Nevanlinna teorisi - Nevanlinna theory

Gelen matematiksel alanında karmaşık analizde , Nevanlinna teorisi teorisinin parçası olan meromorfik fonksiyonları . 1925 yılında Rolf Nevanlinna tarafından tasarlandı . Hermann Weyl onu "(yirminci) yüzyılın birkaç büyük matematik olayından biri" olarak adlandırdı. Teori, f ( z ) = a denkleminin çözümlerinin a değiştiği gibi asimptotik dağılımını tanımlar . Temel bir araç, bir meromorfik fonksiyonun büyüme oranını ölçen Nevanlinna karakteristiği T ( r , f )'dir.

20. yüzyılın ilk yarısında diğer önemli katkılar Lars Ahlfors , André Bloch , Henri Cartan , Edward Collingwood , Otto Frostman , Frithiof Nevanlinna , Henrik Selberg , Tatsujiro Shimizu, Oswald Teichmüller ve Georges Valiron'du . Orijinal biçiminde, Nevanlinna teorisi bir diskte tanımlanan bir karmaşık değişkenin meromorfik fonksiyonlarıyla ilgilenir | z | ≤ R veya tüm karmaşık düzlemde ( R  = ∞). Sonraki genellemeler, Nevanlinna teorisini cebirsel fonksiyonlara, holomorfik eğrilere , rastgele boyuttaki karmaşık manifoldlar arasındaki holomorfik haritalara , yarı-düzenli haritalara ve minimal yüzeylere genişletti .

Bu makale, karmaşık düzlemde meromorfik fonksiyonlara vurgu yaparak, temel olarak bir değişkenin meromorfik fonksiyonlarının klasik versiyonunu açıklamaktadır. Bu teori için genel referanslar Goldberg & Ostrovski, Hayman ve Lang'dir (1987) .

Nevanlinna karakteristiği

Nevanlinna'nın orijinal tanımı

Let f bir meromorf fonksiyon olsun. Her için r  ≥ 0, izin N ( R , f ) meromorfik fonksiyonu kutup sayısı, sayım çokluğu olmak f disk | z | ≤ r . Ardından Nevanlinna sayma işlevini şu şekilde tanımlayın :

${\displaystyle N(r,f)=\int \limits _{0}^{r}\left(n(t,f)-n(0,f)\sağ){\dfrac {dt}{t} }+n(0,f)\log r.\,}$

Bu miktar, disklerdeki kutup sayısının büyümesini ölçer | z | ≤ r , r arttıkça. Açıkça, let bir ₁ ,  bir ₂ , ...,  a _n kutuplarını olmak ƒ | delinmiş disk 0 <içinde z | ≤ r çokluğa göre tekrarlanır. Sonra n = n ( r , f ) - n (0, f ) ve

${\displaystyle N(r,f)=\sum _{k=1}^{n}\log \left({\frac {r}{|a_{k}|}}\sağ)+n(0, f)\log r.\,}$

log ⁺ x  = max(log  x , 0) olsun. Daha sonra yakınlık fonksiyonu şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle m(r,f)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log ^{+}\left|f(re^{i\ teta })\sağ|d\teta .\,}$

Son olarak, Nevanlinna karakteristiğini şu şekilde tanımlayın (bkz. Jensen'in meromorfik fonksiyonlar formülü )

${\görüntüleme stili T(r,f)=m(r,f)+N(r,f).\,}$

Ahlfors-Shimizu versiyonu

Nevanlinna karakteristiğini tanımlamanın ikinci bir yöntemi şu formüle dayanmaktadır:

${\displaystyle \int _{0}^{r}{\frac {dt}{t}}\left({\frac {1}{\pi }}\int _{|z|\leq t}{\ frac {|f'|^{2}}{(1+|f|^{2})^{2}}}dm\right)=T(r,f)+O(1),\,}$

burada dm düzlemdeki alan öğesidir. Sol taraftaki ifadeye Ahlfors-Shimizu karakteristiği denir. Sınırlı terim O (1) çoğu soruda önemli değildir.

Ahlfors-Shimizu karakteristiğinin geometrik anlamı aşağıdaki gibidir. İç integral dm , disk görüntüsünün küresel alanıdır | z | ≤ t , sayma çokluğu (olduğunu, kısımları Riemann küre kapalı k kez sayılır k kez). Bu alan, tüm Riemann küresinin alanı olan π ile bölünür . Sonuç, disk tarafından Riemann küresinin kaplamasındaki ortalama yaprak sayısı olarak yorumlanabilir | z | ≤ t . Daha sonra bu ortalama kaplama sayısı, 1/ t ağırlığı ile t'ye göre entegre edilir .

Özellikler

Düzlemdeki meromorfik fonksiyonlar teorisinde karakteristik fonksiyonun rolü,

${\displaystyle \log M(r,f)=\log \max _{|z|\leq r}|f(z)|\,}$

tüm fonksiyonlar teorisinde . Aslında, bir fonksiyonun tamamı için T ( r , f ) ve M ( r , f ) öğelerini doğrudan karşılaştırmak mümkündür :

${\displaystyle T(r,f)\leq \log ^{+}M(r,f)\,}$

ve

${\displaystyle \log M(r,f)\leq \sol({\dfrac {R+r}{Rr}}\sağ)T(R,f),\,}$

herhangi bir R  >  r için .

Eğer f a, rasyonel fonksiyonu derecesi d , o zaman , T ( r , f ) ~  d  günlük  r ; aslında, T ( r , f ) =  O (log  r ) ancak ve ancak f rasyonel bir fonksiyon ise.

Sipariş bir meromorfik fonksiyon ile tanımlanır

${\displaystyle \rho (f)=\limsup _{r\rightarrow \infty }{\dfrac {\log ^{+}T(r,f)}{\log r}}.}$

Sonlu mertebeden fonksiyonlar, üzerinde çokça çalışılan önemli bir altsınıfı oluşturur.

Diskin yarıçapı R olduğunda | z | ≤ R , içinde meromorfik fonksiyonun tanımlandığı sonludur, Nevanlinna karakteristiği sınırlı olabilir. Sınırlı tipte fonksiyonlar olarak da bilinen sınırlı karakteristikli bir diskteki fonksiyonlar , tam olarak sınırlı analitik fonksiyonların oranları olan fonksiyonlardır. Sınırlı tipteki fonksiyonlar, üst yarı-düzlem gibi başka bir etki alanı için de bu şekilde tanımlanabilir .

Birinci temel teorem

Let bir  ∈  C ve tanımlamak

${\displaystyle \dörtlü N(r,a,f)=N\sol(r,{\dfrac {1}{fa}}\sağ),\dörtlü m(r,a,f)=m\sol(r ,{\dfrac {1}{fa}}\sağ).\,}$

İçin bir  = ∞, set N ( R , ∞, f ) =  N ( R , f ), m ( r , ∞, f ) =  m ( r , f ).

İlk Temel Teoremi Nevanlinna teorisi durumlarının her söz konusu a içinde Riemann küresinin ,

${\displaystyle T(r,f)=N(r,a,f)+m(r,a,f)+O(1),\,}$

burada sınırlı terimi O (1) bağlı olabilir f ve bir . Düzlemdeki sabit olmayan meromorfik fonksiyonlar için, T ( r ,  f ) sonsuza eğilim gösterir, r sonsuzluğa eğilim gösterir, bu nedenle Birinci Temel Teorem, N ( r , a , f ) +  m ( r , a , f toplamının olduğunu söyler. ), bağımsız oranında sonsuza eğilimi bir . İlk Temel teorem, Jensen formülünün basit bir sonucudur .

Karakteristik fonksiyon, derecenin aşağıdaki özelliklerine sahiptir:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}T(r,fg)&\leq &T(r,f)+T(r,g)+O(1),\\T(r,f+g) &\leq &T(r,f)+T(r,g)+O(1),\\T(r,1/f)&=&T(r,f)+O(1),\\T( r,f^{m})&=&mT(r,f)+O(1),\,\end{dizi}}}$

burada m bir doğal sayıdır. Sınırlı terim O (1), T ( r , f ) sonsuzluğa yöneldiğinde ihmal edilebilir . Bu cebirsel özellikler, Nevanlinna'nın tanımından ve Jensen'in formülünden kolaylıkla elde edilir.

İkinci temel teorem

Bu tanımlar , N ( R ,  f ile aynı şekilde) , N ( R , f ), fakat (yani sadece farklı kutup sayısını) dikkate sayıda almadan. Daha sonra , N ₁ ( R , f ) kritik noktalarının Nevanlinna sayma fonksiyonu olarak tanımlanmıştır f olduğu,

${\displaystyle N_{1}(r,f)=2N(r,f)-N(r,f')+N\left(r,{\dfrac {1}{f'}}\sağ)=N (r,f)+{\overline {N}}(r,f)+N\left(r,{\dfrac {1}{f'}}\sağ).\,}$

İkinci Temel teorem , Riemann küresi üzerindeki her k farklı a _j değeri için şunu söyler:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{k}m(r,a_{j},f)\leq 2T(r,f)-N_{1}(r,f)+S(r,f ).\,}$

Bu şu anlama gelir:

${\displaystyle (k-2)T(r,f)\leq \sum _{j=1}^{k}{\overline {N}}(r,a_{j},f)+S(r, F),\,}$

burada S ( r , f ) bir "küçük hata terimidir".

Düzlemde meromorfik fonksiyonlar için, S ( r , f ) = o( T ( r , f )), bir sonlu uzunluk kümesinin dışında, yani hata terimi, r'nin "çoğu" değerlerinin özelliği ile karşılaştırıldığında küçüktür . Hata teriminin çok daha iyi tahminleri biliniyor, ancak Andre Bloch varsayımda bulundu ve Hayman, istisnai bir kümenin elden çıkarılamayacağını kanıtladı.

İkinci Temel Teorem, karakteristik fonksiyon için N ( r , a ) cinsinden bir üst sınır verilmesine izin verir . Örneğin, f , k  = 3 ve a ₃  = ∞ ile İkinci Temel teoremi kullanarak aşkın bir tam fonksiyon ise, Picard'ın Teoremini kanıtlayarak , f'nin en fazla iki istisna dışında her değeri sonsuz sıklıkta aldığını elde ederiz .

Nevanlinna'nın İkinci Temel Teoremin orijinal kanıtı, m ( r , f' / f ) =  S ( r , f ) olduğunu söyleyen logaritmik türev üzerindeki Lemma'ya dayanıyordu . Benzer bir ispat, birçok çok boyutlu genelleme için de geçerlidir. Bunu Gauss-Bonnet teoremi ile ilişkilendiren diferansiyel-geometrik kanıtlar da vardır . İkinci Temel Teorem , Riemann-Hurwitz formülünün sonsuz dereceli kaplamalara bir uzantısı olarak kabul edilebilecek Ahlfors'un metrik-topolojik teorisinden de türetilebilir .

Nevanlinna ve Ahlfors'un ispatları, İkinci Temel Teoremdeki sabit 2'nin Riemann küresinin Euler karakteristiği ile ilgili olduğunu göstermektedir . Bununla birlikte, bu 2'nin Charles Osgood ve Paul Vojta tarafından keşfedilen sayılar teorisi ile derin bir analojiye dayanan çok farklı bir açıklaması var . Bu benzetmeye göre 2, Thue–Siegel–Roth teoremindeki üsdür . Sayı teorisi ile bu analoji üzerinde Lang'ın (1987) araştırmasına ve Ru'nun (2001) kitabına atıfta bulunuyoruz .

kusur ilişkisi

Kusur ilişkisi, İkinci Temel Teoremin ana sonuçlarından biridir. Kusur noktasında bir meromorfik fonksiyonunun a , aşağıdaki formül ile tanımlanmaktadır

${\displaystyle \delta (a,f)=\liminf _{r\rightarrow \infty }{\frac {m(r,a,f)}{T(r,f)}}=1-\limsup _{ r\rightarrow \infty }{\dfrac {N(r,a,f)}{T(r,f)}}.\,}$

Birinci Temel Teorem'e göre, 0 ≤  δ ( a , f ) ≤ 1, eğer T ( r , f ) sonsuzluğa eğilimliyse (düzlemde meromorfik sabit olmayan fonksiyonlar için her zaman böyledir). δ ( a , f ) > 0 olan a noktalarına eksik değerler denir . İkinci Temel Teorem, düzlemde meromorfik bir fonksiyonun eksik değerlerinin kümesinin en fazla sayılabilir olduğunu ve aşağıdaki bağıntının geçerli olduğunu ima eder :

${\displaystyle \sum _{a}\delta (a,f)\leq 2,\,}$

toplamın tüm eksik değerlerin üzerinde olduğu yer. Bu, Picard teoreminin bir genellemesi olarak düşünülebilir . Diğer birçok Picard tipi teorem, İkinci Temel Teoremden türetilebilir.

İkinci Temel Teoremden başka bir sonuç olarak, şu elde edilebilir:

${\displaystyle T(r,f')\leq 2T(r,f)+S(r,f),\,}$

bu, d dereceli bir rasyonel fonksiyonun 2 d  − 2 < 2 d kritik noktaya sahip olduğu gerçeğini genelleştirir .

Uygulamalar

Nevanlinna teorisi, diferansiyel ve fonksiyonel denklemlerin analitik teorisi, holomorfik dinamikler , minimal yüzeyler ve Picard teoreminin daha yüksek boyutlara genelleştirilmesiyle ilgilenen karmaşık hiperbolik geometri gibi aşkın meromorfik fonksiyonların ortaya çıktığı tüm sorularda faydalıdır .

Daha fazla gelişme

20. yüzyılda karmaşık bir değişkenin işlevlerine ilişkin araştırmaların önemli bir kısmı Nevanlinna teorisine odaklanmıştı. Bu araştırmanın bir yönü, Nevanlinna teorisinin ana sonuçlarının mümkün olan en iyi şekilde olup olmadığını bulmaktı. Örneğin, Nevanlinna teorisinin Ters Problemi , verilen noktalarda önceden atanmış eksikliklerle meromorfik fonksiyonların oluşturulmasından oluşur. Bu, 1976'da David Drasin tarafından çözüldü. Başka bir yön, düzlemdeki tüm meromorfik fonksiyonlar sınıfının çeşitli alt sınıflarının çalışmasına odaklandı. En önemli alt sınıf, sonlu düzendeki fonksiyonlardan oluşur. Bu sınıf için eksikliklerin, kusur ilişkisine ek olarak çeşitli kısıtlamalara tabi olduğu ortaya çıktı ( Norair Arakelyan, David Drasin , Albert Edrei, Alexandre Eremenko , Wolfgang Fuchs , Anatolii Goldberg , Walter Hayman , Joseph Miles, Daniel Shea, Oswald Teichmüller , Alan Weitsman ve diğerleri).

Henri Cartan , Joachim ve Hermann Weyl ve Lars Ahlfors, Nevanlinna teorisini holomorfik eğrilere genişletti . Bu uzantı, Karmaşık Hiperbolik Geometrinin ana aracıdır. Henrik Selberg ve George Valiron, Nevanlinna teorisini cebirsel fonksiyonlara genişlettiler . Klasik tek boyutlu teoride yoğun araştırmalar halen devam etmektedir.

Ayrıca bakınız

• Vojta'nın varsayımı

Referanslar

• Lang, Serge (1987). Karmaşık hiperbolik uzaylara giriş . New York: Springer-Verlag . ISBN'si 978-0-387-96447-8. Zbl  0628.32001 .
• Lang, Serge (1997). Diofant geometrisinin incelenmesi . Springer-Verlag . s. 192–204. ISBN'si 978-3-540-61223-0. Zbl  0869.11051 .
• Nevanlinna, Rolf (1925), "Zur Theorie der Meromorphen Funktionen", Açta Mathematica , 46 (1-2): 1–99, doi : 10.1007/BF02543858 , ISSN  0001-5962
• Nevanlinna, Rolf (1970) [1936], Analitik fonksiyonlar , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 162 , Berlin, New York: Springer-Verlag , MR  0279280
• Ru, Min (2001). Nevanlinna Teorisi ve Diophantine Yaklaşımı ile İlişkisi . Dünya Bilimsel Yayıncılık. ISBN'si 978-981-02-4402-6.

daha fazla okuma

• Bombieri, Enrico ; Gubler, Walter (2006). "13. Nevanlinna Teorisi". Diophantine Geometride Yükseklikler . Yeni Matematiksel Monograflar. 4 . Cambridge Üniversitesi Yayınları . s. 444-478. ISBN'si 978-0-521-71229-3. Zbl  1115.11034 .
• Vojta, Paul (1987). Diophantine Yaklaşımları ve Değer Dağılımı Teorisi . Matematik Ders Notları. 1239 . Springer-Verlag . ISBN'si 978-3-540-17551-3. Zbl  0609.14011 .
• Vojta, Paul (2011). "Diophantine yaklaşımı ve Nevanlinna teorisi". Corvaja, Pietro'da; Gasbarri, Carlo (ed.). Aritmetik geometri. CIME yaz okulunda verilen dersler, Cetraro, İtalya, 10-15 Eylül 2007 . Matematik Ders Notları. 2009 . Berlin: Springer-Verlag . s. 111–224. ISBN'si 978-3-642-15944-2. Zbl  1258.11076 .

Dış bağlantılar

• Petrenko, VP (2001) [1994], "Değer dağılımı teorisi" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press
• Petrenko, VP (2001) [1994], "Nevanlinna teoremleri" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press