Çizgi (geometri) - Line (geometry)

Bu grafikteki kırmızı ve mavi çizgiler aynı eğime (gradyan) sahiptir ; kırmızı ve yeşil çizgiler aynı y-kesişimine sahiptir ( y eksenini aynı yerden keser ).
Bir doğru parçasının temsili .

Geometride, çizgi veya düz çizgi kavramı, ihmal edilebilir genişlik ve derinliğe sahip düz nesneleri (yani eğriliği olmayan ) temsil etmek için eski matematikçiler tarafından tanıtıldı . Çizgiler, genellikle iki nokta olarak tanımlanan (örn., ) veya tek bir harf kullanılarak atıfta bulunulan (örn., ) bu tür nesnelerin idealleştirilmesidir .

17. yüzyıla kadar çizgiler, "[...] tek bir boyutu, yani uzunluğu olan, herhangi bir genişliği veya derinliği olmayan ve [...] ...] hayali hareketinden, herhangi bir genişlikten muaf, uzunlukta bir iz bırakacaktır. [...] Düz çizgi, noktaları arasında eşit olarak uzanan çizgidir."

Öklid bir çizgiyi "kendi üzerindeki noktalara göre eşit olarak uzanan" "genişliği olmayan uzunluk" olarak tanımladı; 19. yüzyılın sonundan beri tanıtılan diğer geometrilerle ( Öklidyen olmayan , projektif ve afin geometri gibi) karışıklığı önlemek için şimdi Öklid geometrisi olarak adlandırılan tüm geometriyi oluşturduğu temel kanıtlanamayan özellikler olarak birkaç postüla tanıttı. ).

Modern matematikte, çok sayıda geometri verildiğinde, bir çizgi kavramı geometrinin tanımlanma şekliyle yakından bağlantılıdır. Örneğin, analitik geometride , düzlemdeki bir çizgi genellikle koordinatları belirli bir doğrusal denklemi karşılayan noktalar kümesi olarak tanımlanır , ancak geliş geometrisi gibi daha soyut bir düzenlemede bir çizgi bağımsız bir nesne olabilir. üzerinde yatan noktalar kümesi.

Bir geometri bir dizi aksiyom tarafından tanımlandığında , bir çizgi kavramı genellikle tanımsız bırakılır ( ilkel nesne olarak adlandırılır ). Doğruların özellikleri daha sonra onlara atıfta bulunan aksiyomlar tarafından belirlenir. Bu yaklaşımın bir avantajı, geometri kullanıcılarına sağladığı esnekliktir. Bu nedenle diferansiyel geometride bir çizgi jeodezik (noktalar arasındaki en kısa yol) olarak yorumlanabilirken, bazı projektif geometrilerde bir çizgi 2 boyutlu bir vektör uzayıdır (iki bağımsız vektörün tüm doğrusal kombinasyonları). Bu esneklik aynı zamanda matematiğin ötesine uzanır ve örneğin fizikçilerin bir ışık ışını yolunu bir çizgi olarak düşünmelerine izin verir.

Tanımlar ve açıklamalar

Tüm tanımlar nihai olarak doğaları gereği döngüseldir , çünkü kendileri de tanımları olması gereken kavramlara bağlıdır, bu bağımlılık, başlangıç ​​noktasına geri dönmeden süresiz olarak sürdürülemez. Bu kısır döngüden kaçınmak için bazı kavramları ilkel kavramlar olarak ele almak gerekir ; tanımı verilmeyen terimlerdir. Geometride, çizgi kavramının ilkel olarak alınması sıklıkla karşılaşılan bir durumdur. Koordinat geometrisinde olduğu gibi bir çizginin tanımlanmış bir kavram olduğu durumlarda , diğer bazı temel fikirler ilkel olarak alınır. Çizgi kavramı bir ilkel olduğunda, çizgilerin davranışı ve özellikleri, karşılamaları gereken aksiyomlar tarafından belirlenir .

Geometrinin aksiyomatik olmayan veya basitleştirilmiş bir aksiyomatik tedavisinde, ilkel bir kavram kavramı, ele alınamayacak kadar soyut olabilir. Bu durumda, (belirtilmemiş) aksiyomlara resmi olarak dayandırılacak olan kavramın inşa edilmesi için bir temel vermek için ilkel bir kavramın bir tanımını veya zihinsel görüntüsünü sağlamak mümkündür . Bu türden açıklamalar, bazı yazarlar tarafından bu resmi olmayan sunum tarzındaki tanımlar olarak adlandırılabilir. Bunlar doğru tanımlar değildir ve ifadelerin resmi kanıtlarında kullanılamaz. Öklid'in Elementlerindeki çizginin "tanımı" bu kategoriye girer. Belirli bir geometrinin düşünüldüğü durumda bile (örneğin Öklid geometrisi ), konu resmi olarak ele alınmadığında bir çizginin resmi olmayan tanımının ne olması gerektiği konusunda yazarlar arasında genel kabul görmüş bir anlaşma yoktur.

Öklid geometrisinde

Geometrisi, ilk olarak formel zaman Öklid içinde Elemanlar , o "eşit kendi üzerine noktaları ile yalan" çizgisi olan düz bir çizgi ile "breadthless uzunluğu" olarak (düz ya da kıvrık) genel hat tanımlandığı gibidir. Bu tanımlar, kendi başlarına tanımlanmayan terimleri kullandıkları için çok az amaca hizmet eder. Aslında, Euclid bu tanımları bu çalışmada kullanmadı ve muhtemelen okuyucuya neyin tartışıldığını açıklığa kavuşturmak için onları dahil etti. Modern geometride, bir çizgi basitçe aksiyomlar tarafından verilen özelliklere sahip tanımsız bir nesne olarak alınır , ancak bazen başka bir temel kavram tanımsız bırakıldığında doğrusal bir ilişkiye uyan bir dizi nokta olarak tanımlanır.

Bir in axiomatic örneğin olduğu gibi Öklid geometrisi, formülasyonu Hilbert , bir çizgi diğer hatlardan için ilgili belirli özelliklere sahip olduğu belirtilmektedir (Öklid orijinal aksiyomlarının modern matematikçi düzeltilebilir olan çeşitli kusurları ihtiva) nokta . Örneğin, herhangi iki farklı nokta için onları içeren benzersiz bir doğru vardır ve herhangi iki farklı doğru en fazla bir noktada kesişir. İki boyutta (yani Öklid düzlemi ), kesişmeyen iki doğru paralel olarak adlandırılır . Daha yüksek boyutlarda, kesişmeyen iki doğru, bir düzlemde yer alıyorlarsa paraleldir , içermiyorlarsa çarpıktır .

Sonlu sayıda çizgiden oluşan herhangi bir koleksiyon, düzlemi dışbükey çokgenlere (muhtemelen sınırsız) böler ; bu bölüm, çizgilerin bir düzenlemesi olarak bilinir .

Kartezyen koordinatlarda

Bir satırlar Kartezyen düzlemde ya da daha genel anlamda, afin koordinatları ile karakterize edilir doğrusal denklem . Daha kesin olarak, her çizgi (dikey çizgiler dahil), koordinatları ( x , y ) doğrusal bir denklemi sağlayan tüm noktaların kümesidir ; yani,

burada bir , b ve c sabit gerçek sayılar (denilen katsayıları gibi) olup , bir ve B her ikisi de sıfır değildir. Bu formu kullanarak, dikey çizgiler b = 0 olan denklemlere karşılık gelir .

Ayrıca sıfır değilse her şeyi c'ye bölerek c = 1 veya c = 0 varsayılabilir .

Bir doğrunun denklemini yazmanın, cebirsel manipülasyonla birinden diğerine dönüştürülebilen birçok farklı yolu vardır. Yukarıdaki forma bazen standart form denir . Sabit terim sola konursa denklem şu hale gelir:

ve buna bazen denklemin genel formu denir . Ancak bu terminoloji evrensel olarak kabul görmez ve birçok yazar bu iki formu birbirinden ayırmaz.

Bu formlar ( diğer formlar için Doğrusal denkleme bakınız ) genellikle formu yazmak için gerekli olan satır hakkında bilgi (veri) türüne göre adlandırılır. Bir doğrunun önemli verilerinden bazıları onun eğimi, x-kesme noktası, doğru üzerinde bilinen noktalar ve y-kesme noktasıdır.

İki farklı noktalardan geçen hattın denklemi ve aşağıdaki şekilde yazılabilir

.

Eğer x 0x 1 , bu denklem şu şekilde yazılabilir olabilir

veya

parametrik denklemler

Parametrik denklemler , özellikle de olanlarda, çizgiler belirtmek için kullanılır üç boyutta fazla iki boyutta hatları için veya daha fazla olamaz , tek bir lineer bir denklem ile tanımlanabilir.

Üç boyutlu çizgiler sıklıkla parametrik denklemlerle tanımlanır:

nerede:

x , y ve z'nin tümü , gerçek sayılar üzerinde değişen bağımsız değişken t'nin işlevleridir .
( x 0 , y 0 , z 0 ) doğru üzerindeki herhangi bir noktadır.
a , b ve c doğrunun eğimiyle ilişkilidir, öyle ki yön vektörü ( a , b , c ) doğruya paraleldir.

Daha yüksek boyutlardaki çizgiler için parametrik denklemler, çizgi üzerindeki bir noktanın ve bir yön vektörünün belirtimine dayanmaları bakımından benzerdir.

Bir not olarak, üç boyutlu çizgiler, iki doğrusal denklemin eşzamanlı çözümleri olarak da tanımlanabilir.

öyle ve orantılı değildir (ilişkiler 'i ima eder ). Bunu, üç boyutta tek bir lineer denklem tipik olarak bir düzlemi tanımladığı ve bir çizgi, iki farklı kesişen düzlem için ortak olan şey olduğu için takip eder.

Eğim-kesişim formu

Olarak iki boyutlu olmayan dikey hatlar için denklem genellikle verilmiştir eğim-Durdurma :

nerede:

m , çizginin eğimi veya eğimidir .
b , doğrunun y-kesişimidir .
x , y = f ( x ) fonksiyonunun bağımsız değişkenidir .

Noktalardan geçen doğrunun eğimi ve ne zaman ile verilir ve bu doğrunun denklemi yazılabilir .

Normal form

Normal bir şekilde (aynı zamanda , Hesse, normal şekilde , Alman matematikçisinden Ludwig Otto Hesse ) dayanmaktadır , normal segmenti çekilen çizgi parçası olarak tanımlanır, belirli bir hat için, menşe çizgisine dik. Bu segment, orijini, doğrunun orijine en yakın noktası ile birleştirir. Düzlemdeki bir doğrunun denkleminin normal şekli şu şekilde verilir:

burada , normal segmentin (birim vektöründen yönlendirilmiş açısının eğim açısı x bu kesime ekseni) ve p , normal segmentin (pozitif) uzunluktadır. Normal form, tüm katsayıların bölünmesiyle standart formdan elde edilebilir.

Eğim-kesme ve kesişme formlarından farklı olarak, bu form herhangi bir çizgiyi temsil edebilir, ancak aynı zamanda belirtilecek yalnızca iki sonlu parametre ve p gerektirir . Eğer p > 0 , daha sonra benzersiz modülo tanımlanır 2 tt . Öte yandan, eğer doğru orijinden geçiyorsa ( c = p = 0 ), c /| c | hesaplanacak terim ve , ve bunu takip eden sadece modulo π olarak tanımlanır .

kutupsal koordinatlarda

Bir de Kartezyen düzlemde , polar koordinatları ( r , θ ) ile ilgili Kartezyen koordinatlar denklemlerle

Kutupsal koordinatlarda, orijinden geçmeyen bir doğrunun denklemi — koordinatları (0, 0) olan nokta — yazılabilir.

ile r > 0 ve burada, p (pozitif olarak) uzunluğu çizgi parçası hattına dik ve Kalkış ve hat tarafından sınırlanan ve gelen (yönelimli) açı x bu kesime -Axis.

Denklemi x ekseni ile doğru arasındaki açı cinsinden ifade etmek faydalı olabilir . Bu durumda denklem şu hale gelir

ile r > 0 ve

Bu denklemler elde edilebilir , normal biçimde ayarlayarak hattı denkleminin ve daha sonra tatbik açı farkı kimlik sinüs veya kosinüs.

Bu denklemler, sinüs ve kosinüs dik üçgen tanımları , doğrunun bir noktası ve orijini köşeleri olan dik üçgene ve doğru ve orijine dik olan dik üçgene kenarlar olarak uygulanarak geometrik olarak da kanıtlanabilir .

Önceki formları başlangıç noktasından geçen bir hat boyunca geçerli değildir, ancak daha basit bir formül yazılabilir: kutup koordinatları başlangıç noktasından geçen ve bir açı yapan bir hat noktalarından ile x , -Axis çiftleri , örneğin o

Vektör denklemi olarak

A ve B noktalarından geçen doğrunun vektör denklemi (λ bir skalerdir ) ile verilir.

Eğer bir vektör OA ve b vektörü OB , daha sonra hattın denklemi yazılabilir: .

Noktasında başlayan bir ışın A λ sınırlayarak tarif edilmektedir. λ ≥ 0 ise bir ışın elde edilir ve zıt ışın λ ≤ 0'dan gelir.

Daha yüksek boyutlarda

Olarak üç boyutlu uzayda bir birinci derece denklem değişkenleri x , y ve z , bir düzlem, bu düzlemlerin kesişme olan bir doğruyu tanımladığı için, paralel olmayan doğuran uçak sağlanan bu yüzden bu tür iki denklem, tanımlar. Daha genel olarak, n -boyutlu uzayda n -1 birinci dereceden denklemler n koordinat değişkenlerinde uygun koşullar altında bir çizgi tanımlar.

Daha genel olarak Öklid uzayında , R n (ve benzer şekilde diğer tüm afin uzaylarda ), iki farklı a ve b noktasından geçen L çizgisi (vektörler olarak kabul edilir) altkümedir.

Çizginin yönü a ( t = 0) ile b ( t = 1) arasındadır veya başka bir deyişle, b  −  a vektörü yönündedir . a ve b'nin farklı seçenekleri aynı doğruyu verebilir.

Doğrusal noktalar

Aynı doğru üzerinde bulunan üç noktanın eşdoğrusal olduğu söylenir . Üç puan genelde bir tespit uçağı , ancak üç collinear points durumunda bu yok değil olur.

Gelen afin koordinatlar olarak, n- boyutlu alan noktaları X = ( x 1 , x 2 , ..., x , n ), Y = ( y 1 , y 2 , ..., Y , n ) ve Z = ( z 1 , z 2 , ..., z n ) matrisi eşdoğrusal ise

Bir sahip seviye daha az, özellikle 3'ten, düzlemde, üç nokta için ( n = 2), yukarıda matris karedir ve ve onun sadece eğer noktaları kolineerdir belirleyici sıfırdır.

Bir düzlemdeki üç nokta için eşdeğer olarak, noktalar ancak ve ancak bir nokta çifti arasındaki eğim diğer herhangi bir nokta çifti arasındaki eğime eşitse (bu durumda kalan nokta çifti arasındaki eğim diğer eğimlere eşit olacaksa) eşdoğrusaldır. . Uzatma olarak, bir düzlemdeki k nokta, ancak ve ancak herhangi bir ( k –1) nokta çifti aynı ikili eğime sahipse eşdoğrusaldır .

Gelen Öklid geometrisi , bir Öklid mesafe d ( a , b , iki nokta arasında) bir ve b üç nokta arasındaki doğrudaşlığa ifade etmek için kullanılabilir:

Noktaları bir , b ve c kolineerdir ancak ve ancak D ( x , bir ) = D ( C , bir ) ve D ( x , b ) = D ( C , B ) anlamına X = c .

Ancak, bu özelliğin doğru olmadığı başka mesafe kavramları da ( Manhattan mesafesi gibi ) vardır.

Bir çizgi kavramı olan geometrileri de ilkel kavramı bazılarında, durumun gerektirdiği gibi, sentetik geometriler , Eşdoğrusallık belirlenmesi diğer yöntemlere ihtiyaç vardır.

Çizgi türleri

Öklid geometrisindeki tüm doğrular bir anlamda eşittir, yani koordinatlar olmadan onları birbirinden ayırt etmek mümkün değildir. Ancak çizgiler geometrideki diğer nesnelere göre özel roller oynayabilir ve bu ilişkiye göre türlere ayrılabilir. Örneğin, bir konik ( daire , elips , parabol veya hiperbol ) ile ilgili olarak çizgiler şunlar olabilir:

  • koniğe tek bir noktada temas eden teğet çizgiler ;
  • koniği iki noktada kesen ve iç kısmından geçen kesen çizgiler ;
  • Öklid düzleminin herhangi bir noktasında koniyi karşılamayan dış hatlar; veya
  • Bir noktadan uzaklığı, noktanın konik üzerinde olup olmadığını belirlemeye yardımcı olan bir directrix .

Öklid geometrisinde paralelliği belirleme bağlamında, çapraz , birbirine paralel olabilen veya olmayabilen diğer iki çizgiyi kesen bir çizgidir.

Daha genel cebirsel eğriler için çizgiler ayrıca şunlar olabilir:

  • i -kesik çizgiler, eğriyi karşılayan i noktalarında çokluk olmadan sayılan veya
  • bir eğrinin dokunmadan keyfi olarak yaklaştığı asimptotlar .

Üçgenlerle ilgili olarak elimizde:

İçin bir konveks dörtgen en fazla iki paralel yanlarda olan Newton hattı iki orta noktalarını bağlayan hattır köşegenleri .

Köşeleri bir konik üzerinde uzanan bir altıgen için Pascal çizgisine ve koniğin bir çift çizgi olduğu özel durumda Pappus çizgisine sahibiz .

Paralel doğrular , aynı düzlemde asla kesişmeyen doğrulardır . Kesişen doğrular ortak bir noktayı paylaşır. Tesadüfi doğrular birbiriyle örtüşür - bunlardan birinin üzerindeki her nokta aynı zamanda diğerinin üzerindedir.

Dik çizgiler , dik açılarda kesişen çizgilerdir .

Olarak üç boyutlu uzayda , eğri çizgiler aynı düzlemde değildir ve bu nedenle, birbiriyle kesişen olmayan çizgilerdir.

projektif geometride

Projektif geometrinin birçok modelinde, bir çizginin temsili Öklid geometrisinde görselleştirildiği gibi nadiren "düz eğri" kavramına uygundur. Olarak eliptik geometriye bu tipik bir örneğini görmek. Eliptik geometrinin küresel temsilinde, çizgiler, taban tabana zıt noktaları tanımlanmış bir kürenin büyük daireleriyle temsil edilir . Farklı bir eliptik geometri modelinde, çizgiler orijinden geçen Öklid düzlemleri ile temsil edilir . Bu temsiller görsel olarak farklı olsalar da, onları bu geometrideki doğrular için uygun temsiller yapan tüm özellikleri (tek bir çizgiyi belirleyen iki nokta gibi) karşılarlar.

Uzantılar

Işın

Bir doğru ve üzerindeki herhangi bir A noktası verildiğinde , A'yı bu doğruyu iki parçaya ayrıştıran olarak kabul edebiliriz . Böyle her parçaya ışın denir ve A noktasına başlangıç ​​noktası denir . Aynı zamanda yarım çizgi , tek boyutlu yarım uzay olarak da bilinir . A noktası ışının bir üyesi olarak kabul edilir. Sezgisel olarak, bir ışın bir hat boyunca geçen üzerinde bu noktalardan oluşur A ve belirsiz devam ederek, başlayan A tek bir hat boyunca bir yönde,. Ancak bu ışın kavramının ispatlarda kullanılabilmesi için daha kesin bir tanıma ihtiyaç vardır.

Belirli A ve B noktaları verildiğinde , A başlangıç ​​noktasına sahip benzersiz bir ışın belirlerler . İki nokta bir eşsiz bir çizgi tanımlamak üzere bu ray arasındaki tüm noktalardan oluşur A ve B (dahil olmak üzere A ve B ) ve tüm noktalar C vasıtasıyla hat üzerinde A ve B , öyle ki B arasında A ve C . Bu, zaman zaman, aynı zamanda tüm noktaları seti olarak ifade edilir C'de olduğu gibi bir arasında değil B ve C . Bir nokta D , hat üzerinde belirlenir A ve B , ancak başlangıç noktası ile ray A ile belirlenir B , başlangıç noktası ile bir ışın belirleyecektir A . AB ışını ile ilgili olarak, AD ışını zıt ışın olarak adlandırılır .

Işın

Böylece, iki farklı noktanın, A ve B 'nin bir doğru tanımladığını ve bu doğrunun açık bir doğru parçasının ( A ,  B ) ve iki ışının, BC ve AD'nin ( D noktası çizilmemiştir ) ayrık birleşimine ayrıştırıldığını söyleyebiliriz. ancak AB doğrusunda A'nın solundadır ). Bunlar farklı başlangıç ​​noktalarına sahip oldukları için zıt ışınlar değildir.

Öklid geometrisinde ortak bir bitiş noktasına sahip iki ışın bir açı oluşturur .

Bir ışının tanımı, bir çizgi üzerindeki noktalar için aradalık kavramına bağlıdır. Işınların yalnızca bu kavramın mevcut olduğu geometriler için var olduğu, tipik olarak Öklid geometrisi veya sıralı bir alan üzerindeki afin geometri için var olduğu izler . Öte yandan, ışınlar , karmaşık sayılar veya herhangi bir sonlu alan gibi, projektif geometride veya sıralı olmayan bir alan üzerindeki bir geometride mevcut değildir .

Çizgi segmenti

Bir çizgi parçası iki ayrı uç noktaları ile sınırlanan ve son noktaları arasındaki hat üzerindeki her bir noktayı içeren bir çizgi bir parçasıdır. Doğru parçasının nasıl tanımlandığına bağlı olarak, iki uç noktadan biri doğru parçasının parçası olabilir veya olmayabilir. İki veya daha fazla doğru parçası, paralel olma, kesişme veya eğri olma gibi doğrularla aynı ilişkilerden bazılarına sahip olabilir, ancak doğruların aksine, bunlar aynı düzlemdeyse ve kesişmiyorsa veya eşdoğrusalsa , bunların hiçbiri olmayabilir .

jeodezik

Bu özellik olarak yorumlanır "darlığı" ve bir çizgi "doğrusallık", uzaktan da noktalarının herhangi ikisi arasındaki hat boyunca en aza indirilir (bkz üçgen eşitsizliği ), kavramına genelleştirilmiş ve olası olabilir Geodezikler olarak metrik boşluklar .

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar