Parabolik kısmi diferansiyel denklem - Parabolic partial differential equation

Bir parabolik kısmi diferansiyel denklem , bir tür kısmi diferansiyel denklemdir (PDE). Parabolik PDE'ler, ısı iletimi , partikül difüzyonu ve türev yatırım araçlarının fiyatlandırılması dahil olmak üzere çok çeşitli zamana bağlı fenomenleri tanımlamak için kullanılır .

Tanım

En basit parabolik PDE türünü tanımlamak için , iki bağımsız gerçek değişkenin gerçek değerli bir fonksiyonunu düşünün ve . Bir ikinci dereceden, lineer, sabit katsayısı PDE için şeklini alır ${\görüntüleme stili u(x,y)}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili u}$

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0,}$

ve bu PDE, katsayılar koşulu sağlıyorsa parabolik olarak sınıflandırılır.

${\displaystyle B^{2}-AC=0.}$

Genellikle tek boyutlu konumu temsil eder ve zamanı temsil eder ve PDE, önceden belirlenmiş başlangıç ​​ve sınır koşullarına tabi olarak çözülür. ${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili y}$

Katsayılar üzerindeki varsayım, analitik geometri denkleminin düzlemsel bir parabol tanımlama koşuluyla aynı olduğu için "parabolik" adı kullanılmıştır . ${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$

Bir parabolik PDE'nin temel örneği, tek boyutlu ısı denklemidir ,

${\displaystyle u_{t}=\alpha \,u_{xx},}$

ince bir çubuk boyunca zaman ve konumdaki sıcaklık nerede ve pozitif bir sabittir ( termal yayılım ). Sembol ' nin zaman değişkenine göre kısmi türevini gösterir ve benzer şekilde ' ye göre ikinci kısmi türevdir . Bu örnek için, genel olarak ikinci mertebeden lineer PDE rolünü oynar : , , ve diğer katsayılar sıfırdır. ${\görüntüleme stili u(x,t)}$${\görüntüleme stili t}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili \alfa }$${\ Displaystyle u_{t}}$${\görüntüleme stili u}$${\görüntüleme stili t}$${\ Displaystyle u_{xx}}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili t}$${\görüntüleme stili y}$${\ Displaystyle A=\alfa }$${\ Displaystyle E=-1}$

Isı denklemi, kabaca, belirli bir zaman ve noktadaki sıcaklığın, o noktadaki sıcaklık ile o noktaya yakın ortalama sıcaklık arasındaki farkla orantılı bir oranda arttığını veya düştüğünü söyler. Miktar , sıcaklığın harmonik fonksiyonların ortalama değer özelliğini karşılamaktan ne kadar uzak olduğunu ölçer . ${\ Displaystyle u_{xx}}$

Bir parabolik PDE kavramı çeşitli şekillerde genelleştirilebilir. Örneğin, bir malzeme gövdesi boyunca ısı akışı, üç boyutlu ısı denklemi tarafından yönetilir ,

${\displaystyle u_{t}=\alpha \,\Delta u,}$

nerede

${\displaystyle \Delta u:={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2 }}}+{\frac {\kısmi ^{2}u}{\kısmi z^{2}}}}$

üzerinde hareket eden Laplace operatörünü ifade eder . Bu denklem, çok boyutlu bir parabolik PDE'nin prototipidir . ${\görüntüleme stili u}$

Bunun eliptik bir operatör olduğuna dikkat etmek , parabolik bir PDE'nin daha geniş bir tanımını önerir: ${\ Displaystyle -\Delta }$

${\displaystyle u_{t}=-Lu,}$

nerede ikinci dereceden bir eliptik operatördür ( bunun pozitif olması gerektiğini ima eder ; aşağıda ele alınan bir durum ). ${\görüntüleme stili L}$${\görüntüleme stili L}$${\displaystyle u_{t}=+Lu}$

Bir vektör için kısmi diferansiyel denklemler sistemi de parabolik olabilir. Örneğin, böyle bir sistem, formun bir denkleminde gizlidir. ${\görüntüleme stili u}$

${\displaystyle \nabla \cdot (a(x)\nabla u(x))+b(x)^{\text{T}}\nabla u(x)+cu(x)=f(x)}$

matris değerli işlevin 1 boyutunda bir çekirdeği varsa . ${\görüntüleme stili a(x)}$

Parabolik PDE'ler ayrıca doğrusal olmayabilir. Örneğin, Fisher denklemi , ısı denklemi ile aynı difüzyon terimini içeren, ancak bir doğrusal büyüme terimi ve bir doğrusal olmayan bozunma terimini içeren doğrusal olmayan bir PDE'dir.

Çözüm

Geniş varsayımlar altında, doğrusal bir parabolik PDE için bir başlangıç/sınır-değer probleminin her zaman için bir çözümü vardır. Sabit bir zamanın bir fonksiyonu olarak çözüm , genellikle ilk verilerden daha düzgündür . ${\görüntüleme stili u(x,t)}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili t>0}$${\görüntüleme stili u(x,0)=u_{0}(x)}$

Doğrusal olmayan bir parabolik PDE için, bir başlangıç/sınır-değer probleminin çözümü, sonlu bir süre içinde bir tekillikte patlayabilir . Her zaman için bir çözümün var olup olmadığını belirlemek veya ortaya çıkan tekillikleri anlamak zor olabilir. Böyle ilginç sorular , Poincare varsayımının Ricci akışı yoluyla çözümünde ortaya çıkıyor .

Geriye doğru parabolik denklem

Ara sıra , şu şekli alan (eksi işaretinin bulunmadığına dikkat edin) sözde geriye dönük parabolik PDE ile karşılaşılır . ${\displaystyle u_{t}=Lu}$

Geriye doğru ısı denklemi için bir başlangıç ​​değer problemi,

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=-\Delta u&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times (0,T),\\u=0&{\textrm {on}}\ \ \partial \Omega \times (0,T),\\u=f&{\textrm {on}}\ \ \\Omega \times \left\{0\sağ\}.\end{durumlar}},}$

adi ısı denklemi için bir son değer problemine eşdeğerdir,

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=\Delta u&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times (0,T),\\u=0&{\textrm {on}}\ \ \partial \Omega \times (0,T),\\u=f&{\textrm {on}}\ \ \\Omega \times \left\{T\sağ\}.\end{durumlar}}}$

Geriye dönük bir parabolik PDE için bir başlangıç/sınır-değer problemi genellikle iyi bir şekilde ortaya konmaz (çözümler genellikle sonlu bir zamanda sınırsız hale gelir, hatta var olamazlar). Bununla birlikte, bu problemler, çözümlerin tekilliklerinin diğer çeşitli PDE'lere yansımasının incelenmesi için önemlidir. Ayrıca, belirli finansal araçlar için fiyatlandırma probleminde ortaya çıkarlar .

Örnekler

• ısı denklemi
• Ortalama eğrilik akışı
• Ricci akışı

Ayrıca bakınız

• Hiperbolik kısmi diferansiyel denklem
• Eliptik kısmi diferansiyel denklem
• otomatik dalga

Referanslar

daha fazla okuma

• Perthame, Benoît (2015), Biyolojide Parabolik Denklemler: Büyüme, Reaksiyon, Hareket ve Difüzyon , Springer, ISBN 978-3-319-19499-8
• Evans, Lawrence C. (2010) [1998], Kısmi diferansiyel denklemler , Matematikte Lisansüstü Çalışmalar , 19 (2. baskı), Providence, RI: American Mathematical Society , doi : 10.1090/gsm/019 , ISBN 978-0-8218-4974-3, MR  2597943
• "Parabolik kısmi diferansiyel denklem" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• "Parabolik kısmi diferansiyel denklem, sayısal yöntemler" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]