Kurallı yüzey - Ruled surface

İn geometrisi , bir yüzey S olduğu kararı (aynı zamanda adı verilen kaydırma her noktadan ise) S düz bir çizgi olup üzerinde uzanır S . Örnekleri arasında düzlemi , bir yan yüzeyinde silindir veya koni , bir konik yüzeyi ile eliptik doğrultman , doğru konik , helikoidi ve teğet geliştirilebilir düzgün bir eğri alanı.

Çizgili yüzey, hareket eden düz bir çizgi tarafından süpürülen noktalar kümesi olarak tanımlanabilir. Örneğin, bir doğrunun bir noktası sabit tutulurken başka bir nokta bir daire boyunca hareket ettirilerek bir koni oluşturulur . Yüzeyin her bir noktasından geçen iki ayrı çizgi varsa , bir yüzey iki kez yönetilir . Hiperbolik paraboloit ve bir tabakanın hiperboloit iki kat yüzeyleri yönetilir. Düzlem, her bir noktasından geçen en az üç farklı çizgi içeren tek yüzeydir ( Fuchs & Tabachnikov 2007 ).

Yönetilen veya çift yönetilen özellikleri projektif haritalar tarafından korunur ve bu nedenle projektif geometri kavramlarıdır . Cebirsel geometride, yönetilen yüzeyler bazen bir alan üzerinde afin veya yansıtmalı uzayda yüzeyler olarak kabul edilirler, ancak bazen afin veya yansıtmalı uzaya gömülmeyen soyut cebirsel yüzeyler olarak kabul edilirler, bu durumda "düz çizgi"nin anlamı anlaşılır. bir afin veya projektif çizgi.

Tanım ve parametrik gösterim

İki boyutlu türevlenebilir bir manifold , tek parametrik bir çizgi ailesinin birleşimi ise, yönetilen yüzey olarak adlandırılır . Bu ailenin hatlarıdır jeneratörleri yöneten yüzeyin.

Çizgili bir yüzey , formun parametrik bir temsili ile tanımlanabilir.

• (CR) .${\displaystyle \quad \mathbf {x} (u,v)={\color {red}\mathbf {c} (u)}+v\;{\color {blue}\mathbf {r} (u)} \ ,\ v\in \mathbb {R} \ ,}$

Herhangi bir eğri sabit bir parametre ile bir jeneratör (hat) ve eğri olan doğrultman gösterimi. Vektörler , jeneratörlerin yönlerini tanımlar. ${\displaystyle \;v\mapsto \mathbf {x} (u_{0},v)\;}$${\displaystyle u=u_{0}}$${\displaystyle \;u\mapsto \mathbf {c} (u)\;}$${\displaystyle \;\mathbf {r} (u)\neq {\bf {0\;}}}$

Directrix bir noktaya kadar çökebilir (bir koni olması durumunda, aşağıdaki örneğe bakın).

Alternatif olarak, yönetilen yüzey (CR) şu şekilde tanımlanabilir:

• (CD) ${\displaystyle \quad \mathbf {x} (u,v)=(1-v)\;{\color {red}\mathbf {c} (u)}+v\;{\color {green}\mathbf {d} (u)}\ }$

ikinci directrix ile . ${\displaystyle \;\mathbf {d} (u)=\mathbf {c} (u)+\mathbf {r} (u)\;}$

Alternatif olarak, kesişmeyen iki eğri ile doğrultular olarak başlanabilir ve (CD) ile çizgi yönleri olan bir çizgili yüzey elde edilebilir.${\displaystyle \mathbf {c} (u),\mathbf {d} (u)}$${\displaystyle \;\mathbf {r} (u)=\mathbf {d} (u)-\mathbf {c} (u)\ .}$

İki doğrultu (veya bir doğrultu ve doğru yönleri vektörleri) tarafından yönetilen bir yüzeyin üretilmesi için, yalnızca bu eğrilerin geometrik şekli değil, aynı zamanda bunların özel parametrik temsilleri de yönetilen yüzeyin şeklini etkiler (bkz. ), NS)).

Teorik araştırmalar için gösterim (CR) daha avantajlıdır, çünkü parametre yalnızca bir kez görünür. ${\görüntüleme stili v}$

Örnekler

Sağ dairesel silindir

${\displaystyle \ x^{2}+y^{2}=a^{2}\ }$:

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(a\cos u,a\sin u,v)^{T}}$

${\displaystyle ={\color {red}(a\cos u,a\sin u,0)^{T}}\;+\;v\;{\color {blue}(0,0,1)^ {T}}}$

${\displaystyle =(1-v)\;{\color {red}(a\cos u,a\sin u,0)^{T}}\;+\;v\;{\color {green}( a\cos u,a\sin u,1)^{T}}\ .}$

ile birlikte

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(a\cos u,a\sin u,0)^{T}\ ,\ \mathbf {r} (u)=(0,0,1)^{ T}\ ,\ \mathbf {d} (u)=(a\cos u,a\sin u,1)^{T}\ .}$

Sağ dairesel koni

${\displaystyle \ x^{2}+y^{2}=z^{2}\ }$:

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(\cos u,\sin u,1)^{T}\;+\;v\;(\cos u,\sin u,1)^{ T}}$

${\displaystyle =(1-v)\;(\cos u,\sin u,1)^{T}\;+\;v\;(2\cos u,2\sin u,2)^{T }.}$

ile Bu durumda, doruk noktası doğrudan doğruya, yani: ve çizgi yönleri olarak kullanılabilirdi. ${\displaystyle \quad \mathbf {c} (u)=(\cos u,\sin u,1)^{T}\;=\;\mathbf {r} (u)\ ,\quad \mathbf {d } (u)=(2\cos u,2\sin u,2)^{T}\ .}$
${\displaystyle \ \mathbf {c} (u)=(0,0,0)^{T}\ }$${\displaystyle \ \mathbf {r} (u)=(\cos u,\sin u,1)^{T}\ }$

Herhangi bir koni için, directrix olarak apeks seçilebilir. Bu durum şunu gösterir: Bir regle yüzeyin directrix'i bir noktaya kadar dejenere olabilir .

sarmal

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\;(v\cos u,v\sin u,ku)^{T}\;}$

${\displaystyle =\;(0,0,ku)^{T}\;+\;v\;(\cos u,\sin u,0)^{T}\ }$

${\displaystyle =\;(1-v)\;(0,0,ku)^{T}\;+\;v\;(\cos u,\sin u,ku)^{T}\ .}$

Directrix z eksenidir, çizgi yönleridir ve ikinci directrix bir sarmaldır . ${\displaystyle \ \mathbf {c} (u)=(0,0,ku)^{T}\;}$${\displaystyle \;\mathbf {r} (u)=\ (\cos u,\sin u,0)^{T}\;}$${\displaystyle \ \mathbf {d} (u)=(\cos u,\sin u,ku)^{T}\ }$

Helikoid, yönetilen genelleştirilmiş helikoidlerin özel bir durumudur .

Silindir, koni ve hiperboloidler

parametrik temsil

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(1-v)\;(\cos(u-\varphi ),\sin(u-\varphi ),-1)^{T}\;+ \;v\;(\cos(u+\varphi ),\sin(u+\varphi ),1)^{T}}$

yönler olarak iki yatay daireye sahiptir. Ek parametre , dairelerin parametrik temsillerini değiştirmeye izin verir. İçin ${\görüntüleme stili \varphi }$

${\görüntüleme stili \varphi =0\ }$biri silindiri alır , çünkü${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

${\displaystyle \varphi =\pi /2\ }$biri koniyi alır ve${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$

${\displaystyle 0<\varphi <\pi /2\ }$denklemi ve yarı eksenleri olan bir tabakanın hiperboloidi elde edilir .${\displaystyle \ {\tfrac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ }$${\displaystyle \ a=\cos \varphi \;,\;c=\cot \varphi }$

Bir tabakanın hiperboloidi, çift çizgili bir yüzeydir.

hiperbolik paraboloid

(CD) içindeki iki dizin satırlarsa

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(1-u)\mathbf {a} _{1}+u\mathbf {a} _{2},\quad \mathbf {d} (u)=( 1-u)\mathbf {b} _{1}+u\mathbf {b} _{2}}$

bir alır

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(1-v){\big (}(1-u)\mathbf {a} _{1}+u\mathbf {a} _{2}{ \big )}\ +\ v{\big (}(1-u)\mathbf {b} _{1}+u\mathbf {b} _{2}{\big )}\ }$,

ki bu 4 noktayı bilineer olarak enterpolasyon yapan hiperbolik paraboloiddir . ${\displaystyle \ \mathbf {a} _{1},\;\mathbf {a} _{2},\;\mathbf {b} _{1},\;\mathbf {b} _{2}\ }$

Açıkça regüle edilen yüzey çift ​​regüle edilen bir yüzeydir , çünkü herhangi bir nokta yüzeyin iki çizgisi üzerindedir.

Şemada gösterilen örnek için:

${\displaystyle \ \mathbf {a} _{1}=(0,00,0)^{T},\;\mathbf {a} _{2}=(1,0,0)^{T}, \;\mathbf {b} _{1}=(0,1,0)^{T},\;\mathbf {b} _{2}=(1,1,1)^{T}\ }$.

Hiperbolik paraboloid denkleme sahiptir . ${\görüntüleme stili z=xy}$

Mobius şeridi

yönetilen yüzey

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\;\mathbf {r} (u)}$

ile birlikte

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(\cos 2u,\sin 2u,0)^{T}\ }$ (directrix olarak daire içine alın),

${\displaystyle \mathbf {r} (u)=(\cos u\cos 2u,\cos u\sin 2u,\sin u)^{T}\ ,\quad 0\leq u<\pi \ ,}$

bir Möbius şeridi içerir.

Diyagram, Möbius şeridini göstermektedir . ${\displaystyle -0.3\leq v\leq 0.3}$

Basit bir hesaplama gösterir (bir sonraki bölüme bakın). Bu nedenle, bir Möbius şeridinin verilen gerçekleştirmesi geliştirilebilir değildir . Ancak geliştirilebilir Möbius şeritleri var. ${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} (0)\;,\;\mathbf {\dot {r}} (0)\;,\;\mathbf {r} (0))\ ;\neq \;0\ }$

Teğet düzlemler, geliştirilebilir yüzeyler

Aşağıdaki hususlar için gerekli türevlerin var olduğu varsayılır.

Bir noktada normal vektörün belirlenmesi için temsilin kısmi türevlerine ihtiyaç vardır  : ${\displaystyle \quad \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\;\mathbf {r} (u)}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{u}=\mathbf {\dot {c}} (u)+v\;\mathbf {\dot {r}} (u)\ }$ ,${\displaystyle \quad \mathbf {x} _{v}=\;\mathbf {r} (u)}$

Dolayısıyla normal vektör

• ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {x} _{u}\times \mathbf {x} _{v}=\mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r} +v(\ mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r} )\ .}$

Yüzünden (iki eşit vektörleri ile karışık bir ürün her zaman 0!), Vektör herhangi bir noktada bir teğet vektörüdür . Bu doğru boyunca teğet düzlemlerin hepsi aynıdır, eğer bir katı ise . Bu, ancak üç vektör bir düzlemde yer alıyorsa, yani lineer olarak bağımlıysa mümkündür. Üç vektörün doğrusal bağımlılığı, bu vektörlerin determinantı kullanılarak kontrol edilebilir: ${\displaystyle \mathbf {n} \cdot \mathbf {r} =0}$${\displaystyle \mathbf {r} (u_{0})}$${\displaystyle \mathbf {x} (u_{0},v)}$${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {\dot {c}} \;,\;\mathbf {\dot {r}} \;,\;\mathbf {r} \ }$

• Doğru boyunca teğet düzlemler eşittir, eğer${\displaystyle \mathbf {x} (u_{0},v)=\mathbf {c} (u_{0})+v\;\mathbf {r} (u_{0})}$

${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} (u_{0})\;,\;\mathbf {\dot {r}} (u_{0})\;,\;\mathbf {r) } (u_{0}))\;=\;0\ .}$

Bu belirleyici koşulun önemi aşağıdaki ifadeyi göstermektedir:

• Herhangi bir nokta için Gauss eğriliği kaybolursa , regüle edilmiş bir yüzey bir düzleme dönüştürülebilir . Durum tam olarak bu ise${\displaystyle \quad \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\;\mathbf {r} (u)}$

${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} \;,\;\mathbf {\dot {r}} \;,\;\mathbf {r} )\;=\;0\dörtlü }$

herhangi bir noktada doğrudur.

Herhangi bir yönetilen yüzeyin üreteçleri, asimptotik çizgilerinin bir ailesi ile birleşir. Geliştirilebilir yüzeyler için ayrıca eğrilik çizgilerinin bir ailesini oluştururlar . Herhangi bir geliştirilebilir yüzeyin bir koni, bir silindir veya bir uzay eğrisinin tüm tanjantlarından oluşan bir yüzey olduğu gösterilebilir .

Diğer örnekler

• konoid
• Katalan yüzeyi
• Geliştirilebilir silindirler ( oloid , sphericon )

Geliştirilebilir yüzeylerin uygulanması ve tarihçesi

Geliştirilebilir yüzeyler için belirleyici koşul, uzay eğrileri (yönler) arasındaki sayısal olarak geliştirilebilir bağlantıları belirlemek için kullanılır. Diyagram, farklı düzlemlerde (biri yatay, diğeri dikey) bulunan iki elips ile gelişimi arasındaki geliştirilebilir bir bağlantıyı göstermektedir.

Geliştirilebilir yüzeylerin Bilgisayar Destekli Tasarımda ( CAD ) kullanımına ilişkin bir izlenim, geliştirilebilir yüzeylerin etkileşimli tasarımında verilmiştir.

Bir tarihsel geliştirilebilir yüzeylerde anket bulunabilir Geliştirilebilir Yüzeyler: Onların Tarih ve Uygulama

Cebirsel geometride kurallı yüzeyler

Gelen cebirsel geometri , doğrusal yüzeylerinin orijinal olarak tanımlandı yansıtmalı yüzeyler olarak yansıtmalı alan herhangi bir noktadan geçen bir düz çizgi ihtiva etmektedir. Bu, yüzeyde herhangi bir noktadan geçen bir izdüşümlü çizgi olduğu anlamına gelir ve bu koşul artık genellikle regle yüzeyin tanımı olarak kullanılmaktadır: regle yüzeyler, projeksiyonlu bir çizgi olduğu koşulunu sağlayan soyut izdüşümlü yüzeyler olarak tanımlanır. herhangi bir noktadan. Bu, bir eğrinin ve bir projektif çizginin ürününe çift ​​yönlü olduklarını söylemekle eşdeğerdir . Bazen, çizgili bir yüzey, yansıtıcı çizgiler olan liflerle bir eğri üzerinde bir liflenmeye sahip olduğu daha güçlü koşulu karşılayan bir yüzey olarak tanımlanır . Bu, her noktada bir yansıtmalı doğruya sahip olan ancak böyle bir lifleme olarak yazılamayan yansıtmalı düzlemi hariç tutar.

Kurallı yüzeyler, Enriques yansıtmalı karmaşık yüzeylerin sınıflandırmasında görünür , çünkü Kodaira boyutunun her cebirsel yüzeyi bir yönetilen yüzeydir (veya yönetilen yüzeyin kısıtlayıcı tanımını kullanırsa, yansıtmalı bir düzlemdir). Projektif düzlem dışındaki her minimal izdüşümlü regle yüzey, bir eğri üzerinde 2 boyutlu vektör demetinin izdüşümsel demetidir. 0 cinsinin taban eğrisine sahip yönetilen yüzeyler Hirzebruch yüzeyleridir . ${\görüntüleme stili -\infty }$

Mimaride kurallı yüzeyler

Çift çizgili yüzeyler, düz elemanlardan oluşan bir kafesle oluşturulabilen kavisli hiperboloid yapıların ilham kaynağıdır , yani:

• Eyer çatılar gibi hiperbolik paraboloidler .
• Soğutma kuleleri ve bazı çöp kutuları gibi bir tabakanın hiperboloidleri .

RM-81 Agena roket motoru düz yöntemiyle yürütülmüş soğutma kanallarının boğazını oluşturmak üzere bir yönetilen yüzey atılmıştır meme bölümü.

• 

  Soğutma hiperbolik kuleleri de Didcot Güç İstasyonu , UK; yüzey iki kez yönetilebilir.

• 

  Çifte ile su kulesi yöneten toroidal Ocak Bogusławski tarafından, tankın Ciechanow , Polonya

• 

  Bir hiperboloid Kobe Liman Kulesi , Kobe , Japonya, çifte kararla.

• 

  Hiperboloid su kulesi, 1896, Nizhny Novgorod'da .

• 

  Gridshell ait Shukhov Kulesi olan bölümler Moskova, iki kat yönetilir.

• 

  Bir iç helikoid spiral merdiven hüküm Cremona 'ın Torrazzo .

• 

  Selo, Slovenya'daki köy kilisesi: hem çatı (konik) hem de duvar (silindirik) çizgili yüzeylerdir.

• 

  Bir hiperbolik parabolik çatı Warszawa Ochota tren istasyonu içinde Varşova , Polonya.

• 

  Çizgili konik şapka .

• 

  Tek yönde paralel , dikey yönde sinüzoidal çizgilerle yönetilen oluklu çatı kiremitleri

• 

  İktidar (bir düzlemsel yüzeyinin Yapı mastar ) beton

Referanslar

• Do Carmo, Manfredo P. : Eğrilerin ve Yüzeylerin Diferansiyel Geometrisi , Prentice-Hall; 1. baskı, 1976 ISBN  978-0132125895
• Barth, Kurt P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Kompakt Kompleks Yüzeyler , Ergebnisse der Mathematik ve ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4 , Springer-Verlag, Berlin, doi : 10.1007/978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3, MR  2030225
• Beauville, Arnaud (1996), Karmaşık cebirsel yüzeyler , London Mathematical Society Student Texts, 34 (2. baskı), Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511623936 , ISBN 978-0-521-49510-3, MR  1406314
• Edge, WL (1931), Kurallı Yüzeyler Teorisi , Cambridge University Press – İnternet Arşivi Yoluyla. Gözden Geçirme: Amerikan Matematik Derneği Bülteni 37 (1931), 791-793, doi : 10.1090/S0002-9904-1931-05248-4
• Fuchs, D.; Tabachnikov, Serge (2007), "16.5 Düzlemsel olmayan üçlü regüleli yüzeyler yoktur", Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics , American Mathematical Society, s. 228, ISBN 9780821843161.
• Li, Ta-chʻien (ed.) (2011), Matematikte Problemler ve Çözümler, 3103 (2. baskı), World Scientific Publishing CompanyCS1 bakımı: ekstra metin: yazar listesi ( bağlantı ).
• Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometri ve Hayal Gücü (2. baskı), New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8.
• Iskovskikh, VA (2001) [1994], "Yönlendirilmiş yüzey" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press
• Sharp, John (2008), D-Forms: düz kavisli şekillerden şaşırtıcı yeni 3-D formlar , Tarquin, ISBN 978-1-899618-87-3. İnceleme: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts 3: 229–230 , doi : 10.1080/175134709003332913

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Yönetilmiş Yüzey" . Matematik Dünyası .
• Arizona Üniversitesi'nden kurallı yüzey resimleri
• Rhino3DE web sitesinde geliştirilebilir yüzey örnekleri