Yerel difeomorfizm - Local diffeomorphism

Gelen matematik , daha özel olarak farklı topoloji , bir yerel Diffeomorfizm bir sezgisel olan harita arasındaki düzgün manifold yerel korur türevlenebilir yapısı . Yerel bir difeomorfizmin resmi tanımı aşağıda verilmiştir.

Resmi tanımlama

Let ve olmak türevlenebilir manifoldlar . bir işlev ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili Y}$

{\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}

a, yerel Diffeomorfizm her bir nokta için, eğer, bir vardır açık kümesi ihtiva eden şekildedir

{\görüntüleme stili x\in X}

{\görüntüleme stili U}

{\görüntüleme stili x,}

{\görüntüleme stili f(U)}

açık ve

{\görüntüleme stili Y}

f|_{U}:U\to f(U)

bir difeomorfizmdir .

Yerel bir Diffeomorfizm bir özel bir durumu olan daldırma görüntü arasında altında yerel olarak bir türevlenebilir yapıya sahip alt manifold arasında sonra ve daha düşük bir boyuta sahip olabilir daha $f:X\to Y,$ ${\görüntüleme stili f(U)}$ ${\görüntüleme stili U}$ ${\görüntüleme stili f}$ ${\görüntüleme stili Y.}$ ${\görüntüleme stili f(U)}$ ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili Y.}$

Tartışma

Örneğin, tüm manifoldlar topolojik anlamda yerel olarak aynı görünse de ( bazıları için olduğu gibi ), türevlenebilir yapılarının yerel olarak aynı şekilde davranıp davranmadığını sormak doğaldır. Örneğin, bir iki farklı empoze edebilir

türevlenebilir yapıları üzerinde bu marka türevlenebilir manifoldu içine, ancak her iki yapılar (aşağıya bakınız) lokal olarak diffeomorphic değildir. Yerel difeomorfizmler yerel olarak türevlenebilir yapıyı muhafaza etseler de, etki alanının tüm (pürüzsüz) manifold olmasını sağlamak için bu (yerel) difeomorfizmleri "düzeltmek" gerekir . Örneğin, hiçbir küresel Diffeomorfizm olamaz 2-küre için Öklid 2-uzay onlar gerçekten aynı yerel türevlenebilir yapıya sahip rağmen. Bunun nedeni, tüm yerel difeomorfizmaların sürekli olması , bir kompakt uzayın sürekli görüntüsünün kompakt, kürenin kompakt olmasına karşın Öklid 2-uzay olmamasıdır.

\mathbb {R} ^{n}

{\görüntüleme stili n}

\mathbb {R}

\mathbb {R}

Özellikler

Her yerel difeomorfizm aynı zamanda yerel bir homeomorfizmadır ve dolayısıyla açık bir haritadır .
Yerel bir difeomorfizmanın sabit bir derecesi vardır . ${\görüntüleme stili n.}$
Bir difeomorfizm , ikili bir yerel difeomorfizmdir.
Bir düz kaplama harita hedef her bir noktası, sahip olacak şekilde yerel Diffeomorfizm olan mahalle olan eşit şekilde harita ile.
Göre ters fonksiyon teoremi , düzgün bir harita yerel Diffeomorfizm olduğunu ancak ve ancak

türev bir olduğunu lineer izomorfizm tüm noktalar için bu ima olduğunu Note ve aynı boyuta sahip olmalıdır.

{\ Displaystyle f:M\'den N'ye}

Df_{p}:T_{p}M\to T_{f(p)}N

p\in M.

{\görüntüleme stili M}

{\görüntüleme stili N}

Yerel akış difeomorfizmleri

Ayrıca bakınız

Alanın değişmezliği – Öklid uzayının homeomorfik alt kümeleri hakkında topolojide teorem
uzay-zaman simetrileri

Referanslar

Michor Peter W. (2008), diferansiyel geometri konular , Yüksek Lisans Çalışmaları Matematik , 93 , Providence, RI: Amerikan Matematik Derneği , ISBN 978-0-8218-2003-2, MR 2428390.

Languages

In other projects