Ornstein-Uhlenbeck süreci - Ornstein–Uhlenbeck process
Matematikte, Ornstein-Uhlenbeck süreci , finansal matematik ve fiziksel bilimlerdeki uygulamaları olan stokastik bir süreçtir . Fizikteki orijinal uygulaması , sürtünme etkisi altındaki büyük bir Brownian parçacığının hızı için bir model olarak oldu . Adını Leonard Ornstein ve George Eugene Uhlenbeck'ten almıştır .
Ornstein-Uhlenbeck süreci durağan bir Gauss-Markov sürecidir , yani bu bir Gauss süreci , bir Markov sürecidir ve zamansal olarak homojendir. Aslında, uzay ve zaman değişkenlerinin doğrusal dönüşümlerine izin verene kadar bu üç koşulu karşılayan tek önemsiz olmayan süreçtir. Zamanla, süreç kendi ortalama işlevine doğru kayma eğilimi gösterir: böyle bir sürece ortalamayı geri döndürme denir .
İşlem bir modifikasyonu olarak kabul edilebilir , rastgele bir yürüyüş olarak sürekli zaman veya Wiener işlemi A, işlemin özellikleri bir merkezi konuma doğru geri hareket ettirmek için bir yürüyüş bir eğilimi olduğu değiştirilmiş olan, süreç merkezden daha uzakta olduğunda daha fazla çekim. Ornstein-Uhlenbeck süreci , ayrık zamanlı AR(1) sürecinin sürekli zamanlı analogu olarak da düşünülebilir .
Tanım
Ornstein-Uhlenbeck süreci aşağıdaki stokastik diferansiyel denklem ile tanımlanır :
where and are parametrelerdir ve Wiener sürecini belirtir .
Bazen ek bir sürüklenme terimi eklenir:
sabit nerede . Finansal matematikte buna Vasicek modeli de denir .
Ornstein-Uhlenbeck süreci bazen formun bir Langevin denklemi olarak da yazılır.
burada , beyaz gürültü olarak da bilinir , Wiener sürecinin varsayılan türevi anlamına gelir . Ancak, Wiener süreci hiçbir yerde türevlenebilir olmadığı için mevcut değildir ve bu nedenle Langevin denklemi, kesinlikle konuşmak gerekirse, yalnızca buluşsaldır. Fizik ve mühendislik disiplinlerinde, gürültü teriminin Wiener sürecinin türevlenebilir (örneğin Fourier) bir interpolasyonunun bir türevi olduğu zımnen varsayılarak, Ornstein-Uhlenbeck süreci ve benzer stokastik diferansiyel denklemler için ortak bir temsildir.
Fokker-Planck denklemi gösterimi
Ornstein-Uhlenbeck süreci aynı zamanda bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak da tanımlanabilir, bu da süreci o zaman durumunda bulma olasılığını belirtir . Bu fonksiyon Fokker-Planck denklemini karşılar.
nerede . Bu, çeşitli tekniklerle çözülebilen doğrusal bir parabolik kısmi diferansiyel denklemdir . Olarak da bilinen geçiş olasılığı, Yeşiller fonksiyonu , ortalama bir Gaussian ve varyans :
Bu durum olasılığını vermektedir zamanda meydana gelen ilk durum belirli bir zamanda . Eşdeğer olarak, başlangıç koşulu ile Fokker-Planck denkleminin çözümüdür .
matematiksel özellikler
Sabit olduğunu varsayarsak , ortalama
ve kovaryans olduğu
Ornstein-Uhlenbeck süreci, sınırlı bir varyansa sahip olan ve Wiener sürecinin aksine durağan bir olasılık dağılımını kabul eden bir Gauss sürecinin bir örneğidir ; ikisi arasındaki fark, onların "sürüklenme" terimindedir. Wiener süreci için sürüklenme terimi sabittir, oysa Ornstein-Uhlenbeck süreci için sürecin mevcut değerine bağlıdır: sürecin mevcut değeri (uzun dönemli) ortalamadan küçükse, sürüklenme pozitif; sürecin mevcut değeri (uzun vadeli) ortalamadan büyükse, sapma negatif olacaktır. Başka bir deyişle, ortalama, süreç için bir denge seviyesi görevi görür. Bu, sürece bilgilendirici adını verir, "ortalama geri dönen".
Örnek yolların özellikleri
Geçici olarak homojen bir Ornstein-Uhlenbeck süreci, ölçeklenmiş, zamanla dönüştürülmüş bir Wiener süreci olarak temsil edilebilir :
standart Wiener süreci nerede . Bu kabaca Teorem 1.2 inç'tir. Eşdeğer olarak, değişkenin değişmesiyle bu olur
Bu eşlemeyi kullanarak, bilinen özellikleri için karşılık gelen ifadelere çevrilebilir . Örneğin, hukuk logaritmasını iterated için olur
resmi çözüm
için stokastik diferansiyel denklem , parametrelerin değiştirilmesiyle resmi olarak çözülebilir . yazı
alırız
Dan entegre etmek elde ederiz
bunun üzerine görüyoruz
Bu temsilden, ilk anın (yani ortalamanın) olduğu gösterilmiştir.
sabit olduğunu varsayar . Ayrıca, Itō izometrisi , kovaryans fonksiyonunu şu şekilde hesaplamak için kullanılabilir :
Deterministik integralin Itô integrali normal olarak dağıldığından, kolayca
sayısal örnekleme
Genişliğinin zaman aralıklarında ayrı ayrı örneklenmiş veriler kullanılarak , maksimum olabilirlik tahmin Ornstein-Uhlenbeck işleminin parametreleri için gerçek değerlerine asimptotik normaldir. Daha kesin,
Ölçekleme sınırı yorumu
Ornstein-Uhlenbeck işlemi olarak yorumlanabilir ölçekleme sınırı aynı şekilde, ayrı bir işlemin Brown hareketi bir ölçekleme sınırıdır rastgele yürür . Mavi ve sarı toplar içeren bir kavanoz düşünün . Her adımda rastgele bir top seçilir ve zıt renkte bir top ile değiştirilir. Adımlardan sonra kavanozdaki mavi topların sayısı olsun . Sonra kanunda bir Ornstein-Uhlenbeck sürecine yakınsar ve sonsuza eğilim gösterir.
Uygulamalar
fizik bilimlerinde
Ornstein-Uhlenbeck süreci, gürültülü bir gevşeme sürecinin bir prototipidir . Örneğin , dinamikleri sürtünme katsayısı ile aşırı sönümlenmiş yay sabitli bir Hookean yayı düşünün . Termal dalgalanmaları varlığında sıcaklık , uzunluk yayının yay geri kalan uzunluğu boyunca stokastik dalgalanma olacak ; stokastik dinamiği, Ornstein-Uhlenbeck süreci ile şu şekilde tanımlanır:
burada etkin difüzyon sabiti için Stokes-Einstein denkleminden türetilmiştir .
Fiziksel bilimlerde, bir Ornstein-Uhlenbeck sürecinin stokastik diferansiyel denklemi, bir Langevin denklemi olarak yeniden yazılır.
nerede olduğu beyaz Gauss gürültü ile Dalgalanmalar olarak ilişkilidir
korelasyon süresi ile .
Dengede yay , eşbölme teoremine göre ortalama bir enerji depolar .
finansal matematikte
Ornstein-Uhlenbeck süreci, faiz oranlarını, döviz kurlarını ve emtia fiyatlarını stokastik olarak modellemek için (değişikliklerle) kullanılan birkaç yaklaşımdan biridir . Parametre , temeller tarafından desteklenen dengeyi veya ortalama değeri temsil eder ; etrafındaki şokların neden olduğu oynaklığın derecesi ve bu şokların dağılma ve değişkenin ortalamaya dönme hızı. Sürecin bir uygulaması, çift ticareti olarak bilinen bir ticaret stratejisidir .
evrimsel biyolojide
Ornstein-Uhlenbeck süreci, zaman içinde organizma fenotiplerindeki değişimi modellemek için Brownian hareket modeline göre bir gelişme olarak önerilmiştir . Bir Brownian hareket modeli, fenotipin sınırsız hareket edebileceğini ima ederken, çoğu fenotip için doğal seçilim, her iki yönde de çok fazla hareket etmenin bir maliyetini empoze eder. 250 fosil fenotip zaman serisinin bir meta-analizi, bir Ornstein-Uhlenbeck modelinin incelenen zaman serilerinin 115'i (%46) için en uygun olduğunu ve durağanlığı ortak bir evrimsel model olarak desteklediğini gösterdi.
genellemeler
Ornstein-Uhlenbeck süreçlerini, arka plandaki sürüş sürecinin bir Lévy süreci olduğu (basit bir Brown hareketi yerine) süreçlere genişletmek mümkündür .
Ek olarak, finansta, daha büyük değerler için oynaklığın arttığı stokastik süreçler kullanılır . Özellikle, volatilite terimi ile değiştirilen CKLS (Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders) süreci , geleneksel OU sürecine karşılık gelen için olduğu kadar için de kapalı biçimde çözülebilir . Cox–Ingersoll–Ross modeline (CIR-modeli) karşılık gelen bir başka özel durum da .
Daha yüksek boyutlar
Ornstein-Uhlenbeck sürecinin N -boyutlu vektör ile gösterilen çok-boyutlu versiyonu şuradan tanımlanabilir:
burada bir bir N boyutlu Wiener süreci ve ve sabit olan K x K matrisleri. Çözüm şudur
ve ortalama
Bu ifadelerin üstel matrisi kullandığına dikkat edin .
Süreç ayrıca Fokker-Planck denklemini sağlayan olasılık yoğunluk fonksiyonu cinsinden de tanımlanabilir.
bileşenleri içeren matrisin tanımlandığı yer . 1d durumuna gelince, süreç Gauss rastgele değişkenlerinin doğrusal bir dönüşümüdür ve bu nedenle kendisi Gauss olmalıdır. Bu nedenle, geçiş olasılığı , açıkça yazılabilen bir Gauss'tur. özdeğerlerinin reel kısımları sıfırdan büyükse, ayrıca şu şekilde verilen durağan bir çözüm vardır:
burada matris Lyapunov denkleminden belirlenir .
Ayrıca bakınız
- stokastik hesap
- sosis süreci
- Gauss süreci
- matematiksel finans
- Vasicek modeli arasında faiz oranları
- Kısa oranlı model
- difüzyon
- Dalgalanma-dağılım teoremi
Notlar
Referanslar
- Bibbona, E.; Panfilo, G.; Tavella, P. (2008). "Alçak geçiren filtrelenmiş beyaz gürültü modeli olarak Ornstein-Uhlenbeck süreci". Metroloji . 45 (6): S117–S126. Bibcode : 2008Metro..45S.117B . doi : 10.1088/0026-1394/45/6/S17 . hdl : 2318/58227 .
- Çan, KC; Karolyi, GA; Longstaff, FA; Sanders, AB (1992). "Kısa vadeli faiz oranının alternatif modellerinin ampirik bir karşılaştırması" . Finans Dergisi . 47 (3): 1209–1227. doi : 10.1111/j.1540-6261.1992.tb04011.x .
- Doob, JL (Nisan 1942). "Brownian Hareketi ve Stokastik Denklemler". Matematik Annals . 43 (2): 351-369. doi : 10.2307/1968873 . JSTOR 1968873 .
- Gillespie, DT (1996). "Ornstein-Uhlenbeck sürecinin ve integralinin tam sayısal simülasyonu" . Fizik Rev. e . 54 (2): 2084–2091. Bibcode : 1996PhRvE..54.2084G . doi : 10.1103/PhysRevE.54.2084 . PMID 9965289 .
- Leung, Tim; Li, Xin (2015). "İşlem Maliyetleri ve Zarar Durdurma Çıkışı ile Optimum Ortalama Geri Dönme Ticareti". Uluslararası Teorik ve Uygulamalı Finans Dergisi . 18 (3): 1550020. arXiv : 1411.5062 . doi : 10.1142/S021902491550020X .
- Risken, H. (1989). Fokker-Planck Denklemi: Çözüm Yöntemi ve Uygulamalar . New York: Springer-Verlag. ISBN'si 978-0387504988.
- Uhlenbeck, GE; Ornstein, LS (1930). "Brown Hareketi Teorisi Üzerine". Fizik Rev . 36 (5): 823-841. Bibcode : 1930PhRv...36..823U . doi : 10.1103/PhysRev.36.823 .
- Martins, EP (1994). "Karşılaştırmalı Verilerden Fenotipik Evrim Hızının Tahmin Edilmesi". Amer. Nat . 144 (2): 193-209. doi : 10.1086/285670 . S2CID 85300707 .
Dış bağlantılar
- Risk Yönetimi için Stokastik Süreçler Araç Takımı , Damiano Brigo, Antonio Dalessandro, Matthias Neugebauer ve Fares Triki
- Ornstein-Uhlenbeck sürecini simüle etmek ve kalibre etmek , MA van den Berg
- Ortalama geri dönüş süreçlerinin maksimum olabilirlik tahmini , Jose Carlos Garcia Franco
- "Etkileşimli Web Uygulaması: Kantitatif Finansta Kullanılan Stokastik Süreçler" . Arşivlenmiş orijinal 2015-09-20 tarihinde . 2015-07-03 alındı .