altıgen - Hexagon

Düzenli altıgen
Normal çokgen 6 açıklamalı.svg
Düzenli bir altıgen
Tip düzgün çokgen
Kenarlar ve köşeler 6
Schläfli sembolü {6}, t{3}
Coxeter diyagramı CDel düğümü 1.png6.pngCDel düğümü.png
CDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel düğümü 1.png
simetri grubu Dihedral (D 6 ), sipariş 2×6
İç açı ( derece ) 120°
Çift çokgen öz
Özellikler Dışbükey , döngüsel , eşkenar , izogonal , izotoksal

İn geometrisi , bir altıgen (dan Yunan ἕξ , hex , yani "altı" ve γωνία , Goniá anlamı "köşe, açı") bir altı-yüzlü bir çokgen ya da 6-gon. Herhangi bir basit (kendiyle kesişmeyen) altıgenin iç açılarının toplamı 720°'dir.

Düzenli altıgen

Bir düzenli altıgen sahip SCHLAFLI sembolü {6} ve ayrıca bir şekilde inşa edilebilir kesildi eşkenar üçgen olan vekilleri kenarları iki tip, T {3},.

Kullanarak düzenli altıgen inşa edilmesi için bir adım adım animasyon pusula ve mastara göre verilen, Öklid bireyin Element , ayırt IV ÖNERME 15: Bu 6 gibi mümkündür , 2 x 3 iki ve farklı bir güç ürünü Fermat asalları .
AB kenar uzunluğu verildiğinde, A noktasından ve B noktasından dairesel bir yay çizmek , çevrelenmiş dairenin merkezi olan M kesişimini verir . AB doğru parçasını çevrelenmiş daireye dört kez aktarın ve köşe noktalarını birleştirin.

Normal bir altıgen hem de bir altıgen olarak tanımlanır eşkenar ve eşit açılı . İki merkezlidir , yani hem döngüseldir (çemberi vardır) hem de teğetseldir (yazılı bir çemberi vardır).

Tarafın ortak uzunluğu yarıçapına eşittir sınırlandırılmış daire veya circumcircle eşittir, kat kat apothem (yarıçapı çizilebilen ). Tüm iç açılar 120 derecedir . Normal bir altıgen altı sahip dönel simetri ( amacıyla altı dönme simetrisi ) ve altı yansıma simetrileri ( simetri altı çizgileri oluşturan) dihedral grubu D 6 . Bir düzgün altıgenin, taban tabana zıt köşeleri birbirine bağlayan en uzun köşegenleri, bir kenar uzunluğunun iki katıdır. Buradan hareketle bir görülebilir üçgen altıgen ile düzgün bir altıgen merkezinde tepe noktası ve paylaşım bir tarafı olan eşkenar ve düzenli altıgen altı eşkenar üçgen içine bölünebilmesi.

Gibi kareler ve eşkenar üçgenler , düzenli altıgenler için herhangi bir boşluk olmadan birbirine uygun düzlem karo (üç altıgenler her köşenin de toplantı) ve böylece inşa edilmesi için faydalıdır Tessellations . Bir kovan peteğinin hücreleri bu nedenle altıgendir ve şekli alan ve yapı malzemelerini verimli bir şekilde kullandığından. Voronoi diyagramı düzenli üçgen kafes altıgen petek mozaik olup. Eşkenar olmasına rağmen genellikle bir triambus olarak kabul edilmez .

parametreler

Normal altıgen 1.svg

Maksimum çap ( altıgenin uzun köşegenine karşılık gelir ), D , maksimum yarıçapın veya çevre yarıçapının iki katıdır , R , bu da kenar uzunluğuna t eşittir . Minimum çapı veya çapı çizilebilen daire (alt taban ayrılması, düz için düz mesafe, düz bir zemin üstünde kısa, diyagonal veya yükseklik), d , iki kez az yarıçap veya inradius , r . Maksimum ve minimum aynı faktörle ilişkilidir:

    ve benzer şekilde,

Düzgün altıgenin alanı

Herhangi bir düzgün çokgen için alan, apothem a ve çevre p cinsinden de ifade edilebilir . Normal altıgen için bunlar a = r ve p ile verilir , yani

Düzenli altıgen , çevrelenmiş çemberinin kesirini doldurur .

Düzgün bir altıgenin ardışık köşeleri A, B, C, D, E, F ise ve P, çember üzerinde B ile C arasındaki herhangi bir noktaysa, PE + PF = PA + PB + PC + PD .

Bu oranından, aşağıdaki circumradius için inradius düzenli altıgen yükseklik-genişliği oranının 1 olduğu: 1,1547005; yani, uzun köşegeni 1.0000000 olan bir altıgen, paralel kenarlar arasında 0.8660254'lük bir mesafeye sahip olacaktır.

Düzlemdeki nokta

Circumradius ile sıradan bir altıgen düzleminde keyfi bir nokta için düzgün altıgen sentroidi için mesafeleri ve altı köşeleriyse, ve sırasıyla Elimizdeki

Eğer kendi circumscircle üzerinde herhangi bir noktaya sıradan bir altıgen köşeler gelen mesafeler, sonra vardır

Simetri

Dih 6 veya r12 simetrisine sahip düzgün bir altıgenin altı yansıma çizgisi , sipariş 12.
Dihedral simetriler da (vertices geçmesine bağlı olarak ayrılır d (çapraz) veya kenarları s orta sütunda Siklik simetrileri olarak etiketlenir dikmeler için) g , merkez dönme siparişleri için. Normal formun tam simetrisi r12'dir ve hiçbir simetri a1 olarak etiketlenmez .

Düzgün altıgen Dih sahip 6 simetri üç dihedral alt gruplar bulunmaktadır düzeni 12: Dih 3 , Dih 2 ve Dih 1 ve dört siklik alt gruplar: Z, 6 , Z, 3 , Z, 2 ve Z, 1 .

Bu simetriler, düzgün bir altıgenin dokuz farklı simetrisini ifade eder. John Conway bunları bir harf ve grup sırasına göre etiketler. r12 tam simetridir ve a1 simetri değildir. P6 , bir izogonal uzun ve kısa kenarları alternatif üç ayna tarafından yapılan altıgen ve d6 , bir isotoxal eşit kenar uzunlukları ile inşa altıgen, ancak köşe iki farklı iç açıları değişen. Bu iki form birbirinin ikilidir ve düzgün altıgenin simetri düzeninin yarısına sahiptir. İ-4 formları normal altıgenler düzleştirilmiş veya bir simetri yönünde gerilir. Uzatılmış bir eşkenar dörtgen olarak görülebilirken , d2 ve p2 yatay ve dikey olarak uzamış uçurtmalar olarak görülebilir . Karşılıklı kenarları paralel olan g2 altıgenlere altıgen paralelkenar da denir .

Her alt grup simetrisi, düzensiz formlar için bir veya daha fazla serbestlik derecesine izin verir. Yalnızca g6 alt grubunun serbestlik derecesi yoktur ancak yönlendirilmiş kenarlar olarak görülebilir .

Simetrinin g2 , i4 ve r12 altıgenleri paralelkenarlar olarak Öklid düzlemini öteleme yoluyla mozaikleştirebilir. Diğer altıgen şekiller, düzlemi farklı yönlerde döşeyebilir.

p6m (*632) cmm (2*22) p2 (2222) p31m (3*3) pmg (22*) sayfa (××)
İzohedral döşeme p6-13.png
r12
İzohedral döşeme p6-12.png
i4
İzohedral döşeme p6-7.png
g2
İzohedral döşeme p6-11.png
d2
İzohedral döşeme p6-10.png
d2
İzohedral döşeme p6-9.png
p2
İzohedral döşeme p6-1.png
a1
dih 6 dih 2 Z 2 dih 1 Z 1

A2 ve G2 grupları

Kök sistemi A2.svg
A2 grubu kökleri
Dyn-düğüm n1.pngDyn-3.pngDyn-düğüm n2.png
Kök sistemi G2.svg
G2 grubu kökleri
Dyn2 düğümü n1.pngDyn2-6a.pngDyn2 düğümü n2.png

Bir Dynkin diyagramı ile temsil edilen basit Lie grubu A2'nin 6 kökü Dyn-düğüm n1.pngDyn-3.pngDyn-düğüm n2.png, düzenli bir altıgen düzendedir. İki basit kök arasında 120°'lik bir açı vardır.

Bir Dynkin diyagramı ile temsil edilen Exceptional Lie grubu G2'nin 12 kökü Dyn2 düğümü n1.pngDyn2-6a.pngDyn2 düğümü n2.pngayrıca altıgen bir düzendedir. İki uzunluktaki iki basit kök, aralarında 150°'lik bir açıya sahiptir.

diseksiyon

6 küp projeksiyon 12 eşkenar dörtgen diseksiyon
6 küp t0 A5.svg 6 köşeli eşkenar dörtgen diseksiyon-size2.svg 6gen eşkenar dörtgen diseksiyon2-size2.svg

Coxeter , her zonogonun ( karşı kenarları paralel ve eşit uzunlukta 2 m -gon) m ( m -1)/2 paralelkenarlara ayrılabileceğini belirtir . Özellikle bu, eşit sayıda kenarı olan düzgün çokgenler için geçerlidir , bu durumda paralelkenarların hepsi eşkenar dörtgendir. Düzgün bir altıgenin bu ayrıştırılması, 3'ü 6 kare yüze sahip bir küpün Petrie çokgen izdüşümüne dayanır . Küpün diğer paralelgenleri ve izdüşümsel yönleri dikdörtgen küboidler içinde parçalanmıştır .

Altıgenlerin üç eşkenar dörtgen ve paralelkenarlara ayrılması
2B eşkenar dörtgen paralelkenarlar
Altıgen diseksiyon.svg Küp-skew-orthogonal-skew-solid.png Küboid diyagonal-ortogonal-katı.png Cuboid skew-orthogonal-solid.png
Normal {6} altıgen paralelkenar
3 boyutlu Kare yüzler Dikdörtgen yüzler
3 küp grafik.svg Küp-skew-orthogonal-skew-frame.png Cuboid diyagonal-orthogonal-frame.png Cuboid skew-orthogonal-frame.png
Küp dikdörtgen küboid

İlgili çokgenler ve döşemeler

Düzenli bir altıgende Schläfli sembolü {6} bulunur. Düzenli bir altıgen, her bir tepe noktasının etrafında üç altıgen yüz bulunan düzenli altıgen döşemenin {6,3} bir parçasıdır .

Düzenli bir altıgen, Schläfli sembolü t{3} olan, kesik bir eşkenar üçgen olarak da oluşturulabilir . İki tip (renk) kenar ile görülen bu form sadece D 3 simetrisine sahiptir.

Bir kesik altıgen, t {6}, a, dodecagon kenarları, iki tip (renk), alternatif, {12}. Bir alternatifleri olan altıgen, h {6}, bir bir eşkenar üçgen , {3}. Düzenli bir altıgen , kenarlarında eşkenar üçgenlerle bir heksagram oluşturarak yıldızlaştırılabilir . Normal bir altıgen, bir merkez noktası eklenerek altı eşkenar üçgene ayrılabilir . Bu desen normal üçgen döşeme içinde tekrarlanır .

Düzenli bir altıgen, etrafına değişen kareler ve eşkenar üçgenler eklenerek normal bir onikigene genişletilebilir . Bu desen, eşkenar dörtgen döşeme içinde tekrarlanır .

Normal çokgen 6 açıklamalı.svg Kesilmiş üçgen.svg Normal kesme 3 1000.svg Normal kesme 3 1.5.svg Normal kesme 3 0.55.svg Heksagram.svg Normal çokgen 12 açıklamalı.svg Normal çokgen 3 açıklamalı.svg
Normal
{6}
Kesilmiş
t{3} = {6}
Hipertrunk üçgenler Yıldız şeklinde
yıldız Şekil 2 {3}
Kesilmiş
t{6} = {12}
Alternatif
h{6} = {3}
Altıgen altıgen.png Medial triambik icosahedron face.png Büyük triambik icosahedron face.png Altıgen kubbe düz.png Küp petrie çokgen sideview.png 3 küp t0.svg 3 küp t2.svg 5-simpleks grafik.svg
çapraz
altıgen
içbükey altıgen Kendinden kesişen bir altıgen ( yıldız çokgen ) Genişletilmiş
Merkez {6}, {12}
Küp içinde bir eğri altıgen Parçalanmış {6} izdüşüm
oktahedron
Grafiği tamamla

Kendinden geçen altıgenler

Normal altıgenin tepe düzenlemesine sahip altı kendinden geçen altıgen vardır :

Düzenli köşeleri olan kendinden kesişen altıgenler
dih 2 dih 1 dih 3
Çapraz altıgen1.svg
Şekil-sekiz
Çapraz hexagon2.svg
Ortadan çevirme
Çapraz hexagon3.svg
tek yönlü
Çapraz hexagon4.svg
balık kuyruğu
Çapraz altıgen5.svg
Çift kuyruk
Çapraz hexagon6.svg
üçlü kuyruk

altıgen yapılar

Giant's Causeway portre

Arıların itibaren petekler için Giant Causeway , altıgen desen nedeniyle verimliliği doğada yaygındır. Bir de , altıgen biçimli kafes her çizgi bir geniş alan en az altıgenlerle doldurulacak ise mümkün olabildiği kadar kısa olduğu gibi. Bu, peteklerin inşa etmek için daha az balmumu gerektirdiği ve sıkıştırma altında daha fazla güç kazandığı anlamına gelir .

Paralel karşılıklı duran kenarlara sahip düzensiz altıgenler adlandırılır parallelogons ve çeviri Ayrıca karo düzlemi. Üç boyutlu olarak, altıgen prizmalar paralel karşılıklı yüzleri ile adlandırılır parallelohedrons ve bu çeviri 3-alan ile mozaik olabilir.

Altıgen prizma mozaikleri
Biçim altıgen döşeme Altıgen prizmatik petek
Düzenli Tek tip döşeme 63-t0.png Altıgen prizmatik petek.png
paralel İzohedral döşeme p6-7.png Eğri altıgen prizma petek.png

altıgenler tarafından mozaikler

Düzlemin benzersiz bir mozaiklemesini belirleyen düzenli altıgene ek olarak, Conway kriterini karşılayan herhangi bir düzensiz altıgen düzlemi döşeyecektir.

Konik bir bölümde yazılı altıgen

Pascal teoremi ("Hexagrammum Mysticum Teoremi" olarak da bilinir), herhangi bir konik bölüme rastgele bir altıgen yazılırsa ve karşıt kenar çiftleri buluşana kadar uzatılırsa , üç kesişme noktasının düz bir çizgi üzerinde uzanacağını belirtir. Bu yapılandırmanın Pascal satırı".

döngüsel altıgen

Lemoine altıgen a, siklik bir üçgenin kenarlarının altı kesişme ve geçmesine kenarlarına paralel olan üç hat ile verilen köşe altıgen (bir daire içinde yer bir) symmedian noktası .

Döngüsel bir altıgenin ardışık kenarları a , b , c , d , e , f ise , o zaman üç ana köşegen tek bir noktada kesişir, ancak ve ancak as = bdf ise .

Döngüsel bir altıgenin her bir kenarı için, bitişik kenarlar kesişmelerine kadar uzatılır ve verilen kenarın dışında bir üçgen oluşturursa, zıt üçgenlerin çevre merkezlerini birleştiren parçalar eşzamanlıdır .

Bir altıgen köşe noktalarını varsa circumcircle bir bölgesinin akut üçgen üçgen bir araya uzatılmış yükseklikler circumcircle, daha sonra altıgenin alan üçgenin iki alandır (üç üçgen köşe de dahil olmak üzere), altı noktalarda.

Bir konik bölüme teğet altıgen

ABCDEF , bir konik bölümün altı teğet doğrusunun oluşturduğu bir altıgen olsun . Daha sonra Brianchon teoremi , AD, BE ve CF üç ana köşegeninin tek bir noktada kesiştiğini belirtir.

Bir altıgen olarak olduğu bir çevreye teğet ve ardışık yanlara sahip bir , b , c , d , e ve f ,

Keyfi bir altıgenin kenarlarındaki eşkenar üçgenler

Keyfi bir altıgenin kenarlarındaki eşkenar üçgenler

Herhangi bir altıgenin her iki tarafında dıştan bir eşkenar üçgen oluşturulursa , zıt üçgenlerin ağırlık merkezlerini birleştiren doğru parçalarının orta noktaları başka bir eşkenar üçgen oluşturur.

altıgen eğri

Üçgen antiprizmanın kenarları (siyah) olarak görülen düzgün bir eğri altıgen , simetri D 3d , [2 + ,6], (2*3), sipariş 12.

Bir eğri altıgen a, eğri çokgen altı köşe ve kenarlar aynı düzlemde değil mevcut olan. Böyle bir altıgenin içi genel olarak tanımlanmamıştır. Bir eğri zikzak altıgen , iki paralel düzlem arasında değişen köşelere sahiptir.

Bir normal eğri altıgen olan tepe-geçişli eşit kenar uzunluklarına sahip. Üç boyutta, zikzak eğri altıgen olacak ve aynı D 3d , [2 + ,6] simetri, sipariş 12 ile üçgen antiprizmanın köşelerinde ve yan kenarlarında görülebilir .

Küp ve sekiz yüzlü (üçgen antiprizma aynı) petri çokgenler düzenli eğim altıgen sahiptir.

3 katlı eksenlerde eğik altıgenler
küp petrie.png
Küp
oktahedron petrie.png
oktahedron

Petrie çokgenleri

Düzenli çarpık altıgen, bu yüksek boyutlu düzenli , tek biçimli ve ikili çokyüzlüler ve politoplar için Petrie çokgenidir ve bu eğimli ortogonal projeksiyonlarda gösterilmiştir :

4D 5D
3-3 duoprizma orto-Dih3.png
3-3 çift prizma
3-3 duopiramid ortho.png
3-3 çift piramit
5-simpleks t0.svg
5-simpleks

Dışbükey eşkenar altıgen

Bir altıgenin ana köşegeni , altıgeni dörtgenlere bölen bir köşegendir. Ortak kenarı a olan herhangi bir dışbükey eşkenar altıgende (tüm kenarları eşit olan) bir asal köşegen d 1 vardır.

ve bir asal köşegen d 2 öyle ki

altıgenler ile çokyüzlü

Yalnızca düzenli altıgenlerden oluşan bir Platonik katı yoktur , çünkü altıgenler mozaikleşir ve sonucun "katlanmasına" izin vermez. Arşimet katı bir altıgen yüzlere sahip olan kesik tetrahedron , kesik oktahedron , kesik ikosahedron (arasında futbol topu ve fulleren , ün) kesildi cuboctahedron ve kesik icosidodecahedron . Bu altıgenler , formun Coxeter diyagramları ile kesik üçgenler olarak kabul edilebilir.CDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel düğümü 1.pngCDel p.pngCDel düğümü.png ve CDel düğümü 1.pngCDel 3.pngCDel düğümü 1.pngCDel p.pngCDel düğümü 1.png.

Bu Goldberg çokyüzlü G(2,0) gibi, gerilmiş veya düzleştirilmiş altıgenlere sahip başka simetri çokyüzlüleri vardır :

Ayrıca düzenli altıgenlere sahip 9 Johnson katısı vardır:

Doğal ve yapay altıgenler galerisi

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar

Aile bir n B n ben 2 (p) / D n E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 H n
düzgün çokgen Üçgen Meydan p-gon Altıgen Pentagon
tek tip çokyüzlü dörtyüzlü OktahedronKüp yarım küp DodekahedronIcosahedron
tek tip polikoron Pentakoron 16 hücreliTesseract Demitesseract 24 hücreli 120 hücreli600 hücreli
Tek tip 5-politop 5-simpleks 5-ortopleks5 küp 5 demiküb
Tek tip 6-politop 6-simpleks 6-ortopleks6-küp 6-demicube 1 222 21
Tek tip 7-politop 7-simpleks 7-ortopleks7-küp 7-demicube 1 322 313 21
Üniforma 8-politop 8-simpleks 8-ortoplex8-küp 8-demicube 1 422 414 21
Tek tip 9-politop 9-simpleks 9-ortopleks9-küp 9-demicube
Tek tip 10-politop 10-simpleks 10-ortopleks10 küp 10-demiküb
Üniforma n - politop n - tek yönlü n - ortoplexn - küp n - yarım küp 1 k22 k1k 21 n - beşgen politop
Konular: Politop aileleriDüzenli politopDüzenli politopların ve bileşiklerin listesi