Minimum yüzey - Minimal surface

Minimum rasyonel yüzey veya minimum cebirsel yüzey ile karıştırılmamalıdır .
Bir helisel bir sarmal çerçeve üzerinde sabun film tarafından oluşturulan en az bir yüzey

In matematik , bir minimum yüzey yerel alanını minimize bir yüzeydir. Bu, sıfır ortalama eğriliğe sahip olmakla eşdeğerdir (aşağıdaki tanımlara bakın).

"Minimal yüzey" terimi, bu yüzeyler başlangıçta bazı kısıtlamalara tabi olarak toplam yüzey alanını en aza indiren yüzeyler olarak ortaya çıktıkları için kullanılmıştır. Alanı en aza indiren minimal yüzeylerin fiziksel modelleri, bir tel çerçeveyi sabun çözeltisine daldırarak , sınırı tel çerçeve olan minimal bir yüzey olan bir sabun filmi oluşturarak yapılabilir . Ancak bu terim, kendi kendine kesişebilen veya kısıtlamaları olmayan daha genel yüzeyler için kullanılır . Belirli bir kısıtlama için, farklı alanlara sahip birkaç minimal yüzey de mevcut olabilir (örneğin, minimum devrim yüzeyine bakınız ): standart tanımlar , global bir optimum değil, yalnızca yerel bir optimum ile ilgilidir .

Tanımlar

Eyer kulesi minimal yüzey. Yüzeydeki herhangi bir küçük değişiklik onun alanını arttırırken, aynı sınırı olan ve toplam alanı daha küçük olan başka yüzeyler de vardır.

Minimal yüzeyler, R 3'te birkaç eşdeğer yolla tanımlanabilir . Eşdeğer olmaları gerçeği, minimal yüzey teorisinin, özellikle diferansiyel geometri , varyasyon hesabı , potansiyel teori , karmaşık analiz ve matematiksel fizik olmak üzere çeşitli matematik disiplinlerinin kavşağında nasıl yer aldığını göstermeye hizmet eder .

Yerel az alan tanımı : bir yüzey M ⊂ R 3 az ise, her bir nokta, sadece p ∈ M bir sahiptir mahalle aynı sınırlara sahiptir, tüm yüzeyleri arasında en az bir alana sahiptir, basit bir kapalı eğri ile sınırlanmış.

Bu özellik yereldir: aynı sınıra sahip daha küçük alana sahip diğer yüzeylerle birlikte minimal bir yüzeyde bölgeler bulunabilir. Bu özellik sabun filmleriyle bağlantı kurar; sınır olarak bir tel çerçeveye sahip olacak şekilde deforme olmuş bir sabun filmi alanı en aza indirecektir.

Varyasyon tanımı : bir yüzey M ⊂ R 3 bir ve sadece minimal bir kritik nokta alanının işlevsel tüm kompakt desteklenen için varyasyon .

Bu tanım, minimal yüzeyleri , benzer şekilde uzunluk fonksiyonelinin kritik noktaları olarak tanımlanan jeodeziklere 2 boyutlu bir analog yapar .

Minimal yüzey eğriliği düzlemleri. Minimal bir yüzeyde, ana eğrilik düzlemleri boyunca eğrilik, her noktada eşit ve zıttır. Bu ortalama eğriliği sıfır yapar.
Ortalama eğrilik tanımı : bir yüzey M ⊂ R 3 de, ancak ve ancak çok az ortalama eğrilik bütün noktalarda sıfıra eşittir.

Bu tanımın doğrudan bir anlamı, yüzeydeki her noktanın eşit ve zıt ana eğriliklere sahip bir eyer noktası olmasıdır . Ek olarak, bu, minimum yüzeyleri ortalama eğrilik akışının statik çözümlerine dönüştürür . Tarafından küçük-Laplace denklemi , ortalama eğrilik sabun filmin kenarları arasında basınç farkı ile orantılıdır. Sabun filmi bir bölgeyi çevrelemiyorsa, bu onun ortalama eğriliğini sıfır yapacaktır. Buna karşılık, küresel bir sabun köpüğü , dış bölgeden farklı bir basınca sahip olan ve bu nedenle sıfır ortalama eğriliğe sahip olmayan bir bölgeyi çevreler.

Diferansiyel denklem tanımı : bir yüzey M ⊂ R 3 ve yerel olarak bir çözeltisi grafik olarak ifade edilebilir, yalnızca eğer en az bir

Bu tanımdaki kısmi diferansiyel denklem ilk olarak 1762'de Lagrange tarafından bulundu ve Jean Baptiste Meusnier 1776'da bunun kaybolan bir ortalama eğriliği ima ettiğini keşfetti.

Enerji tanımı : bir konformal daldırma x : M → R 3 ve önemli bir nokta, sadece eğer minimal Dirichlet enerjisi tüm kompakt desteklenen varyasyonlar için, veya eşdeğer ise herhangi bir noktada p ∈ M en az bir enerji göreli bir mahalle sahip onun sınır.

Bu tanım minimal yüzeyleri harmonik fonksiyonlara ve potansiyel teoriye bağlar .

Harmonik tanımı : Eğer X = ( x 1 , x 2 , x 3 ): M → R 3 bir bir izometrik daldırma a Riemann yüzeyi , daha sonra 3-boşluğa X her az olduğu söylenir x i a, harmonik fonksiyonu üzerindeki M her i .

Bu tanım ve bir doğrudan etkisi harmonik fonksiyonlar için maksimum prensibi bir olmasıdır kompakt tam olarak minimal yüzeyler R 3 .

Gauss tanımı : bir yüzey M ⊂ R 3 az ise ve sadece eğer stereographically öngörülen Gauss g : M → Cı olduğu ∪ {∞} meromorfik temel göre Riemann yüzeyi yapısı ve M bir küre parçası değildir .

Bu tanım, kullanımları ortalama eğrilik olarak yarısı kadar olduğu iz ve şekil operatörünün Gauss dönüşümü türevlerine bağlıdır. Gauss itaat eder öngörülen Eğer Cauchy Riemann denklemleri ya sonra iz Vanishes veya her nokta M olan Umbilik , bu durumda bir küre parçasıdır.

Yerel az alanı ve varyasyon tanımlar diğer minimal yüzeyler uzanan izin Rieman manifoldlar daha R 3 .

Tarih

Minimal yüzey teorisi , 1762'de belirli bir kapalı kontur boyunca gerilmiş en az alanın z = z ( x , y ) yüzeyini bulmanın varyasyonel problemini düşünen Lagrange ile başlar . Çözüm için Euler-Lagrange denklemini türetti.

Uçağın ötesinde herhangi bir çözüm bulmayı başaramadı. 1776'da Jean Baptiste Marie Meusnier , helikoid ve katenoidin denklemi sağladığını ve diferansiyel ifadenin yüzeyin ortalama eğriliğinin iki katına karşılık geldiğini keşfetti ve ortalama eğriliği sıfır olan yüzeylerin alan küçültücü olduğu sonucuna vardı.

Lagrange denklemini genişleterek

Gaspard Monge ve Legendre , 1795'te çözüm yüzeyleri için temsil formülleri türetmiştir. Bunlar 1830'da Heinrich Scherk tarafından yüzeylerini elde etmek için başarıyla kullanılsa da, genellikle pratik olarak kullanılamaz olarak kabul edildiler. Katalan , 1842/43'te helikoidin tek yönetilen minimal yüzey olduğunu kanıtladı .

Björling sorununun karmaşık yöntemlerle çözüldüğü yüzyılın ortalarına kadar ilerleme oldukça yavaştı . Minimal yüzeylerin "ilk altın çağı" başladı. Schwarz , 1865'te bir düzgün dörtgen için ve 1867'de genel bir dörtgen için Plato probleminin çözümünü ( periyodik yüzey ailelerinin kurulmasına izin vererek ) karmaşık yöntemler kullanarak buldu. Weierstrass ve Enneper , minimal yüzeyleri karmaşık analiz ve harmonik fonksiyonlara sıkıca bağlayan daha kullanışlı temsil formülleri geliştirdi . Diğer önemli katkılar Beltrami, Bonnet, Darboux, Lie, Riemann, Serret ve Weingarten'den geldi.

1925 ve 1950 arasında, şimdi esas olarak parametrik olmayan minimal yüzeyleri hedefleyen minimal yüzey teorisi yeniden canlandı. Plato sorununun Jesse Douglas ve Tibor Radó tarafından tam çözümü önemli bir kilometre taşıydı. Bernstein'ın problemi ve Robert Osserman'ın sonlu toplam eğriliğin tam minimal yüzeyleri üzerindeki çalışması da önemliydi.

Başka bir canlanma 1980'lerde başladı. Bir nedeni Celso Costa 1982 keşif oldu bir yüzey düzlemi, catenoid ve helisel yalnızca tam gömülü minimal yüzeyler olduğu varsayım disproved R 3 sonlu topolojik Çeşidi. Bu sadece eski parametrik yöntemlerin kullanılmasıyla ilgili yeni çalışmaları teşvik etmekle kalmadı, aynı zamanda çalışılan yüzeyleri görselleştirmek için bilgisayar grafiklerinin ve "periyot problemini" çözmek için sayısal yöntemlerin önemini gösterdi ( konjuge yüzey yöntemini kullanırken daha büyük bir simetrik yüzeye monte edildiğinde, gömülü bir yüzey üretmek için belirli parametrelerin sayısal olarak eşleşmesi gerekir). Bir başka neden de H. Karcher tarafından, 1970 yılında Alan Schoen tarafından deneysel olarak tanımlanan üçlü periyodik minimal yüzeylerin gerçekten var olduğunun doğrulanmasıydı . Bu, zengin bir yüzey aileleri koleksiyonuna ve örneğin tutamaçlar ekleyerek veya bunları çarpıtarak yeni yüzeyler elde etme yöntemlerine yol açmıştır.

Şu anda en az yüzeylerin teorisi matematiksel fizik ile ilgili olma, diğer çevre geometrilerde az altmanifoldları için farklılaşan (örneğin, pozitif kütle varsayım , Penrose tahmin ) ve üç manifoldu geometri (örn Smith varsayım , sanı , Thurston Geometrikleştirme varsayım ).

Örnekler

Costa'nın Minimal Yüzeyi

Minimal yüzeylerin klasik örnekleri şunları içerir:

  • düzlem a,, önemsiz durum
  • katenoidler : Bir kateneri kendi doğrultusu etrafında bir kez döndürerek oluşturulan minimal yüzeyler
  • Helikoidler : Çizgiye dik bir eksen etrafında düzgün hızla dönen ve aynı anda eksen boyunca düzgün hızla hareket eden bir çizgi tarafından süpürülen bir yüzey.

19. yüzyıl altın çağından kalma yüzeyler şunları içerir:

Modern yüzeyler şunları içerir:

  • Gyroid : schoen 1970 yüzeylerden biri, sıvı kristal yapısı için özel ilgi konusu bir üç kat periyodik yüzey
  • Eyer kule ailesi: genellemeler Scherk ikinci yüzeye
  • Costa'nın minimal yüzeyi : Ünlü varsayım çürütücü. 1982'de Celso Costa tarafından tarif edilmiş ve daha sonra Jim Hoffman tarafından görselleştirilmiştir . Jim Hoffman, David Hoffman ve William Meeks III daha sonra tanımı farklı dönme simetrilerine sahip bir yüzey ailesi üretecek şekilde genişletti.
  • Chen-Gackstatter yüzey ailesi, Enneper yüzeye kolları ekleyerek.

Genellemeler ve diğer alanlara bağlantılar

En az yüzeyler için diğer tanımlanabilir manifold daha R 3 gibi hiperbolik alan , yüksek boyutlu boşluk veya Rieman manifoldları .

Minimal yüzeylerin tanımı, sabit ortalama eğrilik yüzeylerini kapsayacak şekilde genelleştirilebilir/genişletilebilir : sıfıra eşit olması gerekmeyen sabit ortalama eğriliğe sahip yüzeyler.

Olarak farklı diferansiyel geometri ayrık minimal yüzeyler incelenmiştir: simpleksel kompleksler kendi tepe pozisyonları, küçük düzensizlikler altında alanının en aza düşürülmesi üçgenler. Bu tür ayrıklaştırmalar, kapalı form ifadeleri bilinmese bile, genellikle minimum yüzeyleri sayısal olarak yaklaşık olarak tahmin etmek için kullanılır.

Minimal bir yüzey üzerinde Brown hareketi , minimal yüzeyler üzerinde birkaç teoremin olasılıksal kanıtlarına yol açar.

Minimal yüzeyler , karmaşık malzemelerin kendi kendine montajında öngörülen uygulamaları nedeniyle , özellikle moleküler mühendislik ve malzeme bilimi alanlarında yoğun bir bilimsel çalışma alanı haline gelmiştir . Hücre biyolojisinde önemli bir yapı olan endoplazmik retikulumun , önemsiz bir minimal yüzeye uyması için evrimsel baskı altında olduğu öne sürülmektedir.

Genel görelilik ve Lorentz geometrisi alanlarında, görünen ufuklar olarak bilinen minimal yüzey kavramının belirli uzantıları ve modifikasyonları önemlidir. Olay ufkunun aksine , karadelik sınırlarını anlamak için eğriliğe dayalı bir yaklaşımı temsil ederler .

Sirk çadırı, minimum bir yüzeye yaklaşıyor.

Minimal yüzeyli yapılar çadır olarak kullanılabilir.

Minimal yüzeyler, modern tasarımcılar tarafından kullanılan üretken tasarım araç kutusunun bir parçasıdır . Mimaride , minimal yüzeylerle yakından ilişkili olan çekme yapılarına çok ilgi duyulmuştur. Ünlü örnek Münich Olympiapark tarafından Frei Otto sabun yüzeyleri ilham.

Sanat dünyasında, diğerlerinin yanı sıra Robert Engman (1927– ), Robert Longhurst (1949– ) ve Charles O. Perry (1929–2011) heykellerinde minimal yüzeyler kapsamlı bir şekilde araştırılmıştır .

Ayrıca bakınız

Referanslar

daha fazla okuma

ders kitapları

  • Tobias Holck Colding ve William P. Minicozzi, II. Minimal yüzeylerde bir kurs. Matematikte Lisansüstü Çalışmalar, 121. American Mathematical Society, Providence, RI, 2011. xii+313 pp. ISBN  978-0-8218-5323-8
  • Courant. Dirichlet Prensibi, Uygun Haritalama ve Minimal Yüzeyler. Ek, M. Schiffer. Interscience Publishers, Inc., New York, NY, 1950. xiii+330 s.
  • Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt ve Friedrich Sauvigny. Minimal yüzeyler. Gözden geçirilmiş ve genişletilmiş ikinci baskı. A. Küster ve R. Jakob'un yardım ve katkılarıyla. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 339. Springer, Heidelberg, 2010. xvi+688 s. ISBN  978-3-642-11697-1 , doi : 10.1007/ 978-3-642-11698-8kapalı erişim , MR 2566897
  • H. Blaine Lawson, Jr. Minimal alt manifoldlar üzerine dersler. Cilt I. İkinci baskı. Mathematics Lecture Series, 9. Publish or Perish, Inc., Wilmington, Del., 1980. iv+178 s. ISBN  0-914098-18-7
  • Johannes CC Nitsche. Minimal yüzeyler üzerine dersler. Cilt 1. Giriş, temeller, geometri ve temel sınır değer problemleri. Almanca'dan Jerry M. Feinberg tarafından çevrilmiştir. Almanca bir önsöz ile. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xxvi+563 s. ISBN  0-521-24427-7
  • Robert Osserman. Minimal yüzeylerin incelenmesi. İkinci baskı. Dover Publications, Inc., New York, 1986. vi+207 s. ISBN  0-486-64998-9 , MR 0852409

Çevrimiçi kaynaklar

Dış bağlantılar