Bernoulli dağılımı - Bernoulli distribution

Bernoulli dağılımı

Olasılık kütle fonksiyonu Bernoulli dağılımının üç örneği:   ${\displaystyle P(x=0)=0{.}2}$ ve ${\displaystyle P(x=1)=0{.}8}$   ${\displaystyle P(x=0)=0{.}8}$ ve ${\displaystyle P(x=1)=0{.}2}$   ${\displaystyle P(x=0)=0{.}5}$ ve ${\displaystyle P(x=1)=0{.}5}$
parametreler	${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ ${\displaystyle q=1-p}$
Destek	${\displaystyle k\in \{0,1\}}$
PMF	${\displaystyle {\begin{cases}q=1-p&{\text{if }}k=0\\p&{\text{if }}k=1\end{cases}}}$ ${\görüntüleme stili p^{k}(1-p)^{1-k}}$
CDF	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{if }}k<0\\1-p&{\text{if }}0\leq k<1\\1&{\text{if }}k\ geq 1\end{durumlar}}}$
Anlamına gelmek	${\görüntüleme stili p}$
Medyan	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{if }}p<1/2\\\left[0,1\right]&{\text{if }}p=1/2\\1&{ \text{if }}p>1/2\end{durumlar}}}$
mod	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{if }}p<1/2\\0,1&{\text{if }}p=1/2\\1&{\text{if }}p >1/2\end{durumlar}}}$
Varyans	${\görüntüleme stili p(1-p)=pq}$
KIZGIN	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
çarpıklık	${\displaystyle {\frac {qp}{\sqrt {pq}}}}$
Eski. Basıklık	${\displaystyle {\frac {1-6pq}{pq}}}$
Entropi	${\displaystyle -q\ln qp\ln p}$
MGF	${\displaystyle q+pe^{t}}$
CF	${\displaystyle q+pe^{it}}$
PGF	${\displaystyle q+pz}$
Balıkçı bilgileri	${\displaystyle {\frac {1}{pq}}}$

İstatistikler üzerine bir serinin parçası
Olasılık teorisi
olasılık aksiyomlar determinizm sistem indeterminizm Rastgelelik
olasılık uzayı örnek uzay Etkinlik Toplu olarak kapsamlı olaylar İlköğretim etkinliği karşılıklı münhasırlık Sonuç tekton Deney Bernoulli denemesi Olasılık dağılımı Bernoulli dağılımı Binom dağılımı Normal dağılım olasılık ölçüsü Rastgele değişken Bernoulli süreci Sürekli veya ayrık Beklenen değer Markov zinciri gözlemlenen değer Rastgele yürüyüş Stokastik süreç
tamamlayıcı etkinlik Bileşik olasılık marjinal olasılık Şartlı olasılık
Bağımsızlık koşullu bağımsızlık Toplam olasılık yasası büyük sayılar yasası Bayes teoremi Boole eşitsizliği
Venn şeması Ağaç diyagramı
v T e

Gelen Olasılık teorisi ve istatistik , Bernoulli dağılımı İsviçre matematikçi adını, Jacob Bernoulli , bir kesikli olasılık dağılımı a rastgele değişkenin bir olasılık ile 1 değerini ve olasılıkla değeri 0 . Daha az resmi olarak, evet-hayır sorusu soran herhangi bir tek deneyin olası sonuçları için bir model olarak düşünülebilir . Bu tür sorular sebep sonuçları şunlardır boolean -valued: Tek bir bit değeri başarı / olup evet / gerçek / tek ile olasılık p ve başarısızlık / hayır / yanlış / sıfır ile olasılık q . 1 ve 0'ın sırasıyla "tura" ve "tura" yı (veya tersi) temsil edeceği (veya tersi) bir (muhtemelen taraflı) yazı tura atışını temsil etmek için kullanılabilir ve p , madalyonun yazı veya tura gelme olasılığı olacaktır, sırasıyla . Özellikle, haksız madeni paralar${\görüntüleme stili p}$${\displaystyle q=1-p}$ ${\görüntüleme stili p\neq 1/2.}$

Bernoulli dağılımı, tek bir denemenin yürütüldüğü binom dağılımının özel bir durumudur ( böyle bir binom dağılımı için n 1 olur). Ayrıca, olası sonuçların 0 ve 1 olması gerekmeyen iki noktalı dağılımın özel bir durumudur .

Özellikler

Eğer o zaman bu dağılım, bir rasgele değişkendir: ${\görüntüleme stili X}$

${\displaystyle \Pr(X=1)=p=1-\Pr(X=0)=1-q.}$

Olasılık kütle fonksiyonu bu dağılımın, olası sonuçlar üzerinde k , olup ${\görüntüleme stili f}$

${\displaystyle f(k;p)={\begin{durumlar}p&{\text{if }}k=1,\\q=1-p&{\text{if }}k=0.\end{durumlar }}}$

Bu şu şekilde de ifade edilebilir

${\displaystyle f(k;p)=p^{k}(1-p)^{1-k}\quad {\text{için }}k\in \{0,1\}}$

veya

${\displaystyle f(k;p)=pk+(1-p)(1-k)\quad {\text{için }}k\in \{0,1\}.}$

Bernoulli dağılımı özel bir durumdur binom dağılımı ile${\görüntüleme stili n=1.}$

Basıklık yüksek ve düşük değerleri için sonsuza giden ama için Bernoulli dağılımı dahil olmak üzere, iki nokta dağılımları daha düşük olması , fazla basıklığını , yani herhangi bir başka olasılık dağılımı daha -2. ${\görüntüleme stili p,}$${\görüntüleme stili p=1/2}$

Üstel bir aile oluşturmak için Bernoulli dağılımları . ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$

Kestirim arasında rasgele numune göre olan örnek ortalaması . ${\görüntüleme stili p}$

Anlamına gelmek

Beklenen değer, bir Bernoulli rastgele değişkenin olduğu ${\görüntüleme stili X}$

${\displaystyle \operatöradı {E} \sol(X\sağ)=p}$

Bunun nedeni, bir Bernoulli için dağıtılmış rasgele değişken için ve bulduğumuz gerçeğinden kaynaklanmaktadır.${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili \Pr(X=1)=p}$${\görüntüleme stili \Pr(X=0)=q}$

${\displaystyle \operatöradı {E} [X]=\Pr(X=1)\cdot 1+\Pr(X=0)\cdot 0=p\cdot 1+q\cdot 0=p.}$

Varyans

Varyans dağıtılmış bir Bernoulli olduğu ${\görüntüleme stili X}$

${\displaystyle \operatöradı {Var} [X]=pq=p(1-p)}$

ilk biz buluruz

${\displaystyle \operatöradı {E} [X^{2}]=\Pr(X=1)\cdot 1^{2}+\Pr(X=0)\cdot 0^{2}=p\cdot 1 ^{2}+q\cdot 0^{2}=p=\operatöradı {E} [X]}$

Bundan sonra

${\displaystyle \operatöradı {Var} [X]=\operatöradı {E} [X^{2}]-\operatöradı {E} [X]^{2}=\operatöradı {E} [X]-\operatöradı { E} [X]^{2}=pp^{2}=p(1-p)=pq}$

Bu sonuçla, herhangi bir Bernoulli dağılımı için varyansının içinde bir değere sahip olacağını kanıtlamak kolaydır . ${\görüntüleme stili [0,1/4]}$

çarpıklık

Çarpıklık olduğunu . Biz standardize Bernoulli rasgele değişken dağıtılan çekerken bulduğumuz bu rastgele değişken doldurduğu olasılığıyla ve attains olasılığıyla . Böylece elde ederiz ${\displaystyle {\frac {qp}{\sqrt {pq}}}={\frac {1-2p}{\sqrt {pq}}}}$${\displaystyle {\frac {X-\operatöradı {E} [X]}{\sqrt {\operatöradı {Var} [X]}}}}$${\displaystyle {\frac {q}{\sqrt {pq}}}}$${\görüntüleme stili p}$${\displaystyle -{\frac {p}{\sqrt {pq}}}}$${\görüntüleme stili q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}&=\operatöradı {E} \left[\left({\frac {X-\operatöradı {E} [X]}{\sqrt {\operatöradı { Var} [X]}}}\sağ)^{3}\sağ]\\&=p\cdot \sol({\frac {q}{\sqrt {pq}}}\sağ)^{3}+ q\cdot \left(-{\frac {p}{\sqrt {pq}}}\sağ)^{3}\\&={\frac {1}{{\sqrt {pq}}^{3} }}\left(pq^{3}-qp^{3}\sağ)\\&={\frac {pq}{{\sqrt {pq}}^{3}}}(qp)\\&= {\frac {qp}{\sqrt {pq}}}.\end{hizalı}}}$

Daha yüksek anlar ve birikimler

Ham anların tümü, ve nedeniyle eşittir . ${\ Displaystyle 1^{k}=1}$${\ Displaystyle 0^{k}=0}$

${\displaystyle \operatöradı {E} [X^{k}]=\Pr(X=1)\cdot 1^{k}+\Pr(X=0)\cdot 0^{k}=p\cdot 1 +q\cdot 0=p=\operatöradı {E} [X].}$

Merkezi düzen anı tarafından verilir ${\görüntüleme stili k}$

${\displaystyle \mu _{k}=(1-p)(-p)^{k}+p(1-p)^{k}.}$

İlk altı merkezi an

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\mu _{1}&=0,\\\mu _{2}&=p(1-p),\\\mu _{3}&=p(1- p)(1-2p),\\\mu _{4}&=p(1-p)(1-3p(1-p)),\\\mu _{5}&=p(1-p) )(1-2p)(1-2p(1-p)),\\\mu _{6}&=p(1-p)(1-5p(1-p)(1-p(1-p) ))).\end{hizalanmış}}}$

Yüksek momentler açısından daha kompakt eksprese edilebilir ve${\displaystyle \mu _{2}}$${\görüntüleme stili \mu _{3}}$

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\mu _{4}&=\mu _{2}(1-3\mu _{2}),\\\mu _{5}&=\mu _{3 }(1-2\mu _{2}),\\\mu _{6}&=\mu _{2}(1-5\mu _{2}(1-\mu _{2})) .\end{hizalanmış}}}$

İlk altı kümülant

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{1}&=p,\\\kappa _{2}&=\mu _{2},\\\kappa _{3}&=\mu _{ 3},\\\kappa _{4}&=\mu _{2}(1-6\mu _{2}),\\\kappa _{5}&=\mu _{3}(1- 12\mu _{2}),\\\kappa _{6}&=\mu _{2}(1-30\mu _{2}(1-4\mu _{2})).\end {hizalı}}}$

İlgili dağılımlar

• Eğer bağımsız olarak, aynı (dağıtılmış IID ) rastgele değişkenler, bütün Bernoulli denemeleri başarı olasılığı ile  p , daha sonra toplam dağıtılan bir uygun binom dağılımı parametreleri ile , n ve p : ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$

  ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}X_{k}\sim \operatöradı {B} (n,p)}$( binom dağılımı ).

Bernoulli dağılımı basitçe şu şekilde de yazılır:${\displaystyle \operatöradı {B} (1,p)}$${\textstyle \mathrm {Bernoulli} (p).}$

• Kategorik dağılımı ayrı değerlerin herhangi bir sabit sayıda değişkenler için Bernoulli dağılımı genelleştirilmesidir.
• Beta dağılımı olan eşlenik önce Bernoulli dağılımı.
• Geometrik dağılım modelleri bağımsız ve özdeş Bernoulli denemelerinin sayısı bir başarı elde etmek için gerekli.
• Eğer , o zaman bir Rademacher dağılımına sahiptir .${\textstyle Y\sim \mathrm {Bernoulli} \left({\frac {1}{2}}\sağ)}$${\textstyle 2Y-1}$

Ayrıca bakınız

• Bernoulli süreci , bir dizi bağımsız Bernoulli denemesinden oluşan rastgele bir süreç
• Bernoulli örneklemesi
• İkili entropi işlevi
• İkili karar diyagramı

Referanslar

daha fazla okuma

• Johnson, NL; Kotz, S.; Kemp, A. (1993). Tek Değişkenli Ayrık Dağılımlar (2. baskı). Wiley. ISBN'si 0-471-54897-9.
• Peatman, John G. (1963). Uygulamalı İstatistiklere Giriş . New York: Harper ve Satır. s. 162-171.

Dış bağlantılar

• "Binom dağılımı" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994].
• Weisstein, Eric W. "Bernoulli Dağıtımı" . Matematik Dünyası .
• Etkileşimli grafik: Tek Değişkenli Dağılım İlişkileri .