Büyük sayılar yasası - Law of large numbers

Tek bir kalıbın belirli bir rulo akışını kullanan büyük sayılar yasasının bir örneği . Bu çalıştırmadaki rulo sayısı arttıkça, tüm sonuçların değerlerinin ortalaması 3.5'e yaklaşır. Her koşu, az sayıda atışta (solda) farklı bir şekil gösterse de, çok sayıda ruloda (sağda) şekiller son derece benzer olacaktır.

İstatistikler üzerine bir serinin parçası
Olasılık teorisi
olasılık aksiyomlar determinizm sistem indeterminizm Rastgelelik
olasılık uzayı örnek uzay Etkinlik Toplu olarak kapsamlı olaylar İlköğretim etkinliği karşılıklı münhasırlık Sonuç tekton Deney Bernoulli denemesi Olasılık dağılımı Bernoulli dağılımı Binom dağılımı Normal dağılım olasılık ölçüsü Rastgele değişken Bernoulli süreci Sürekli veya ayrık Beklenen değer Markov zinciri gözlemlenen değer Rastgele yürüyüş Stokastik süreç
tamamlayıcı etkinlik Bileşik olasılık marjinal olasılık Şartlı olasılık
Bağımsızlık koşullu bağımsızlık Toplam olasılık yasası büyük sayılar yasası Bayes teoremi Boole eşitsizliği
Venn şeması Ağaç diyagramı
v T e

In olasılık teorisi , büyük sayılar kanunu ( NAS ) bir olduğunu teoremi aynı deneyini kez çok sayıda işlemi yaparak sonucu açıklar. Kanuna göre, çok sayıda denemeden elde edilen sonuçların ortalamasının beklenen değere yakın olması gerekir ve daha fazla deneme yapıldıkça beklenen değere yaklaşma eğiliminde olacaktır.

LLN önemlidir, çünkü bazı rastgele olayların ortalamaları için istikrarlı uzun vadeli sonuçları garanti eder. Örneğin, bir kumarhane rulet çarkının tek bir dönüşünde para kaybedebilirken , kazancı çok sayıda dönüşte tahmin edilebilir bir yüzdeye doğru eğilim gösterecektir. Bir oyuncunun herhangi bir galibiyet serisi, sonunda oyunun parametreleri tarafından aşılacaktır. Daha da önemlisi, yasa yalnızca çok sayıda gözlem dikkate alındığında (adından da anlaşılacağı gibi) geçerlidir . Az sayıda gözlemin beklenen değerle çakışacağı veya bir değerdeki bir çizginin diğerleri tarafından hemen "dengeleneceği" ilkesi yoktur (bakınız kumarbazın yanılgısı ).

Örnekler

Örneğin, adil, altı yüzlü bir zarın tek bir atılması, her biri eşit olasılıkla 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 sayılarından birini üretir . Bu nedenle, ruloların ortalamasının beklenen değeri:

${\displaystyle {\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3,5}$

Büyük sayılar yasasına göre, çok sayıda altı yüzlü zar atılırsa, değerlerinin ortalamasının (bazen örnek ortalama olarak adlandırılır ) 3.5'e yakın olması muhtemeldir ve daha fazla zar atıldıkça hassasiyet artar.

Büyük sayılar yasasından, bir dizi Bernoulli denemesinde ampirik başarı olasılığının teorik olasılığa yakınsayacağı sonucu çıkar. Bir Bernoulli rasgele değişkeni için , beklenen değer, teorik başarı olasılığıdır ve bu tür n değişkenin ortalaması ( bağımsız ve özdeş dağılmış (iid) varsayılarak) tam olarak göreli frekanstır.

Örneğin, adil bir yazı tura , bir Bernoulli denemesidir. Adil bir yazı tura bir kez atıldığında, sonucun tura olma teorik olasılığı 1 ⁄ 2'ye eşittir . Bu nedenle, büyük sayılar yasasına göre, "çok" sayıda yazı turadaki turaların oranı kabaca 1 ⁄ 2 "olmalıdır" . Özellikle, sonra başları oranı n olacak döndürür hemen hemen kesin konverjans için 1 / 2 olarak N sonsuz yaklaşır.

Yazıların (ve turaların) oranı 1 /2'ye yaklaşsa da, atış sayısı arttıkça yazı ve tura sayısındaki mutlak fark büyük olacaktır. Yani, atış sayısı arttıkça mutlak farkın küçük bir sayı olma olasılığı sıfıra yaklaşır. Ayrıca, mutlak farkın atış sayısına oranı neredeyse kesinlikle sıfıra yaklaşacaktır. Sezgisel olarak, beklenen fark artar, ancak çevirme sayısından daha yavaş bir oranda.

LLN'nin bir başka güzel örneği de Monte Carlo yöntemidir . Bu yöntemler, sayısal sonuçlar elde etmek için tekrarlanan rastgele örneklemeye dayanan geniş bir hesaplama algoritmaları sınıfıdır . Tekrar sayısı ne kadar büyük olursa, yaklaşım o kadar iyi olur. Bu yöntemin önemli olmasının nedeni, esas olarak, diğer yaklaşımları kullanmanın bazen zor veya imkansız olmasıdır.

sınırlama

Çok sayıda denemeden elde edilen sonuçların ortalaması bazı durumlarda yakınsamayabilir. Örneğin , Cauchy dağılımından veya bazı Pareto dağılımlarından (α<1) alınan n sonucunun ortalaması, n büyüdükçe yakınsamayacaktır ; nedeni ağır kuyruklardır . Cauchy dağılımı ve Pareto dağılımı iki durumu temsil eder: Cauchy dağılımının bir beklentisi yoktur, oysa Pareto dağılımının (α<1) beklentisi sonsuzdur. Başka bir örnek, rasgele sayıların -90° ile +90° arasında düzgün dağılmış bir açının tanjantına eşit olduğu yerdir . Medyan sıfır, fakat beklenen değer vardır, ve gerçekten de ortalama etmez , n , değişkenler böyle bir değişken olarak aynı dağılımına sahiptir. n sonsuza giderken olasılık olarak sıfıra (veya başka bir değere) yaklaşmaz .

Ve denemeler, insan ekonomik/rasyonel davranışında tipik olan bir seçim yanlılığı içeriyorsa, büyük sayılar yasası bu yanlılığın çözülmesine yardımcı olmaz. Deneme sayısı artırılsa bile seçim yanlılığı devam eder.

Tarih

Difüzyon , büyük sayılar yasasına bir örnektir. Başlangıçta, bir bariyerin (eflatun çizgi) sol tarafında çözünen moleküller bulunur ve sağda hiçbiri yoktur. Bariyer kaldırılır ve çözünen tüm kabı doldurmak için yayılır.
Üst: Tek bir molekülle hareket oldukça rastgele görünüyor.
Orta: Daha fazla molekülle, çözünenin kabı giderek daha düzgün bir şekilde doldurduğu bir eğilim var, ancak aynı zamanda rastgele dalgalanmalar da var.
Alt: Muazzam sayıda çözünen molekülle (görmek için çok fazla), rastgelelik esasen ortadan kalkar: Çözünen, yüksek konsantrasyonlu alanlardan düşük konsantrasyonlu alanlara düzgün ve sistematik bir şekilde hareket ediyor gibi görünmektedir. Gerçekçi durumlarda, kimyagerler difüzyonu , altında yatan rastgele doğasına rağmen, deterministik makroskopik bir fenomen olarak tanımlayabilirler (bkz. Fick yasaları ).

İtalyan matematikçi Gerolamo Cardano (1501-1576), deneysel istatistiklerin doğruluğunun deneme sayısıyla birlikte gelişme eğiliminde olduğunu kanıtsız olarak belirtti. Bu daha sonra büyük sayılar yasası olarak resmileştirildi. LLN'nin özel bir formu (ikili rastgele değişken için) ilk olarak Jacob Bernoulli tarafından kanıtlanmıştır . 1713'te Ars Conjectandi'sinde (Tahmin Sanatı) yayınlanan yeterince titiz bir matematiksel kanıtı geliştirmesi 20 yıldan fazla sürdü . Buna "Altın Teoremi" adını verdi, ancak genellikle " Bernoulli Teoremi " olarak bilinir hale geldi . Bu , adını Jacob Bernoulli'nin yeğeni Daniel Bernoulli'den alan Bernoulli ilkesiyle karıştırılmamalıdır . 1837'de SD Poisson , bunu " la loi des grands nombres " ("büyük sayılar yasası") adı altında daha da tanımladı . Daha sonra her iki isimle de bilindi, ancak en sık olarak "büyük sayılar yasası" kullanıldı.

Bernoulli ve Poisson çabalarını yayınladıktan sonra, Chebyshev , Markov , Borel , Cantelli ve Kolmogorov ve Khinchin de dahil olmak üzere diğer matematikçiler de yasanın iyileştirilmesine katkıda bulundular . Markov, yasanın daha zayıf bir varsayım altında sonlu bir varyansa sahip olmayan bir rastgele değişkene uygulanabileceğini gösterdi ve Khinchin, 1929'da serinin bağımsız, aynı şekilde dağılmış rastgele değişkenlerden oluşması durumunda, beklenen değerin mevcut olması için yeterli olduğunu gösterdi . büyük sayıların zayıf yasasının doğru olması. Bu ileri çalışmalar, LLN'nin iki belirgin biçimine yol açmıştır. Biri "zayıf" yasa ve diğeri "güçlü" yasa olarak adlandırılır, kümülatif örnek araçlarının beklenen değere iki farklı yakınsama moduna atıfta bulunur ; özellikle, aşağıda açıklandığı gibi, güçlü biçim zayıfı ima eder.

Formlar

Aşağıda açıklanan büyük sayılar yasasının iki farklı versiyonu vardır. Onlar denir güçlü yasasını Büyük sayılar ve zayıf yasasını Büyük sayılar . X ₁ , X ₂ , ...'nin , beklenen değeri E( X ₁ ) = E( X ₂ ) = ...= µ olan, bağımsız ve özdeş olarak dağılmış (iid) Lebesgue integrallenebilir rasgele değişkenlerin sonsuz dizisi olduğu durum için belirtilmiştir. , yasanın her iki versiyonu da - sanal kesinlikle - örnek ortalamanın

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})}$

beklenen değere yakınsar:

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}\to \mu \quad {\textrm {as}}\ n\to \infty .}$

( kanun. 1 )

(Lebesgue sistem bütünlüğü x _j araçlarının beklenen E değeri ( x _j ) 'e göre mevcut Lebesgue entegrasyonu ve sonlu. Bu etmez olmayan ilişkili olasılık ölçüsü olduğu anlamına mutlak sürekli göre Lebesgue ölçümü ).

Sonlu varyans varsayımına (gereksiz, aşağıya bakınız) (tümü için ) ve rastgele değişkenler arasında korelasyon olmamasına dayanarak, n rastgele değişkenin ortalamasının varyansı ${\displaystyle \operatöradı {Var} (X_{i})=\sigma ^{2}}$${\görüntüleme stili ben}$

${\displaystyle \operatöradı {Var} ({\overline {X}}_{n})=\operatöradı {Var} ({\tfrac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n) }))={\frac {1}{n^{2}}}\operatöradı {Var} (X_{1}+\cdots +X_{n})={\frac {n\sigma ^{2}} {n^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.}$

Sonlu Bu varsayım unutmayın varyans olduğunu gerekli değildir . Büyük veya sonsuz varyans yakınsamayı yavaşlatacaktır, ancak LLN yine de geçerlidir. Bu varsayım, ispatları daha kolay ve daha kısa hale getirdiği için sıklıkla kullanılır. ${\displaystyle \operatöradı {Var} (X_{1})=\operatöradı {Var} (X_{2})=\ldots =\sigma ^{2}<\infty }$

Rastgele değişkenlerin karşılıklı bağımsızlığı , yasanın her iki versiyonunda ikili bağımsızlık ile değiştirilebilir .

Güçlü ve zayıf versiyon arasındaki fark, ileri sürülen yakınsama moduyla ilgilidir. Bu modların yorumlanması için bkz . Rastgele değişkenlerin yakınsaması .

zayıf yasa

Büyük sayılar yasasını gösteren simülasyon. Her karede bir tarafı kırmızı, diğer tarafı mavi olan bir para çevrilir ve ilgili sütuna bir nokta eklenir. Bir pasta grafik, o ana kadar kırmızı ve mavinin oranını gösterir. Oranın ilk başta önemli ölçüde değişse de, deneme sayısı arttıkça %50'ye yaklaştığına dikkat edin.

Büyük sayılar zayıf kanunu (diğer adıyla Khinchin yasası) bildiren örnek ortalama olasılık yakınsak beklenen değere doğru

${\displaystyle {\begin{matrix}{}\\{\overline {X}}_{n}\ {\xrightarrow {P}}\ \mu \qquad {\textrm {ne zaman}}\ n\to \infty .\\{}\end{matris}}}$

( kanun. 2 )

Yani, herhangi bir pozitif sayı ε için ,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\overline {X}}_{n}-\mu |>\varepsilon \,\sağ)=0.}$

Bu sonucu yorumlayarak, zayıf yasa, belirtilen sıfır olmayan herhangi bir marj için ( ε ), ne kadar küçük olursa olsun, yeterince büyük bir örneklemle, gözlemlerin ortalamasının beklenen değere yakın olma olasılığının çok yüksek olacağını belirtir; yani marj dahilinde.

Daha önce belirtildiği gibi, zayıf yasa iid rasgele değişkenler durumunda geçerlidir, ancak diğer bazı durumlarda da geçerlidir. Örneğin, beklenen değer sabit tutularak serideki her rastgele değişken için varyans farklı olabilir. Varyanslar sınırlıysa, Chebyshev tarafından 1867 gibi erken bir tarihte gösterildiği gibi yasa uygulanır. (Eğer seri sırasında beklenen değerler değişirse, o zaman yasayı ilgili beklenen değerlerden ortalama sapmaya uygulayabiliriz. bunun olasılıkta sıfıra yakınsadığını belirtir.) Aslında, Chebyshev'in ispatı , n sonsuza giderken ilk n değerlerinin ortalamasının varyansı sıfıra gittiği sürece çalışır . Örnek olarak, serideki her rasgele değişkenin, ortalama sıfıra sahip, ancak varyansı 'ya eşit ve sınırlı olmayan bir Gauss dağılımını izlediğini varsayalım . Her aşamada, ortalama normal olarak dağıtılacaktır (normal olarak dağılan bir dizi değişkenin ortalaması olarak). Toplamının varyansını sapmaların toplamına eşittir asimptotik için . Ortalamanın varyansı bu nedenle asimptotiktir ve sıfıra gider. ${\displaystyle 2n/\log(n+1)}$${\displaystyle n^{2}/\log n}$${\displaystyle 1/\log n}$

Beklenen değer olmamasına rağmen zayıf yasanın uygulandığı örnekler de vardır.

güçlü yasa

Güçlü büyük sayılar kanunu (diğer adıyla Kolmogorov 'ın yasası) bildiren örnek ortalama neredeyse kesinlikle yakınsak beklenen değere

${\displaystyle {\begin{matrix}{}\\{\overline {X}}_{n}\ \xrightarrow {\text{as}} \ \mu \qquad {\textrm {ne zaman}}\ n\to \infty .\\{}\end{matris}}}$

( hukuk. 3 )

Yani,

${\displaystyle \Pr \!\left(\lim _{n\to \infty }{\overline {X}}_{n}=\mu \sağ)=1.}$

Bunun anlamı, deneme sayısı n sonsuza giderken gözlemlerin ortalamasının beklenen değere yaklaşma olasılığının bire eşit olmasıdır.

Kanıt, zayıf yasanınkinden daha karmaşıktır. Bu yasa, "uzun vadeli ortalama" olarak tekrar tekrar örneklendiğinde rastgele bir değişkenin beklenen değerinin (yalnızca Lebesgue entegrasyonu için) sezgisel yorumunu haklı çıkarır.

Neredeyse kesin yakınsama, rastgele değişkenlerin güçlü yakınsaması olarak da adlandırılır. Bu versiyona güçlü yasa denir, çünkü güçlü bir şekilde (neredeyse kesin olarak) yakınsayan rastgele değişkenlerin zayıf yakınsaması (olasılıkla) garanti edilir. Bununla birlikte, güçlü yasanın geçerli olmadığı ve daha sonra yakınsamanın (olasılıkla) yalnızca zayıf olduğu belirli koşullarda zayıf yasanın geçerli olduğu bilinmektedir. Zayıf yasa ile güçlü yasa arasındaki #farklara bakın .

Büyük sayıların güçlü yasasının kendisi noktasal ergodik teoremin özel bir durumu olarak görülebilir .

Güçlü yasa, beklenen bir değere sahip (zayıf yasa gibi) bağımsız, aynı şekilde dağılmış rastgele değişkenler için geçerlidir. Bu 1930'da Kolmogorov tarafından kanıtlandı. Diğer durumlarda da geçerli olabilir. Kolmogorov ayrıca, 1933'te, değişkenler bağımsız ve özdeş olarak dağılmışsa, ortalamanın neredeyse kesin bir şekilde bir şeye yakınsaması için (bu, güçlü yasanın başka bir ifadesi olarak kabul edilebilir), beklenen bir değere sahip olmaları gerektiğini gösterdi ( ve sonra elbette ortalama neredeyse kesin olarak buna yakınlaşacaktır).

Toplamlar bağımsız ancak aynı şekilde dağıtılmamışsa, o zaman

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}-\operatorname {E} {\big [}{\overline {X}}_{n}{\big ]}\ {\xrightarrow {\text{as }}}\ 0,}$

her X _k'nin sonlu bir ikinci momente sahip olması ve

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\operatöradı {Var} [X_{k}]<\infty .}$

Bu ifade Kolmogorov'un güçlü yasası olarak bilinir , bkz. örneğin Sen & Singer (1993 , Teorem 2.3.10).

Zayıf yasanın geçerli olduğu, ancak güçlü yasanın geçerli olmadığı bir seriye örnek, her biri için 1/2 olasılıkla X _k'nin artı veya eksi ( paydanın pozitif olması için yeterince büyük k'den başlayarak ) olduğu zamandır. X _k'nin varyansı o zaman Kolmogorov'un güçlü yasasıdır, çünkü onun k=n'ye kadar olan kriterindeki kısmi toplam asimptotiktir ve bu sınırsızdır. ${\displaystyle {\sqrt {k/\log \log\log k}}}$${\displaystyle k/\log \log \log k.}$${\displaystyle \log n/\log \log \log n}$

Rastgele değişkenleri aynı varyansa sahip Gauss değişkenleriyle değiştirirsek, yani herhangi bir noktadaki ortalama da normal olarak dağılacaktır. Ortalamasının dağılımı genişliği sıfır (standart sapma ASİMPTOTİK için doğru eğiliminde olacaktır ), ancak belirli bir £ değerinin için, sıfıra gitmez ihtimali vardır , n sonra ortalama bazen ise n inci deneme yukarı geri gelecek e'ye. Ortalama dağılım genişliği sıfır olduğu için, pozitif bir alt sınır olması gerekir p en az bir olasılık olduğu anlamına gelir (ε), p ortalama sonra ε kavuşacaktır ki (ε) n denemeler. Bu , n'ye bağlı bir m'den önce p (ε)/2 olasılıkla gerçekleşecektir . Ancak m'den sonra bile , bunun gerçekleşmesi için en az p (ε) olasılığı vardır . (Bu, p (ε)=1 ve ortalamanın ε'ye sonsuz sayıda ulaşacağını gösteriyor gibi görünüyor .) ${\displaystyle {\sqrt {k/\log \log \log k}},}$${\displaystyle 1/{\sqrt {2\log \log \log n}}}$

Zayıf yasa ile güçlü yasa arasındaki farklar

Zayıf hukuk devletleri belirli bir büyük için bu n , ortalama muhtemeldir yakın olmak için μ . Böylece, seyrek aralıklarla da olsa sonsuz sayıda olma ihtimalini açık bırakır . ( Tüm n için zorunlu değildir ). ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$${\displaystyle |{\overline {X}}_{n}-\mu |>\varepsilon }$${\displaystyle |{\overline {X}}_{n}-\mu |\neq 0}$

Güçlü yasa gösterileri bu o neredeyse kesinlikle gerçekleşmeyecek. Özellikle, 1 olasılıkla, herhangi bir ε > 0 için eşitsizliğin yeterince büyük olan tüm n için geçerli olduğunu ima eder . ${\displaystyle |{\overline {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon }$

Aşağıdaki durumlarda güçlü yasa geçerli değildir, ancak zayıf yasa geçerlidir.

1. X , parametre 1 ile üstel olarak dağıtılmış bir rastgele değişken olsun. Rastgele değişkenin Lebesgue entegrasyonuna göre beklenen bir değeri yok, ancak koşullu yakınsaklığı kullanarak ve integrali uygun olmayan bir Riemann integrali olan Dirichlet integrali olarak yorumlayarak şunları söyleyebiliriz: ${\displaystyle \sin(X)e^{X}X^{-1}}$

${\displaystyle E\sol({\frac {\sin(X)e^{X}}{X}}\sağ)=\ \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x) )e^{x}}{x}}e^{-x}dx={\frac {\pi }{2}}}$

2. x 0,5 olasılıkla geometrik dağılım olsun . Rastgele değişken , sonsuz seri mutlak yakınsak olmadığı için geleneksel anlamda beklenen bir değere sahip değildir, ancak koşullu yakınsaklığı kullanarak şunları söyleyebiliriz: ${\ Displaystyle 2^{X}(-1)^{X}X^{-1}}$

${\displaystyle E\sol({\frac {2^{X}(-1)^{X}}{X}}\sağ)=\ \sum _{1}^{\infty }{\frac {2 ^{x}(-1)^{x}}{x}}2^{-x}=-\ln(2)}$

3. Rastgele bir değişkenin kümülatif dağılım fonksiyonu ise

${\displaystyle 1-F(x)={\frac {e}{2x\ln(x)}},x\geq e}$

${\displaystyle F(x)={\frac {e}{-2x\ln(-x)}},x\leq -e}$

o zaman beklenen değeri yoktur, ancak zayıf yasa doğrudur.

Büyük sayıların tekdüze yasası

f ( x , θ ) 'nin θ ∈ Θ için tanımlanmış bir fonksiyon olduğunu ve θ içinde sürekli olduğunu varsayalım . O zaman herhangi bir sabit θ için , { f ( X ₁ , θ ), f ( X ₂ , θ ), ...} dizisi, bu dizinin örnek ortalaması yakınsayacak şekilde, bağımsız ve özdeş olarak dağıtılmış rastgele değişkenlerin bir dizisi olacaktır. olasılıkla E[ f ( X , θ )]. Bu noktasal ( θ cinsinden ) yakınsamadır.

Büyük sayılar tekdüze hukuk yakınsama olur koşulları devletler eşit içinde İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin . Eğer

1. Θ kompakt,
2. f ( x , θ ) her biri sürekli İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin için ∈ İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin hemen hemen tüm x s ve ölçülebilir fonksiyonu x her biri İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin .
3. E[ d ( X )] < ∞ olacak şekilde baskın bir d ( x ) işlevi vardır ve

   ${\displaystyle \left\|f(x,\theta )\right\|\leq d(x)\quad {\text{herkes için}}\ \teta \in \Theta .}$

O halde E[ f ( X , θ )] θ içinde süreklidir ve

${\displaystyle \sup _{\theta \in \Theta }\left\|{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(X_{i},\theta ) -\operatöradı {E} [f(X,\theta )]\right\|{\xrightarrow {\mathrm {as} }}\ 0.}$

Bu sonuç, büyük bir tahmin edici sınıfının tutarlılığını elde etmek için kullanışlıdır (bkz. Extremum tahmincisi ).

Borel'in büyük sayılar yasası

Adını Émile Borel'den alan Borel'in büyük sayılar yasası, bir deney bağımsız olarak aynı koşullar altında çok sayıda tekrarlanırsa, o zaman belirli bir olayın meydana gelme zamanlarının oranının, olayın herhangi bir belirli olayda meydana gelme olasılığına yaklaşık olarak eşit olduğunu belirtir. duruşma; tekrar sayısı ne kadar büyük olursa, yaklaşım o kadar iyi olur. Daha kesin olarak, eğer E söz konusu olayı gösteriyorsa, p bunun gerçekleşme olasılığı ve N _n ( E ) ilk n denemede E'nin meydana gelme sayısı, o zaman bir olasılıkla,

${\displaystyle {\frac {N_{n}(E)}{n}}\to p{\text{ as }}n\to \infty.}$

Bu teorem, bir olayın meydana gelmesinin uzun vadeli göreli sıklığı olarak sezgisel olasılık kavramını kesinleştirir. Olasılık teorisindeki çok sayıdaki daha genel yasalardan herhangi birinin özel bir durumudur.

Chebyshev eşitsizliği . X , sonlu beklenen değeri μ ve sonlu sıfır olmayan varyansı σ ² olanbir rastgele değişken olsun. O zaman herhangi bir gerçek sayı için k > 0 ,

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}.}$

Zayıf yasanın kanıtı

Verilen x ₁ , x ₂ , ... sonsuz bir dizi iid sonlu değerle rastgele değişkenler D ( x ₁ ) = E ( x ₂ ) = ... = μ <∞ biz örnek yakınsaması ilgilenen ortalama

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\tfrac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n}).}$

Büyük sayıların zayıf yasası şunları belirtir:

teorem: ${\displaystyle {\begin{matrix}{}\\{\overline {X}}_{n}\ {\xrightarrow {P}}\ \mu \qquad {\textrm {ne zaman}}\ n\to \infty .\\{}\end{matris}}}$

( kanun. 2 )

Sonlu varyansı varsayarak Chebyshev'in eşitsizliğini kullanan kanıt

Bu ispat, sonlu varyans varsayımını kullanır (herkes için ). Rastgele değişkenlerin bağımsızlığı, aralarında herhangi bir ilişki olmadığı anlamına gelir ve biz buna sahibiz. ${\displaystyle \operatöradı {Var} (X_{i})=\sigma ^{2}}$${\görüntüleme stili ben}$

${\displaystyle \operatöradı {Var} ({\overline {X}}_{n})=\operatöradı {Var} ({\tfrac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n) }))={\frac {1}{n^{2}}}\operatöradı {Var} (X_{1}+\cdots +X_{n})={\frac {n\sigma ^{2}} {n^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.}$

Dizinin ortak ortalaması μ, örnek ortalamasının ortalamasıdır:

${\displaystyle E({\overline {X}}_{n})=\mu .}$

Kullanılması Chebyshev eşitsizliği üzerine sonuçlardan ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$

${\displaystyle \operatöradı {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|\geq \varepsilon )\leq {\frac {\sigma ^{2}}{n\ varepsilon ^{2}}}.}$

Bu, aşağıdakileri elde etmek için kullanılabilir:

${\displaystyle \operatöradı {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|<\varepsilon )=1-\operatöradı {P} (\left|{\overline {X) }}_{n}-\mu \right|\geq \varepsilon )\geq 1-{\frac {\sigma ^{2}}{n\varepsilon ^{2}}}.}$

As n sonsuza yaklaşan, ifade yaklaşımlar 1. Ve tanımına göre olasılık yakınlaşma , elde ettiğimiz

${\displaystyle {\begin{matrix}{}\\{\overline {X}}_{n}\ {\xrightarrow {P}}\ \mu \qquad {\textrm {ne zaman}}\ n\to \infty .\\{}\end{matris}}}$

( kanun. 2 )

Karakteristik fonksiyonların yakınsamasını kullanarak ispat

Tarafından Taylor teoremi için karmaşık fonksiyonları , karakteristik fonksiyonunun herhangi bir rasgele değişkenin, X sonlu ortalama u ile, şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=1+it\mu +o(t),\quad t\rightarrow 0.}$

Tüm X ₁ , X ₂ , ... aynı karakteristik fonksiyona sahiptir, bu yüzden bunu φ _{X olarak} belirteceğiz .

Karakteristik fonksiyonların temel özellikleri arasında şunlar vardır:

${\displaystyle \varphi _{{\frac {1}{n}}X}(t)=\varphi _{X}({\tfrac {t}{n}})\quad {\text{and}} \quad \varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)\quad }$Eğer X ve Y, birbirinden bağımsızdır.

Bu kurallar, φ _X cinsinden karakteristik fonksiyonu hesaplamak için kullanılabilir : ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {X}}_{n}}$

${\displaystyle \varphi _{{\overline {X}}_{n}}(t)=\left[\varphi _{X}\left({t \over n}\right)\sağ]^{n }=\left[1+i\mu {t \over n}+o\left({t \over n}\sağ)\sağ]^{n}\,\rightarrow \,e^{it\mu } ,\quad {\text{as}}\quad n\rightarrow \infty .}$

Sınırı   e ^{o μ}   sabit rasgele değişken u nin karakteristik bir fonksiyonudur ve dolayısıyla tarafından Levy süreklilik teoremi , dağıtım yakınsak ^ ı için: ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {X}}_{n}}$

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}\,{\xrightarrow {\mathcal {D}}}\,\mu \qquad {\text{for}}\qquad n\to \infty .}$

μ bir sabittir; bu, dağılımdaki yakınsaklığın μ'ya ve olasılıktaki yakınsamanın μ'ye eşdeğer olduğunu gösterir (bkz . Rastgele değişkenlerin yakınsaklığı .) Bu nedenle,

${\displaystyle {\begin{matrix}{}\\{\overline {X}}_{n}\ {\xrightarrow {P}}\ \mu \qquad {\textrm {ne zaman}}\ n\to \infty .\\{}\end{matris}}}$

( kanun. 2 )

Bu, örnek ortalamanın, var olduğu sürece, orijindeki karakteristik fonksiyonun türevine olasılık olarak yakınsadığını gösterir.

Sonuçlar

Büyük sayılar yasası, dizinin gerçekleşmesinden bilinmeyen bir dağılım beklentisi ve aynı zamanda olasılık dağılımının herhangi bir özelliği sağlar. Borel'in büyük sayılar yasasını uygulayarak , olasılık kütle fonksiyonunu kolayca elde edebiliriz. Objektif olasılık kütle fonksiyonundaki her bir olay için, olayın meydana gelme olasılığı, belirli bir olayın meydana gelme zamanlarının oranıyla yaklaşık olarak hesaplanabilir. Tekrar sayısı ne kadar büyük olursa, yaklaşım o kadar iyi olur. Sürekli durum için: , küçük pozitif h için. Böylece, büyük n için: ${\displaystyle C=(ah,a+h]}$

$${\displaystyle {\frac {N_{n}(C)}{n}}\kalın yaklaşık p=P(X\in C)=\int _{ah}^{a+h}f(x)dx\kalın yaklaşık 2hf(a)}$$

Bu yöntemle, x ekseninin tamamı bir ızgara ile kaplanabilir (ızgara boyutu 2h ile) ve histogram adı verilen bir çubuk grafik elde edilebilir .

Ayrıca bakınız

• Asimptotik eşbölme özelliği
• Merkezi Limit Teoremi
• sonsuz maymun teoremi
• ortalamalar kanunu
• Yinelenen logaritma yasası
• Gerçekten büyük sayılar yasası
• Lindy etkisi
• Ortalamaya doğru gerileme
• sıralama

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar

• "Büyük sayılar kanunu" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Büyük Sayıların Zayıf Yasası" . Matematik Dünyası .
• Weisstein, Eric W. "Büyük Sayıların Güçlü Yasası" . Matematik Dünyası .
• Yihui Xie'nin R paketi animasyonunu kullanarak Büyük Sayılar Yasası için Animasyonlar
• Apple CEO'su Tim Cook, istatistikçileri korkutacak bir şey söyledi . Tim Cook, "Büyük sayıların yasaları gibi yasalara inanmıyoruz. Bu bir tür, uh, eski bir dogma, sanırım, bu birileri tarafından [..]" dedi ve şöyle devam etti: "Ancak, yasa büyük sayılar yasasının büyük şirketlerle, büyük gelirlerle veya büyük büyüme oranlarıyla hiçbir ilgisi yoktur.Büyük sayılar yasası, olasılık teorisi ve istatistikte temel bir kavramdır ve hesaplayabildiğimiz teorik olasılıkları deneylerin gerçek sonuçlarına bağlar. ampirik olarak gerçekleştirin. açıkladı Business Insider