Sabit süreç - Stationary process

In matematik ve istatistik , bir durağan süreç (ya da sıkı / tam durağan süreç veya güçlü / kuvvetli durağan süreç ) bir olduğu stokastik süreç olan koşulsuz ortak olasılık dağılımı zaman içinde kaymıştır zaman değişmez. Sonuç olarak, ortalama ve varyans gibi parametreler de zamanla değişmez. Durağanlığa dair bir sezgi elde etmek için sürtünmesiz bir sarkaç hayal edilebilir . Salınımsal bir hareketle ileri geri sallanır, ancak genlik ve frekans sabit kalır. Sarkaç hareket etse de, " istatistikleri " sabit (frekans ve genlik) olduğundan süreç durağandır . Bununla birlikte, sarkaç üzerine bir kuvvet uygulanacak olsaydı, ya frekans ya da genlik değişirdi, bu da süreci durağan yapmazdı .

Durağanlık, zaman serisi analizinde kullanılan birçok istatistiksel prosedürün altında yatan bir varsayım olduğundan , durağan olmayan veriler genellikle durağan hale dönüştürülür. Durağanlığın ihlalinin en yaygın nedeni, birim kökün veya deterministik bir eğilimin varlığından kaynaklanabilen ortalamadaki bir eğilimdir. Birim kökün önceki durumunda, stokastik şokların kalıcı etkileri vardır ve süreç ortalamaya dönmez . Deterministik trendin ikinci durumunda, sürece trend-durağan süreç denir ve stokastik şokların sadece geçici etkileri vardır, bundan sonra değişken deterministik olarak gelişen (sabit olmayan) bir ortalamaya yönelir.

Eğilim durağan bir süreç kesinlikle durağan değildir, ancak yalnızca zamanın bir fonksiyonu olan temel eğilimi ortadan kaldırarak kolayca durağan bir sürece dönüştürülebilir. Benzer şekilde, bir veya daha fazla birim köklü işlemler, fark alma yoluyla durağan hale getirilebilir. Eğilim benzeri bir davranış içermeyen önemli bir durağan olmayan süreç türü , zamanla döngüsel olarak değişen stokastik bir süreç olan döngüsel durağan bir süreçtir .

Pek çok uygulama için katı anlamda durağanlık çok kısıtlayıcıdır. Gibi durağan diğer şekilleri geniş anlamda durağan ya da N -inci düzey durağanlık daha sonra kullanılır. Farklı durağanlık türleri için yapılan tanımlar farklı yazarlar arasında tutarlı değildir (bkz. Diğer terminoloji ).

Kesin anlamda durağanlık

Tanım

Biçimsel olarak, Let bir olmak stokastik süreç ve izin temsil kümülatif dağılım fonksiyonu arasında koşulsuz (herhangi bir başlangıç değerine bir referans ile, yani,) ortak dağılım ve bazen . Ardından olduğu söylenir tam durağan , kuvvetle sabit veya sıkı-anlamda durağan olmadığını

 

 

 

 

( Denk.1 )

Yana etkilemez , zamanın bir fonksiyonu değildir.

Örnekler

Biri durağan diğeri durağan olmayan iki simüle edilmiş zaman serisi süreci yukarıda gösterilmiştir. Genişletilmiş Dickey-Fuller (ADF) test istatistiği , her işlem için rapor edilir; durağan olmama ikinci süreç için %5 anlamlılık düzeyinde reddedilemez .

Beyaz gürültü , durağan bir sürecin en basit örneğidir.

Bir örnek olarak ayrık zamanlı numune alanı da ayrık sabit işlem (tesadüfi değişken birini alabilir K olası değerleri) a, Bernoulli şeması . Sürekli örnek uzaylı ayrık zamanlı durağan sürecin diğer örnekleri, her ikisi de otoregresif hareketli ortalama modelinin alt kümeleri olan bazı otoregresif ve hareketli ortalama proseslerini içerir . Önemsiz olmayan bir otoregresif bileşene sahip modeller, parametre değerlerine bağlı olarak durağan veya durağan olmayabilir ve modelde birim köklerin bulunduğu önemli durağan olmayan özel durumlardır .

örnek 1

Herhangi bir skaler rastgele değişken olsun ve bir zaman serisi tanımlayın .

Ardından , gerçekleşmelerin her bir gerçekleşme için farklı bir sabit değere sahip bir dizi sabit değerden oluştuğu durağan bir zaman serisidir. Bir büyük sayılar kanunu tek gerçekleşme gelen ortalama sınır değeri tarafından belirlenir rastgele bir değer alır gibi bu durumda geçerli değildir , daha ziyade almaktan daha beklenen değeri arasında .

İşlem ergodik olmadığı için zaman ortalaması yakınsama yapmaz .

Örnek 2

Herhangi bir tek gerçekleştirilmesi görünürde gürültüsüz yapıya sahip olduğu için sabit bir işlemin bir başka örnek olarak, izin bir olması homojen bir dağılım üzerinde ve zaman serisi tanımlar tarafından

O zaman kesinlikle durağandır.

Örnek 3

Beyaz bir gürültünün mutlaka tam olarak durağan olmadığını unutmayın . Aralıkta düzgün dağılmış bir rastgele değişken olsun ve zaman serisini tanımlayın

Sonra

.

Yani ancak tam durağan değildir, beyaz gürültüdür.

N. dereceden durağanlık

Gelen Eq.1 , dağılımı örnekleri dağılımı zaman içinde değiştirildiği stokastik işlemin örnekleri eşit olmalıdır tüm . N. dereceden durağanlık, yalnızca belirli bir dereceye kadar olan herkes için istendiği daha zayıf bir durağanlık biçimidir . Rastgele bir işlemin , aşağıdaki durumlarda N. dereceden durağan olduğu söylenir :

 

 

 

 

( Denklem 2 )

Zayıf veya geniş anlamda durağanlık

Tanım

Sinyal işlemede yaygın olarak kullanılan daha zayıf bir durağanlık biçimi, zayıf anlamda durağanlık , geniş anlamda durağanlık (WSS) veya kovaryans durağanlığı olarak bilinir . WSS rastgele süreçleri sadece 1. anın (yani ortalamanın) ve otokovaryansın zamana göre değişmemesini ve 2. anın tüm zamanlar için sonlu olmasını gerektirir. Sonlu bir ortalaması ve kovaryansı olan herhangi bir kesinlikle durağan süreç aynı zamanda WSS'dir.

Bu nedenle, WSS olan sürekli zamanlı rastgele bir süreç , ortalama işlevi ve otokovaryans işlevi üzerinde aşağıdaki kısıtlamalara sahiptir :

 

 

 

 

( Denklem 3 )

İlk özellik, ortalama fonksiyonun sabit olması gerektiğini ima eder . İkinci özellik kovaryans işlevi yalnızca ima ettiği fark arasında ve sadece bir değişken yerine iki değişken tarafından dizine eklenmesi gerekmektedir. Böylece, yazmak yerine,

gösterim genellikle ikame ile kısaltılır :

Bu aynı zamanda otokorelasyonun yalnızca 'ye bağlı olduğu anlamına gelir , yani

Üçüncü özellik, ikinci anların herhangi bir zaman için sonlu olması gerektiğini söylüyor .

Motivasyon

Geniş anlamda durağanlığın ana avantajı, zaman serilerini Hilbert uzayları bağlamına yerleştirmesidir . H , { x ( t )} tarafından üretilen Hilbert uzayı olsun (yani, verilen olasılık uzayındaki tüm kare ile integrallenebilen rastgele değişkenlerin Hilbert uzayındaki bu rastgele değişkenlerin tüm lineer kombinasyonlarının kümesinin kapanışı). Otokovaryans fonksiyonunun pozitif kesinliği ile, Bochner teoreminden , { e −2 π iξ⋅t } tarafından üretilen L 2'nin ( μ ) Hilbert altuzayına göre H izomorfik olacak şekilde gerçek doğru üzerinde pozitif bir ölçü olduğu sonucu çıkar. . Bu, daha sonra, bir sürekli zaman durağan stokastik işlemi için aşağıdaki Fourier tip ayrışma verir: stokastik süreci vardır ile ortogonal aralıklarla tüm, bu şekilde

burada sağ taraftaki integral uygun (Riemann) anlamda yorumlanır. Aynı sonuç, şimdi birim çemberde tanımlanan spektral ölçü ile ayrık-zamanlı durağan bir süreç için de geçerlidir.

WSS rastgele sinyallerini doğrusal , zamanla değişmeyen ( LTI ) filtrelerle işlerken , korelasyon fonksiyonunu doğrusal bir operatör olarak düşünmek faydalı olur . Bir olduğu circulant operatörü (sadece iki bağımsız arasındaki farka bağlıdır) gösterilen, özfonksiyonlar olan Fourier kompleks üstel. Ek olarak, LTI operatörlerinin özfonksiyonları da karmaşık üstel olduğundan , WSS rasgele sinyallerinin LTI işlemesi oldukça izlenebilirdir—tüm hesaplamalar frekans alanında gerçekleştirilebilir . Bu nedenle, WSS varsayımı, sinyal işleme algoritmalarında yaygın olarak kullanılmaktadır .

Karmaşık stokastik süreç tanımı

Karmaşık bir stokastik süreç olması durumunda , otokovaryans fonksiyonu şu şekilde tanımlanır ve Denk.3'teki gerekliliklere ek olarak , sözde otokovaryans fonksiyonunun sadece zaman gecikmesine bağlı olması gerekir . Formüllerde, WSS ise

 

 

 

 

( Denk.4 )

Ortak durağanlık

Durağanlık kavramı, iki stokastik sürece genişletilebilir.

Ortak katı anlamda durağanlık

İki stokastik süreçler ve denir sıkı-anlamda durağan ortaklaşa ortak kümülatif dağılım ise yani eğer zaman vardiya altında değişmeden kalır

 

 

 

 

( Denk. 5 )

Ortak ( M + N ) mertebeden durağanlık

İki rastgele süreç ve aşağıdaki durumlarda ortaklaşa ( M  +  N )-inci dereceden durağan olduğu söylenir :

 

 

 

 

( Denk.6 )

Ortak zayıf veya geniş anlamda durağanlık

İki stokastik süreç ve her ikisi de geniş anlamda durağansa ve onların çapraz kovaryans işlevi yalnızca zaman farkına bağlıysa, ortak geniş anlamda durağan olarak adlandırılır . Bu şu şekilde özetlenebilir:

 

 

 

 

( Denk.7 )

Durağanlık türleri arasındaki ilişki

  • Bir stokastik süreç N. dereceden durağan ise, aynı zamanda herkes için M. dereceden durağandır .
  • Bir stokastik süreç ikinci dereceden durağansa ( ) ve sonlu ikinci momentlere sahipse, aynı zamanda geniş anlamda durağandır.
  • Bir stokastik süreç geniş anlamda durağan ise, mutlaka ikinci dereceden durağan değildir.
  • Bir stokastik süreç kesin anlamda durağansa ve sonlu ikinci momentlere sahipse, geniş anlamda durağandır.
  • Eğer iki stokastik süreç birlikte ( M  +  N )-. dereceden durağan ise, bu, bireysel süreçlerin M -inci- veya N -inci dereceden durağan olduğunu garanti etmez .

Diğer terminoloji

Katı durağanlık dışındaki durağanlık türleri için kullanılan terminoloji oldukça karışık olabilir. Bazı örnekler aşağıdadır.

  • Burada geniş anlamda durağanlık için verilenlere benzer koşullar m sırasına kadar olan momentler için geçerliyse , Priestley m mertebesine kadar durağanlığı kullanır . Böylece geniş anlamda durağanlık, burada verilen ikinci dereceden durağanlık tanımından farklı olarak "2. mertebeden durağanlık" ile eşdeğer olacaktır.
  • Honarkhah ve Caers ayrıca, daha yüksek n-nokta istatistiklerinin uzamsal alanda durağan olduğu varsayıldığında, çok noktalı jeoistatistik bağlamında durağanlık varsayımını kullanır.
  • Tahmasebi ve Sahimi , durağan olmayan herhangi bir sistemin modellenmesi için kullanılabilecek uyarlanabilir Shannon tabanlı bir metodoloji sunmuştur.

farklılaşma

Bazı zaman serilerini durağan hale getirmenin bir yolu, ardışık gözlemler arasındaki farkları hesaplamaktır. Bu farklılık olarak bilinir . Fark, bir zaman serisinin düzeyindeki değişiklikleri ortadan kaldırarak ve böylece trend ve mevsimselliği ortadan kaldırarak bir zaman serisinin ortalamasını stabilize etmeye yardımcı olabilir.

Logaritma gibi dönüşümler, bir zaman serisinin varyansını dengelemeye yardımcı olabilir.

Durağan olmayan zaman serilerini tanımlamanın yollarından biri ACF grafiğidir. Durağan bir zaman serisi için, ACF nispeten hızlı bir şekilde sıfıra düşerken, durağan olmayan verilerin ACF'si yavaş yavaş azalır.

Ayrıca bakınız

Referanslar

daha fazla okuma

Dış bağlantılar