Karakter teorisi - Character theory

Gelen matematik , daha özel olarak , grup teorisi , karakter a grubu temsil a, fonksiyon üzerinde bir grup , her bir grup elemanının iştirakçi iz gelen matrisin. Karakter, temsil hakkındaki temel bilgileri daha yoğun bir biçimde taşır. Georg Frobenius başlangıçta sonlu grupların temsil teorisini tamamen karakterlere dayalı olarak ve temsillerin kendilerinin herhangi bir açık matris gerçekleştirimi olmaksızın geliştirdi. Bu mümkündür, çünkü sonlu bir grubun karmaşık bir temsili karakteri tarafından belirlenir (izomorfizme kadar). Pozitif özellikli bir alan üzerinde temsillerin bulunduğu durum , sözde "modüler temsiller" daha hassastır, ancak Richard Brauer bu durumda da güçlü bir karakterler teorisi geliştirdi. Sonlu grupların yapısı üzerine birçok derin teorem, modüler temsillerin karakterlerini kullanır .

Başvurular

İndirgenemez temsillerin karakterleri bir grubun birçok önemli özelliğini kodlar ve bu nedenle yapısını incelemek için kullanılabilir. Karakter teorisi, sonlu basit grupların sınıflandırılmasında önemli bir araçtır . Feit-Thompson teoreminin ispatının yarısına yakını , karakter değerleriyle karmaşık hesaplamaları içerir. Karakter teorisini kullanan daha kolay, ancak yine de gerekli sonuçlar arasında Burnside teoremi ( Burnside teoreminin tamamen grup-teorik bir kanıtı bulundu, ancak bu kanıt Burnside'ın orijinal ispatından yarım yüzyıl sonra geldi) ve Richard Brauer teoremi ve Michio Suzuki , sonlu basit bir grubun Sylow $2$ alt grubu olarak genelleştirilmiş bir kuaterniyon grubuna sahip olamayacağını belirtti .

Tanımlar

Let $V$ bir olmak sonlu boyutlu vektör uzayı bir fazla alan $F$ ve izin $ρ : G \to GL (V)$ bir olmak temsili bir grubun $G$ ile $V$ . Karakter arasında $p'ye$ fonksiyonudur $ki-kare p, : G \to F$ tarafından verilen

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho} (g) = \ operatöradı {Tr} (\ rho (g))}

$Tr$ , iz olduğu yerde .

Bir karakter $ki-kare ρ$ denir indirgenemez veya basit eğer $ρ$ bir olduğunu indirgenemez gösterimler . Derecesi karakterinin $χ$ olan boyutu arasında $p'ye$ ; karakteristik sıfırda bu $χ (1)$ değerine eşittir . Derece 1'in bir karakterine doğrusal denir . Zaman $G,$ sonlu ve $F$ karakteristik sıfır sahiptir, çekirdek karakter $ki-kare p,$ normal bir alt grubudur:

{\ displaystyle \ ker \ chi _ {\ rho}: = \ sol \ lbrace g \ G \ ortada \ chi _ {\ rho} (g) = \ chi _ {\ rho} (1) \ sağ \ rbrace, }

bu tam olarak $ρ$ temsilinin çekirdeğidir . Bununla birlikte, karakter genel olarak bir grup homomorfizmi değildir .

Özellikleri

Karakterler sınıf işlevleridir , yani her biri belirli bir eşlenik sınıfında sabit bir değer alır . Daha kesin olarak, belirli bir $G$ grubunun bir $K$ alanına indirgenemez karakterleri kümesi , tüm $G$ $\to$ $K$ sınıf fonksiyonlarının $K-$ vektör uzayının temelini oluşturur .
İzomorfik temsiller aynı karakterlere sahiptir. $0$ karakteristiğine sahip cebirsel olarak kapalı bir alan üzerinde , yarı basit gösterimler, ancak ve ancak aynı karaktere sahiplerse izomorfiktir.
Temsil, alt temsillerin doğrudan toplamı ise, karşılık gelen karakter bu alt temsillerin karakterlerinin toplamıdır.
Sonlu grup $G'nin$ bir karakteri bir $H$ alt grubu ile sınırlandırılmışsa , sonuç da bir $H$ karakteridir .
Her karakter değeri $χ (g)$ bir toplamıdır $, n$ $m$ -inci birlik kökleri , burada $, n$ derecesi (olduğundan, ilgili vektör alan boyutu) karakteri ile temsil ait $kay kare testi$ ve $m$ olan düzen içinde $gr$ . Özellikle, $F = C$ olduğunda , bu tür her karakter değeri cebirsel bir tamsayıdır .
Eğer $F = C$ ve $χ$ sonra, indirgenemez

{\ displaystyle [G: C_ {G} (x)] {\ frac {\ chi (x)} {\ chi (1)}}}

Bir olan cebirsel tamsayıdır tüm

x

de

G

.

Eğer $F$ olduğu cebirsel kapalı ve $kömür (F)$ sırasını bölmüyorsa $G$ , daha sonra indirgenemez karakter sayısı $G$ sayısına eşittir eşlenik sınıfları arasında $G$ . Dahası, bu durumda, indirgenemez karakterlerin dereceleri $G'nin$ sırasının bölenleridir (ve eğer $F$ $=$ $C$ ise $[G : Z (G)] 'yi$ bölerler ).

Aritmetik özellikler

Ρ ve σ, $G'nin$ temsilleri olsun . Sonra şu kimlikler tutulur:

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho \ oplus \ sigma} = \ chi _ {\ rho} + \ chi _ {\ sigma}}

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho \ otimes \ sigma} = \ chi _ {\ rho} \ cdot \ chi _ {\ sigma}}

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho ^ {*}} = {\ overline {\ chi _ {\ rho}}}}

{\ displaystyle \ chi _ {{\ scriptscriptstyle {\ rm {{Alt} ^ {2}}}} \ rho} (g) = {\ tfrac {1} {2}} \ sol [\ sol (\ chi _ {\ rho} (g) \ sağ) ^ {2} - \ chi _ {\ rho} (g ^ {2}) \ sağ]}

{\ displaystyle \ chi _ {{\ scriptscriptstyle {\ rm {{Sym} ^ {2}}}} \ rho} (g) = {\ tfrac {1} {2}} \ sol [\ sol (\ chi _ {\ rho} (g) \ sağ) ^ {2} + \ chi _ {\ rho} (g ^ {2}) \ sağ]}

burada $ρ \oplus σ$ olan doğrudan toplam , $ρ \otimes σ$ olan tensör ürün , $ρ *$ belirtmektedir eşlenik devrik bir $p'ye$ ve $Alt 2$ olan alternatif ürün $Alt 2 ρ = ρ \land ρ$ ve $Sym 2$ olduğu simetrik kare olan, tarafından karar verildi

{\ displaystyle \ rho \ otimes \ rho = \ sol (\ rho \ kama \ rho \ sağ) \ oplus {\ textrm {Sym}} ^ {2} \ rho}

.

Karakter tabloları

Sonlu bir grubun indirgenemez karmaşık karakterleri, kompakt bir biçimde $G$ grubu hakkında çok yararlı bilgileri kodlayan bir karakter tablosu oluşturur. Her satır, indirgenemez bir temsil ile etiketlenir ve satırdaki girişler, $G'nin$ ilgili eşlenik sınıfındaki temsilin karakterleridir . Sütunlar, $G'nin$ eşlenik sınıfları (temsilcileri) tarafından etiketlenir . İlk satırı önemsiz temsilin karakteriyle etiketlemek gelenekseldir , ki bu herkes için $G'nin$ 1 boyutlu bir vektör uzayındaki önemsiz eylemidir . Bu nedenle, ilk satırdaki her girdi 1'dir. Benzer şekilde, ilk sütunu kimliğe göre etiketlemek gelenekseldir. Bu nedenle, ilk sütun her indirgenemez karakterin derecesini içerir. ${\ displaystyle \ rho (g) = 1}$ ${\ displaystyle g \ G’de}$

İşte karakter tablosu

{\ displaystyle C_ {3} = \ u \ ortada u ^ {3} = 1 \ rangle,}

üç elemanlı ve oluşturuculu döngüsel grup u:

	$(1)$	$(u)$	$(u 2)$
$1$	$1$	$1$	$1$
$χ 1$	$1$	$ω$	$ω 2$
$χ 2$	$1$	$ω 2$	$ω$

burada $ω$ birlik ilkel üçüncü köküdür.

İndirgenemez temsillerin sayısı eşlenik sınıflarının sayısına eşit olduğu için karakter tablosu her zaman karedir.

Ortogonalite ilişkileri

Sonlu bir $G$ grubunun karmaşık değerli sınıf fonksiyonlarının uzayı doğal bir iç $çarpıma$ sahiptir:

{\ displaystyle \ sol \ langle \ alpha, \ beta \ sağ \ rangle: = {\ frac {1} {| G |}} \ toplamı _ {g \ G} \ alpha (g) {\ overline {\ beta (g)}}}

burada $β (g)$ kompleks eşleniği olan $P (g)$ . Bu iç çarpıma göre, indirgenemez karakterler, sınıf fonksiyonlarının uzayı için ortonormal bir temel oluşturur ve bu, karakter tablosunun satırları için ortogonallik ilişkisini verir:

{\ displaystyle \ sol \ langle \ chi _ {i}, \ chi _ {j} \ sağ \ rangle = {\ başla {vakalar} 0 & {\ mbox {if}} i \ neq j, \\ 1 & {\ mbox {if}} i = j. \ end {vakalar}}}

İçin $g, h$ olarak $G$ , karakter tablosu verimi sütununa aynı iç çarpım uygulanması:

{\ displaystyle \ sum _ {\ chi _ {i}} \ chi _ {i} (g) {\ overline {\ chi _ {i} (h)}} = {\ başla {vakalar} \ sol | C_ { G} (g) \ right |, & {\ mbox {if}} g, h {\ mbox {eşleniktir}} \\ 0 & {\ mbox {aksi halde.}} \ End {case}}}

toplamı üzerinden nerede indirgenemez tüm karakterler $ki-kare i$ arasında $G$ ve sembolü $| C G (g) |$ $g'nin$ merkezleyicisinin sırasını belirtir . Not beri $g$ ve $h$ ve bir karakter tablonun aynı sütunda IFF conjugate bu karakter tablosunun sütunları dik olduğu anlamına gelir.

Diklik ilişkileri, aşağıdakiler dahil birçok hesaplamaya yardımcı olabilir:

Bilinmeyen bir karakteri, indirgenemez karakterlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak ayrıştırmak.
İndirgenemez karakterlerin sadece bir kısmı bilindiğinde tam karakter tablosunun oluşturulması.
Bir grubun eşlenik sınıflarının temsilcilerinin merkezileştiricilerinin sıralarını bulmak.
Grubun sırasını bulmak.

Karakter tablosu özellikleri

$G$ grubunun belirli özellikleri , karakter tablosundan çıkarılabilir:

$G'nin$ sırası , ilk sütunun girişlerinin karelerinin toplamı ile verilir (indirgenemez karakterlerin dereceleri). (Bkz . Sonlu grupların temsil teorisi # Schur lemma uygulaması .) Daha genel olarak, herhangi bir sütundaki girişlerin mutlak değerlerinin karelerinin toplamı, karşılık gelen eşlenik sınıfının bir öğesinin merkezileştiricisinin sırasını verir.
$G'nin$ tüm normal alt grupları (ve dolayısıyla $G'nin$ basit olup olmadığı ) karakter tablosundan tanınabilir. Çekirdek , bir karakteri $kay kare testi$ elemanlarının setidir $g$ olarak $G$ olan $χ (g) = χ (1)$ ; bu, $G'nin$ normal bir alt grubudur . Her biri, normal alt $G$ indirgenemez karakter bazı çekirdekleri kesiştiği $G$ .
Komütatör alt grup arasında $G$ doğrusal karakter çekirdeklerin kesişmesidir $G$ .
Eğer $G$ sonlu ise, o zaman karakter tablosu kare olduğundan ve eşlenik sınıfları kadar çok satıra sahip olduğundan, her bir eşlenik sınıfı bir tekil ise, her indirgenemez karakter doğrusal ise , $G'nin$ karakter tablosu bir tekilse , $G'nin$ abeliyen olduğunu izler . ${\ displaystyle | G | \ times | G |}$
Bazı sonuçlarını kullanarak, aşağıdaki Richard Brauer gelen modüler temsil teorisi sonlu grubun her eslenik sınıfının elemanlarının siparişlerin asal bölenler onun karakteri tablosunun (bir gözlem çıkarılabilir edilebileceğini, Graham Higman ).

Karakter tablosu, genel olarak bir grup belirlemez kadar izomorfik : örneğin, Dördey grubu $Q$ ve dihedral grubu arasında $8$ elemanları, $D 4$ , aynı karakter tablo. Brauer, karakter tablosunun, eşlenik sınıflarının elemanlarının güçlerinin nasıl dağıldığının bilgisi ile birlikte, izomorfizme kadar sonlu bir grubu belirleyip belirlemediğini sordu. 1964'te bu, EC Dade tarafından olumsuz olarak yanıtlandı .

1 boyutlu vektör uzaylarının tensör çarpımı yine 1 boyutlu olduğundan, $G'nin$ doğrusal temsillerinin kendileri tensör çarpımı altındaki bir gruptur . Bu ise, bir ve doğrusal temsilleridir, daha sonra yeni bir doğrusal temsilini tanımlar. Bu , işlemin altındaki karakter grubu adı verilen bir grup doğrusal karakterin ortaya çıkmasına neden olur . Bu grup, Dirichlet karakterleri ve Fourier analiziyle bağlantılıdır . ${\ displaystyle \ rho _ {1}: G \ - V_ {1}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {2}: G \ - V_ {2}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {1} \ otimes \ rho _ {2} (g) = (\ rho _ {1} (g) \ otimes \ rho _ {2} (g))}$ ${\ displaystyle [\ chi _ {1} * \ chi _ {2}] (g) = \ chi _ {1} (g) \ chi _ {2} (g)}$

Uyarılmış karakterler ve Frobenius karşılıklılığı

Bu bölümde tartışılan karakterlerin karmaşık değerli olduğu varsayılmaktadır. Let $, H$ sonlu grubunun bir altgrubu $G$ . Bir karakter verilen $χ$ ait $G$ , izin $χ H$ olan kısıtlama ifade $H$ . $Θ$ $H'nin$ bir karakteri olsun . Ferdinand Georg Frobemino bir karakteri oluşturmak için gösterdi $G$ gelen $İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin$ artık bilinen kullanarak, Frobemino karşılıklılık . İndirgenemez karakterler yana $G$ karmaşık-değerli sınıf işlevleri alanı için bir ortonormal oluşturan $G$ , özel bir sınıf işlevi vardır $θ G$ arasında $G$ özelliği bununla

{\ displaystyle \ langle \ theta ^ {G}, \ chi \ rangle _ {G} = \ langle \ theta, \ chi _ {H} \ rangle _ {H}}

Her indirgenemez karakter için $kay kare testi$ ve $G$ (en soldaki iç ürün sınıf işlevleri için $G$ sınıfı fonksiyonları için ve en sağdaki iç çarpım $H$ ). Bir karakter kısıtlama yana $G$ alt grubu için $H$ yine bir karakter $, H$ , bu tanım bu açık hale $θ G$ indirgenemez karakter, negatif olmayan bir tam sayı kombinasyonudur $G$ , yani gerçekten de bir karakter $G$ . $Θ'dan$ indüklenen $G'nin$ karakteri olarak bilinir . Frobenius karşılıklılığının tanımlayıcı formülü genel karmaşık değerli sınıf fonksiyonlarına genişletilebilir.

Bir matris temsili göz önüne alındığında, $p$ bir $, H$ , Frobemino daha sonra bir matris ile temsil oluşturmak için açık bir yol verdi $G$ temsili olarak bilinen, indüklenen $p'ye$ ve edilene benzer bir şekilde yazılmış $ρ G$ . Bu, indüklenen karakter $θ G'nin$ alternatif bir tanımına yol açtı . Bu indüklenen karakter tüm unsurları üzerinde kaybolur $G$ herhangi elemanına konjuge olmayan $H$ . İndüklenen karakter $G'nin$ bir sınıf fonksiyonu olduğu için, artık değerlerini $H'nin$ elemanları üzerinde açıklamak yeterlidir . Bir yazar ise $G$ sağ kalan sınıfları bir ayrık birlik olarak $H$ diyelim ki,

{\ displaystyle G = Ht_ {1} \ cup \ ldots \ cup Ht_ {n},}

daha sonra, bir elemanın belirli bir $saat$ arasında $H$ , elimizdeki:

{\ displaystyle \ theta ^ {G} (h) = \ toplamı _ {i \: \ t_ {i} ht_ {i} ^ {- 1} \ H} \ theta \ solda (t_ {i} ht_ {i } ^ {- 1} \ sağ).}

Çünkü $θ$ bir sınıf fonksiyonudur $H$ , bu değer eşküme temsilcilerinin özellikle seçimine bağlı değildir.

Kaynaklı karakter Bu alternatif açıklama bazen yerleştirme ile ilgili nispeten az bilgilerden açık hesaplama sağlar $H$ bölgesindeki $G$ ve genellikle belirli bir karakter tablo hesaplanması için yararlıdır. Tüm $θ$ önemsiz karakter $H$ , indüklenen bir karakter olarak bilinen edilen permütasyon karakteri ve $G$ (arasında kalan sınıfları üzerinde $H$ ).

Karakter indüksiyonunun genel tekniği ve sonraki iyileştirmeler, Emil Artin , Richard Brauer , Walter Feit ve Michio Suzuki gibi matematikçilerin yanı sıra Frobenius'un elinde sonlu grup teorisinde ve matematiğin başka yerlerinde çok sayıda uygulama buldu .

Mackey ayrışması

Mackey ayrışımı, George Mackey tarafından Lie grupları bağlamında tanımlanmış ve araştırılmıştır , ancak sonlu grupların karakter teorisi ve temsil teorisinde güçlü bir araçtır. Bu temel formu bir alt indüklenen ilgilidir yolu karakteri (veya bir modülü) $, H$ sonlu grup $G$ (muhtemelen farklı) alt grubu için sınırlama arka davrandığını $K$ arasında $G$ ve ayrışma kullanan $G$ içine $(lH, K)$ -çift kosetler.

Eğer

{\ displaystyle G = \ bigcup _ {t \ in T} HtK}

ayrık bir birleşimdir ve $θ$ $H'nin$ karmaşık bir sınıf fonksiyonudur , bu durumda Mackey'nin formülü şunu belirtir:

{\ displaystyle \ sol (\ theta ^ {G} \ sağ) _ {K} = \ toplamı _ {t \ içinde T} \ sol (\ sol [\ teta ^ {t} \ sağ] _ {t ^ {- 1} Ht \ cap K} \ sağ) ^ {K},}

burada $θ t$ sınıf fonksiyonudur $t -1 Ht$ ile tanımlanan $θ t (t -1 ht) = θ (h)$ için tüm $saat$ içinde $H$ . İndüklenmiş bir modülün, herhangi bir halka üzerindeki temsilleri tutan ve çok çeşitli cebirsel ve topolojik bağlamlarda uygulamaları olan bir alt gruba kısıtlanması için benzer bir formül vardır.

Mackey ayrışma, Frobemino karşılıklı ile bağlantılı olarak, iki sınıf işlevleri iç ürünün iyi bilinen ve kullanışlı bir formül verir $İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin$ ve $ψ$ ilgili alt gruplarının indüklenen $H$ ve $K$ olan yardımcı yalan aslında, sadece nasıl konjugatlarının bağlıdır $H$ ve $K$ birbiriyle kesişir. Formül (türetilmesiyle birlikte):

{\ displaystyle {\ başlar {hizalı} \ sol \ langle \ theta ^ {G}, \ psi ^ {G} \ sağ \ rangle & = \ sol \ langle \ sol (\ theta ^ {G} \ sağ) _ { K}, \ psi \ right \ rangle \\ & = \ sum _ {t \ in T} \ left \ langle \ left (\ left [\ theta ^ {t} \ right] _ {t ^ {- 1} Ht \ cap K} \ right) ^ {K}, \ psi \ right \ rangle \\ & = \ sum _ {t \ in T} \ left \ langle \ left (\ theta ^ {t} \ right) _ {t ^ {- 1} Ht \ cap K}, \ psi _ {t ^ {- 1} Ht \ cap K} \ right \ rangle, \ end {hizalı}}}

(burada $T$ , daha önce olduğu gibi $(H, K)$ -çift koset temsilcilerinden oluşan tam bir settir ). Bu formül, genellikle kullanılan $θ$ ve $ψ$ lineer karakterlerdir bu durumda sağ toplamı yer alan bütün iç ürünler olmalıdır, $1$ ya da $0$ olup olmadığı doğrusal karakterler bağlı olarak, $θ t$ ve $ψ$ olanla aynı kısıtlama $t -1 Ht \cap K$ . Eğer $θ$ ve $ψ$ hem önemsiz karakterler, daha sonra iç çarpım basitleştirir vardır $| T |$ .

"Bükülmüş" boyut

Bir temsilin karakteri , bir vektör uzayının "bükülmüş" boyutu olarak yorumlanabilir . Karakteri $χ (g)$ grubunun elemanlarının bir fonksiyonu olarak ele alırsak, özdeşlikteki değeri uzayın boyutudur, çünkü $χ (1) = Tr (ρ (1)) = Tr (I V) = dim (V)$ . Buna göre karakterin diğer değerleri "bükülmüş" boyutlar olarak görülebilir.

Karakterler veya temsiller hakkındaki ifadelere boyutlarla ilgili ifadelerin analogları veya genellemeleri bulunabilir. Bu sofistike bir örnek teorik olarak meydana korkunç kaçak içki : $j$ -invariant olan kademeli boyutu sonsuz boyutlu kademeli temsil canavar grubu , ve karakteri ile boyut değiştirilerek verir McKay-Thompson dizisi her bir öğesi için Canavar grubu.

Lie grupları ve Lie cebirlerinin karakterleri

Eğer bir Lie grubu ve olduğu sonlu boyutlu gösterimi , karakter arasında kesin herhangi bir grup olarak gelince tanımlanır ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ rho}}$ ${\ displaystyle \ rho}$

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho} (g) = \ operatöradı {Tr} (\ rho (g))}

.

Bu arada, bir Lie cebiri ve sonlu boyutlu bir temsili ise , karakteri şu şekilde tanımlayabiliriz : ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ rho}}$

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho} (X) = \ operatör adı {Tr} (e ^ {\ rho (X)})}

.

Karakter tatmin edecek herkes için ilişkili Lie grubu ve tüm . Bir Lie grubu temsilimiz ve ilişkili bir Lie cebiri temsilimiz varsa , Lie cebiri temsilinin karakteri , formülle grup temsilinin karakteriyle ilişkilidir. ${\ displaystyle \ chi _ {\ rho} (\ operatöradı {Ad} _ {g} (X)) = \ chi _ {\ rho} (X)}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ mathfrak {g}}} içinde {\ displaystyle X \$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ rho}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {X} _ {\ rho}}$

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho} (X) = \ mathrm {X} _ {\ rho} (e ^ {X})}

.

Şimdi bunun Cartan alt cebiri ile karmaşık yarıbasit bir Lie cebiri olduğunu varsayalım . Karakterin değeri indirgenemez temsil ait ilgili değerleri ile tespit edilir . Karakterin kısıtlaması , ağırlık uzayları açısından aşağıdaki gibi kolayca hesaplanabilir : ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ rho}}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho} (H) = \ sum _ {\ lambda} m _ {\ lambda} e ^ {\ lambda (H)}, \ quad H \ {\ mathfrak {h}}} içinde

,

toplamı ağırlık üzerinden olduğu arasında ve burada çokluğu olan . ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle m _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle \ lambda}$

Karakterin (ile sınırlandırılması ), Weyl karakter formülü ile daha açık bir şekilde hesaplanabilir. ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$

Ayrıca bakınız

İndirgenemez temsil § Teorik fizik ve kimyadaki uygulamalar
İlişki şemaları , grup-karakter teorisinin kombinatoryal bir genellemesi.
1937'de AH Clifford tarafından ortaya atılan Clifford teorisi , sonlu bir $G$ grubunun karmaşık bir indirgenemez karakterinin normal bir $N$ alt grubu ile sınırlandırılması hakkında bilgi verir .
Frobenius formülü
Gerçek eleman , bir grup eleman gr şekilde χ ( g tüm karakterler için) gerçek bir sayıdır ki-kare

Referanslar

Fulton, William'ın 2. Dersi ; Harris, Joe (1991). Temsil teorisi. İlk kurs . Matematikte Yüksek Lisans Metinleri, Matematikte Okumalar. 129 . New York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249 . OCLC 246650103 . internet üzerinden
Gannon, Terry (2006). Canavarın Ötesinde Ay Işığı: Cebir, Modüler Formlar ve Fiziği Birleştiren Köprü . ISBN 978-0-521-83531-2 .
Hall, Brian C. (2015), Lie grupları, Lie cebirleri ve gösterimler: Temel bir giriş , Matematikte Lisansüstü Metinler, 222 (2. baskı), Springer, ISBN 978-3319134666
Isaacs, IM (1994). Sonlu Grupların Karakter Teorisi ( 1976 tarihli orijinalin düzeltilmiş yeniden basımı, Academic Press tarafından yayınlandı. Ed.). Dover. ISBN 978-0-486-68014-9 .
James, Gordon; Liebeck, Martin (2001). Grupların Temsilleri ve Karakterleri (2. baskı) . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-00392-6 . CS1 Maint: önerilmeyen parametre ( bağlantı )
Serre, Jean-Pierre (1977). Sonlu Grupların Doğrusal Gösterimleri . Matematikte Lisansüstü Metinler. 42 . Leonard L. Scott tarafından ikinci Fransızca baskısından çevrilmiştir. New York-Heidelberg: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4684-9458-7 . ISBN 978-0-387-90190-9 . MR 0450380 .

Dış bağlantılar

Karakter de PlanetMath .

Languages

In other projects