Hücre içindeki parçacık - Particle-in-cell

Parçacık-hücre ( PIC ) yöntemi, belirli bir sınıf çözmek için kullanılan bir teknik anlamına gelir kısmi diferansiyel denklemler . Bu yöntemde, bir Lagrange çerçevesindeki tek tek parçacıklar (veya akışkan elemanlar) sürekli faz uzayında izlenirken yoğunluklar ve akımlar gibi dağılım anları Euler (sabit) ağ noktalarında eşzamanlı olarak hesaplanır .

PIC yöntemleri, ilk Fortran derleyicileri mevcut olmadan önce bile, 1955'te zaten kullanılıyordu. Yöntem, 1950'lerin sonlarında ve 1960'ların başlarında Buneman , Dawson , Hockney, Birdsall, Morse ve diğerleri tarafından plazma simülasyonu için popülerlik kazandı . Olarak plazma fizik uygulamaları, bir sabit ağ üzerinden hesaplanan kendine yeten elektromanyetik (veya elektrostatik) alanlarında yüklü parçacıkların yörüngelerini aşağıdaki tutarındadır.

Teknik yönler

Birçok problem türü için Buneman, Dawson, Hockney, Birdsall, Morse ve diğerleri tarafından icat edilen klasik PIC yöntemi nispeten sezgisel ve uygulanması kolaydır. Bu, muhtemelen, yöntemin tipik olarak aşağıdaki prosedürleri içerdiği plazma simülasyonu için başarısının çoğunu açıklar:

• Hareket denklemlerinin integrali.
• Alan ağına yük ve akım kaynak terimlerinin enterpolasyonu.
• Mesh noktalarındaki alanların hesaplanması.
• Ağdan parçacık konumlarına alanların enterpolasyonu.

Parçacıkların yalnızca ortalama alanlar aracılığıyla etkileşimlerini içeren modellere PM (parçacık-ağ) adı verilir . Doğrudan ikili etkileşimleri içerenler PP'dir (parçacık-parçacık). Her iki tür etkileşime sahip modeller, PP-PM veya P ³ M olarak adlandırılır .

İlk günlerden beri, PIC yönteminin ayrık parçacık gürültüsü olarak adlandırılan hatalardan kaynaklanan hatalara açık olduğu kabul edilmiştir . Bu hata doğası gereği istatistikseldir ve günümüzde Eulerian veya yarı Lagrange şemaları gibi geleneksel sabit ızgara yöntemlerine göre daha az anlaşılmıştır .

Modern geometrik PIC algoritmaları, çok farklı bir teorik çerçeveye dayanmaktadır. Bu algoritmalar, ayrık manifold araçlarını, interpolasyonlu diferansiyel formları ve kurallı veya kurallı olmayan simplektik entegratörleri kullanarak, yük, enerji-momentumun ve daha da önemlisi parçacık-alan sisteminin sonsuz boyutlu simplektik yapısının değişmezliğini ve korunumunu garanti eder. Arzu edilen bu özellikler, geometrik PIC algoritmalarının daha temel alan-teorik çerçeve üzerine inşa edilmiş olmalarına ve doğrudan mükemmel forma, yani fiziğin varyasyon ilkesine bağlı olmalarına atfedilir.

PIC plazma simülasyon tekniğinin temelleri

Plazma araştırma topluluğu içinde, farklı türlerin sistemleri (elektronlar, iyonlar, nötrler, moleküller, toz parçacıkları vb.) araştırılır. Bu nedenle, PIC kodlarıyla ilişkili denklemler kümesi , kodun sözde itici veya parçacık hareket ettiricisinde çözülen hareket denklemi olarak Lorentz kuvveti ve (alan) çözücüde hesaplanan elektrik ve manyetik alanları belirleyen Maxwell denklemleridir. .

süper parçacıklar

İncelenen gerçek sistemler, içerdikleri parçacıkların sayısı açısından genellikle son derece büyüktür. Simülasyonları verimli hale getirmek veya mümkünse süper parçacıklar olarak adlandırılanlar kullanılır. Bir süper parçacık (veya makro parçacık ), birçok gerçek parçacığı temsil eden bir hesaplama parçacığıdır; bir plazma simülasyonu durumunda milyonlarca elektron veya iyon veya örneğin bir sıvı simülasyonunda bir girdap elemanı olabilir. Parçacık sayısını yeniden ölçeklendirmeye izin verilir, çünkü Lorentz kuvvetinin ivmesi yalnızca yük-kütle oranına bağlıdır, bu nedenle bir süper parçacık, gerçek bir parçacıkla aynı yörüngeyi izleyecektir.

Bir süper parçacığa karşılık gelen gerçek parçacıkların sayısı, parçacık hareketi hakkında yeterli istatistik toplanabilecek şekilde seçilmelidir. Sistemdeki farklı türlerin yoğunluğu arasında önemli bir fark varsa (örneğin iyonlar ve nötrler arasında), bunlar için ayrı gerçek-süper parçacık oranları kullanılabilir.

parçacık hareket ettirici

Süper parçacıklarda bile, simüle edilen parçacıkların sayısı genellikle çok büyüktür (> 10 ⁵ ) ve her parçacık için ayrı ayrı yapılması gerektiğinden, genellikle parçacık hareket ettirici PIC'nin en çok zaman alan kısmıdır. Bu nedenle, iticinin yüksek doğrulukta ve hızda olması gerekir ve farklı şemaları optimize etmek için çok çaba harcanır.

Parçacık hareket ettirici için kullanılan şemalar, örtük ve açık çözücüler olmak üzere iki kategoriye ayrılabilir. Örtük çözücüler (ör. örtük Euler şeması) halihazırda güncellenmiş alanlardan parçacık hızını hesaplarken, açık çözücüler yalnızca önceki zaman adımından eski kuvveti kullanır ve bu nedenle daha basit ve daha hızlıdır, ancak daha küçük bir zaman adımı gerektirir. PIC simülasyonunda, ikinci dereceden açık bir yöntem olan sıçrama yöntemi kullanılır. Ayrıca Newton-Lorentz denklemindeki manyetik alanı yok eden Boris algoritması kullanılır.

Plazma uygulamaları için, birdirbir yöntemi aşağıdaki formu alır:

${\displaystyle {\frac {\mathbf {x} _{k+1}-\mathbf {x} _{k}}{\Delta t}}=\mathbf {v} _{k+1/2}, }$

${\displaystyle {\frac {\mathbf {v} _{k+1/2}-\mathbf {v} _{k-1/2}}{\Delta t}}={\frac {q}{m }}\left(\mathbf {E} _{k}+{\frac {\mathbf {v} _{k+1/2}+\mathbf {v} _{k-1/2}}{2} }\times \mathbf {B} _{k}\sağ),}$

burada alt simge , önceki zaman adımından "eski" miktarlara , bir sonraki zaman adımından (yani ) güncellenen miktarlara atıfta bulunur ve hızlar, olağan zaman adımları arasında hesaplanır . ${\görüntüleme stili k}$${\ Displaystyle k+1}$${\displaystyle t_{k+1}=t_{k}+\Delta t}$${\görüntüleme stili t_{k}}$

Yukarıdaki denklemlerde ikame olan Boris şemasının denklemleri:

${\displaystyle \mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {x} _{k}+{\Delta t}\mathbf {v} _{k+1/2},}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{k+1/2}=\mathbf {u} '+q'\mathbf {E} _{k},}$

ile birlikte

${\displaystyle \mathbf {u} '=\mathbf {u} +(\mathbf {u} +(\mathbf {u} \times \mathbf {h} ))\times \mathbf {s} ,}$

${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} _{k-1/2}+q'\mathbf {E} _{k},}$

${\displaystyle \mathbf {h} =q'\mathbf {B} _{k},}$

${\displaystyle \mathbf {s} =2\mathbf {h} /(1+h^{2})}$

ve . ${\displaystyle q'=\Delta t\times (q/2m)}$

Mükemmel uzun vadeli doğruluğu nedeniyle Boris algoritması, yüklü bir parçacığı ilerletmek için fiili standarttır. Göreli olmayan Boris algoritmasının mükemmel uzun vadeli doğruluğunun, simplektik olmasa bile faz uzayı hacmini koruduğu gerçeğinden kaynaklandığı anlaşıldı. Tipik olarak simplektik algoritmalarla ilişkilendirilen küresel enerji sınırı hatası, Boris algoritması için hala geçerlidir ve bu, onu plazmaların çok ölçekli dinamikleri için etkili bir algoritma haline getirir. Ayrıca, göreli Boris baskısını, hem hacmi koruyan hem de çapraz E ve B alanlarında sabit hızlı bir çözüme sahip hale getirmek için geliştirilebileceği de gösterilmiştir.

alan çözücü

Maxwell denklemlerini (veya daha genel olarak kısmi diferansiyel denklemleri (PDE)) çözmek için en yaygın olarak kullanılan yöntemler aşağıdaki üç kategoriden birine aittir:

• Sonlu fark yöntemleri (FDM)
• Sonlu eleman yöntemleri (FEM)
• spektral yöntemler

FDM ile sürekli alan, üzerinde elektrik ve manyetik alanların hesaplandığı ayrı bir nokta ızgarası ile değiştirilir . Daha sonra türevler, komşu grid noktası değerleri arasındaki farklarla yaklaştırılır ve böylece PDE'ler cebirsel denklemlere dönüştürülür.

FEM kullanarak, sürekli alan, ayrı bir eleman ağına bölünür. PDE'ler bir özdeğer problemi olarak ele alınır ve başlangıçta her elemanda lokalize olan temel fonksiyonlar kullanılarak bir deneme çözümü hesaplanır . Nihai çözüm daha sonra gerekli doğruluğa ulaşılana kadar optimizasyon ile elde edilir.

Ayrıca hızlı Fourier dönüşümü (FFT) gibi spektral yöntemler, PDE'leri bir özdeğer problemine dönüştürür, ancak bu sefer temel fonksiyonlar yüksek mertebedendir ve tüm etki alanı üzerinde global olarak tanımlanır. Bu durumda etki alanının kendisi ayrıklaştırılmaz, sürekli kalır. Yine, temel fonksiyonların özdeğer denklemine eklenmesiyle bir deneme çözümü bulunur ve ardından ilk deneme parametrelerinin en iyi değerlerini belirlemek için optimize edilir.

Parçacık ve alan ağırlığı

"Hücre içindeki parçacık" adı, plazma makro niceliklerinin ( sayı yoğunluğu , akım yoğunluğu , vb.) simülasyon parçacıklarına (yani parçacık ağırlığı ) atanma biçiminden kaynaklanmaktadır . Parçacıklar sürekli etki alanında herhangi bir yere yerleştirilebilir, ancak makro miktarlar, tıpkı alanlar gibi yalnızca ağ noktalarında hesaplanır. Makro nicelikleri elde etmek için, parçacıkların şekil fonksiyonu tarafından belirlenen belirli bir "şekle" sahip olduğu varsayılır.

${\ Displaystyle S(\mathbf {x} -\mathbf {X} ),}$

parçacığın koordinatı ve gözlem noktası nerede . Şekil işlevi için belki de en kolay ve en çok kullanılan seçenek , birinci dereceden (doğrusal) ağırlıklandırma şeması olan hücre içi bulut (CIC) şemasıdır. Şema ne olursa olsun, şekil fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlamalıdır: uzay izotropisi, yük korunumu ve yüksek dereceli terimler için artan doğruluk (yakınsama). ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\görüntüleme stili \mathbf {X} }$

Alan çözücüden elde edilen alanlar yalnızca ızgara noktalarında belirlenir ve parçacıklara etki eden kuvveti hesaplamak için doğrudan parçacık hareket ettiricide kullanılamaz, ancak alan ağırlıklandırması yoluyla enterpolasyon yapılması gerekir :

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} )=\sum _{i}\mathbf {E} _{i}S(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} ), }$

burada alt simge ızgara noktasını etiketler. Parçacıklar üzerine etki eden kuvvetlerin kendi kendine tutarlı bir şekilde elde edilmesini sağlamak için, ızgara noktalarındaki parçacık konumlarından makro nicelikleri hesaplama ve ızgara noktalarından parçacık konumlarına alanları enterpolasyon yapma yolu da tutarlı olmalıdır, çünkü ikisi de Maxwell'in denklemler . Her şeyden önce, alan enterpolasyon şeması momentumu korumalıdır . Bu parçacıklar ve alanlar için aynı ağırlıklandırma şeması seçerek ve uygun uzay simetri sağlanması (yani hiçbir kendinden kuvvet ve yerine getirerek elde edilebilir etki-tepki yasası ) aynı anda alan çözücü içinde ${\görüntüleme stili ben}$

çarpışmalar

Alan çözücünün öz kuvvetlerden arınmış olması gerektiğinden, bir hücre içinde bir parçacığın oluşturduğu alan, parçacıktan uzaklaştıkça azalmalıdır ve bu nedenle hücrelerin içindeki parçacıklar arası kuvvetler hafife alınır. Bu, yüklü parçacıklar arasındaki Coulomb çarpışmalarının yardımıyla dengelenebilir . Büyük bir sistemin her bir çifti için etkileşimi simüle etmek, hesaplama açısından çok pahalı olacaktır, bu nedenle bunun yerine birkaç Monte Carlo yöntemi geliştirilmiştir. Yaygın olarak kullanılan bir yöntem, parçacıkların hücrelerine göre gruplandırıldığı, daha sonra bu parçacıkların rastgele eşlendiği ve son olarak çiftlerin çarpıştırıldığı ikili çarpışma modelidir .

Gerçek bir plazmada, yüklü ve nötr parçacıklar arasındaki çarpışmalar gibi esnek çarpışmalardan elektron-nötr iyonlaşma çarpışması gibi esnek olmayan çarpışmalara ve kimyasal reaksiyonlara kadar birçok başka reaksiyon bir rol oynayabilir; her biri ayrı tedavi gerektirir. Yüklü-nötr çarpışmaları ele alan çarpışma modellerinin çoğu, ya tüm parçacıkların çarpışma olasılıkları hakkında bilgi taşıdığı doğrudan Monte-Carlo şemasını ya da tüm parçacıkları analiz etmeyen ancak için maksimum çarpışma olasılığını kullanan sıfır çarpışma şemasını kullanır. bunun yerine her yüklü tür.

Doğruluk ve kararlılık koşulları

Her simülasyon yönteminde olduğu gibi, PIC'de de zaman adımı ve ızgara boyutu iyi seçilmelidir, böylece ilgili zaman ve uzunluk ölçeği fenomeni problemde uygun şekilde çözülür. Ek olarak, zaman adımı ve ızgara boyutu, kodun hızını ve doğruluğunu etkiler.

Açık bir zaman entegrasyon şeması kullanan bir elektrostatik plazma simülasyonu için (örneğin en yaygın olarak kullanılan birdirek), çözümün kararlılığını sağlamak için ızgara boyutu ve zaman adımı ile ilgili iki önemli koşul yerine getirilmelidir: ${\görüntüleme stili\Delta x}$${\görüntüleme stili\Delta t}$

${\displaystyle \Delta x<3.4\lambda _{D},}$

${\displaystyle \Delta t\leq 2\omega _{pe}^{-1},}$

tek boyutlu manyetize edilmemiş bir plazmanın harmonik salınımları dikkate alınarak türetilebilir. İkinci koşullar kesinlikle gereklidir, ancak enerji tasarrufuyla ilgili pratik hususlar, faktör 2'nin bir numara daha küçük bir büyüklük sırası ile değiştirildiği durumlarda çok daha katı bir kısıtlamanın kullanılmasını önerir. kullanımı tipiktir. Şaşırtıcı olmayan bir şekilde, plazmadaki doğal zaman ölçeği, ters plazma frekansı ve uzunluk ölçeği tarafından Debye uzunluğu tarafından verilir . ${\displaystyle \Delta t\leq 0.1\omega _{pe}^{-1},}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {pe}^{-1}}$ ${\displaystyle \lambda _{D}}$

Açık bir elektromanyetik plazma simülasyonu için, zaman adımı ayrıca CFL koşulunu da sağlamalıdır :

${\displaystyle \Delta t<\Delta x/c,}$

nerede , ve ışık hızıdır. ${\displaystyle \Delta x\sim \lambda _{D}}$${\görüntüleme stili c}$

Uygulamalar

Plazma fiziğinin içinde, PIC simülasyon aurora çalışma lazer plazma etkileşimleri, elektron hızlandırma ve iyon ısıtma başarılı bir şekilde kullanılmış olan iyonosfer , magnetohydrodynamics , MYB , hem iyon sıcaklığa gradyanı ve diğer microinstabilities olarak Tokamaklar , bundan başka, elektrik deşarjları , ve tozlu plazmalar .

Hibrit modeller, bazı türlerin kinetik tedavisi için PIC yöntemini kullanabilirken, diğer türler ( Maxwellian olan ) bir akışkan modeli ile simüle edilir.

PIC simülasyonları, katı ve akışkanlar mekaniğindeki problemlere plazma fiziğinin dışında da uygulanmıştır .

Hücre içi elektromanyetik parçacık hesaplama uygulamaları

hesaplamalı uygulama	İnternet sitesi	Lisans	kullanılabilirlik	Kanonik Referans
KESKİN		tescilli		doi : 10.3847/1538-4357/aa6d13
ALaDyn		GPLv3+	Repo'yu aç:	doi : 10.5281/zenodo.49553
çağ		GPL	Akademik kullanıcılara açık, ancak kayıt olunması gerekiyor:	doi : 10.1088/0741-3335/57/11/113001
FBPIC		3-Madde-BSD-LBNL	Repo'yu aç:	doi : 10.1016/j.cpc.2016.02.007
LSP		tescilli	ATK'dan temin edilebilir	doi : 10.1016/S0168-9002(01)00024-9
BÜYÜ		tescilli	ATK'dan temin edilebilir	doi : 10.1016/0010-4655(95)00010-D
OSIRIS		tescilli	Kapatıldı (MoU ile Ortak Çalışanlar)	doi : 10.1007/3-540-47789-6_36
pikan		GPLv3+	Repo'yu aç:	doi : 10.5281/zenodo.48703
PICL'ler		tescilli	Kullanılabilir Uzay Sistemleri Enstitüsü ve Aerodinamik ve Gaz Dynamics Enstitüsü Stuttgart Üniversitesi	doi : 10.1016/j.crme.2014.07.005
PIConGPU		GPLv3+	Repo'yu aç:	doi : 10.1145/2503210.2504564
SMILEI		CeCILL-B	Repo'yu aç:	doi : 10.1016/j.cpc.2017.09.024
iPIC3D		Apache Lisansı 2.0	Repo'yu aç:	doi : 10.1016/j.matcom.2009.08.038
Sanal Lazer Plazma Laboratuvarı (VLPL)		tescilli	Bilinmeyen	doi : 10.1017/S0022377899007515
VizGrain		tescilli	Esgee Technologies Inc.'den ticari olarak temin edilebilir.
VPIC		3-Cümle-BSD	Repo'yu aç:	doi : 10.1063/1.2840133
VSim (Vorpal)		tescilli	Tech-X Corporation'dan temin edilebilir	doi : 10.1016/j.jcp.2003.11.004
çarpıtma		3-Madde-BSD-LBNL	Repo'yu aç:	doi : 10.1063/1.860024
WarpX		3-Madde-BSD-LBNL	Repo'yu aç:	doi : 10.1016/j.nima.2018.01.035
ZPIC		AGPLv3+	Repo'yu aç:
ultraPICA		tescilli	Plasma Taiwan Innovation Corporation'dan ticari olarak temin edilebilir.

Ayrıca bakınız

• plazma modelleme
• Çok fazlı hücre içi parçacık yöntemi

Referanslar

bibliyografya

• Birdsall, Charles K.; A. Bruce Langdon (1985). Bilgisayar Simülasyonu ile Plazma Fiziği . McGraw-Hill. ISBN'si 0-07-005371-5.

• Hockney, Roger W.; James W. Eastwood (1988). Parçacıkların Kullanıldığı Bilgisayar Simülasyonu . CRC Basın. ISBN'si 0-85274-392-0.

Dış bağlantılar

• Hücre İçi Parçacık ve Kinetik Simülasyon Yazılım Merkezi (PICKSC), UCLA.
• Uzay aracı plazma etkileşimleri için açık kaynaklı 3D Hücre İçi Parçacık kodu (zorunlu kullanıcı kaydı gereklidir).
• MATLAB'da Basit Hücre İçi Parçacık kodu
• Plazma Teorisi ve Simülasyon Grubu (Berkeley) Ücretsiz olarak kullanılabilen yazılımlara bağlantılar içerir.
• PIC kodlarına giriş (Univ. of Texas)
• open-pic - Plazma dinamiğinin 3D Hibrit Hücre İçi Parçacık simülasyonu