Önem aritmetiği - Significance arithmetic

Önemi aritmetik bir dizi kural (bazen ise önemli figür kuralları yaklaşmanız) belirsizlik yayılımını içinde bilimsel veya istatistiksel hesaplamalar. Bu kurallar, bir hesaplamanın sonucunu temsil etmek için kullanılacak uygun sayıda anlamlı rakamı bulmak için kullanılabilir . Bir hesaplama, ilgili belirsizlik analizi yapılmadan yapılırsa, çok fazla anlamlı rakamla yazılan bir sonuç, bilinenden daha yüksek bir kesinlik anlamına gelebilir ve çok az anlamlı rakamla yazılan bir sonuç, önlenebilir bir kayıpla sonuçlanır. hassas. Bu kuralları anlamak, anlamlı ve önemsiz rakamlar kavramının iyi anlaşılmasını gerektirir .

Önem aritmetiği kuralları, olasılık dağılımlarıyla ilgilenmek için istatistiksel kurallara dayanan bir yaklaşımdır . Bu daha gelişmiş ve kesin kurallar için belirsizliğin yayılması hakkındaki makaleye bakın . Önem aritmetiği kuralları, işlenenlerdeki anlamlı rakamların sayısının işlenenlerin belirsizliği ve dolayısıyla sonucun belirsizliği hakkında doğru bilgi verdiği varsayımına dayanır . Alternatifler için bkz. Aralık aritmetiği ve Kayan nokta hatası azaltma .

Önemli bir uyarı, anlamlı rakamların yalnızca ölçülen değerler için geçerli olmasıdır . Kesin olduğu bilinen değerler, sonuca ait anlamlı rakamların sayısını belirlemek için göz ardı edilmelidir. Bu tür değerlerin örnekleri şunları içerir:

• tamsayı sayıları (örneğin bir torbadaki portakal sayısı)
• bir birimin bir başkası cinsinden tanımları (örneğin, bir dakika 60 saniyedir)
• istenen veya teklif edilen gerçek fiyatlar ve gereksinim özelliklerinde verilen miktarlar
• uluslararası para birimi değişimi gibi yasal olarak tanımlanmış dönüşümler
• "üçe katlama" veya "yarıya bölme" gibi skaler işlemler
• π ve e gibi matematiksel sabitler

Bununla birlikte, yerçekimi sabiti gibi fiziksel sabitler sınırlı sayıda anlamlı basamağa sahiptir, çünkü bu sabitler bizim tarafımızdan yalnızca ölçümle bilinir. Öte yandan c ( ışık hızı ) tanım gereği tam olarak 299.792.458 m/s'dir.

Önem aritmetiği kullanarak çarpma ve bölme

Çarparak veya numaraları bölünmesi, sonuç olan yuvarlak için sayısı en az belirgin şekiller ile faktöründe önemli rakamların. Burada, her bir faktördeki anlamlı rakamların miktarı önemlidir - anlamlı rakamların konumu değil . Örneğin, önem aritmetiği kurallarını kullanarak:

• 8 × 8 ≈ 6 × 10 ¹
• 8 × 8.0 ≈ 6 × 10 ¹
• 8.0 × 8.0 ≈ 64
• 8,02 × 8,02 ≈ 64,3
• 8 / 2.0 ≈ 4
• 8.6 / 2.0012 ≈ 4.3
• 2 × 0,8 ≈ 2

Yukarıda sayıların ölçüm olduğu varsayılırsa (ve bu nedenle muhtemelen kesin değildir), o zaman yukarıdaki "8", yalnızca bir anlamlı basamağı olan kesin olmayan bir ölçümü temsil eder. Bu nedenle, "8 × 8" sonucu, beklenebilecek yuvarlanmamış "64" yerine yalnızca bir anlamlı basamak, yani "6 × 10 ¹ " olan bir sonuca yuvarlanır . Çoğu durumda, yuvarlatılmış sonuç, yuvarlanmamış sonuçtan daha az doğrudur; "8" ölçümü, 7,5 ile 8,5 arasında gerçek bir temel miktara sahiptir. Gerçek kare 56.25 ile 72.25 arasında olacaktır. Yani 6 × 10 ¹ diğer olası cevaplar bir doğruluk yanlış fikir verir gibi verebileceğiniz en iyi biridir. Bundan başka, 6 x 10 ¹ kendisi kafa (o ima eder olarak kabul edilebilir olarak 60 ± 5 aşırı iyimser; olacaktır daha doğru 64 ± 8 ).

Önem aritmetiği kullanarak toplama ve çıkarma

Anlamlı rakamlar kurallarını kullanarak toplama veya çıkarma yaparken, sonuçlar, eklenen (veya çıkarılan) en belirsiz sayılardaki en az anlamlı basamağın konumuna yuvarlanır . Yani sonuç, toplanan sayıların her birinde anlamlı olan son basamağa yuvarlanır . İşte pozisyon önemli rakamların önemlidir, ancak miktarı önemli rakamların önemi yoktur. Bu kuralları kullanan bazı örnekler:

			1
+			1.1
			2

• 1 birler basamağı için, 1.1 onuncular basamağı için anlamlıdır. İkisinden en az kesin olan, olanlar yeridir. Cevap, birler basamağını geçen anlamlı rakamlara sahip olamaz.

			1.0
+			1.1
			2.1

• 1.0 ve 1.1 onuncular basamağı için anlamlıdır, bu nedenle cevap ondalar basamağında da bir sayıya sahip olacaktır.

			9.9
			9.9
			9.9
			9.9
			3.3
+			1.1
			40.0

• Bütün ekler onuncular basamağı için anlamlıdır, yani cevap onuncular için anlamlıdır. Her terimin iki anlamlılık basamağı olsa da, toplam onluk sütunlara taşınır, böylece yanıtın üç anlamlılık basamağı olur.

  100 + 110 ≈ 200

• 100'ün yüzler basamağına verilen önem verildiğinde cevabın 200 olduğunu görüyoruz. Cevap, tıpkı aritmetikteki ilk terim gibi, yüzler basamağında tek bir anlamlılık rakamını koruyor.

  100. + 110. = 210.

• 100. ve 110. birler basamağı için önemlidir (ondalık ile gösterildiği gibi), yani cevap birler basamağı için de önemlidir.

  1 × 10 ² + 1,1 × 10 ² ≈ 2 × 10 ²

• 100, yüzler basamağına kadar anlamlı, 110 ise onlar basamağa kadar anlamlıdır. İkisinden en az doğru olanı yüzler basamağıdır. Cevap, yüzlerce basamaktan sonra önemli rakamlara sahip olmamalıdır.

  1,0 × 10 ² + 111 = 2,1 × 10 ²

• 1.0 × 10 ² onlar basamağına kadar anlamlı iken 111'de birler basamağına kadar sayılar vardır. Cevap, onlar basamağının ötesinde anlamlı rakamlara sahip olmayacak.

  123.25 + 46.0 + 86.26 ≈ 255.5

• 123.25 ve 86.26 yüzdeler haneye kadar anlamlı iken 46.0 sadece onuncu haneye kadar anlamlıdır. Cevap onuncu sıraya kadar anlamlı olacaktır.

  100 − 1 ≈ 100

• 100'ün yüzdeler basamağının önemi göz önüne alındığında, cevabın 100 olduğunu görüyoruz. Sezgilere aykırı görünebilir, ancak kesinliği dikte eden önemli basamakların doğasını vererek, bunun standart kurallardan nasıl çıktığını görebiliriz.

aşkın fonksiyonlar

Transandantal fonksiyonlar , fonksiyon çıktısının önemini belirlemek için karmaşık bir metoda sahiptir. Bunlara logaritmik fonksiyonlar , üstel fonksiyonlar ve trigonometrik fonksiyonlar dahildir . Çıktının önemi koşul numarasına bağlıdır . Genel olarak, çıktının anlamlı rakamlarının sayısı, fonksiyon girişinin (fonksiyon argümanı) anlamlı rakamlarının sayısından koşul numarasının büyüklük sırasına eşittir .

Bir durumu numarası türevlenebilir fonksiyon bir noktada olduğu bakınız Bir değişkeni: Durum sayı detayları için. Bir fonksiyonun bir noktada sıfıra sahip olması durumunda , girdideki sonsuz küçük değişiklikler çıktıyı sıfırdan sıfır olmayana değiştirebileceğinden, paydada sıfır olan bir oran, dolayısıyla sonsuz olduğu için, noktadaki koşul numarasının sonsuz olduğuna dikkat edin. göreceli değişim. En çok kullanılan fonksiyonların durum numarası aşağıdaki gibidir; bunlar, tüm temel işlevler için önemli rakamları hesaplamak için kullanılabilir : ${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili x}$${\displaystyle \sol|{\frac {xf'(x)}{f(x)}}\sağ|;}$

isim	Sembol	Koşul numarası
Ekleme çıkarma	${\görüntüleme stili x+a}$	${\displaystyle \sol|{\frac {x}{x+a}}\sağ|}$
Skaler çarpım	${\görüntüleme stili balta}$	${\görüntüleme stili 1}$
Bölünme	${\görüntüleme stili 1/x}$	${\görüntüleme stili 1}$
Polinom	${\görüntüleme stili x^{n}}$	${\görüntüleme stili |n|}$
üstel fonksiyon	${\görüntüleme stili e^{x}}$	${\görüntüleme stili |x|}$
b tabanı ile logaritma	${\displaystyle \log _{b}(x)}$	${\displaystyle \sol|{\frac {1}{\log _{b}(x)\ln(b)}}\sağ|}$
Doğal logaritma işlevi	${\görüntüleme stili \ln(x)}$	${\displaystyle \sol|{\frac {1}{\ln(x)}}\sağ|}$
sinüs fonksiyonu	${\görüntüleme stili \sin(x)}$	${\displaystyle |x\cot(x)|}$
kosinüs fonksiyonu	${\görüntüleme stili \cos(x)}$	${\görüntüleme stili |x\tan(x)|}$
teğet işlevi	${\görüntüleme stili \tan(x)}$	${\displaystyle |x(\tan(x)+\cot(x))|}$
Ters sinüs fonksiyonu	${\görüntüleme stili \arcsin(x)}$	${\displaystyle {\frac {x}{{\sqrt {1-x^{2}}}\arcsin(x)}}}$
Ters kosinüs fonksiyonu	${\görüntüleme stili \arccos(x)}$	${\displaystyle {\frac {|x|}{{\sqrt {1-x^{2}}}\arccos(x)}}}$
Ters teğet fonksiyonu	${\görüntüleme stili \arctan(x)}$	${\displaystyle {\frac {x}{(1+x^{2})\arctan(x)}}}$

Fonksiyon çıktısının anlamlı rakamlarının sayısının, fonksiyon girişinin (fonksiyon argümanı) anlamlı rakamlarının sayısından koşul numarasının taban-10 logaritmasından (ki bu yaklaşık olarak büyüklük/rakam sayısı sırasıdır ) eşit olması. koşul numarasının) ilk ilkelerden kolayca türetilebilir: let ve gerçek değerler ve let ve hatalarla yaklaşık değerler olsun ve sırasıyla, böylece ve . Sonra ve dolayısıyla . ${\görüntüleme stili {\şapka {x}}}$${\displaystyle f({\hat {x}})}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili f(x)}$${\görüntüleme stili\delta x}$${\görüntüleme stili \delta f}$${\displaystyle {\hat {x}}=x+\delta x}$${\displaystyle f({\hat {x}})=f(x)+\delta f}$${\displaystyle \delta f=f({\hat {x}})-f(x)=f(x+{\delta x})-f(x)={\frac {f(x+\delta x)- f(x)}{\delta x}}\cdot {\delta x}\yaklaşık {\frac {df(x)}{dx}}{\delta x}}$${\displaystyle |\delta f|\yaklaşık \sol|{\frac {df(x)}{dx}}{\delta x}\sağ|}$

Bir sayının önemli rakamlar ile sayının belirsiz hatayla ilgili "önemli rakamlar nerede x " Burada önemli rakamların sayısını ifade eder x . Bunu yukarıdaki denklemde yerine koyarsak , ve böylece . Bu nedenle ${\displaystyle \left\vert {\delta x}\right\vert \yaklaşık \left\vert {x\cdot 10^{-({\rm {önemli~rakamlar~}}x)}}\sağ\ dikey }$${\displaystyle \left\vert {f(x)\cdot 10^{-({\rm {önemli~rakamlar~of~}}f(x))}}\sağ\vert \yaklaşık \sol\vert {{ \frac {df(x)}{dx}}x\cdot 10^{-({\rm {önemli~rakamlar~~of~}}}}\sağ\vert }$${\displaystyle \left\vert {f(x)}\right\vert \cdot 10^{-({\rm {önemli~rakamlar~of~}}f(x))}\yaklaşık \sol\vert {{ \frac {df(x)}{dx}}x}\right\vert \cdot 10^{-({\rm {önemli~rakamlar~of~}}x)}}$

${\displaystyle -{({\rm {önemli~rakamlar~of~}}f(x))}\yaklaşık \log _{10}\left(\left\vert {{\frac {df(x)}} dx}}{\frac {x}{f(x)}}}\right\vert \cdot 10^{-{({\rm {önemli~rakamlar~}}x)}}\sağ)={ -({\rm {önemli~rakamlar~of~}}}x)}+\log _{10}\left(\left\vert {{\frac {df(x)}{dx}}{\frac {x) }{f(x)}}}\sağ\vert \sağ)}$, vermek

${\displaystyle {({\rm {önemli~rakamlar~of~}}f(x))}\yaklaşık {({\rm {önemli~rakamlar~}}x)}-\log _{10}\ sol(\left\vert {{\frac {df(x)}{dx}}{\frac {x}{f(x)}}}\sağ\vert \sağ)}$.

Yuvarlama kuralları

Önem aritmetiği yuvarlamayı içerdiğinden, bilimsel hesaplamalar yaparken sıklıkla kullanılan belirli bir yuvarlama kuralını anlamak yararlıdır: yuvarlaktan çifte kuralı ( banker yuvarlaması olarak da bilinir ). Özellikle büyük veri kümeleriyle uğraşırken kullanışlıdır.

Bu kural, geleneksel yuvarlama kurallarını kullanırken verilerin yukarı doğru eğrilmesini ortadan kaldırmaya yardımcı olur. Bir sonraki rakam 5 olduğunda geleneksel yuvarlama her zaman yukarı yuvarlarken, bankacılar bazen bu yukarı yönlü eğilimi ortadan kaldırmak için aşağı yuvarlar. İle ilgili makaleye bakın yuvarlama yuvarlama kuralları hakkında daha fazla bilgi ve yuvarlak için bile kuralın ayrıntılı bir açıklama için.

Önem konusunda anlaşmazlıklar

Anlamlı rakamlar, bir ölçümün bilindiği kesinlik için kısa yol olarak lise ve lisans derslerinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Ancak, önemli rakamlar değil belirsizlik mükemmel bir örneğidir ve olmayacak anlamına gelmez. Bunun yerine, deneycinin gerçekten bildiğinden daha fazla bilgi ifade etmekten kaçınmak ve sayıları kesinliği kaybedecek şekilde yuvarlamaktan kaçınmak için kullanışlı bir araçtır.

Örneğin, önemli rakam kuralları ile belirsizlik arasındaki bazı önemli farklar şunlardır:

• Belirsizlik bir hata ile aynı şey değildir. Belirli bir deneyin sonucunun 1.234 ± 0.056 olarak rapor edilmesi, gözlemcinin hata yaptığı anlamına gelmez; sonucun doğası gereği istatistiksel olması olabilir ve en iyi, yalnızca anlamlı olan rakamları, yani bilinen rakamlar artı bir belirsiz rakamı gösteren bir değeri gösteren ifade ile tanımlanır, bu durumda 1,23 ± 0,06. Daha az belirsizlik ifade etse de, bu koşullar altında bu sonucu 1.234 olarak tanımlamak yanlış olur .
• Belirsizlik önemsizlikle aynı şey değildir ve bunun tersi de geçerlidir. Belirsiz bir sayı oldukça önemli olabilir (örnek: sinyal ortalaması ). Tersine, tamamen belirli bir sayı önemsiz olabilir.
• Anlamlılık, anlamlı rakamlarla aynı şey değildir . Rakam sayma, belirsizliği ayrı ayrı ve açıkça belirtmek kadar (1.234 ± 0.056 gibi) anlamlılığı temsil etmenin kesin bir yolu değildir.
• Belirsizliğin manuel, cebirsel yayılımı – bu makalenin nominal konusu – mümkündür, ancak zordur. Alternatif yöntemler, krank üç kez yöntemini ve Monte Carlo yöntemini içerir . Diğer bir seçenek ise , belirsizlik üzerinde katı bir üst sınır sağlayabilen aralık aritmetiğidir , ancak genellikle sıkı bir üst sınır değildir (yani , belirsizliğin en iyi tahminini sağlamaz ). Çoğu amaç için Monte Carlo, aralık aritmetiğinden daha kullanışlıdır. Kahan , önem aritmetiğinin bir otomatik hata analizi biçimi olarak güvenilmez olduğunu düşünüyor.

Herhangi bir belirsiz sonuçtaki belirsizliği açıkça ifade etmek için, belirsizlik bir belirsizlik aralığı ve bir güven aralığı ile ayrı ayrı verilmelidir. 1,23 U95 = 0,06 ifadesi, değişkenin gerçek (bilinemeyen) değerinin en az %95 güvenle 1,17 ile 1,29 aralığında olmasının beklendiğini ifade eder. Güven aralığı belirtilmemişse o geleneksel olarak iki tekabül% 95 olduğu kabul edilmiş standart sapma gelen ortalama . Bir standart sapma (%68) ve üç standart sapma (%99) olan güven aralıkları da yaygın olarak kullanılır.

Ayrıca bakınız

• Yuvarlama
• Belirsizliğin yayılması
• önemli rakamlar
• Doğruluk ve hassasiyet
• manyak III
• Önem kaybı

Referanslar

daha fazla okuma

• Deliry, DB (1958). "Yaklaşık sayılarla hesaplamalar". Matematik Öğretmeni . 51 (7): 521–30. JSTOR  27955748 .
• Bond, EA (1931). "Yaklaşık Sayılarla Hesaplamada Önemli Rakamlar". Matematik Öğretmeni . 24 (4): 208–12. JSTOR  27951340 .
• ASTM E29-06b, Spesifikasyonlara Uygunluğu Belirlemek İçin Test Verilerinde Önemli Rakamları Kullanmaya Yönelik Standart Uygulama

Dış bağlantılar

• Ondalık Aritmetik SSS — Ondalık aritmetik 'önem' aritmetiği midir?
• Belirsizliği ele almak için gelişmiş yöntemler ve önem aritmetiği ve anlamlı rakamların eksikliklerine ilişkin bazı açıklamalar.
• Anlamlı Sayılar Hesaplayıcı – İstenilen sayıda anlamlı basamak içeren bir sayı görüntüler.
• Ölçümler ve Belirsizliklere Karşı Anlamlı Rakamlar veya Anlamlı Rakamlar – Belirsizliği ifade etmek için uygun yöntemler, herhangi bir anlamlı rakam kavramıyla problemlerin ayrıntılı bir tartışması dahil.