cebirsel fonksiyon - Algebraic function

Gelen matematik bir cebirsel fonksiyon a, fonksiyonu olarak tanımlanabilir kök a polinom . Çoğu zaman cebirsel fonksiyonlar, sadece toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve kesirli bir güce yükseltme işlemlerini içeren sonlu sayıda terim kullanan cebirsel ifadelerdir . Bu tür işlevlere örnekler:

• ${\görüntüleme stili f(x)=1/x}$
• ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$
• ${\displaystyle f(x)={\frac {\sqrt {1+x^{3}}}{x^{3/7}-{\sqrt {7}}x^{1/3}}}}$

Ancak bazı cebirsel fonksiyonlar bu tür sonlu ifadelerle ifade edilemez (bu Abel-Ruffini teoremidir ). Örneğin, tarafından örtük olarak tanımlanan işlev olan Bring radikali için durum budur.

${\displaystyle f(x)^{5}+f(x)+x=0}$.

Daha net bir ifadeyle, derece bir cebirsel fonksiyon n bir değişken X bir fonksiyonudur olan sürekli olarak olarak etki ve tatmin bir polinom${\görüntüleme stili y=f(x),}$

${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0}$

katsayıları burada bir _ı ( x ) olarak polinom fonksiyonları arasında x tamsayı katsayılı. a _i ( x ) 'lerin katsayıları için cebirsel sayılar kabul edilirse, aynı fonksiyon sınıfının elde edildiği gösterilebilir . Katsayılarda aşkın sayılar varsa , fonksiyon genellikle cebirsel değildir, ancak bu katsayılar tarafından üretilen alan üzerinde cebirseldir .

Bir rasyonel sayıda ve daha genel olarak, bir cebirsel sayıda bir cebirsel fonksiyonun değeri her zaman bir cebirsel sayıdır. Bazen, bir R halkası üzerinde polinom olan katsayılar dikkate alınır ve daha sonra " R üzerinde cebirsel fonksiyonlar" hakkında konuşulur . ${\displaystyle a_{i}(x)}$

Cebirsel olmayan bir fonksiyona , örneğin durumunda olduğu gibi aşkın fonksiyon denir . Transandantal fonksiyonların bir bileşimi cebirsel bir fonksiyon verebilir: . ${\displaystyle \exp x,\tan x,\ln x,\Gamma (x)}$${\displaystyle f(x)=\cos \arcsin x={\sqrt {1-x^{2}}}}$

Bir polinom olarak derecesi , n kadar vardır , n kökleri (ve tam olarak n, aşırı kökleri cebirsel olarak kapalı alan gibi, karmaşık sayılar ), bir polinom dolaylı kadar tek bir işlev tanımlamak değil, n- fonksiyonlar, kimi zaman da adlandırılır dallar . Örneğin denklemini göz önünde birim çember : Bu tespit y sadece hariç kadar genel bir işaret; buna göre iki şubesi vardır: ${\displaystyle y^{2}+x^{2}=1.\,}$${\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}.\,}$

m değişkenli bir cebirsel fonksiyon , benzer şekilde m  + 1 değişkenli bir polinom denklemini çözen bir fonksiyon olarak tanımlanır : ${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{m})}$

${\displaystyle p(y,x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})=0.}$

Normalde p'nin indirgenemez bir polinom olması gerektiği varsayılır . Cebirsel bir fonksiyonun varlığı daha sonra örtük fonksiyon teoremi tarafından garanti edilir .

Biçimsel olarak, K alanı üzerindeki m değişkenli bir cebirsel fonksiyon , rasyonel fonksiyonlar K ( x ₁ , ...,  x _m ) alanının cebirsel kapanmasının bir elemanıdır .

Tek değişkenli cebirsel fonksiyonlar

Giriş ve Genel Bakış

Cebirsel bir fonksiyonun resmi olmayan tanımı, özellikleri hakkında bir takım ipuçları sağlar. Sezgisel anlayış kazanmak için, o zamanki tarafından oluşturulabilir fonksiyonları olarak cebirsel fonksiyonlar kabul etmek yararlı olabilir cebirsel işlemleri : Ek , çarpma , bölme ve bir çekici n kökü inci . Bu, aşırı basitleştirme gibi bir şeydir; Galois teorisinin temel teoremi nedeniyle , cebirsel fonksiyonların radikallerle ifade edilmesine gerek yoktur.

İlk olarak, herhangi bir polinom fonksiyonunun cebirsel bir fonksiyon olduğuna dikkat edin , çünkü bu sadece denklemin y çözümüdür.${\görüntüleme stili y=p(x)}$

${\görüntüleme stili yp(x)=0.\,}$

Daha genel olarak, herhangi bir rasyonel fonksiyon cebirseldir ve çözümü şudur: ${\displaystyle y={\frac {p(x)}{q(x)}}}$

${\görüntüleme stili q(x)yp(x)=0.}$

Ayrıca, n, bir polinom th kök bir cebirsel fonksiyon denklemi çözme, olduğu ${\textstyle y={\sqrt[{n}]{p(x)}}}$

${\displaystyle y^{n}-p(x)=0.}$

Şaşırtıcı bir şekilde, bir cebirsel fonksiyonun ters fonksiyonu cebirsel bir fonksiyondur. y'nin bir çözüm olduğunu varsayarsak

${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+\cdots +a_{0}(x)=0,}$

her bir değeri için , x , o zaman X her bir değeri için bu denklemin bir çözelti de y . Gerçekten de, x ve y'nin rollerini değiştirerek ve terimleri bir araya getirerek ,

${\displaystyle b_{m}(y)x^{m}+b_{m-1}(y)x^{m-1}+\cdots +b_{0}(y)=0.}$

x'i y'nin bir fonksiyonu olarak yazmak , ters fonksiyonu, ayrıca bir cebirsel fonksiyonu verir.

Ancak her fonksiyonun tersi yoktur. Örneğin, y  =  x ² başarısız yatay çizgi testi : olmasını başarısız bire-bir . Tersi cebirsel "fonksiyon"dur . Bunu anlamanın başka bir yolu, cebirsel fonksiyonumuzu tanımlayan polinom denkleminin dalları kümesinin bir cebirsel eğrinin grafiği olmasıdır . ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {y}}}$

Karmaşık sayıların rolü

Cebirsel bir bakış açısından, karmaşık sayılar cebirsel fonksiyonların çalışmasına oldukça doğal bir şekilde girer. Her şeyden önce, cebirin temel teoremine göre , karmaşık sayılar cebirsel olarak kapalı bir alandır . Bu nedenle, herhangi bir polinom ilişki p ( y ,  x ) = 0, en az bir çözeltisi (olup derecesini aşan çözümler genel bir dizi olduğu garanti edilir p de y ) için y , her noktasında x , izin verilmedi, y varsaymak karmaşık hem de gerçek değerler. Böylece, bir cebirsel fonksiyonun tanım kümesiyle ilgili problemler güvenli bir şekilde minimize edilebilir.

Cebirsel işlev üç şube bir grafik y , y ³  -  XY  + = 0 1, etki alanında 3/2 ^2/3 < x <50.

Ayrıca, nihai olarak gerçek cebirsel fonksiyonlarla ilgilenilse bile, fonksiyonu karmaşık sayılara başvurmadan toplama, çarpma, bölme ve n'inci kök alma terimleriyle ifade etmenin bir yolu olmayabilir (bkz. casus irreducibilis ). Örneğin, denklem tarafından belirlenen cebirsel işlevi düşünün.

${\displaystyle y^{3}-xy+1=0.\,}$

Kullanılması kübik formülü elde ederiz

${\displaystyle y=-{\frac {2x}{\sqrt[{3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}}+{\frac {\sqrt[{ 3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}{6}}.}$

Çünkü karekök gerçektir ve kübik kök bu nedenle iyi tanımlanmıştır ve benzersiz gerçek kökü sağlar. Öte yandan, karekök gerçek olmadığı için ve karekök için gerçek olmayan kareköklerden birini seçmek gerekir. Bu nedenle kübik kök, gerçek olmayan üç sayı arasından seçilmelidir. Formülün iki teriminde aynı seçimler yapılırsa, kübik kök için üç seçenek, ekteki resimde gösterilen üç dalı sağlar. ${\displaystyle x\leq {\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}},}$${\displaystyle x>{\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}},}$

Elde edilen fonksiyon, gösterilen grafiğin etki alanında gerçek değerli olsa bile, yalnızca gerçek sayılar kullanılarak bu işlevi n'inci kökler cinsinden ifade etmenin bir yolu olmadığı kanıtlanabilir .

Daha önemli bir teorik düzeyde, karmaşık sayıların kullanılması, cebirsel fonksiyonları tartışmak için güçlü karmaşık analiz tekniklerinin kullanılmasına izin verir . Özellikle, argüman ilkesi , herhangi bir cebirsel işlevin , en azından çok değerli anlamda, aslında bir analitik işlev olduğunu göstermek için kullanılabilir .

Biçimsel olarak, p ( x , y ) ,  x ve y karmaşık değişkenlerinde karmaşık bir polinom olsun . Varsayalım ki x ₀  ∈  Cı polinom şekildedir p ( x ₀ ,  y ve) y sahiptir , n farklı sıfır. Biz cebirsel fonksiyon analitik olduğunu göstermektedir edecektir mahalle arasında x ₀ . Bir sistem seçim n çakışmayan diskleri ö _I , bu sıfır, her biri. Daha sonra argüman ilkesine göre

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\noint _{\partial \Delta _{i}}{\frac {p_{y}(x_{0},y)}{p(x_) {0},y)}}\,dy=1.}$

Süreklilik açısından, bu aynı zamanda x ₀ komşuluğundaki tüm x için de geçerlidir . Özellikle, p ( x ,  y ), kalıntı teoremi tarafından verilen Δ _i'de yalnızca bir köke sahiptir :

${\displaystyle f_{i}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}y{\frac {p_{y}(x,y) )}{p(x,y)}}\,dy}$

hangi bir analitik fonksiyondur.

monodromi

Analyticity yukarıdaki geçirmez bir sistem için bir ifade edilen bu Not n farklı fonksiyon elemanlarının f _i ( x ), şu şartla ki X bir değil kritik nokta arasında p ( x ,  y ). Bir kritik nokta farklı sıfır sayısı derecesinden daha küçük olan bir nokta p ve en yüksek derecede terim sadece burada Bu durumda p kaybolur ve burada ayırıcı yok olur. Bu nedenle , c ₁ , ...,  c _m gibi yalnızca sonlu sayıda nokta vardır .

Fonksiyon elemanlarının özelliklerinin bir analizinde, f _i kritik nokta yakınında olduğunu göstermek için kullanılabilir monodromy kapağı olan dallanmış (ve muhtemelen kritik noktaları üzerinde sonsuzda noktası ). Böylece f _i'nin holomorfik uzantısı en kötü cebirsel kutuplara ve kritik noktalar üzerinde sıradan cebirsel dallara sahiptir.

Dikkat edin, kritik noktalardan uzakta,

${\displaystyle p(x,y)=a_{n}(x)(y-f_{1}(x))(y-f_{2}(x))\cdots (y-f_{n}(x) ))}$

çünkü f _I tanımının belirgin sıfır cinsindendir , p . Monodromy grubu faktörleri permutasyonu ile hareket eder, ve böylece meydana monodromy temsil arasında Galois grubunun bir p . ( Evrensel kaplama uzayı üzerindeki monodromi etkisi , Riemann yüzeyleri teorisinde ilişkilidir, ancak farklı bir kavramdır.)

Tarih

Cebirsel fonksiyonları çevreleyen fikirler en azından René Descartes'a kadar uzanır . Cebirsel fonksiyonlarla ilgili ilk tartışma, Edward Waring'in 1794 tarihli An Essay on the Principles of Human Knowledge (İnsan Bilgisinin İlkeleri Üzerine Bir Deneme) adlı eserinde yapılmış gibi görünüyor:

Ordinatı gösteren bir nicelik, x apsisinin cebirsel bir fonksiyonu olsun , ortak bölme ve kök çıkarma yöntemleriyle, onu x'in boyutlarına göre artan veya azalan sonsuz bir diziye indirgeyin ve sonra her birinin integralini bulun. ortaya çıkan terimler.

Ayrıca bakınız

• Cebirsel ifade
• analitik fonksiyon
• karmaşık fonksiyon
• Temel fonksiyon
• Fonksiyon (matematik)
• genelleştirilmiş fonksiyon
• Özel işlevlerin ve adların listesi
• İşlev türlerinin listesi
• Polinom
• Rasyonel fonksiyon
• Özel fonksiyonlar
• aşkın işlev

Referanslar

• Ahlfors, Lars (1979). Karmaşık Analiz . McGraw Tepesi.
• van der Waerden, BL (1931). Modern Cebir, Cilt II . Springer.

Dış bağlantılar

• Matematik Ansiklopedisinde "Cebirsel fonksiyon" tanımı
• Weisstein, Eric W. "Cebirsel Fonksiyon" . Matematik Dünyası .
• Cebirsel Fonksiyon at PlanetMath .
• "Cebirsel fonksiyonu" tanımı Arşivlendi en 2020/10/26 Wayback Machine içinde David J. Darling Bilim, Internet Encyclopedia