koni - Cone

Bir dik dairesel koni ve bir eğik dairesel koni

Bir çift koni (sonsuz uzatılmış olarak gösterilmemiştir)

Bir koninin 3 boyutlu modeli

Bir koni a, üç boyutlu geometrik biçim , bir noktaya kadar düz bir baz (genellikle, ama zorunlu olarak dairesel olan) akıcı bir incelir denilen tepe ya da tepe noktası .

Bir koni, tepeyi içermeyen bir düzlemde bulunan bir tabandaki tüm noktalara ortak bir noktayı, tepe noktasını birleştiren bir dizi doğru parçası , yarım doğru veya çizgiden oluşur . Yazara bağlı olarak, taban bir daire , düzlemdeki herhangi bir tek boyutlu ikinci dereceden form , herhangi bir kapalı tek boyutlu şekil veya yukarıdakilerden herhangi biri artı tüm kapalı noktalarla sınırlandırılabilir . Kapalı noktalar tabana dahil edilirse, koni katı bir nesnedir ; aksi halde üç boyutlu uzayda iki boyutlu bir nesnedir. Katı bir nesne durumunda, bu çizgilerin veya kısmi çizgilerin oluşturduğu sınıra yan yüzey denir ; yan yüzey sınırsız ise, konik bir yüzeydir .

Doğru parçaları söz konusu olduğunda, koni tabanın ötesine geçmezken, yarım çizgiler durumunda sonsuzca uzar. Çizgiler söz konusu olduğunda, koni tepe noktasından her iki yönde de sonsuzca uzar, bu durumda bazen çift ​​koni olarak adlandırılır.. Tepenin bir tarafındaki çift koninin her iki yarısına nap denir .

Eksen , bir koninin taban (ve bütün koni), en azından hangi apeks, içinden geçen, düz bir çizgi (eğer varsa) olan dairesel bir simetrisi .

Temel geometride yaygın kullanımda , konilerin dik dairesel olduğu varsayılır , burada dairesel , tabanın bir daire olduğu anlamına gelir ve sağ , eksenin tabanın merkezinden düzlemine dik açılarda geçtiği anlamına gelir . Koni dik dairesel ise, bir düzlemin yan yüzeyle kesişimi konik bir bölümdür . Bununla birlikte, genel olarak, taban herhangi bir şekilde olabilir ve tepe herhangi bir yerde olabilir (genellikle bazın sınırlı olduğu ve bu nedenle sonlu alana sahip olduğu ve tepenin taban düzleminin dışında olduğu varsayılırsa da ). Doğru konilerle zıt olan, eksenin tabanın merkezinden dik olmayan bir şekilde geçtiği eğik konlardır.

Tabanı çokgen olan koniye piramit denir .

Bağlama bağlı olarak, "koni" ayrıca özel olarak bir dışbükey koni veya bir projektif koni anlamına da gelebilir .

Koniler ayrıca daha yüksek boyutlara genelleştirilebilir .

Daha fazla terminoloji

Bir koninin tabanının çevresine "directrix" denir ve directrix ile apeks arasındaki çizgi parçalarının her biri, yan yüzeyin bir "generatrix" veya "oluşturan çizgisidir". (Terim "Doğrultmanı" nin bu anlamda arasındaki bağlantı için Doğrultmanı konik bölümün, bkz Dandelin küreleri .)

Dairesel koni "temel yarıçapı" bir yarıçapı olan bir baz; genellikle buna koninin yarıçapı denir. Diyafram ve bir sağ dairesel koni iki ana doğru arasındaki maksimum açıdır; generatrix eksene θ açısı yaparsa, açıklık 2 θ olur .

Dan İllüstrasyon Problemata mathematica ... yayınlanan Acta eruditorum , 1734

Tepesi bir düzlem tarafından kesilen bir bölgesi olan bir koniye " budanmış koni" denir ; kesme düzlemi koninin tabanına paralel ise, buna kesik denir . Bir "eliptik koni", eliptik bir tabana sahip bir konidir . Bir "genelleştirilmiş koni", bir tepe noktasından ve bir sınır üzerindeki her noktadan geçen bir dizi çizgi tarafından oluşturulan yüzeydir (ayrıca bkz. görsel gövde ).

Ölçümler ve denklemler

Ses

Hacim katı madde bir konik taban alanının ürünün bir üçüncü ve yüksekliği${\görüntüleme stili V}$${\ Displaystyle A_{B}}$${\görüntüleme stili h}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{B}h.}$

Modern matematikte, bu formül kalkülüs kullanılarak kolayca hesaplanabilir - bu, ölçeklendirmeye kadar, integraldir Kalkülüs kullanılmadan formül, koniyi bir piramitle karşılaştırarak ve Cavalieri ilkesini uygulayarak - özellikle, koniyi bir a ile karşılaştırarak kanıtlanabilir. (dikey olarak ölçeklendirilmiş) bir küpün üçte birini oluşturan dik kare piramit. Kullanarak eski Yunan ile ve dolayısıyla hesabı ortaya çıkmasından önce daha az titiz deliller kabul - olsa dairenin alanına benzer bir şekilde, çok-yüzlü alan için 2 boyutlu formüllerde farklı - Bu formül, örneğin sonsuz bağımsız değişkenler kullanılmadan yazan bir yöntem ve yorgunluk . Bu esasen Hilbert'in üçüncü probleminin içeriğidir - daha kesin olarak, tüm çokyüzlü piramitler makas uyumlu değildir (sonlu parçalara bölünebilir ve diğerine yeniden düzenlenebilir) ve bu nedenle hacim yalnızca bir ayrıştırma argümanı kullanılarak hesaplanamaz -. ${\displaystyle \int x^{2}dx={\tfrac {1}{3}}x^{3}.}$

kütle merkezi

Kütle merkezi düzgün yoğunlukta bir konik bir katı iki birleştiren düz çizgi üzerinde, tepe için tabanın merkezi şekilde dörtte biri yer alır.

Sağ dairesel koni

Ses

Yarıçapı r ve yüksekliği h olan dairesel bir koni için taban bir alan çemberidir ve dolayısıyla hacim formülü şöyle olur: ${\görüntüleme stili \pi r^{2}}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.}$

eğik yükseklik

Dik dairesel bir koninin eğik yüksekliği, koninin yüzeyi boyunca bir çizgi parçası aracılığıyla tabanının çemberi üzerindeki herhangi bir noktadan tepe noktasına olan mesafedir . Verilir burada, bir yarıçap baz ve yükseltir. Bu Pisagor teoremi ile kanıtlanabilir . ${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$${\görüntüleme stili r}$${\görüntüleme stili h}$

Yüzey alanı

Yanal yüzey , bir sağ dairesel koni alanı burada koni altındaki dairenin yarıçapıdır ve koni eğik yükseltir. Bir koninin alt dairesinin yüzey alanı, herhangi bir daire ile aynıdır . Böylece, bir dik dairesel koninin toplam yüzey alanı aşağıdakilerden her biri olarak ifade edilebilir: ${\displaystyle LSA=\pi rl}$${\görüntüleme stili r}$${\görüntüleme stili l}$${\görüntüleme stili \pi r^{2}}$

• Yarıçap ve yükseklik

${\displaystyle \pi r^{2}+\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

(taban alanı artı yan yüzey alanı; terim eğim yüksekliğidir)${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

${\displaystyle \pi r\sol(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\sağ)}$

yarıçap ve yükseklik nerede .${\görüntüleme stili r}$${\görüntüleme stili h}$

• Yarıçap ve eğik yükseklik

${\displaystyle \pi r^{2}+\pi rl}$

${\görüntüleme stili \pi r(r+l)}$

yarıçap ve eğim yüksekliği nerede .${\görüntüleme stili r}$${\görüntüleme stili l}$

• Çevre ve eğimli yükseklik

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{4\pi }}+{\frac {cl}{2}}}$

${\displaystyle \sol({\frac {c}{2}}\sağ)\sol({\frac {c}{2\pi }}+l\sağ)}$

çevresi ve eğim yüksekliği nerede .${\görüntüleme stili c}$${\görüntüleme stili l}$

• Apeks açısı ve yüksekliği

${\displaystyle \pi h^{2}\tan {\frac {\Theta }{2}}\left(\tan {\frac {\Theta }{2}}+\sec {\frac {\Theta }{ 2}}\sağ)}$

tepe açısı ve yükseklik nerede .${\görüntüleme stili\Teta }$${\görüntüleme stili h}$

Dairesel sektör

Dairesel bir bölüm koninin bir napın sahip yüzeyini açılması ile elde edilen:

• yarıçap R

${\displaystyle R={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

• yay uzunluğu L

${\görüntüleme stili L=c=2\pi r}$

• radyan cinsinden merkez açı φ

${\displaystyle \phi ={\frac {L}{R}}={\frac {2\pi r}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}}$

denklem formu

Bir koninin yüzeyi şu şekilde parametrelenebilir:

${\displaystyle f(\theta ,h)=(h\cos \theta ,h\sin \theta ,h),}$

koninin "etrafındaki" açı ve koni boyunca "yükseklik" nerede . ${\displaystyle \theta \in[0,2\pi )}$${\displaystyle h\in \mathbb {R} }$

Ekseni koordinat ekseni ve tepe noktası orijin olan yüksekliği ve açıklığı olan bir dik tam dairesel koni parametrik olarak şu şekilde tanımlanır: ${\görüntüleme stili h}$${\görüntüleme stili 2\teta }$${\görüntüleme stili z}$

${\displaystyle F(s,t,u)=\left(u\tan s\cos t,u\tan s\sin t,u\sağ)}$

burada aralık üzerinde , ve , sırasıyla. ${\görüntüleme stili s,t,u}$${\görüntüleme stili [0,\teta )}$${\görüntüleme stili [0,2\pi )}$${\görüntüleme stili [0,h]}$

Olarak kapalı biçimde, aynı katı isimli eşitsizlikler tarafından tanımlanan

${\displaystyle \{F(x,y,z)\leq 0,z\geq 0,z\leq h\},}$

nerede

${\displaystyle F(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})(\cos \theta )^{2}-z^{2}(\sin \theta )^{2 }.\,}$

Daha genel olarak, orijinde tepe ile bir dik dairesel bir koni, vektör paralel eksene ve diyafram , kapalı verilir vektör denklemi yerde ${\görüntüleme stili d}$${\görüntüleme stili 2\teta }$${\görüntüleme stili F(u)=0}$

${\displaystyle F(u)=(u\cdot d)^{2}-(d\cdot d)(u\cdot u)(\cos \theta )^{2}}$   veya   ${\displaystyle F(u)=u\cdot d-|d||u|\cos \theta }$

nerede , ve nokta çarpımını gösterir . ${\görüntüleme stili u=(x,y,z)}$${\displaystyle u\cdot d}$

eliptik koni

Bir eliptik koni kuadrik yüzey

Gelen Kartezyen koordinat sistemi , bir eliptik koni şeklinde bir denge hareketinin lokustur

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=z^{2}.}$

Bu bir olan afin görüntü sağ dairesel bir birim koni denklemle bir afin görüntü olduğunu, aslında itibaren konik bölümde aynı türde (elips, parabol, ...) bir alır bir konik bölümdür: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}\ .}$

• Eliptik bir koninin herhangi bir düzlem bölümü bir konik bölümdür.

Açıkçası, herhangi bir dik dairesel koni daireler içerir. Bu aynı zamanda doğrudur, ancak genel durumda daha az belirgindir (bkz. dairesel bölüm ).

Eliptik bir koninin eşmerkezli bir küre ile kesişimi küresel bir koniktir .

projektif geometri

Olarak yansıtmalı geometri , bir silindir göğe doğru bir koni olarak görünen perspektif olarak bir silindir görsel karşılık olan tepe sonsuzda olan bir koni, basitçe.

Olarak yansıtmalı geometri , bir silindir olan tepe sonsuzda olan bir koni basitçe. Sezgisel olarak, eğer biri tabanı sabit tutar ve tepe sonsuza giderken limit alırsa, bir silindir elde edilir, kenar açısı arktan olarak artar , limitte dik açı oluşturur . Bu, silindirik koniklerin dikkate alınmasını gerektiren dejenere koniklerin tanımında faydalıdır .

GB Halsted'e göre , bir koni, Steiner koniği için kullanılan projeksiyon aralıkları yerine yalnızca bir projeksiyon ve eksenel kalemler (perspektifte değil) ile bir Steiner koniğine benzer şekilde oluşturulur :

"Eğer iki noktasal düz olmayan eksenel kalem projektif ise ancak perspektif değilse, ilişkili düzlemlerin buluşmaları 'ikinci dereceden konik bir yüzey' veya 'koni' oluşturur."

Daha yüksek boyutlar

Bir koninin tanımı daha yüksek boyutlara genişletilebilir ( dışbükey konilere bakın ). Bu durumda, bir bir söylüyor dışbükey grubu Cı içinde gerçek vektör uzayı R ^{, n} ve her bir vektör için, eğer bir koni (tepe noktası ile kökeni) 'dir , x in C ve her negatif olmayan sayı a , vektör balta olan C . Bu bağlamda dairesel konilerin analogları genellikle özel değildir; aslında kişi genellikle çokyüzlü konilerle ilgilenir .

Ayrıca bakınız

• Bicone
• Koni (doğrusal cebir)
• Koni (topoloji)
• Silindir (geometri)
• Demokritos
• genelleştirilmiş konik
• hiperboloid
• şekil listesi
• pirometrik koni
• kuadrik
• eksenlerin dönüşü
• kurallı yüzey
• eksenlerin çevirisi

Notlar

Referanslar

• Protter, Murray H.; Morrey, Jr., Charles B. (1970), Analitik Geometri ile Kolej Analizi (2. baskı), Okuma: Addison-Wesley , LCCN  76087042

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Koni" . Matematik Dünyası .
• Weisstein, Eric W. "Çift Koni" . Matematik Dünyası .
• Weisstein, Eric W. "Genelleştirilmiş Koni" . Matematik Dünyası .
• Matematikten Etkileşimli Bir Dönen Koni Eğlencelidir
• Kağıt model koni
• Eğik bir koninin yanal yüzey alanı
• Bir Koni Kes Bir koninin bir düzlemle kesişiminin etkileşimli bir gösterimi