Choquet teorisi - Choquet theory

Gelen matematik , Choquet teori adını, Gustave Choquet , bir alan fonksiyonel analiz ve dışbükey analizi ile ilgili önlemleri sahip destek üzerinde uç noktaları a dışbükey grubu C . Kabaca her vektör arasında C uç noktalarının bir ağırlıklı ortalama bir kavram ağırlık ortalaması kavramını genelleme ile belirginleştirilmiş olarak görünmelidir dışbükey kombinasyon bir üzere integrali grubu üzerinden alınan E uç noktaları. Burada C , gerçek vektör uzayı V'nin bir alt kümesidir ve teorinin ana itici gücü, V'nin sonlu boyutlu duruma benzer çizgiler boyunca sonsuz boyutlu (yerel olarak dışbükey Hausdorff) bir topolojik vektör uzayı olduğu durumları ele almaktır . Gustave Choquet'in temel endişeleri potansiyel teorideydi . Choquet teorisi, özellikle aşırı ışınları tarafından belirlenen dışbükey konileri tedavi etmek için ve dolayısıyla matematikteki birçok farklı pozitiflik kavramı için genel bir paradigma haline geldi .

Bir iki ucu, çizgi parçası arasındaki noktaları belirlemek: vektör açısından segmentten v için ağırlık λ oluşur v + (1 - λ) w 0 ≤ λ ≤ 1. klasik sonucu ile Hermann Minkowski'yle olarak bunu ifade Öklid alan , bir sınırlanmış , kapalı dışbükey grubu Cı olduğu dışbükey en uç noktası belirlendi ve E bir böylece, C de C , bir (sonlu) olan dışbükey kombinasyon noktalarının e ait E . Burada E , sonlu veya sonsuz bir küme olabilir . Vektör açısından, negatif olmayan ağırlıkları atayarak a ( e kadar) e de E , hemen hemen tüm 0 ise, herhangi birini temsil edebilir c de C olarak

${\ displaystyle c = \ toplamı _ {e \ E içinde} w (e) e \}$

ile

${\ displaystyle \ toplamı _ {e \ E içinde} w (e) = 1. \}$

Her durumda w ( e ) , E'nin sonlu bir alt kümesinde desteklenen bir olasılık ölçüsü verir . Herhangi biri için afin fonksiyon f ile C , noktasında değeri c olan

${\ displaystyle f (c) = \ int f (e) dw (e).}$

Sonsuz boyutlu ortamda, kişi benzer bir açıklama yapmak ister.

Choquet teoremi bir söz konusu durumları kompakt dışbükey alt kümesi, C a normlu alan V verilen C de C , bir vardır olasılık ölçüsü w grubu üzerinde desteklenen E aşırı noktaları C , öyle ki herhangi bir benzeşik fonksiyonu f ile C,

${\ displaystyle f (c) = \ int f (e) dw (e).}$

Pratikte V bir Banach alanı olacaktır . Orijinal Kerin-Milman teoremi , Choquet'in sonucundan hareket eder. Başka sonuç olduğunu Riesz teoremi için devletler bir metriklenebilir kompakt Haussdorf alanı sürekli fonksiyonlar üzerinde.

Daha genel olarak, V için yerel olarak dışbükey bir topolojik vektör uzayı , Choquet-Bishop-de Leeuw teoremi aynı biçimsel ifadeyi verir.

Belirli bir c noktasını temsil eden aşırı sınırda desteklenen bir olasılık ölçüsünün varlığına ek olarak, bu tür önlemlerin benzersizliği de düşünülebilir. Sonlu boyutlu ortamda bile benzersizliğin geçerli olmadığını görmek kolaydır. Karşı örnekler için, dışbükey set R ^3'te bir küp veya bir top olarak alınabilir . Bununla birlikte, dışbükey küme sonlu boyutlu bir simpleks olduğunda benzersizlik geçerlidir . Sonlu boyutlu bir simpleks, Choquet simplex'in özel bir durumudur . Choquet simpleksindeki herhangi bir nokta, uç noktalardaki benzersiz bir olasılık ölçüsü ile temsil edilir.

Ayrıca bakınız

• Carathéodory teoremi
• Shapley-Folkman lemma
• Kerin-Milman teoremi
• Helly teoremi
• Dışbükeylik konularının listesi

Notlar

Referanslar

• Asimow, L .; Ellis, AJ (1980). Konveksite teorisi ve fonksiyonel analizdeki uygulamaları . London Mathematical Society Monographs. 16 . Londra-New York: Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Yayıncılar]. s. x + 266. ISBN   0-12-065340-0 . MR   0623459 .
• Bourgin, Richard D. (1983). Radon-Nikodim özelliği ile konveks kümelerin geometrik özellikleri . Matematik Ders Notları. 993 . Berlin: Springer-Verlag. s. xii + 474. ISBN   3-540-12296-6 . MR   0704815 .
• Phelps, Robert R. (2001). Choquet teoremi üzerine dersler . Matematik Ders Notları. 1757 (1966 baskısının ikinci baskısı). Berlin: Springer-Verlag. s. viii + 124. ISBN   3-540-41834-2 . MR   1835574 .
• "Choquet simplex" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]