Kristalografik nokta grubu - Crystallographic point group

Gelen kristalografisi , bir kristalografik nokta grubu bir dizi simetri işlemleri birine karşılık gelen, üç boyutlu olarak nokta gruplarının , (belki de, ardından her bir işlem bu tür çeviri ), yani atomların aynı türde bir değişiklik, bir kristal yapısını bırakıp dönüşümden öncekine benzer konumlara yerleştirilecektir. Örneğin, kübik kristal sistemindeki birçok kristaldeKüpün iki paralel yüzüne dik ve merkezinde kesişen bir eksen etrafında birim hücrenin 90 derece döndürülmesi, her bir atomu aynı türden başka bir atomun yerine hareket ettiren bir simetri işlemidir. kristalin genel yapısı etkilenmez.

Kristallerin sınıflandırılmasında, her nokta grubu, (geometrik) bir kristal sınıfı tanımlar . Sonsuz sayıda üç boyutlu nokta grubu vardır . Bununla birlikte, genel nokta grupları üzerindeki kristalografik kısıtlama , sadece 32 kristalografik nokta grubu olmasına neden olur. Bu 32 nokta grubu, 1830'da Johann Friedrich Christian Hessel tarafından gözlemlenen kristal formları dikkate alınarak türetilen 32 tür morfolojik (dış) kristal simetri ile aynıdır .

Bir kristalin nokta grubu, diğer şeylerin yanı sıra, çift ​​kırılma gibi optik özellikler veya Pockels etkisi gibi elektro-optik özellikler dahil olmak üzere yapısından kaynaklanan fiziksel özelliklerin yönlü varyasyonunu belirler . Periyodik bir kristal için (bir yarı kristalin aksine ), grup kristalliği tanımlayan üç boyutlu öteleme simetrisini korumalıdır .

gösterim

Nokta grupları bileşen simetrilerine göre adlandırılır. Kristalograflar, mineraloglar ve fizikçiler tarafından kullanılan birkaç standart gösterim vardır .

Aşağıdaki iki sistemin yazışması için, bkz. kristal sistem .

Schenflies gösterimi

In Schoenflies gösterimde, nokta grupları bir simge olmayan bir harf sembolü ile gösterilir. Kristalografide kullanılan semboller şu anlama gelir:

• Cı- _n için ( siklik ) grubu, bir olduğunu gösterir , n kat dönme eksenini. Cı- _nh olan Cı- _n bir ayna (yansıma) düzleminin ilavesiyle dikmesine dönme ekseni . Cı _nv olan Cı- _N dönme eksenine N ayna düzlemleri paralel ilavesi ile.
• S _2n ( Spiegel için , Almanca ayna için ), yalnızca 2n kat dönüş-yansıma eksenine sahip bir grubu belirtir .
• D _{, n} için ( dihedral , ya da iki-taraflı) grubu, bir olduğunu gösterir , n kat dönme eksenini artı n bu eksene iki kat eksenleri dikey. D _nh ayrıca n- kat eksenine dik bir ayna düzlemine sahiptir . D _nd sahip elemanlarına ek olarak, D _{, n} , ayna düzlemleri paralel olarak , n kat eksen.
• T harfi ( tetrahedron için ), grubun bir tetrahedron simetrisine sahip olduğunu gösterir. T _D içeren uygun olmayan dönme işlemleri, T dışı olanlar uygun olmayan dönme işlemleri, ve T _{, H} olduğu , T evirtimi ilavesi ile.
• O harfi ( oktahedron için ), grubun bir oktahedron (veya küp ) simetrisine sahip olduğunu, ( O _h ) veya ( O ) uygunsuz işlemlerle (el kullanımını değiştirenler) olmadığını gösterir.

Ötürü, kristalografik kısıtlama teoremi , n = 1, 2, 2-veya 3-boyutlu bir uzayda 3, 4, veya 6.

n	1	2	3	4	6
C n	Cı 1.	Cı- 2	Cı- 3	Cı- 4	Cı 6
C nv	C 1v = C 1h	C 2v	C 3v	C 4v	C 6v
C nh	C 1 saat	C 2 saat	C 3 saat	C 4h	C 6h
D n	D 1 = Cı- 2	D 2.	D 3.	D 4	D 6
D NH	D 1h = C 2v	D 2 saat	D 3 saat	D 4h	D 6h
D nd	D 1d = C 2h	D 2d	D 3d	D 4d	D 6d
S 2n	S 2	S 4	S 6	S 8	S 12

D _4d ve D _6d , sırasıyla n=8 ve 12 ile uygun olmayan dönüşler içerdiğinden aslında yasaktır . Tablo artı 27 noktası grupları T , T _d , T _h , O ve O _saat 32 kristalografik nokta gruplarını oluşturmaktadır.

Hermann-Mauguin gösterimi

Uzay grupları için yaygın olarak kullanılan Hermann-Mauguin gösteriminin kısaltılmış bir biçimi de kristalografik nokta gruplarını tanımlamaya yarar. Grup adları

sistem	Grup adları
kübik	23	m 3		432	4 3m	m 3 m
altıgen	6	6	6 ⁄ m	622	6mm	6 m2	6/mm
üçgen	3	3		32	3m	3 m
dörtgen	4	4	4 ⁄ m	422	4mm	4 2m	4/mm
ortorombik				222		mm2	mmm
monoklinik	2		2 ⁄ m		m
triklinik	1	1						32 kristalografik nokta grubunun alt grup ilişkileri (sıralar, aşağıdan yukarıya doğru grup sıralamasını şu şekilde temsil eder: 1,2,3,4,6,8,12,16,24 ve 48.)

Farklı gösterimler arasındaki yazışmalar

kristal sistemi	Hermann Mauguin		Shubnikov	Schenflies	orbifold	coxeter	Emir
	(tam dolu)	(kısa boylu)
triklinik	1	1	${\görüntüleme stili 1\ }$	Cı 1.	11	[ ] +	1
	1	1	${\displaystyle {\tilde {2}}}$	C ben = S 2	×	[2 + ,2 + ]	2
monoklinik	2	2	${\görüntüleme stili 2\ }$	Cı- 2	22	[2] +	2
	m	m	${\görüntüleme stili m\ }$	Cı- s = Cı- 1h	*	[ ]	2
	${\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}$	2/m	${\görüntüleme stili 2:m\ }$	C 2 saat	2*	[2,2 + ]	4
ortorombik	222	222	${\görüntüleme stili 2:2\ }$	D 2 = V	222	[2,2] +	4
	mm2	mm2	${\ Displaystyle 2\cdot m\ }$	C 2v	*22	[2]	4
	${\displaystyle {\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}}$	mmm	${\görüntüleme stili m\cdot 2:m\ }$	D 2h = V h	*222	[2,2]	8
dörtgen	4	4	${\görüntüleme stili 4\ }$	Cı- 4	44	[4] +	4
	4	4	${\görüntüleme stili {\tilde {4}}}$	S 4	2×	[2 + ,4 + ]	4
	${\displaystyle {\tfrac {4}{m}}}$	4/m	${\görüntüleme stili 4:m\ }$	C 4h	4*	[2,4 + ]	8
	422	422	${\görüntüleme stili 4:2\ }$	D 4	422	[4,2] +	8
	4mm	4mm	${\displaystyle 4\cdot m\ }$	C 4v	*44	[4]	8
	4 2m	4 2m	${\displaystyle {\tilde {4}}\cdot m}$	D 2d = V d	2*2	[2 + ,4]	8
	${\displaystyle {\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}}$	4/mm	${\görüntüleme stili m\cdot 4:m\ }$	D 4h	*422	[4,2]	16
üçgen	3	3	${\görüntüleme stili 3\ }$	Cı- 3	33	[3] +	3
	3	3	${\görüntüleme stili {\tilde {6}}}$	Cı- 3i = S 6	3×	[2 + ,6 + ]	6
	32	32	${\görüntüleme stili 3:2\ }$	D 3.	322	[3,2] +	6
	3m	3m	${\displaystyle 3\cdot m\ }$	C 3v	*33	[3]	6
	3${\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}$	3 m	${\displaystyle {\tilde {6}}\cdot m}$	D 3d	2*3	[2 + ,6]	12
altıgen	6	6	${\görüntüleme stili 6\ }$	Cı 6	66	[6] +	6
	6	6	${\görüntüleme stili 3:m\ }$	C 3 saat	3*	[2,3 + ]	6
	${\displaystyle {\tfrac {6}{m}}}$	6/m	${\görüntüleme stili 6:m\ }$	C 6h	6*	[2,6 + ]	12
	622	622	${\görüntüleme stili 6:2\ }$	D 6	622	[6,2] +	12
	6mm	6mm	${\displaystyle 6\cdot m\ }$	C 6v	*66	[6]	12
	6 m2	6 m2	${\görüntüleme stili m\cdot 3:m\ }$	D 3 saat	*322	[3,2]	12
	${\displaystyle {\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}}$	6/mm	${\görüntüleme stili m\cdot 6:m\ }$	D 6h	*622	[6,2]	24
kübik	23	23	${\görüntüleme stili 3/2\ }$	T	332	[3,3] +	12
	${\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}$3	m 3	${\görüntüleme stili {\tilde {6}}/2}$	T h	3*2	[3 + ,4]	24
	432	432	${\görüntüleme stili 3/4\ }$	Ö	432	[4,3] +	24
	4 3m	4 3m	${\displaystyle 3/{\tilde {4}}}$	T d	*332	[3,3]	24
	${\displaystyle {\tfrac {4}{m}}}$3${\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}$	m 3 m	${\görüntüleme stili {\tilde {6}}/4}$	o h	*432	[4,3]	48

izomorfizmler

Kristalografik nokta gruplarının çoğu aynı iç yapıyı paylaşır. Örneğin, nokta grupları 1 , 2, ve m, farklı geometrik simetri işlemleri, (sırasıyla ters, döndürme ve yansıtma,), fakat her payı yapısı içeren siklik grup Cı- ₂ . Tüm izomorfik gruplar aynı derecededir , ancak aynı dereceden tüm gruplar izomorf değildir. İzomorfik olan nokta grupları aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Hermann Mauguin	Schenflies	Emir	soyut grup
1	Cı 1.	1	Cı 1.	${\görüntüleme stili G_{1}^{1}}$
1	C ben = S 2	2	Cı- 2	${\displaystyle G_{2}^{1}}$
2	Cı- 2	2
m	Cı- s = Cı- 1h	2
3	Cı- 3	3	Cı- 3	${\displaystyle G_{3}^{1}}$
4	Cı- 4	4	Cı- 4	${\displaystyle G_{4}^{1}}$
4	S 4	4
2/m	C 2 saat	4	D 2 = C 2 × C 2	${\displaystyle G_{4}^{2}}$
222	D 2 = V	4
mm2	C 2v	4
3	Cı- 3i = S 6	6	Cı 6	${\displaystyle G_{6}^{1}}$
6	Cı 6	6
6	C 3 saat	6
32	D 3.	6	D 3.	${\displaystyle G_{6}^{2}}$
3m	C 3v	6
mmm	D 2h = V h	8	D 2 x C 2	${\displaystyle G_{8}^{3}}$
4/m	C 4h	8	Cı 4 x C 2	${\displaystyle G_{8}^{2}}$
422	D 4	8	D 4	${\ Displaystyle G_{8}^{4}}$
4mm	C 4v	8
4 2m	D 2d = V d	8
6/m	C 6h	12	Cı 6 x C 2	${\displaystyle G_{12}^{2}}$
23	T	12	bir 4	${\ Displaystyle G_{12}^{5}}$
3 m	D 3d	12	D 6	${\ Displaystyle G_{12}^{3}}$
622	D 6	12
6mm	C 6v	12
6 m2	D 3 saat	12
4/mm	D 4h	16	D 4 x C 2	${\ Displaystyle G_{16}^{9}}$
6/mm	D 6h	24	D 6 x C 2	${\displaystyle G_{24}^{5}}$
m 3	T h	24	Bir 4 x C 2	${\displaystyle G_{24}^{10}}$
432	Ö	24	S 4	${\displaystyle G_{24}^{7}}$
4 3m	T d	24
m 3 m	o h	48	S 4 x C 2	${\displaystyle G_{48}^{7}}$

Bu tabloda döngüsel gruplar (C ₁ , C ₂ , C ₃ , C ₄ , C ₆ ), dihedral gruplar (D ₂ , D ₃ , D ₄ , D ₆ ), alternatif gruplardan biri (A ₄ ), ve simetrik gruplardan biri (S ₄ ). Burada "×" sembolü doğrudan bir ürünü belirtir .

Uzay grubundan kristalografik nokta grubunu (kristal sınıfı) türetme

1. Bravais türünü dışarıda bırakın
2. Öteleme bileşenleri olan tüm simetri öğelerini öteleme simetrisi olmadan ilgili simetri öğelerine dönüştürün (Kayma düzlemleri basit ayna düzlemlerine dönüştürülür; Vida eksenleri basit dönme eksenlerine dönüştürülür)
3. Dönme eksenleri, rotoinversiyon eksenleri ve ayna düzlemleri değişmeden kalır.

Ayrıca bakınız

• moleküler simetri
• Nokta grubu
• Uzay grubu
• Üç boyutlu nokta grupları
• kristal sistemi

Referanslar

Dış bağlantılar

• Uluslararası Kristalografi Tablolarında (2006) nokta grubu sembolleri. Cilt A, ch. 12.1, sayfa 818-820
• Uluslararası Kristalografi Tablolarında (2006) 32 kristal sınıfının adları ve sembolleri. Cilt A, ch. 10.1, s. 794
• 32 grubun resimli genel görünümü