Ptolemy'nin akor tablosu - Ptolemy's table of chords

Akor tablosu tarafından oluşturulan, Yunan gökbilimci, geometri ve coğrafyacı Batlamyus içinde Mısır 2. yy'da, bir olduğunu trigonometrik tablo Kitap I, Batlamyus'un bölüm 11'de Almagest'de , bir tez matematiksel astronomi . Esasen sinüs fonksiyonunun değerler tablosuna eşdeğerdir . Astronomi de dahil olmak üzere birçok pratik amaç için yeterince kapsamlı olan en eski trigonometrik tablodur ( Hipparchus'un daha önceki bir akor tablosu, yalnızca 7'nin katları olan yaylar için akorlar verdi) + 1 / 2 ° = π / 24 radyan ). Daha kapsamlı trigonometrik tablolar oluşturulmadan önce yüzyıllar geçti. Böyle bir tablo, 16. yüzyılın sonunda oluşturulan Canon Sinuum'dur .

Akor işlevi ve tablo

Bir kiriş a daire olan uç noktaları daire üzerinde bir çizgi bölümdür. Ptolemy, çapı 120 parça olan bir daire kullandı. O son nokta yayı ile ayrılır bir kiriş uzunluğunu tablo n  için, derece , n kadar 1 / 2 artışlarla 180'e  1 / 2 . Modern gösterimde, kiriş uzunluğu, bir yay tekabül θ  derece olduğu

${\ displaystyle {\ begin {align} & \ operatorname {chord} (\ theta) = 120 \ sin \ left ({\ frac {\ theta ^ {\ circ}} {2}} \ right) \\ = {} & 60 \ cdot \ left (2 \, \ sin \ left ({\ frac {\ pi \ theta} {360}} {\ text {radians}} \ sağ) \ sağ). \ End {hizalı}}}$

Olarak θ 180 0 gider, bir akor θ ° ark küçük yaylar için 120 0 gider, kiriş, derece olarak yay açısı için π 3'e kadardır, ya da daha kesin bir ifadeyle, bu oran olarak yapılabilir arzu edildiği gibi yakın π / 3  ≈  1,047 197 55 yaparak θ küçük yeterince. Böylece, yayı için 1 / 2 °, akor uzunluğu derece cinsinden yay açısından biraz daha fazladır. Yay arttıkça, akorun yaya oranı azalır. Yay 60 ° 'ye ulaştığında, kiriş uzunluğu yaydaki derece sayısına tam olarak eşittir, yani kiriş 60 ° = 60. 60 °' den fazla yaylar için, kiriş yaydan daha azdır, 180 yaya kadar Akor yalnızca 120 olduğunda ° 'ye ulaşılır.

Akor uzunluklarının kesirli kısımları altmışıncı (60 tabanı) rakamlarıyla ifade edildi . Örneğin, 112 ° 'lik bir yay tarafından kapsanan bir akorun uzunluğunun 99 29 5 olduğu bildirildiğinde, uzunluğu

${\ displaystyle 99 + {\ frac {29} {60}} + {\ frac {5} {60 ^ {2}}} = 99,4847 {\ overline {2}},}$

en yakına yuvarlanmış  1 / 60 ² .

Yay ve akor için sütunlardan sonra üçüncü bir sütun "altmışıncı" olarak etiketlenir. Θ ° 'lik bir yay  için, "altmışıncı" sütunundaki giriş

${\ displaystyle {\ frac {\ operatöradı {akor} \ sol (\ teta + {\ tfrac {1} {2}} ^ {\ circ} \ sağ) - \ operatöradı {akor} \ sol (\ teta ^ {\ Circ} \ right)} {30}}.}$

Bu (kirişe eklenmelidir bir birimin sixtieths ortalama sayısı θ her zaman °) girişi arasında arkın bir dakika açısı artar,  İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin için ° ve ( θ  +  1 / 2 ) °. Bu nedenle, doğrusal enterpolasyon için kullanılır . Glowatzki ve Göttsche, Ptolemy'nin "altmışıncı" sütununda bulunan doğruluk derecesini elde etmek için beş altmışıncı noktaya akorları hesaplamış olması gerektiğini gösterdi.

${\ displaystyle {\ begin {array} {| l | rrr | rrr |} \ hline {\ text {arc}} ^ {\ circ} & {\ text {chord}} &&& {\ text {altmışıncı}} && \ \\ hline {} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {\ tfrac {1} {2}} & 0 & 31 & 25 & 0 \ quad 1 & 2 & 50 \\ {} \, \, \, \ , \, \, \, 1 & 1 & 2 & 50 & 0 \ quad 1 & 2 & 50 \\ {} \, \, \, \, \, \, \, 1 {\ tfrac {1} {2}} & 1 & 34 & 15 & 0 \ quad 1 & 2 & 50 \\ {} \, \, \, \, \, \, \, \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \\ 109 & 97 & 41 & 38 & 0 \ quad 0 & 36 & 23 \\ 109 {\ tfrac {1} {2} } & 97 & 59 & 49 & 0 \ quad 0 & 36 & 9 \\ 110 & 98 & 17 & 54 & 0 \ quad 0 & 35 & 56 \\ 110 {\ tfrac {1} {2}} & 98 & 35 & 52 & 0 \ quad 0 & 35 & 42 \\ 111 & 98 & 53 & 43 & 0 \ quad 0 & 35 & 29 \\ 111 {\ tfrac {1} {2} & 99 & 11 0 & 35 & 15 \\ 112 & 99 & 29 & 5 & 0 \ quad 0 & 35 & 1 \\ 112 {\ tfrac {1} {2}} & 99 & 46 & 35 & 0 \ quad 0 & 34 & 48 \\ 113 & 100 & 3 & 59 & 0 \ quad 0 & 34 & 34 \\ {} \, \, \, \, \, \, \, \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \\ 179 & 119 & 59 & 44 & 0 \ quad 0 & 0 & 25 \\ 179 {\ frac {1} {2}} & 119 & 59 & 56 & 0 \ quad 0 & 0 & 9 \\ 180 & 120 & 0 & 0 & 0 \ quad 0 & 0 & 0 \\\ hline \ end {dizi}}}$

Ptolemy akorları nasıl hesapladı?

Almagest'in I. Kitabının 10. Bölümü, akorları hesaplamak için kullanılan geometrik teoremleri sunar . Ptolemy , 72 ° ve 36 ° 'lik akorları bulmak için Öklid Unsurları'nın XIII. Kitabının 10. Önerisine dayanan geometrik akıl yürütmeyi kullandı . Bu Önerme, bir eşkenar beşgen bir daireye yazılırsa , beşgenin kenarındaki karenin alanı, altıgenin kenarlarındaki karelerin alanlarının ve aynı daireye yazılmış ongenin toplamına eşit olduğunu belirtir .

Yarım yay akoru, iki yay toplamının akoru ve iki yay farkının akoru için formül türetmek için bir daire içine yazılmış dörtgenler üzerinde Ptolemy'nin teoremini kullandı . Teorem , bir daire içine yazılmış bir dörtgen için , köşegenlerin uzunluklarının çarpımının, karşıt kenarların iki çift uzunluğunun çarpımlarının toplamına eşit olduğunu belirtir. Trigonometrik kimliklerin türetilmesi, bir tarafın dairenin çapı olduğu döngüsel bir dörtgene dayanır .

1 ° yayların akorlarını bulmak için ve 1 / 2 ° Aristarchus'un eşitsizliğine dayalı tahminler kullandı . Eşitsizlik, α ve β yayları için , 0 <  β  <  α  <90 ° ise, o zaman

${\ displaystyle {\ frac {\ sin \ alpha} {\ sin \ beta}} <{\ frac {\ alpha} {\ beta}} <{\ frac {\ tan \ alpha} {\ tan \ beta}}. }$

Ptolemy, 1 ° ve 1 / 2 °, yaklaşımlar, tamsayı bölümünden sonraki ilk iki alt-altı basamağı doğru bir şekilde verir.

Sayı sistemi ve çevrilmemiş tablonun görünümü

Çemberin yaylarının derece cinsinden uzunlukları ve akor uzunluklarının tam sayı kısımları , aşağıdaki tabloda verilen anlamlara sahip Yunan alfabesindeki harflerin 21'ini kullanan 10'luk bir sayı sistemi ve bir sembolle ifade edildi. " ∠ ′ ", yani 1 / 2 ve boş bir alanı dolduran (etkin bir şekilde sıfırı temsil eden) yükseltilmiş bir daire "○". Aşağıdaki tabloda "arkaik" olarak adlandırılan harflerden ikisi, Almagest'in yazılmasından birkaç yüzyıl önce Yunancada kullanılmıyordu , ancak sayılar ve müzik notaları olarak hala kullanılıyordu .

${\ displaystyle {\ begin {array} {| rlr | rlr | rlr |} \ hline \ alpha & \ mathrm {alpha} & 1 & \ iota & \ mathrm {iota} & 10 & \ rho & \ mathrm {rho} & 100 \\\ beta & \ mathrm {beta} & 2 & \ kappa & \ mathrm {kappa} & 20 & \ vdots & \ vdots & \ vdots \\\ gamma & \ mathrm {gamma} & 3 & \ lambda & \ mathrm {lambda} & 30 &&& \\\ delta & \ mathrm {delta} & 4 & \ mu & \ mathrm {mu} & 40 &&& \\\ varepsilon & \ mathrm {epsilon} & 5 & \ nu & \ mathrm {nu} & 50 &&& \\\ mathrm {\ stigma} & \ mathrm {stigma \ ( arkaik)} & 6 & \ xi & \ mathrm {xi} & 60 &&& \\\ zeta & \ mathrm {zeta} & 7 & \ mathrm {o} & \ mathrm {omicron} & 70 &&& \\\ eta & \ mathrm {eta} & 8 & \ pi & \ mathrm {pi} & 80 &&& \\\ theta & \ mathrm {theta} & 9 & \ mathrm {\ koppa} & \ mathrm {koppa \ (arkaik)} & 90 &&& \\\ hline \ end {dizi}}}$

Böylece, örneğin, 143 yay + 1 / 2 °, ρμγ ∠ ′ olarak ifade edilir . (Tablo yalnızca 180 ° 'ye ulaştığı için 200 ve üzeri için Yunan rakamları kullanılmamaktadır.)

Akor uzunluklarının kesirli kısımları büyük bir doğruluk gerektirdi ve tabloda iki sütun halinde verildi: İlk sütun 1 / 60 , 0-59 aralığında, ikincisi tam sayı katı 1 / 60 ²  =  1 / 3600 , ayrıca 0-59 aralığında.

Böylece, Heiberg'in Almagest'in 48-63 . Sayfalardaki akor tablosuyla birlikte baskısında , tablonun başlangıcı, yaylara karşılık gelir. 1 / 2 ° ila 7 + 1 / 2 °, şuna benzer:

${\ displaystyle {\ begin {array} {ccc} \ pi \ varepsilon \ rho \ iota \ varphi \ varepsilon \ rho \ varepsilon \ iota {\ tilde {\ omega}} \ nu & \ varepsilon {\ overset {\ text { '}} {\ nu}} \ theta \ varepsilon \ iota {\ tilde {\ omega}} \ nu & {\ overset {\ text {`}} {\ varepsilon}} \ xi \ eta \ kappa \ mathrm {o } \ sigma \ tau {\ tilde {\ omega}} \ nu \\ {\ begin {array} {| l |} \ hline \ quad \ angle '\\\ alpha \\\ alpha \; \ angle' \\ \ hline \ beta \\\ beta \; \ angle '\\\ gamma \\\ hline \ gamma \; \ angle' \\\ delta \\\ delta \; \ angle '\\\ hline \ varepsilon \\\ varepsilon \; \ angle '\\\ mathrm {\ stigma} \\\ hline \ mathrm {\ stigma} \; \ angle' \\\ zeta \\\ zeta \; \ angle '\\\ hline \ end {array }} & {\ begin {array} {| r | r | r |} \ hline \ circ & \ lambda \ alpha & \ kappa \ varepsilon \\\ alpha & \ beta & \ nu \\\ alpha & \ lambda \ delta & \ iota \ varepsilon \\\ hline \ beta & \ varepsilon & \ mu \\\ beta & \ lambda \ zeta & \ delta \\\ gamma & \ eta & \ kappa \ eta \\\ hline \ gamma & \ lambda \ theta & \ nu \ beta \\\ delta & \ iota \ alpha & \ iota \ mathrm {\ stigma} \\\ delta & \ mu \ beta & \ mu \\\ hline \ varepsilon & \ iota \ delta & \ delta \\\ varepsilon & \ mu \ varepsilon & \ kappa \ zeta \\\ mathrm {\ stigma} & \ iota \ mathrm {\ stigma} & \ mu \ theta \\\ hline \ mathrm {\ stigma } & \ mu \ eta & \ iota \ alpha \\\ zeta & \ iota \ theta & \ lambda \ gamma \\\ zeta & \ nu & \ nu \ delta \\\ hline \ end {dizi}} & {\ başlayın {dizi} {| r | r | r | r |} \ hline \ circ & \ alpha & \ beta & \ nu \\\ circ & \ alpha & \ beta & \ nu \\\ circ & \ alpha & \ beta & \ nu \\\ hline \ circ & \ alpha & \ beta & \ nu \\\ circ & \ alpha & \ beta & \ mu \ eta \\\ circ & \ alpha & \ beta & \ mu \ eta \ \\ hline \ circ & \ alpha & \ beta & \ mu \ eta \\\ circ & \ alpha & \ beta & \ mu \ zeta \\\ circ & \ alpha & \ beta & \ mu \ zeta \\\ hline \ circ & \ alpha & \ beta & \ mu \ mathrm {\ stigma} \\\ circ & \ alpha & \ beta & \ mu \ varepsilon \\\ circ & \ alpha & \ beta & \ mu \ delta \\\ hline \ circ & \ alpha & \ beta & \ mu \ gamma \\\ circ & \ alpha & \ beta & \ mu \ beta \\\ circ & \ alpha & \ beta & \ mu \ alpha \\\ hline \ end {dizi}} \ end {dizi}}}$

Tablonun ilerleyen kısımlarında, yayın tamsayı kısımlarını ve akor uzunluğunu ifade eden sayıların 10 tabanlı yapısı görülebilir. Böylece 85 ° 'lik bir yay πε ( 80 için π ve 5 için ε ) olarak yazılır ve 60 + 25'e bölünmez . Karşılık gelen akor uzunluğu 81 artı bir kesirli kısımdır. Tamsayı kısmı πα ile başlar , aynı şekilde 60 + 21'e bölünmez . Ancak kesirli kısım, 4 / 60  +  15 / 60 ² , 4 için δ olarak yazılır 1 / 60 sütun, ardından ιε , 15 için 1 / 60 ² sütun.

${\ displaystyle {\ begin {array} {ccc} \ pi \ varepsilon \ rho \ iota \ varphi \ varepsilon \ rho \ varepsilon \ iota {\ tilde {\ omega}} \ nu & \ varepsilon {\ overset {\ text { '}} {\ nu}} \ theta \ varepsilon \ iota {\ tilde {\ omega}} \ nu & {\ overset {\ text {`}} {\ varepsilon}} \ xi \ eta \ kappa \ mathrm {o } \ sigma \ tau {\ tilde {\ omega}} \ nu \\ {\ begin {array} {| l |} \ hline \ pi \ delta \ angle '\\\ pi \ varepsilon \\\ pi \ varepsilon \ açı '\\\ hline \ pi \ mathrm {\ stigma} \\\ pi \ mathrm {\ stigma} \ angle' \\\ pi \ zeta \\\ hline \ end {dizi}} & {\ begin {array} {| r | r | r |} \ hline \ pi & \ mu \ alpha & \ gamma \\\ pi \ alpha & \ delta & \ iota \ varepsilon \\\ pi \ alpha & \ kappa \ zeta & \ kappa \ beta \\\ hline \ pi \ alpha & \ nu & \ kappa \ delta \\\ pi \ beta & \ iota \ gamma & \ iota \ theta \\\ pi \ beta & \ lambda \ mathrm {\ stigma} & \ theta \\\ hline \ end {dizi}} & {\ begin {array} {| r | r | r | r |} \ hline \ circ & \ circ & \ mu \ mathrm {\ stigma} & \ kappa \ varepsilon \\\ circ & \ circ & \ mu \ mathrm {\ stigma} & \ iota \ delta \\\ circ & \ circ & \ mu \ mathrm {\ stigma} & \ gamma \\\ hline \ circ & \ circ & \ mu \ var epsilon & \ nu \ beta \\\ circ & \ circ & \ mu \ varepsilon & \ mu \\\ circ & \ circ & \ mu \ varepsilon & \ kappa \ theta \\\ hline \ end {array}} \ end {dizi}}}$

Tabloda toplam 360 satır olmak üzere sekiz sayfanın her birinde 45 satır vardır.

Ayrıca bakınız

• Exsecant
• 1500'lerin sonlarında yayınlanan, sinüslerin hassas hesaplanması için bir algoritma ortaya koyan bir kitap olan Fundamentum Astronomiae
• Yunan matematiği
• Batlamyus
• Akorların ölçeği
• Versine

Referanslar

• Aaboe, Asger (1997), Matematik Erken Tarihinden Bölümler , Amerika Matematik Derneği, ISBN   978-0-88385-613-0
• Clagett, Marshall (2002), Antik Çağda Yunan Bilimi , Courier Dover Yayınları, ISBN   978-0-8369-2150-2
• Neugebauer, Otto (1975), A History of Ancient Mathematical Astronomy , Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-06995-1
• Olaf Pedersen (1974) Almagest Üzerine Bir Araştırma , Odense University Press ISBN   87-7492-087-1
• Thurston Hugh (1996), Erken Astronomi , Springer, ISBN   978-0-387-94822-5

Dış bağlantılar

• JL Heiberg Almagest , 48-63. Sayfalardaki akorlar tablosu.
• Glenn Elert Ptolemy'nin Akor Tablosu: İkinci Yüzyılda Trigonometri
• Almageste , Yunanca ve Fransızca olarak internet arşivinde.