ortanca - Median

Tek ve çift sayıda değer içeren veri kümelerinde medyanı bulma

Olarak istatistik ve olasılık teorisi , medyan bir alt yarısından daha yüksek yarı ayırma değer veri örneğinin bir popülasyonda veya olasılık dağılımı . Bir veri seti için "orta" değer olarak düşünülebilir. Ortalamaya (genellikle basitçe "ortalama" olarak tanımlanır) kıyasla verileri tanımlamada medyanın temel özelliği, aşırı büyük veya küçük değerlerin küçük bir oranı tarafından çarpıtılmaması ve bu nedenle "tipik" bir değerin daha iyi bir temsilini sağlamasıdır. " değer. Örneğin, medyan gelir "tipik" bir gelirin ne olduğunu önermenin daha iyi bir yolu olabilir, çünkü gelir dağılımı çok çarpık olabilir. Medyan, en dirençli istatistik olduğundan , %50'lik bir kırılma noktasına sahip olduğundan, sağlam istatistiklerde merkezi öneme sahiptir : verilerin yarısından fazlası kirlenmediği sürece, medyan keyfi olarak büyük veya küçük bir sonuç değildir.

Sayıların sonlu veri seti

Sonlu bir sayı listesinin medyanı, bu sayılar küçükten büyüğe sıralandığında "orta" sayıdır.

Veri setinde tek sayıda gözlem varsa, ortadaki seçilir. Örneğin, aşağıdaki yedi sayı listesi,

1, 3, 3, 6 , 7, 8, 9

dördüncü değer olan medyan 6'ya sahiptir .

Genel olarak, bir set için bir elemanları, bu şekilde yazılabilir:

Çift sayıda gözlem kümesinin belirgin bir orta değeri yoktur ve medyan genellikle iki orta değerin aritmetik ortalaması olarak tanımlanır . Örneğin, veri seti

1, 2, 3, 4, 5 , 6, 8, 9

bir medyan değerine sahip 4,5 , yani . (Daha teknik terimlerle, bu, medyanı tam olarak kırpılmış orta aralık olarak yorumlar ). Bu kuralla, medyan aşağıdaki gibi tanımlanabilir (çift sayıda gözlem için):

Ortak ortalamaların karşılaştırılması [ 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 ]
Tip Açıklama Örnek Sonuç
Aritmetik ortalama Bir veri kümesinin değerlerinin toplamının değer sayısına bölümü: (1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 7 + 9) / 7 4
Medyan Bir veri kümesinin büyük ve küçük yarısını ayıran orta değer 1, 2, 2, 3 , 4, 7, 9 3
mod Bir veri setinde en sık görülen değer 1, 2 , 2 , 3, 4, 7, 9 2

Resmi tanımlama

Resmi olarak, bir popülasyonun medyanı, popülasyonun en fazla yarısının önerilen medyandan küçük ve en fazla yarısının önerilen medyandan büyük olduğu herhangi bir değerdir. Yukarıda görüldüğü gibi, medyanlar benzersiz olmayabilir. Her küme popülasyonun yarısından daha azını içeriyorsa, popülasyonun bir kısmı benzersiz medyana tam olarak eşittir.

Medyan, herhangi bir sıralı (tek boyutlu) veri için iyi tanımlanmıştır ve herhangi bir uzaklık ölçüsünden bağımsızdır . Böylece ortanca, sıralanmış ancak sayısal olmayan sınıflara uygulanabilir (örneğin, öğrenciler A'dan F'ye notlandırıldığında bir ortanca notu hesaplarken), ancak çift sayıda vaka varsa sonuç sınıflar arasında yarı yolda olabilir.

Öte yandan bir geometrik medyan herhangi bir sayıda boyutta tanımlanır. Sonucun numunenin bir üyesine tekabül etmeye zorlandığı ilgili bir kavram medoiddir .

Medyan için yaygın olarak kabul edilen bir standart gösterim yoktur, ancak bazı yazarlar bir x değişkeninin medyanını ya ya da μ 1/2 bazen de M olarak temsil eder . Bu durumların herhangi birinde, medyan için bu veya diğer sembollerin kullanımının, tanıtıldıklarında açıkça tanımlanması gerekir.

Medyan, istatistiksel bir dağılımla ilişkili tipik değerleri özetlemenin diğer yollarının özel bir durumudur : 2. çeyrek , 5. ondalık ve 50. yüzdelik dilimdir .

kullanır

Medyan bir ölçüsü olarak kullanılabilir bir konuma aşırı değerlere önem düşük bir tutturulur, bir dağıtım nedeniyle tipik olarak zaman çarpık , aşırı değerleri bilinmemektedir veya aykırı ölçüm / Kopyalama da olabilir, yani, güvenilmez.

Örneğin, çoklu kümeyi düşünün

1, 2, 2, 2, 3, 14.

Medyan (olduğu gibi, bu durumda 2 modu ) ve daha iyi bir göstergesi olarak görülebilir merkezine daha aritmetik ortalama değerlerinin hepsi ama bir arada daha büyük olan 4. Bununla birlikte, ortalamanın bir dağılımın medyandan daha "kuyruğuna" kaydırıldığına dair yaygın olarak atıfta bulunulan ampirik ilişki genellikle doğru değildir. En fazla, iki istatistiğin birbirinden "çok uzak" olamayacağı söylenebilir; bkz . aşağıdaki araçlar ve medyanlarla ilgili eşitsizlik .

Bir medyan, bir kümedeki ortadaki verilere dayandığından, onu hesaplamak için uç sonuçların değerini bilmek gerekli değildir. Örneğin, bir sorunu çözmek için gereken süreyi araştıran bir psikoloji testinde, verilen süre içinde az sayıda insan sorunu hiç çözemezse, yine de bir medyan hesaplanabilir.

Medyan basit olduğu için ayrıca sağlam yaklaşım ise, anlamak ve kolay olarak hesaplanması için ortalama , medyan bir popüler özet istatistik de açıklayıcı istatistikler . Bu bağlamda, bir değişkenlik ölçüsü için birkaç seçenek vardır : aralık , çeyrekler arası aralık , ortalama mutlak sapma ve medyan mutlak sapma .

Pratik amaçlar için, farklı konum ve dağılım ölçüleri, genellikle bir veri örneğinden karşılık gelen popülasyon değerlerinin ne kadar iyi tahmin edilebileceği temelinde karşılaştırılır. Örnek medyan kullanılarak tahmin edilen medyan, bu açıdan iyi özelliklere sahiptir. Belirli bir popülasyon dağılımının varsayılması genellikle optimal olmasa da, özellikleri her zaman makul derecede iyidir. Örneğin, aday tahmincilerin etkinliğinin bir karşılaştırması , örneklem ortalamasının - ve yalnızca - verilerin yoğun kuyruklu dağılımlardan veya dağılım karışımlarından elde edilen verilerle kirlenmediği zaman istatistiksel olarak daha verimli olduğunu gösterir . O zaman bile, medyan minimum varyans ortalamasına (büyük normal numuneler için) kıyasla %64 verimliliğe sahiptir, yani medyanın varyansı, ortalamanın varyansından ~%50 daha büyük olacaktır.

Olasılık dağılımları

Rastgele bir olasılık yoğunluk fonksiyonunun modunun, medyanının ve ortalamasının geometrik görselleştirmesi

Kümülatif dağılım fonksiyonu F olan herhangi bir gerçek değerli olasılık dağılımı için , bir medyan, eşitsizlikleri sağlayan herhangi bir gerçek sayı m olarak tanımlanır.  

.

Eşdeğer bir ifade, F'ye göre dağıtılan rastgele bir X değişkeni kullanır :

Not bu tanım gerektirmez X bir olması kesinlikle kesintisiz dağılım , (a sahip olasılık yoğunluk fonksiyonu ƒ ), ne de bir ihtiyaç yoktur ayrı bir . İlk durumda, eşitsizlikler eşitliğe yükseltilebilir: bir medyan

.

R üzerindeki herhangi bir olasılık dağılımının en az bir medyanı vardır, ancak patolojik durumlarda birden fazla medyan olabilir: F bir aralıkta sabit 1/2 ise (böylece orada ƒ =0 olur), o zaman aralığın herhangi bir değeri a'dır. medyan.

Belirli dağılımların medyanları

Belirli dağılım türlerinin medyanları, parametrelerinden kolayca hesaplanabilir; ayrıca, Cauchy dağılımı gibi iyi tanımlanmış bir ortalamaya sahip olmayan bazı dağılımlar için bile mevcutturlar :

  • Bir medyan Cauchy dağılımı yer parametresi x 0 ve ölçü parametresi y olan  X 0 , konum parametresi.
  • Üssü a  > 1 olan bir kuvvet yasası dağılımı x a ' nın medyanı 2 1/( a  − 1) x min 'dir , burada x min , güç yasasının sahip olduğu minimum değerdir
  • Bir medyan üstel dağılımı ile hızı parametresi X : oranı parametre bölü 2 doğal logaritmasıdır λ -1 ln 2.
  • Bir medyan Weibull dağılımı şekil parametresi ile k ve ölçek parametresi λ isimli  λ (ln 2) 1 / k .
  • popülasyonlar

    Optimallik özelliği

    Ortalama mutlak hata gerçek değişken bölgesinin c göre rastgele değişken  X olduğu

    Olasılık dağılımı kaydıyla X yukarıda beklenti mevcut olduğu gibi, daha sonra m, bir medyan X , ancak ve ancak m göre ortalama mutlak hatanın, bir minimize edici olan X . Özellikle, m , ancak ve ancak m , mutlak sapmaların aritmetik ortalamasını en aza indiriyorsa, örnek bir medyanıdır .

    Daha genel olarak, bir medyan minimum olarak tanımlanır

    aşağıda çok değişkenli medyanlarla ilgili bölümde tartışıldığı gibi (özellikle uzamsal medyan ).

    Medyanın bu optimizasyona dayalı tanımı, örneğin k- medyan kümelemesinde , istatistiksel veri analizinde yararlıdır .

    Ortalamalar ve medyanlarla ilgili eşitsizlik

    Farklı çarpıklığa sahip iki log-normal dağılımın ortalama , medyan ve modunun karşılaştırılması

    Dağılımın sonlu varyansı varsa, medyan ile ortalama arasındaki mesafe bir standart sapma ile sınırlıdır .

    Bu bağ, Jensen eşitsizliğini iki kez kullanan Mallows tarafından aşağıdaki gibi kanıtlanmıştır . |·| kullanma için mutlak değer , sahip

    Birinci ve üçüncü eşitsizlikler, her biri dışbükey olan mutlak değer işlevine ve kare işlevine uygulanan Jensen eşitsizliğinden gelir. İkinci eşitsizlik, medyanın mutlak sapma fonksiyonunu minimize etmesi gerçeğinden kaynaklanmaktadır .

    Mallows'un ispatı, mutlak değeri bir norm ile değiştirerek eşitsizliğin çok değişkenli bir versiyonunu elde etmek için genelleştirilebilir :

    burada m bir uzaysal medyandır , yani fonksiyonun bir küçültücüsüdür Veri kümesinin boyutu iki veya daha fazla olduğunda uzaysal medyan benzersizdir.

    Alternatif bir kanıt, tek taraflı Chebyshev eşitsizliğini kullanır; konum ve ölçek parametrelerinde bir eşitsizlik içinde görünür . Bu formül aynı zamanda doğrudan Cantelli'nin eşitsizliğinden de çıkar .

    Tek modlu dağılımlar

    Tek modlu dağılımlar durumunda , medyan ve ortalama arasındaki mesafe üzerinde daha keskin bir sınır elde edilebilir:

    .

    Medyan ve mod arasında da benzer bir ilişki vardır:

    Medyanlar için Jensen eşitsizliği

    Jensen eşitsizliği , sonlu bir E [ X ] beklentisi olan herhangi bir rastgele değişken X için ve herhangi bir dışbükey fonksiyon f için

    Bu eşitsizlik medyana da genellenir. Biz bir işlev söylemek ℝ → ℝ: f bir olan C fonksiyonu varsa için, t ,

    a, kapalı aralık (a dejenere durumlarda sağlayan tek bir noktada veya bir boş grubu ). Her C işlevi dışbükeydir, ancak tersi geçerli değildir. Eğer f sonra bir Cı fonksiyonu olan

    Medyanlar benzersiz değilse, ifade karşılık gelen üst değer için geçerlidir.

    Örnekler için medyanlar

    örnek medyan

    Örnek medyanın verimli hesaplanması

    Olsa karşılaştırma dizme n ürün gerektirir Q'dan ( n log n ) işlemleri, seçim algoritmaları hesaplayabilir k th-küçüklerinden n ürün yalnızca Θ ( n ) işlemleri. Bu, medyanı içerir; n/2inci dereceden istatistik (veya çift sayıda örnek için, iki orta dereceli istatistiğin aritmetik ortalaması ).

    Seçim algoritmaları hala Ω( n ) bellek gerektirme dezavantajına sahiptir , yani bellekte tam numuneye (veya bunun doğrusal boyutlu bir kısmına) sahip olmaları gerekir. Bunun yanı sıra doğrusal zaman gereksinimi engelleyici olabileceğinden, medyan için çeşitli tahmin prosedürleri geliştirilmiştir. Basit bir kural, medyanı üç elemanlı bir alt örneğin medyanı olarak tahmin eden üç kuralın medyanıdır; bu, girdi medyanının bir tahminini kullanan hızlı sıralama sıralama algoritmasında yaygın olarak bir alt program olarak kullanılır . Daha güçlü bir tahmin olup , Tukey 'in ninther sınırlı yineleme ile uygulanan üç kural medyan olan: eğer bir bir şekilde düzenlendiği örnek dizisi ve

    med3( A ) = medyan( A [1], A [n/2], A [ n ]) ,

    sonra

    dokuzuncu( A ) = med3(med3( A [1 ...1/3n ]), med3( A [1/3n ...2/3n ]), med3( A [2/3n ... n ]))

    Remedian numune üzerinde tek bir geçişte yapan, doğrusal bir zaman ancak alt doğrusal bellek gerektirir medyan için bir tahmin olup.

    Örnekleme dağılımı

    Hem numune ortalamasının hem de numune medyanının dağılımları Laplace tarafından belirlendi . Yoğunluk fonksiyonuna sahip bir popülasyondan numune medyanının dağılımı, ortalama ve varyans ile asimptotik olarak normaldir

    medyanı nerede ve örneklem büyüklüğü. Modern bir kanıt aşağıda izler. Laplace'ın sonucu artık keyfi niceliklerin asimptotik dağılımının özel bir durumu olarak anlaşılmaktadır .

    Normal numuneler için yoğunluk , dolayısıyla büyük numuneler için medyanın varyansı eşittir (ayrıca aşağıdaki #Verimlilik bölümüne bakın.)

    asimptotik dağılımın türetilmesi

    Örnek boyutunu tek bir sayı olarak alıyoruz ve değişkenimizin sürekli olduğunu varsayıyoruz; kesikli değişkenler için formül aşağıda § Ampirik yerel yoğunlukta verilmiştir . Numune, "orta yukarıdaki" "medyan", "orta aşağıdaki" olarak özetlenebilir edilebilir ve bir çok terimli olasılık ile dağıtım için hangi karşılık , ve . Sürekli bir değişken için, çoklu örnek değerlerinin medyana tam olarak eşit olma olasılığı 0'dır, bu nedenle noktadaki yoğunluğu doğrudan üç terimli dağılımdan hesaplayabiliriz :

    .

    Şimdi beta işlevini tanıtıyoruz. Tamsayı argümanları ve için bu şu şekilde ifade edilebilir . Ayrıca şunu da hatırla . Bu ilişkileri kullanmak ve hem ve eşit olarak ayarlamak , son ifadenin şu şekilde yazılmasına izin verir:

    Dolayısıyla medyanın yoğunluk fonksiyonu, tarafından ileri itilen simetrik bir beta dağılımıdır . Ortalaması, beklediğimiz gibi 0,5 ve varyansı . By zincir kuralı , örnek ortanca karşılık gelen varyansını

    .

    Ek 2 limitte ihmal edilebilir .

    ampirik yerel yoğunluk

    Pratikte, fonksiyonlar ve genellikle bilinmemekte veya varsayılmamaktadır. Ancak, gözlemlenen bir frekans dağılımından tahmin edilebilirler. Bu bölümde bir örnek veriyoruz. 3.800 (ayrık değerli) gözlemin bir örneğini temsil eden aşağıdaki tabloyu göz önünde bulundurun:

    v 0 0,5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
    f(v) 0.000 0,008 0.010 0.013 0.083 0.108 0.328 0.220 0.202 0.023 0.005
    F(v) 0.000 0,008 0.018 0.031 0.114 0.222 0.550 0.770 0.972 0.995 1.000

    Gözlemler ayrık değerli olduğundan, medyanın tam dağılımını oluşturmak için yukarıdaki ifadenin hemen çevirisi değildir ; kişi örneğinde medyanın birden fazla örneğine sahip olabilir (ve tipik olarak vardır). Öyleyse tüm bu olasılıkları özetlemeliyiz:

    Burada i , medyandan kesinlikle küçük olan noktaların sayısı ve k sayısı kesinlikle daha büyük olan nokta sayısıdır.

    Bu ön bilgileri kullanarak, örneklem büyüklüğünün ortalama ve medyanın standart hataları üzerindeki etkisini araştırmak mümkündür. Gözlenen ortalama 3.16, gözlemlenen ham medyan 3 ve gözlemlenen enterpolasyonlu medyan 3.174'tür. Aşağıdaki tabloda bazı karşılaştırma istatistikleri verilmektedir.

    Örnek boyut
    istatistik
    3 9 15 21
    medyanın beklenen değeri 3.198 3.191 3.174 3.161
    Medyanın standart hatası (formülün üstünde) 0.482 0.305 0.257 0,239
    Medyanın standart hatası (asimptotik yaklaşım) 0.879 0.508 0,393 0.332
    Ortalamanın standart hatası 0.421 0.243 0.188 0.159

    Beklendiği gibi, medyanın ve ortalamanın standart hataları, örneklem boyutunun ters karekökü ile orantılıyken, medyanın beklenen değeri, örneklem boyutu arttıkça biraz düşer. Asimptotik yaklaşıklık, standart hatayı olduğundan fazla tahmin ederek dikkatli olmaktan yanadır.

    Örnek verilerden varyans tahmini

    Değeri arasında -the asimptotik değeri nerede nüfusu medyan-etti birkaç yazar tarafından incelenmiştir. Standart "birini sil" jackknife yöntemi tutarsız sonuçlar üretir . Örnek boyutuyla birlikte büyüyen bir alternatif olan "k silme" yönteminin asimptotik olarak tutarlı olduğu gösterilmiştir. Bu yöntem, büyük veri kümeleri için hesaplama açısından pahalı olabilir. Bootstrap tahmini tutarlı olduğu bilinmektedir, ancak çok yavaş bir şekilde (yakınsayan bir düzen içinde ). Diğer yöntemler önerilmiştir, ancak davranışları büyük ve küçük numuneler arasında farklılık gösterebilir.

    Yeterlik

    Verim medyan varyans ortalama varyans oranı olarak ölçülen örnek medyan bölgesinin, örnek büyüklüğü ve altta yatan nüfus dağılımına bağlıdır. Büyüklükte bir örnek için gelen normal dağılım , geniş N verimliliği

    Verimlilik sonsuza kadar eğilim gösterir.

    Diğer bir deyişle, medyan nispi varyans olacak , ya da ortalama varyansı% 57 daha büyük - nispi standart hata medyan olacaktır , ya da% 25'ten daha fazla , ortalama standart hatası , (aynı zamanda bölümüne bakın #Örnekleme dağılımı yukarıda.).

    Diğer tahminciler

    Bir medyan etrafında simetrik olan tek değişkenli dağılımlar için , Hodges-Lehmann tahmincisi , popülasyon medyanının sağlam ve oldukça verimli bir tahmincisidir .

    Veriler, belirli bir olasılık dağılımları ailesini belirten bir istatistiksel model ile temsil ediliyorsa , o zaman, bu olasılık dağılımları ailesini verilere uydurarak ve uygun dağılımın teorik medyanı hesaplanarak medyan tahminleri elde edilebilir. Pareto enterpolasyonu , popülasyonun bir Pareto dağılımına sahip olduğu varsayıldığında bunun bir uygulamasıdır .

    çok değişkenli medyan

    Daha önce, bu makale, örneklem veya popülasyonun tek boyutlu olduğu durumlarda tek değişkenli medyanı tartışıyordu. Boyut iki veya daha yüksek olduğunda, tek değişkenli medyanın tanımını genişleten birden çok kavram vardır; boyut tam olarak bir olduğunda, bu tür çok değişkenli medyanların her biri tek değişkenli medyanla uyumludur.

    marjinal medyan

    Marjinal medyan, sabit bir koordinat kümesine göre tanımlanan vektörler için tanımlanır. Marjinal medyan, bileşenleri tek değişkenli medyanlar olan vektör olarak tanımlanır. Marjinal medyanın hesaplanması kolaydır ve özellikleri Puri ve Sen tarafından incelenmiştir.

    geometrik medyan

    Geometrik ortalama örnek nokta ayrık dizi bir Öklid alan örnek noktalara mesafelerin toplamı en aza noktasıdır.

    Marjinal medyanın aksine, geometrik medyan, öteleme ve döndürme gibi Öklid benzerlik dönüşümlerine göre eşdeğerdir .

    Her yöne ortanca

    Tüm koordinat sistemleri için marjinal medyanlar çakışırsa, ortak konumları "her yönde medyan" olarak adlandırılabilir. Bu kavram, medyan seçmen teoremi nedeniyle oy verme teorisiyle ilgilidir . Var olduğunda, tüm yönlerdeki medyan geometrik medyanla çakışır (en azından ayrık dağılımlar için).

    Merkez noktası

    Daha yüksek boyutlarda medyanın alternatif bir genellemesi merkez noktasıdır .

    Medyanla ilgili diğer kavramlar

    enterpolasyonlu medyan

    Kesikli bir değişkenle uğraşırken, bazen gözlemlenen değerleri, temeldeki sürekli aralıkların orta noktaları olarak kabul etmek yararlıdır. Bunun bir örneği, görüşlerin veya tercihlerin belirli sayıda olası yanıt içeren bir ölçekte ifade edildiği bir Likert ölçeğidir. Ölçek pozitif tam sayılardan oluşuyorsa, 3'lük bir gözlem 2.50 ile 3.50 arasındaki aralığı temsil ediyor olarak kabul edilebilir. Altta yatan değişkenin medyanını tahmin etmek mümkündür. Aşağıdaki 3 veya mesela, varsa, gözlemlerin% 22 değeri 2 veya daha düşük ve% 55.0 olan olan (çok% 33 değeri 3 olan), daha sonra orta medyan değeri en küçük olduğu, 3'dür olan büyüktür yarısından fazla. Ancak enterpolasyonlu medyan 2,50 ile 3,50 arasında bir yerdedir. İlk önce ortanca aralığın üst sınırını elde etmek için aralık genişliğinin yarısını ortancaya ekleriz . Ardından, %50 işaretinin üzerinde kalan %33'ün oranına eşit olan aralık genişliği oranını çıkarırız. Başka bir deyişle, aralık genişliğini gözlem sayılarına orantılı olarak böldük. Bu durumda, %33 ortancanın altında %28 ve üstünde %5 olarak bölünür, bu nedenle enterpolasyonlu bir medyan 3.35 vermek için aralık genişliğinin 5/33'ünü 3.50'nin üst sınırından çıkarırız. Daha resmi olarak, eğer değerler biliniyorsa, enterpolasyonlu medyan şu şekilde hesaplanabilir:

    Alternatif olarak, gözlemlenen bir örneklemde medyan kategorisinin üzerinde puanlar , içinde puanlar ve altında puanlar varsa, enterpolasyonlu medyan şu şekilde verilir:

    sözde medyan

    Bir medyan etrafında simetrik olan tek değişkenli dağılımlar için , Hodges-Lehmann tahmincisi , popülasyon medyanının sağlam ve oldukça verimli bir tahmincisidir; simetrik olmayan dağılımlar için, Hodges-Lehmann tahmincisi, simetrik bir dağılımın medyanı olan ve popülasyon medyanına yakın olan popülasyon sözde medyanının sağlam ve yüksek verimli bir tahmincisidir . Hodges-Lehmann tahmincisi çok değişkenli dağılımlara genelleştirilmiştir.

    regresyon varyantları

    Theil-Sen tahmin için bir yöntemdir sağlam doğrusal regresyon orta değerleri bulmaya dayanmaktadır yamaçlar .

    medyan filtre

    Bağlamında görüntü işleme ait tek renkli tarama görüntüleri bulunmaktadır olarak bilinen gürültü türüdür tuz ve biber gürültü her bir piksel, bağımsız bir şekilde (bir olasılığı ile) (bazı olasılığı ile), siyah ya da beyaz hale gelir, ve aksi değişmez (olasılıkla 1'e yakın). Mahallelerin medyan değerlerinden (3×3 kare gibi) oluşturulan bir görüntü , bu durumda gürültüyü etkili bir şekilde azaltabilir .

    Küme analizi

    Olarak kümelenme analizi , kümeleme, k-ortanca algoritması kullanılır kümelenmeye aracı arasındaki mesafe en üst düzeye çıkarma kriteri olan tanımlama kümeleri, bir yol sağlar kümeleme k-ortalama , kümelenmeye medyan arasındaki mesafeyi maksimize ile değiştirilir.

    Medyan-medyan çizgisi

    Bu, sağlam bir regresyon yöntemidir. Fikir tarihleri için geri Wald bağımsız parametrenin değerine bağlı olarak ikiye iki değişkenli veri kümesi bölünmesi önerdi 1940 yılında : sol yarısını değerlerle daha az ortanca ve orta değerinden daha büyük değerlere sahip bir sağ yarısında daha. Sol ve sağ yarıların bağımlı ve bağımsız değişkenlerinin ortalamasını almayı ve bu iki noktayı birleştiren doğrunun eğimini tahmin etmeyi önerdi . Çizgi daha sonra veri setindeki noktaların çoğuna uyacak şekilde ayarlanabilir.

    1942'de Nair ve Shrivastava benzer bir fikir önerdiler, ancak bunun yerine alt örneklerin ortalamalarını hesaplamadan önce örneği üç eşit parçaya bölmeyi savundular. Brown ve Mood 1951'de araçlardan ziyade iki alt örneğin medyanlarını kullanma fikrini önerdiler. Tukey bu fikirleri birleştirdi ve örneğin üç eşit boyutlu alt örneğe bölünmesini ve alt örneklerin medyanlarına dayalı olarak doğrunun tahmin edilmesini önerdi.

    Medyan yansız tahminciler

    Herhangi bir ortalama yansız tahmin edici , Gauss tarafından gözlemlendiği gibi , kare hatası kayıp fonksiyonuna göre riski ( beklenen kayıp ) en aza indirir . Bir medyan yansız tahmincisi , Laplace tarafından gözlemlendiği gibi , mutlak sapma kaybı fonksiyonuna ilişkin riski en aza indirir . Diğer kayıp fonksiyonları , istatistik teorisinde , özellikle sağlam istatistiklerde kullanılır .

    Medyan-tarafsız tahminciler teorisi, 1947'de George W. Brown tarafından yeniden canlandırıldı :

    Sabit θ için, tahmin dağılımının medyanı θ değerindeyse, tek boyutlu bir parametre θ tahmininin medyan-yansız olduğu söylenecektir; yani, tahmin, fazla tahmin ettiği kadar sıklıkla hafife alır. Bu gereksinim, çoğu amaç için, ortalama-yansız gereksinim kadar başarılı görünmektedir ve bire bir dönüşüm altında değişmez olduğu ek özelliğine sahiptir.

    —  sayfa 584

    Medyan-tarafsız tahmin edicilerin diğer özellikleri rapor edilmiştir. Medyan yansız tahmin ediciler, bire bir dönüşümler altında değişmezdir .

    Optimal olan (bir anlamda, ortalama yansız tahmin ediciler için minimum varyans özelliğine benzer) medyan-tarafsız tahmin ediciler oluşturmak için yöntemler vardır. Bu tür yapılar, monoton olabilirlik fonksiyonlarına sahip olasılık dağılımları için mevcuttur . Böyle bir prosedür, ortalama yansız tahminciler için Rao-Blackwell prosedürünün bir analogudur: Prosedür, Rao-Blackwell prosedüründen daha küçük bir olasılık dağılımları sınıfı için geçerlidir, ancak daha büyük bir kayıp fonksiyonları sınıfı için geçerlidir .

    Tarih

    Antik yakın doğudaki bilimsel araştırmacılar, özet istatistikleri tamamen kullanmamış, bunun yerine çok çeşitli fenomenleri entegre eden daha geniş bir teori ile maksimum tutarlılık sunan değerleri seçmiş görünüyorlar. Akdeniz (ve daha sonra Avrupa) akademik topluluğu içinde, ortalama gibi istatistikler temelde bir ortaçağ ve erken modern gelişmedir. (Avrupa dışındaki medyanın ve onun öncüllerinin tarihi nispeten incelenmemiştir.)

    Medyan fikri, farklı değerlendirmeleri adil bir şekilde analiz etmek için Talmud'da 13. yüzyılda ortaya çıktı . Ancak, kavram daha geniş bilimsel topluluğa yayılmadı.

    Bunun yerine, modern medyanın en yakın atası, Al-Biruni tarafından icat edilen orta menzildir . El-Biruni'nin çalışmalarının daha sonraki bilim adamlarına iletilmesi belirsizdir. Al-Biruni, tekniğini metalleri tahlil etmek için uyguladı , ancak çalışmasını yayınladıktan sonra, çoğu tahlilci, hile yapıyor gibi görünmemek için sonuçlarından hala en olumsuz değeri benimsedi . Bununla birlikte, Keşif Çağı sırasında denizde artan navigasyon, gemi seyrüsefercilerinin olumsuz hava koşullarında düşman kıyılarına karşı enlemi belirlemeye çalışmak zorunda kalması anlamına geliyordu ve bu da özet istatistiklere olan ilginin yeniden artmasına yol açtı. Yeniden keşfedilmiş veya bağımsız olarak icat edilmiş olsun, orta menzil, Harriot'un "Raleigh'in Guyana'ya Yolculuğu için Talimatlar, 1595" de denizcilere tavsiye edilir.

    Medyan fikri ilk olarak Edward Wright'ın 1599'da yazdığı Belirli Hatalar kitabında Navigasyonda pusula navigasyonuyla ilgili bir bölümde ortaya çıkmış olabilir . Wright, ölçülen değerleri atmak konusunda isteksizdi ve veri kümesinin orta aralıktan daha büyük bir oranını içeren medyanın doğru olma olasılığının daha yüksek olduğunu hissetmiş olabilir . Bununla birlikte, Wright, tekniğinin kullanımına ilişkin örnekler vermemiş, bu da modern medyan kavramını tanımladığını doğrulamayı zorlaştırmıştır. Medyan (olasılık bağlamında) kesinlikle Christiaan Huygens'in yazışmalarında göründü , ancak aktüeryal uygulama için uygun olmayan bir istatistik örneği olarak .

    Medyanla ilgili en erken öneri, Roger Joseph Boscovich'in L 1 normuna ve dolayısıyla dolaylı olarak medyana dayalı bir regresyon yöntemi geliştirdiği 1757 yılına dayanmaktadır . 1774'te Laplace bu arzuyu açıkça ortaya koydu: medyanın, sonsal bir PDF değerinin standart tahmincisi olarak kullanılmasını önerdi . Spesifik kriter, hatanın beklenen büyüklüğünü en aza indirmekti; nerede tahmin ve gerçek değerdir. Bu amaçla, Laplace 1800'lerin başında hem örnek ortalamasının hem de örnek medyanının dağılımlarını belirledi. Bununla birlikte, on yıl sonra, Gauss ve Legendre , ortalamayı elde etmek için en aza indiren en küçük kareler yöntemini geliştirdi . Regresyon bağlamında, Gauss ve Legendre'nin yeniliği çok daha kolay hesaplama sunar. Sonuç olarak, Laplaces'ın önerisi, 150 yıl sonra bilgi işlem cihazlarının yükselişine kadar genellikle reddedildi (ve hala nispeten nadir bir algoritmadır).

    1843'te Antoine Augustin Cournot , bir olasılık dağılımını iki eşit yarıya bölen değer için medyan ( valeur médiane ) terimini ilk kullanan kişiydi . Gustav Theodor Fechner , medyanı ( Centralwerth ) sosyolojik ve psikolojik fenomenlerde kullandı. Daha önce sadece astronomi ve ilgili alanlarda kullanılmıştı. Gustav Fechner , medyanı, daha önce Laplace tarafından kullanılmış olmasına ve medyan, FY Edgeworth'un bir ders kitabında görünmesine rağmen, verilerin resmi analizinde popüler hale getirdi . Francis Galton , daha önce 1869'da orta-en değerli ve 1880'de orta terimlerini kullanmış olan, 1881'de İngilizce medyan terimini kullandı .

    İstatistikçiler, sezgisel netliği ve manuel hesaplama kolaylığı nedeniyle 19. yüzyıl boyunca yoğun bir şekilde medyan kullanımını teşvik ettiler. Bununla birlikte, medyan kavramı, aritmetik ortalamanın yanı sıra daha yüksek momentler teorisine uygun değildir ve bilgisayarla hesaplanması çok daha zordur. Sonuç olarak, medyan, 20. yüzyılda aritmetik ortalama tarafından bir genel ortalama kavramı olarak istikrarlı bir şekilde yerini aldı.

    Ayrıca bakınız

    Notlar

    Referanslar

    Dış bağlantılar

    Bu makale , Creative Commons Atıf/Benzer Paylaşım Lisansı altında lisanslanan PlanetMath üzerindeki bir dağıtımın Medyan'dan alınan materyallerini içermektedir .