olacaktır. Bu sayı, gruptaki nesnelerin sayısına eşittir.

Çoğu zaman, nesneleri sayarken, hangi sayısal etiketin hangi nesneye karşılık geldiği izlenmez: Adım 2 için gerekli olan etiketlenmemiş nesneleri tanımlayabilmek için yalnızca önceden etiketlenmiş nesnelerin alt grubu izlenir. , eğer kişi sayıyorsa, sayılan kişilerden, kişinin kendisine atanan numarayı takip etmelerini isteyebilir. Sayım bittikten sonra, bir grup kişiden artan sayısal etiket sırasına göre sıraya girmelerini istemek mümkündür. Sıralama işlemi sırasında kişilerin yapacakları şey şuna benzer bir şey olurdu: Sıradaki konumlarından emin olmayan her bir çift, birbirlerine sayılarının ne olduğunu sorarlar: numarası daha küçük olan kişi sol tarafta durmalıdır. ve diğer kişinin sağ tarafında daha büyük sayı olan. Böylece, kişi çiftleri sayılarını ve konumlarını karşılaştırır ve gerektiğinde konumlarını değiştirir ve bu tür koşullu değiştirmelerin tekrarı yoluyla sıralanırlar.

Yüksek matematik olarak, sayma işlemi aynı zamanda bir inşaat benzetilebilir bire bir karşılık bir dizi elemanları ve seti arasında (bir eşleşme olarak da bilinir), {1, ..., n} (burada n a, doğal sayı). Böyle bir denklik sağlandıktan sonra, ilk kümenin n boyutunda olduğu söylenir.

Çıkarma

Ana madde: Çıkarma

Çıkarma, azaltılmış bir miktarı tanımlayan matematiksel işlemdir. Bu işlemin sonucu olan farkı iki sayı arasındaki Eksilen ve çıkanın . Toplama işleminde olduğu gibi, çıkarmanın da birkaç yorumu olabilir, örneğin:

  • ayırma ("Tom'un 8 elması var. 3 elmayı dağıtıyor. Kaç tane kaldı?")
  • karşılaştırma ("Tom'un 8 elması var. Jane'in Tom'dan 3 daha az elması var. Jane'in kaç tane elması var?")
  • birleştirme ("Tom'un 8 elması var. Elmaların üçü yeşil, geri kalanı kırmızı. Kaç tanesi kırmızı?")
  • ve bazen katılma ("Tom'un biraz elması vardı. Jane ona 3 elma daha verdi, yani şimdi 8 elması var. Kaç tane ile başladı?").

Eklemede olduğu gibi, hareket gibi başka olası yorumlar da vardır .

Sembolik olarak eksi işareti ("-") çıkarma işlemini temsil eder. Yani "beş eksi üç eşittir iki" ifadesi de 5 − 3 = 2 olarak yazılır . Temel aritmetikte çıkarma, daha basit çözümler üretmek için tüm değerler için daha küçük pozitif sayılar kullanır.

Toplamadan farklı olarak, çıkarma değişmeli değildir, bu nedenle işlemdeki sayıların sırası sonucu değiştirebilir. Bu nedenle, her numaraya farklı bir ayırt edici ad verilir. İlk numara (önceki örnekte 5) resmi olarak tanımlanır çıkartılan ve (önceki örnekte 3) ikinci bir sayısı çıkanın . Eksinin değeri, çıkanın değerinden daha büyüktür, bu nedenle sonuç pozitif bir sayıdır, ancak daha küçük bir eksi değer, negatif sayılarla sonuçlanacaktır .

Çıkarma işlemini gerçekleştirmek için birkaç yöntem vardır. Yöntem ABD'de olarak adlandırılır geleneksel matematik elle hesaplama için uygun yöntemler kullanılarak çıkarmak ilkokul öğrencileri öğretir. Kullanılan özel yöntem ülkeden ülkeye değişir ve bir ülke içinde farklı zamanlarda farklı yöntemler moda olur. Reform matematiği , genel olarak herhangi bir özel tekniğin tercih edilmemesi ile ayırt edilir, bunun yerine 2. sınıf öğrencilerine TERC durumunda negatif sayıların özelliklerini kullanmak gibi kendi hesaplama yöntemlerini icat etmeleri için rehberlik edilir .

Amerikan okulları şu anda ödünç alma kullanarak bir çıkarma yöntemi ve koltuk değneği adı verilen bir işaretleme sistemi öğretiyor. Ödünç alma yöntemi önceden bilinip ders kitaplarında yayınlanmış olmasına rağmen, görünüşe göre koltuk değnekleri, onları Kasım 1937'de bir çalışmada kullanan William A. Browell'ın icadıdır [1] . Bu sistem hızla yakalandı ve o zamanlar Amerika'da kullanılan diğer çıkarma yöntemlerinin yerini aldı.

Bazı Avrupa ülkelerindeki öğrencilere, toplama yöntemi olarak da bilinen Avusturya yöntemi adı verilen bir çıkarma yöntemi öğretilir ve bazı yaşlı Amerikalılar kullanır. Bu yöntemde borçlanma yoktur. [Muhtemelen] ülkeye göre değişen koltuk değnekleri (hafızaya yardımcı olacak işaretler) de vardır.

Ödünç alma yönteminde, 86 - 39 gibi bir çıkarma , 80'den 10'u ödünç alıp 6'ya ekleyerek 6'dan 9'un birler basamak çıkarma işlemini gerçekleştirir. Böylece problem (70 + 16) - 39'a dönüşür. , etkili. Bu, 8'in üzerine vurularak, üstüne küçük bir 7 yazılarak ve 6'nın üzerine küçük bir 1 yazılarak belirtilir. Bu işaretlere koltuk değneği denir . Daha sonra 9, 16'dan çıkarılarak 7 ve 70'ten 30, sonuç olarak 40 veya 47 bırakılır.

Toplama yönteminde, ödünç alma yönteminde olduğu gibi, 9'un çıkarılmasına hazırlık olarak 6'yı 16'ya yapmak için bir 10 ödünç alınır. Bununla birlikte, 10, eksiyi azaltarak alınmaz, bunun yerine eksi olanı arttırır. Etkili bir şekilde, problem (80 + 16) - (39 + 10) 'a dönüştürülür . Tipik olarak, küçük bir koltuk değneği, bir hatırlatma olarak, çıkarılan basamağın hemen altında işaretlenir. Ardından işlemler devam eder: 16'dan 9, 7'dir; ve 80'den 40 (yani 30 + 10 ), sonuç olarak 40 veya 47'dir.

Ekleme yönteminin, yalnızca psikolojide farklılık gösteren iki varyasyonda öğretildiği görülmektedir. 86 − 39 örneğini sürdürerek, ilk varyasyon 6'dan 9'u ve ardından 16'dan 9'u çıkarmaya çalışır ve bir sonraki sütunda çıkarma basamağının yakınını işaretleyerek 10'u ödünç alır. İkinci varyasyon, 9'a eklendiğinde 6 veren ve bunun mümkün olmadığını fark ederek 16 veren ve ilk yöntemde olduğu gibi 16'nın 10'unu aynı basamağa yakın bir işaret olarak taşıyan bir rakam bulmaya çalışır. İşaretler aynı; kişinin görünüşünü nasıl açıkladığı sadece bir tercih meselesidir.

Son bir uyarı olarak, ödünç alma yöntemi, 100 - 87 gibi , ödünç alma işleminin hemen yapılamadığı ve birkaç sütun üzerinden ulaşılarak elde edilmesi gereken durumlarda biraz karmaşıklaşır . Bu durumda, eksi, yüzlerden 100 alarak, ondan on 10'lar yaparak ve bunu hemen onlar sütununda dokuz 10'a kadar ödünç alarak ve son olarak birler sütununa 10 koyarak 90 + 10 olarak etkin bir şekilde yeniden yazılır .

Çarpma işlemi

Ana madde: Çarpma
× 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81

İki sayı birbiriyle çarpıldığında sonuç ürün olarak adlandırılır . İki sayı birlikte çarpıldıktan denir faktörleri ile çarpılan ve çarpan da kullanılabilir.

İki doğal sayıyı çarpmak ne demektir?

Her biri üç elma içeren beş kırmızı torba olduğunu varsayalım. Şimdi boş bir yeşil poşet alarak, beş kırmızı poşetin tüm elmalarını yeşil poşete taşıyın. Şimdi yeşil çantada on beş elma olacak.
Böylece beş ile üçün çarpımı on beştir.
Bu, "beş kere üç on beştir" veya "beş kere üç on beşe eşittir" veya "on beş, beş ve üçün çarpımıdır" şeklinde de ifade edilebilir. Çarpma, tekrarlanan toplamanın bir biçimi olarak görülebilir : birinci faktör, tekrarlanan toplamada ikinci faktörün kaç kez meydana geldiğini gösterir; nihai toplam üründür.

Sembolik olarak çarpma, çarpma işaretiyle temsil edilir : ×. Dolayısıyla "beş kere üç on beşe eşittir" ifadesi sembolik olarak şu şekilde yazılabilir:

Bazı ülkelerde ve daha gelişmiş aritmetikte, diğer çarpma işaretleri kullanılır, örneğin 5 ⋅ 3 . Bazı durumlarda, özellikle sayıların harflerle sembolize edilebildiği cebirde , çarpma sembolü kullanılmayabilir; örneğin xy , x × y anlamına gelir . İki sayının çarpılma sırası önemli değildir, bu nedenle örneğin üç çarpı dört eşittir dört çarpı üç. Bu çarpma işleminin değişmeli özelliğidir .

Tabloyu kullanarak bir rakam çiftini çarpmak için, ilk rakamın satırının ikinci rakamın sütunuyla kesişimini bulun: satır ve sütun, iki rakamın çarpımını içeren bir karede kesişir. Çoğu basamak çifti iki basamaklı sayılar üretir. Çarpma algoritmasında, bir çift basamağın çarpımının onlarca basamağına " taşıma basamağı" denir .

Tek basamaklı bir faktör için çarpma algoritması

Faktörlerden birinin birden fazla basamağa sahipken diğer faktörün yalnızca bir basamağa sahip olduğu bir çarpma düşünün. Çok basamaklı faktörü yazın, ardından tek basamaklı faktörü çok basamaklı faktörün en sağdaki basamağının altına yazın. Tek basamaklı faktörün altına yatay bir çizgi çizin. Bundan böyle, çok basamaklı faktör çarpan olarak adlandırılacak ve tek basamaklı faktör çarpan olarak adlandırılacaktır .

Basitlik için, çarpanın üç hanesi olduğunu varsayalım. En soldaki basamak yüzler, ortadakiler onlarca, en sağdakiler de birler basamağıdır. Çarpanın yalnızca bir hanesi vardır. Çarpanın ve çarpanın bir basamakları bir sütun oluşturur: birler sütunu.

Birler sütunuyla başlayın: birler sütunu bir çift basamak içermelidir: çarpanın birler basamağı ve onun altında çarpanın birler basamağı. Bu iki basamağın çarpımını bulun: bu çarpımı satırın altına ve birler sütununa yazın. Üründe iki basamak varsa, ürünün yalnızca birler basamaklarını yazın. "Taşıma basamağı"nı, henüz yazılmamış olan basamağın üst simgesi olarak sonraki sütuna ve satırın altına yazın: bu durumda bir sonraki sütun onlarca sütundur, bu nedenle taşıma basamağını henüz yazılmamış onlukların üst simgesi olarak yazın. -ürünün rakamı (satırın altında).

Hem birinci hem de ikinci sayının her birinin yalnızca bir basamağı varsa, çarpım tablosunda çarpımları verilir - bu nedenle çarpma algoritmasını yapmak gereksizdir.

Ardından onlarca sütun gelir. Onlarca sütunu şimdiye kadar yalnızca bir basamak içerir: çarpanın onlar basamağı (satırın altında bir taşıma basamağı içermesine rağmen). Çarpanın çarpımını ve çarpanın onlarca basamaklarını bulun. Ardından, bir taşıma basamağı varsa (satırın altında ve onluklar sütununda üst simge olarak), bu ürüne ekleyin. Ortaya çıkan toplam ondan küçükse, satırın altındaki onlarca sütuna yazın. Toplamın iki basamağı varsa, son basamağını satırın altındaki onlarca sütuna yazın ve ilk basamağını bir sonraki sütuna taşıyın: bu durumda yüzlerce sütun.

Çarpanın yüzlerce basamağı yoksa, taşıma basamağı yoksa çarpma algoritması tamamlanmıştır. Eğer bir taşıma basamağı varsa (onlarlık sütundan taşınan), o zaman onu satırın altındaki yüzler sütununa yazın ve algoritma tamamlanır. Algoritma bittiğinde çizginin altındaki sayı iki sayının çarpımıdır.

Çarpanın yüzlerce hanesi varsa, çarpanın çarpımını ve çarpanın yüzler hanesini bulun ve varsa taşıma basamağını bu ürüne ekleyin. Ardından, yüzlerce sütununun elde edilen toplamını, yine yüzlerce sütununa, satırın altına yazın. Toplamın iki basamağı varsa, toplamın son basamağını yüzler sütununa yazın ve taşıma basamağını soluna yazın: binler sütununa.

Örnek

3 ve 729 sayılarının çarpımını bulmak için, çok basamaklı çarpanın altına tek basamaklı çarpanı, çarpanı birler basamağının altına aşağıdaki gibi yazın:

7 2 9
3

Ardından çarpanın altına bir çizgi çizin ve bir çarpma sembolü koyun. Çarpma, birler sütunuyla başlar. Çarpanın birler basamağı 9 ve çarpanı 3'tür. 3 ve 9'un çarpımı 27'dir, bu nedenle satırın altındaki birler sütununa 7 yazın ve 2'yi de üst simge olarak yazın. - satırın altındaki ürünün yazılmamış onlarca hanesi:

7 2 9
× 3
2 7

Sonraki, onlarca sütun. Çarpanın onlarca basamağı 2, çarpan 3 ve üç kere iki altıdır. 8'i elde etmek için 2'yi ürüne ekleyin, 8'i elde edin: Sekizde yalnızca bir rakam var: taşıma basamağı yok, bu nedenle satırın altındaki onlarca sütununu yazın. Şimdi ikisini silebilirsin.

7 2 9
× 3
8 7

Sonraki, yüzlerce sütun. Çarpanın yüzler basamağı 7'dir, çarpan ise 3'tür. 3 ve 7'nin çarpımı 21'dir ve (onlarlık sütundan taşınan) önceki bir taşıma basamağı yoktur. 21 ürününün iki basamağı vardır: son basamağını satırın altındaki yüzlerce sütuna yazın, ardından ilk basamağını binler sütununa taşıyın. Çarpanın binler basamağı olmadığından, bu taşıma basamağını satırın altındaki binler sütununa yazın (üst simge değil):

7 2 9
× 3
2 1 8 7

Çarpanın hiçbir basamağı çarpılmadan bırakılmadı, bu nedenle algoritma sona erer ve sonuç olarak aşağıdaki denklemi verir:

Çok basamaklı faktörler için çarpma algoritması

Her biri iki veya daha fazla basamağa sahip bir çift faktör verildiğinde, her iki faktörü de alt alta yazın, böylece rakamlar sütunlarda sıralanır.

Basit olması için bir çift üç basamaklı sayı düşünün. İkinci sayının son basamağını birinci sayının son basamağının altına birler sütununu oluşturarak yazın. Birler sütununun hemen solunda onlar sütunu olacaktır: bu sütunun üstünde ilk sayının ikinci basamağı ve altında ikinci sayının ikinci basamağı olacaktır. Onlarca sütunun hemen solunda yüzler sütunu olacak: bu sütunun üst kısmında ilk sayının ilk basamağı olacak ve altında ikinci sayının ilk basamağı olacak. Her iki faktörü de yazdıktan sonra ikinci faktörün altına bir çizgi çizin.

Çarpma işlemi iki bölümden oluşacaktır. İlk kısım, tek basamaklı çarpanları içeren birkaç çarpmadan oluşacaktır. Bu tür çarpmaların her birinin işlemi, önceki çarpma algoritmasında zaten açıklanmıştır, bu nedenle bu algoritma her birini ayrı ayrı açıklamayacak, sadece tek basamaklı çarpanlarla birkaç çarpmanın nasıl koordine edileceğini açıklayacaktır. İkinci kısım, birinci kısmın tüm alt ürünlerini toplayacak ve ortaya çıkan toplam ürün olacaktır.

İlk bölüm . İlk faktöre çarpan denir. İkinci faktörün her basamağına çarpan denir. İkinci faktörün birler basamağı "birler çarpanı" olarak adlandırılsın. İkinci faktörün onlarca basamağı "onlar-çarpan" olarak adlandırılsın. İkinci çarpanın yüzler basamağına "yüzlerce çarpan" densin.

Birler sütunuyla başlayın. Birler-çarpan ve çarpanın çarpımını bulun ve çarpımın basamaklarını önceden tanımlanmış sütunlara hizalayarak satırın altına bir satıra yazın. Ürün dört haneye sahipse, ilk hane binler sütununun başlangıcı olacaktır. Bu ürüne "bir sıra" denilmesine izin verin.

Sonra onlarca sütun. Onlarca-çarpanının ve çarpanın çarpımını bulun ve birler-satırının altına bir satıra yazın - buna "onlar-satırı" deyin, ancak bir sütun sola kaydırıldı . Yani, onlar-satırının birler-satırı bir-satırının onlar-sütununda olacaktır; onlar-satırının onlarca hanesi, birler-satırının yüz hanesinin altında olacaktır; onlar-satırının yüzlerce hanesi, birler-satırının binlerce hanesinin altında olacaktır. Onlarca satırda dört basamak varsa, ilk basamak on bin sütunun başlangıcı olacaktır.

Sonraki, yüzlerce sütun. Yüzler çarpanının ve çarpanın çarpımını bulun ve bunu onlarca satırın altına bir satıra yazın - buna "yüzlerce satır" deyin, ancak bir sütun daha sola kaydırdı. Yani, yüzlerce satırın birler basamağı yüzler sütununda olacaktır; yüzlerce satırın onlarca hanesi binler sütununda olacaktır; yüzler satırının yüzler basamağı on binler sütununda olacaktır. Yüzler satırında dört basamak varsa, ilk basamak yüzbinler sütununun başlangıcı olacaktır.

Birler-sıra, onlar-sırası ve yüzlerce-sırasını indirdikten sonra, yüzlerce satırın altına yatay bir çizgi çizin. Çarpmalar bitti.

İkinci bölüm . Şimdi çarpmanın bir çift çizgisi var. Birincisi faktör çiftinin altında, ikincisi ise üç alt ürün satırının altında. İkinci satırın altında, sağdan sola doğru olan altı sütun olacaktır: birler-sütun, onlarca-sütun, yüzlerce-sütun, binlerce-sütun, onbin-sütun ve yüzbinler-sütun.

Birinci ve ikinci satırlar arasında, birler sütunu, birler satırında bulunan yalnızca bir basamak içerecektir: bu, birler satırının birler basamağıdır. İkinci satırın altındaki birler sütununa yeniden yazarak bu rakamı kopyalayın.

Birinci ve ikinci satırlar arasında, onlar sütunu, birler satırında ve onlar satırında bulunan bir çift rakam içerecektir: birler satırının onlarca hanesi ve onlar satırının birler hanesi. Bu rakamları toplayın ve toplamda sadece bir rakam varsa, bu rakamı ikinci satırın altındaki onlarca sütuna yazın. Toplamın iki hanesi varsa, o zaman ilk hane bir taşıma basamağıdır: son haneyi ikinci satırın altındaki onlarca sütuna yazın ve ilk haneyi yüzler sütununa taşıyın, onu bir üst simge olarak yazın. - ikinci satırın altında yazılmamış yüzlerce hane.

Birinci ve ikinci satırlar arasında, yüzler sütunu üç basamak içerecektir: birler satırının yüzler basamağı, onlar satırının onlarca hanesi ve yüzler satırının birler basamağı. Bu üç basamağın toplamını bulun, o zaman onlar sütunundan bir taşıma basamağı varsa (yüzler sütununda ikinci satırın altına üst simge olarak yazılır), o zaman bu taşıma basamağını da ekleyin. Elde edilen toplamın bir hanesi varsa, bunu ikinci satırın altına yüzlerce sütunun altına yazın; iki basamağı varsa, son basamağı yüzler sütunundaki satırın altına yazın ve ilk basamağı binler sütununa taşıyın, satırın altındaki henüz yazılmamış binler basamağının üst simgesi olarak yazın.

Birinci ve ikinci satırlar arasında, binler sütunu iki ya da üç basamak içerecektir: Onlarca satırın yüzler basamağı, yüzler satırının onlar basamağı ve (muhtemelen) birlerin binlerce basamağı -sıra. Bu rakamların toplamını bulun, sonra yüzlerce sütundan bir taşıma basamağı varsa (binler sütununda ikinci satırın altına üst simge olarak yazılır), o zaman bu taşıma basamağını da ekleyin. Elde edilen toplamın bir hanesi varsa, bunu binler sütunundaki ikinci satırın altına yazın; eğer iki basamağı varsa, son basamağı binler sütunundaki satırın altına yazın ve ilk basamağı on binler sütununa taşıyın ve altındaki henüz yazılmamış on bin basamağa bir üst simge olarak yazın. çizgi.

Birinci ve ikinci satırlar arasında, on binler-sütun ya bir ya da iki rakam içerecektir: yüzler-sütununun yüzler hanesi ve (muhtemelen) onlar-sütununun binler hanesi. Bu rakamların toplamını bulun (onlarlık satırda bir eksikse 0 olarak düşünün) ve binler sütunundan bir taşıma basamağı varsa (onlukta ikinci satırın altına üst simge ile yazılır) bin-sütun) sonra bu taşıma basamağını da ekleyin. Ortaya çıkan toplamın bir rakamı varsa, on bin sütunundaki ikinci satırın altına yazın; iki hanesi varsa, son haneyi onbin sütunundaki satırın altına yazın ve ilk haneyi yüzbinler sütununa taşıyın, henüz yazılmamış yüzbinler basamağının üst simgesi olarak yazın. çizginin altında. Ancak, yüzler satırında binler basamağı yoksa, o zaman bu taşıma basamağını bir üst simge olarak değil, normal boyutta, ikinci satırın altındaki yüzbinler basamağının yerine yazın ve çarpma algoritması biter. .

Yüzler satırında binler basamağı varsa, önceki satırdaki taşıma basamağını buna ekleyin (taşıma basamağı yoksa 0 olarak düşünün) ve tek basamaklı toplamı yüze yazın -ikinci satırın altındaki binlerce sütun.

İkinci satırın altındaki sayı, birinci satırın üzerindeki faktör çiftinin aranan ürünüdür.

Örnek

Amacımız 789 ile 345'in çarpımını bulmak olsun. 789'un altına 345'i üç sütun halinde yazın ve altlarına yatay bir çizgi çizin:

7 8 9
3 4 5

İlk bölüm . Birler sütunuyla başlayın. Çarpan 789'dur ve birler çarpanı 5'tir. Çarpma işlemini satırın altına üst üste yapın:

7 8 9
× 3 4 5
3 9 4 4 4 5

Sonra onlarca sütun. Çarpan 789'dur ve onlar-çarpan 4'tür. Çarpmayı birler-satırındaki önceki alt ürünün altında, onlar-satırında gerçekleştirin, ancak bir sütun sola kaydırıldı:

7 8 9
× 3 4 5
3 9 4 4 4 5
3 1 3 5 3 6

Sonraki, yüzlerce sütun. Çarpan bir kez daha 789'dur ve yüzler çarpanı 3'tür. Çarpmayı, onlar-sırasında bir önceki alt ürünün altında, ancak bir (daha fazla) sütunu sola kaydırarak, yüzlerce-satırda gerçekleştirin. Ardından yüzlerce satırın altına yatay bir çizgi çizin:

7 8 9
× 3 4 5
3 9 4 4 4 5
3 1 3 5 3 6
+ 2 3 2 6 2 7

İkinci kısım. Şimdi alt ürünleri birinci ve ikinci satırlar arasına ekleyin, ancak birinci ve ikinci satırlar arasında yer alan üst simgeli taşıma basamaklarını yok sayın.

7 8 9
× 3 4 5
3 9 4 4 4 5
3 1 3 5 3 6
+ 2 3 2 6 2 7      
2 7 1 2 2 2 1 0 5

Cevap

.

Bölüm

Ana maddeler: Bölme (matematik) ve Uzun bölme

Gelen matematik , özellikle temel olarak aritmetik , bölme tersi olan bir aritmetik işlem olup çarpımı .

Spesifik olarak, bir dizi verilen a ve sıfır olmayan bir sayı b başka bir numara varsa, C kez B eşittir bir , yani:

o zaman a bölü b eşittir c . Yani:

Örneğin,

dan beri

.

Yukarıdaki ifadede, bir adlandırılır kar , b bölen ve c bölüm . Sıfıra bölme - bölenin sıfır olduğu yerde - genellikle temel aritmetikte tanımsız bırakılır.

bölüm gösterimi

Küme genellikle yerleştirerek gösterilmiştir kâr üzerinde bölen da adlandırılan bir yatay çizgi ile Bağ aralarında,. Örneğin, a bölü b şu şekilde yazılır:

Bu, " a bölü b " veya " a bölü b " olarak yüksek sesle okunabilir . Bölmeyi tek bir satırda ifade etmenin bir yolu, önce temettü , sonra eğik çizgi , sonra da böleni aşağıdaki gibi yazmaktır :

Bu, basit bir karakter dizisi olarak kolayca yazılabileceğinden , çoğu bilgisayar programlama dilinde bölmeyi belirtmenin olağan yoludur .

Bu iki biçimin ortasında yer alan el yazısı veya tipografik bir varyasyon, bir solidus (kesir eğik çizgi) kullanır, ancak aşağıdaki gibi bölüneni yükseltir ve böleni düşürür:

bir ⁄ b

Bu formlardan herhangi biri bir kesri görüntülemek için kullanılabilir . Bir ortak fraksiyonu hem bölünen ve bölen olan bir bölümü ifade tamsayılardır (tipik olarak adlandırılan, ancak pay ve payda ), ve bölme ihtiyaçlarını daha iyi incelenmesi için hiçbir ima yoktur.

Bölmeyi göstermenin daha basit bir yolu, obülüs (veya bölme işaretini) şu şekilde kullanmaktır:

Bu form, temel aritmetik dışında nadirdir. Obelus ayrıca bölme işleminin kendisini temsil etmek için tek başına kullanılır, örneğin bir hesap makinesinin anahtarındaki bir etiket olarak .

İngilizce konuşulmayan bazı kültürlerde, " a bölü b " a  : b şeklinde yazılır . Bununla birlikte, İngilizce kullanımında iki nokta üst üste , ilgili oranlar kavramını ifade etmekle sınırlıdır (o zaman " a , b'ye eşittir ").

Çarpım tablosu bilgisine sahip olarak , iki tam sayı, uzun bölme yöntemi kullanılarak kağıt üzerinde bölünebilir . Uzun bölmenin kısaltılmış hali olan kısa bölme , daha küçük bölenler için de kullanılabilir.

Daha az sistematik bir yöntem - ancak genel olarak daha bütünsel bir bölünme anlayışına yol açan - parçalama kavramını içerir . Her aşamada kısmi kalandan daha fazla çarpanın çıkarılmasına izin vererek, daha fazla serbest biçimli yöntemler de geliştirilebilir.

Alternatif olarak, temettü kesirli bir kısma sahipse ( ondalık kesir olarak ifade edilir ), algoritmaya istenildiği kadar birler basamağını geçerek devam edilebilir. Bölen ondalık kesirli kısma sahipse, bölenin kesri kalmayıncaya kadar ondalık sayıyı her iki sayıda da sağa kaydırarak problem yeniden ifade edilebilir.

Bir kesre bölmek için, o kesrin tersiyle (üst ve alt kısımların konumunu tersine çevirerek) çarpmanız yeterlidir, Örneğin:

eğitim standartları

Yerel standartlar, genellikle, ilk öğretim seviyesinde yer alan eğitim yöntemlerini ve içeriğini tanımlar. Amerika Birleşik Devletleri ve Kanada'da tartışmalı konular, manuel hesaplamaya kıyasla hesap makinesi kullanım miktarını ve geleneksel matematik ile reform matematiği arasındaki daha geniş tartışmayı içerir .

Amerika Birleşik Devletleri'nde, 1989 NCTM standartları, ilkokulda temel aritmetik olarak kabul edilen şeylerin çoğunu vurgulayan veya atlayan ve bunun yerine cebir, istatistik ve problem çözme gibi kolejde geleneksel olarak çalışılan konulara vurgu yapan müfredata yol açtı. ve çoğu yetişkinin aşina olmadığı standart dışı hesaplama yöntemleri.

Aletler

Abaküs hala Asya'nın birçok yerinde kullanılan temel aritmetik, gerçekleştirmek için erken bir mekanik cihaz. Temel aritmetik işlemleri gerçekleştiren modern hesaplama araçları arasında yazar kasalar , elektronik hesap makineleri ve bilgisayarlar bulunur .

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar