Temel olmayan integral - Nonelementary integral

Gelen matematik bir nonelementary İlkel belirli bir temel fonksiyon bir olan İlkel (ya da belirsiz integral), kendisi değil, bir temel fonksiyon (yani, bir işlev quotients sınırlı bir sayıda yapılmış sabit , cebirsel , üstel , trigonometrik ve logaritmik saha operasyonlarını kullanan fonksiyonlar ). 1835'te Liouville tarafından bir teorem , temel olmayan ters türevlerin var olduğuna dair ilk kanıtı sağladı. Bu teorem aynı zamanda hangi temel fonksiyonların temel ters türevleri olduğunu belirlemek için (zorlukla) Risch algoritması için bir temel sağlar .

Temel olmayan ters türevleri olan fonksiyon örnekleri şunları içerir:

• ${\displaystyle {\sqrt {1-x^{4}}}}$( eliptik integral )
• ${\displaystyle {\frac {1}{\ln x}}}$( logaritmik integral )
• ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$( hata fonksiyonu , Gauss integrali )
• ${\displaystyle \sin(x^{2})}$ve ( Fresnel integrali )${\displaystyle \cos(x^{2})}$
• ${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\operatöradı {sinc} (x)}$( sinüs integrali , Dirichlet integrali )
• ${\displaystyle {\frac {e^{-x}}{x}}}$( üstel integral )
• ${\ Displaystyle e^{e^{x}}\,}$(Üssel integral açısından)
• ${\görüntüleme stili \ln(\ln x)\,}$(logaritmik integral açısından)
• ${\displaystyle {x^{c-1}}e^{-x}}$( eksik gama işlevi ); için c = 0, İlkel üstel integrali açısından yazılabilir; için C = 1/2, hata fonksiyonu açısından; için c = herhangi bir pozitif tam sayı, İlkel bir temel.

Bazı yaygın temel olmayan ters türev işlevleri, özel işlevler olarak adlandırılanları tanımlayan adlardır ve bu yeni işlevleri içeren formüller, daha büyük bir temel olmayan ters türev sınıfını ifade edebilir. Yukarıdaki örnekler parantez içinde karşılık gelen özel işlevleri adlandırır.

Elementer olmayan ters türevler genellikle Taylor serileri kullanılarak değerlendirilebilir . Bir fonksiyonun temel ters türevi olmasa bile, Taylor serisi her zaman bir polinom gibi terim terim entegre edilebilir ve ters türev fonksiyonu aynı yakınsama yarıçapına sahip bir Taylor serisi olarak verir . Bununla birlikte, integral yakınsak bir Taylor serisine sahip olsa bile, katsayı dizisi genellikle temel formüle sahip değildir ve integral Taylor serisi için aynı sınırlama ile terim terim değerlendirilmelidir.

Belirsiz bir integrali (antitürev) elemanter terimlerle değerlendirmek mümkün olmasa bile , sayısal entegrasyonla her zaman karşılık gelen belirli bir integrale yaklaşılabilir . Temel ters türevinin olmadığı, ancak belirli belirli integrallerin (genellikle sınırsız aralıklar üzerindeki uygunsuz integraller ) temel terimlerle değerlendirilebildiği durumlar da vardır: en ünlüsü Gauss integralidir. ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}.}$

Temel fonksiyonlar kümesinin integrali altındaki kapanış, Liouvillian fonksiyonların kümesidir .

Ayrıca bakınız

• integral listeleri
• türevler
• Sembolik entegrasyonlar
• cebirsel fonksiyonlar
• aşkın fonksiyonlar

Referanslar

• Elementer Olmayan Fonksiyonların Entegrasyonu , SOS MATHematics.com; 7 Aralık 2012'de erişildi.

daha fazla okuma

• Williams, Dana P., TEMEL OLMAYAN ANTİDERIVATIFLAR , 1 Aralık 1993. Erişim tarihi 24 Ocak 2014.